精品解析：安徽省阜阳市太和县昌泰高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

昌泰高中2024—2025第二学期期中考试 （高一数学） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 向量（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，是两个不共线的向量，且向量m3与（2﹣m）共线，则实数m的值为（ ） A. ﹣1或3 B. C. ﹣1或4 D. 3或4 3. 向量的模为10，它与向量的夹角为，则它在方向上的投影向量的模为（ ） A 5 B. C. D. 4. 如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（ ） A. 14 B. 10 C. 28 D. 14 5. 若，且，那么等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于(　　) A. B. C. - D. - 7. 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ） A. B. C. D. 8. 某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为6cm，上､下底面圆的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若，是方程的两个虚数根，则（ ） A. 取值范围为 B. 的共轭复数是 C. D. 为纯虚数 10. 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（ ） A. 侧面积之比为 B. 侧面积之比为 C. 体积之比为 D. 体积之比为 11. 在中，已知，下列结论中正确的是（ ） A. 这个三角形被唯一确定 B. 一定是钝角三角形 C. D. 若，则的面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 计算：＝________. 13. 在中，，，，则的面积等于____________. 14. 已知过球面上三点A，B，C截面到球心的距离等于球半径的，且，则球的表面积是______，体积是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 复数. （1）若为实数，求的值； （2）若为纯虚数，求的值； （3）若，求的值. 16. 已知是方程（b，c为实数）的一个根． （1）求b，c的值； （2）试判断是不是方程的根． 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 18. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是实数，求的值； （2）设复数，对应的向量分别是，，若，求的值． 19. 西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图，、是邛海水面上位于东西方向相距公里两个观测点，现位于点北偏东、点西北方向的点有一艘渔船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距公里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为公里/小时.求： （1）观测点与点处的渔船间的距离； （2）点的救援船到达点需要多长时间？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昌泰高中2024—2025第二学期期中考试 （高一数学） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 向量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的加法运算即可得到结果. 【详解】 故选:C 2. 已知向量，是两个不共线的向量，且向量m3与（2﹣m）共线，则实数m的值为（ ） A ﹣1或3 B. C. ﹣1或4 D. 3或4 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线可得存在实数k使得m3k[（2﹣m）]，整理，利用平面向量基本定理列关于k，m的方程组，解出即可. 【详解】解：∵向量m3与（2﹣m）共线， ∴存在实数k使得：m3k[（2﹣m）]， 化为：（m﹣k）[﹣3﹣k（2﹣m）]， ∵向量，是两个不共线的向量， ∴，解得m＝3或﹣1. 故选：A. 【点睛】本题考查向量共线定理的应用以及平面向量基本定理的应用，是基础题. 3. 向量的模为10，它与向量的夹角为，则它在方向上的投影向量的模为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的定义与模的定义求解即可． 【详解】由题意得，所求投影向量为， 所以所求投影向量的模为． 故选：D． 4. 如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（ ） A. 14 B. 10 C. 28 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，还原该四边形得到梯形，根据梯形的面积公式即可计算求解. 【详解】∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′， ∴原图形是一个直角梯形． 又A′D′＝4， ∴原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8， 故其面积. 故选：C 5. 若，且，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，，根据已知得到、，进而求. 【详解】令，，则， 所以，且， 所以，可得，故， 所以. 故选：B 6. 已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于(　　) A. B. C. - D. - 【答案】A 【解析】 【详解】分析：计算，由z1，是实数得，从而得解. 详解：复数z1=3+4i,z2=a+i, . 所以z1，是实数， 所以，即. 故选A. 点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题. 7. 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，则由题意可得，然后分别表示出圆柱的表面积与侧面积进行求解即可. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 因为圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以， 所以圆柱的表面积为， 圆柱的侧面积为， 所以这个圆柱的表面积与侧面积的比值是， 故选：C 8. 某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为6cm，上､下底面圆的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意得到杯套的形状可看作一个圆台，求出该圆台的母线长及上、下底面圆的半径，然后结合圆台的侧面积公式、圆的面积公式求解即可. 【详解】根据题意，杯套的形状可看作一个圆台，且该圆台的母线长是圆台形水杯的母线长的，即4cm， 下底面圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径，即2cm， 上底面圆的半径是， 所以杯套的表面积. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若，是方程的两个虚数根，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的共轭复数是 C. D. 为纯虚数 【答案】BCD 【解析】 【分析】，是方程的两个虚数根，则，得，则根据一元二次方程方程的求根公式可知的共轭复数是， 【详解】由，得，A错误； 因为原方程的根为，所以的共轭复数是，B正确； ，C正确； 因为等于或，所以为纯虚数，D正确. 故选：BCD. 10. 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（ ） A. 侧面积之比为 B. 侧面积之比为 C. 体积之比为 D. 体积之比为 【答案】BD 【解析】 【分析】计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相似比的立方可求得结果. 【详解】依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台， 所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为， 所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为， 即小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为. 故选：BD. 11. 在中，已知，下列结论中正确的是（ ） A. 这个三角形被唯一确定 B. 一定是钝角三角形 C. D. 若，则的面积是 【答案】BC 【解析】 【分析】设，然后结合正弦定理，余弦定理分别对选项进行判断，即可得到结果. 【详解】依题意可设，则 对于A，当取不同的值时，三角形显然不同，故A错误； 对于B，因为， 所以，则三角形钝角三角形，故B正确； 对于C，由正弦定理可知，，故C正确； 对于D，因为，即，即， 又因为，所以 则，故D错误. 故选:BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 计算：＝________. 【答案】－2＋i##i-2 【解析】 【分析】利用复数的运算法则运算即得. 【详解】法一：＝－2＋i. 法二： ＝＝ ＝＝－2＋i. 故答案为：－2＋i. 13. 在中，，，，则的面积等于____________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据正弦定理得到角的大小，进而得到角的大小，最后可求得面积． 【详解】在中，，，. 由正弦定理可得，得. ，，或. 当时，，； 当时，，. 故的面积是或． 故答案为：或. 14. 已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，则球的表面积是______，体积是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题设易知，易得外接圆的半径，若球体的半径为，结合已知有求半径，进而求球体的表面积、体积. 【详解】由题设，则，故外接圆半径， 若球体的半径为，则球心到截面的距离为，故， 所以，故球的表面积是，体积为. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 复数. （1）若为实数，求的值； （2）若为纯虚数，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）按照复数为实数的条件求解即可； （2）按照复数为纯虚数的条件求解即可； （3）按照两复数相等的条件：实部、虚部分别对应相等求解即可. 【详解】（1）若为实数，则，得． （2）若为纯虚数，则，解得． （3）若，则，解得． 16. 已知是方程（b，c为实数）的一个根． （1）求b，c的值； （2）试判断是不是方程的根． 【答案】（1）； （2）是方程的根. 【解析】 【分析】（1）利用方程根的定义，结合复数相等求出. （2）把代入方程，计算判断方程成立. 【小问1详解】 由是方程的根，得，即， 而b，c为实数，，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知方程为， 把代入方程左边，得，因此方程成立， 所以是方程的根． 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，由和差角公式即可化简求值， （2）根据锐角确定的范围，由正弦定理化边为角，结合三角函数即可求解. 【小问1详解】 因为, 所以由正弦定理得：, 即 因为，所以， 因为，故，所以， 进而, 【小问2详解】 由（1）知, 因为为锐角三角形，所以且, 所以, 由正弦定理得：, 因为，所以, 所以. 18. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是实数，求的值； （2）设复数，对应的向量分别是，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数乘法计算后应用实数概念列式求解即可； （2）根据向量垂直数量积为0，再用已知角表示未知角，结合应用两角和正弦公式计算可得. 【小问1详解】 ． 因为为实数，所以，即， 又，故，则， 故； 【小问2详解】 复数，对应的向量分别为． 因为，所以． 故， 故，即， 又因为，所以， 则． ． 19. 西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图，、是邛海水面上位于东西方向相距公里的两个观测点，现位于点北偏东、点西北方向的点有一艘渔船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距公里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为公里/小时.求： （1）观测点与点处的渔船间的距离； （2）点的救援船到达点需要多长时间？ 【答案】（1）公里 （2）小时 【解析】 【分析】（1）求出的三个内角，利用正弦定理可求得的长； （2）利用余弦定理求出，结合救援船行驶的速度可求得所需时间. 【小问1详解】 解：在中，，，则， 所以，， 由正弦定理，所以，（公里）. 【小问2详解】 解：在中，，，， 由余弦定理可得， 因此，救援船所需时间为（小时）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$