18.1.3 平行四边形的性质3：对角线互相平分　课件　　2024—2025学年华东师大版数学八年级下册

安岳县来凤初级中学 第18章 平行四边形的性质 18.1.3　平行四边形对角线的性质 授课教师：吴青青 1 学习目标 1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用；（重点） 2.综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明.（难点） 问题：上节课我们学习了平行四边形的哪些性质？ A D B C 研究对象 研究结果 符号语言 对边 对角 邻角 平行且相等 相等 ∠A＝∠C ∠B＝∠D 互补 ∠A+∠B＝180° 思考：平行四边形除了以上边和角的特征，对角线有什么特征呢？这节课我们一起探讨一下吧. AB∥CD AD∥BC 一、知识回顾 在复习平行四边形边与角的相关性质的基础上，通过问题引导学生思考对角线的性质特征，进而引入新课. 3 A C D B O ● 二、探究发现 O 猜想： OA OC OB OD ＝ ＝ 证明：平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的对角线： 已知：如图,□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD=BC，AD∥BC, ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4, 在 △AOD和△COB中， ∠1=∠2 AD=BC ∠3=∠4 ∴ OA=OC，OB=OD. （一）证明命题 ∴ △AOD≌△COB（ASA）, 互相平分 A C D B O 2 3 1 4 A C D B O 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质定理3 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC，OB=OD （二）归纳性质 A D B C 研究对象 研究结果 符号语言 对边 平行且相等 AB∥CD AD∥BC 对角 相等 ∠A＝∠C ∠B＝∠D 邻角 互补 ∠A+∠B＝180° 平行四边形的性质 A C D B O 互相平分 OA=OC，OB=OD 对角线 1. 如图, ▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是(　　) A.AO=OD B.AO⊥OD C.OB=OD D.AO⊥AB C （三）随堂演练 A C D B O 2．【中考·清远】如图，在▱ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则BC的长为( ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm A 例5 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少？ 解：在▱ABCD中： ∵AB=6,AO+BO+AB=15 ∴AO+BO=15-6=9 又∵AO=OC, BO=OD (平行四边形的对角线互相平分） ∴AC+BD =2AO+2BO =2(AO+BO) =2×9=18 （四）例题讲解 A C D B O 例6 如图， ABCD的对角线AC和BD相 交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点 E、F (1)求证：OE=OF A B C D F E O 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ODF=∠OBE ∠DFO=∠BEO ∴△DOF≌△BOE（AAS） ∴OD=OB （平行四边形对角线互相平分） 又∵AB∥CD （平行四边形对边平行） ∴OE=OF （全等三角形对应边相等） (2)求证：四边形AEFD与四边形BEFC的周长相等； 证明：由(1)得△DOF≌△BOE，∴DF＝BE. 又∵在▱ABCD中，AB＝DC， ∴AB－BE＝DC－DF.∴AE＝CF. 又∵在▱ABCD中，AD＝BC， 四边形AEFD的周长＝AE＋EF＋DF＋AD， 四边形BEFC的周长＝CF＋EF＋BE＋BC， ∴四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等． A B C D F E O (3)直线EF是否将 ▱ABCD的面积平分？ 解：由(1)可知△DOF≌△BOE 同理易证△AOD≌△COB △AOE≌△COF ∴S四边形AEFB＝S四边形DEFC 即直线EF将▱ABCD的面积平分 A B C D F E O 思考：绕点O转动直线EF是否还能将 ▱ABCD的面积平分？ 任意画直线EF能将 ▱ABCD的面积平分吗？ 结论：过平行四边形对角线交点的直线，平分平行四边形的面积。 E F 应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井P，如图②所示，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块菜园共用这口水井，请你帮助张大爷把菜园分开． 应用：解：连结AC，BD交于点O，作直线OP，分别交AB，CD于点E，F，则沿EF分开这块菜园即可．(图略) 平行四 边形对角线的 性质 平行四边形对角线互相平分 过平行四边形对角线交点的直线，平分平行四边形的面积 （五）课堂小结 课后作业布置： 1．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是_______． 2．变式 ：如图，已知▱ABCD与▱EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证：AE＝CF. 3．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积． 4. 教材78页，练习题2、3 初中 谢谢观看 17 $$