8.1平方根 讲义 2024–2025学年人教版七年级数学下册

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：七年级下 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课程主题：平方根 授课时间： 学习目标 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 教学内容 1. 已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数. 2. 如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________． 3. 如图所示，点P是∠ABC内一点． (1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F． (2)∠EPF等于∠B吗?为什么? 一、探索归纳，挑战新知 ：    1、一个数的平方是9，这个数是________   2、平方等于的数是________        3、平方等于0.64的数是________       二、探究总结 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点一、平方根和算术平方根的概念 【例题精讲】 例1. 下列说法错误的是（　　） A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 例2. 填空： （1）是 的负平方根． （2）表示 的算术平方根， ． （3）的算术平方根为 ． （4）若，则 ，若，则 ． 【巩固练习】 1. 判断下列各题正误，并将错误改正： （1）没有平方根．（ ） （2）．（ ） （3）的平方根是．（ ） （4）是的算术平方根．（ ） 2. 下列说法中正确的有（ ）： ①3是9的平方根． ② 9的平方根是3． ③4是8的正的平方根．④ 是64的负的平方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 求下列各式的值： （1）3 （2） （3） （4） 4. 若+（3x+y﹣1）2=0，求5x+y2的平方根． 知识点二、利用平方根解方程及应用 【例题精讲】 例1. 求下列各式中的x值 （1）169x2=144 （2）（x﹣2）2﹣36=0． 例2. 要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？ 例3. 【巩固练习】 1. 求下列各式中的. （1） （2）； （3） 2. 已知、是实数，且，解关于的方程． 3. 小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 一.选择题 1. 16的平方根是（ ） A.－4 B.4 C.± 4 D. 256 2．下列各数中没有平方根的是（ ） A． B．0 C． D． 3．（2015•江西校级模拟）下列各等式中，正确的是（　　） A．﹣=﹣3 B．±=3 C．（）2=﹣3 D．=±3 4. 要使代数式有意义，则的取值范围是( 　) 　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 5. 下列语句不正确的是（ ） A．0的平方根是0 B．正数的两个平方根互为相反数 C．－的平方根是±2 D．是的一个平方根 6.一个数的算术平方根是，则比这个数大8数是（ ） A．＋8 B．－4 C． D． 二.填空题 7．计算：（1）______；（2）______；（3）______； （4）______；（5）______；（6）______． 8.的算术平方根的相反数是________. 9. 的平方根是______；0.0001算术平方根是______；0的平方根是______． 10．的算术平方根是______；的算术平方根的相反数是______． 11．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______． 12．已知，，则=　 　． 三.解答题 13．求下列各式中的． （1）； （2）； （3）． 14．小丽想在一块面积为36m2正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为30m2的长方形纸片，并且使它的长宽的比为2：1．问：小丽能否用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，为什么？ 15.思考题：估计与最接近的整数． 1. 课堂错题收集： 2． 学霸笔记本： 课后巩固 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 预习思考 立方根 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：七年级下 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课程主题：平方根 授课时间： 学习目标 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 教学内容 1. 已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数. 2. 如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________． 3. 如图所示，点P是∠ABC内一点． (1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F． (2)∠EPF等于∠B吗?为什么? 1. 【答案与解析】 解：∵a⊥b, ∴∠2＝∠1＝90°. 又∵∠1＝2∠3，∴90°＝2∠3，∴∠3＝45°, 又∠3与∠4互为邻补角， 所以∠3+∠4＝180°即45°+∠4＝180°. 所以∠4＝135°. 【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键． 2. 【答案】50° 【解析】因为AB∥CD，所以∠1＝∠AGF，因为∠AGF与∠EGB是对顶角，所以∠EGB＝∠AGF，故∠EGB＝ 3. 【解析】 解：如图所示，(1)①直线PD即为所求；②直线PE、PF即为所求． (2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝∠B(等量代换)． 一、探索归纳，挑战新知 ：    1、一个数的平方是9，这个数是________   2、平方等于的数是________        3、平方等于0.64的数是________       二、探究总结 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点一、平方根和算术平方根的概念 【例题精讲】 例1. 下列说法错误的是（　　） A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C； 【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． A.因为＝5，所以本说法正确； B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确； C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误； D.因为＝0，＝0，所以本说法正确； 【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题 例2. 填空： （1）是 的负平方根． （2）表示 的算术平方根， ． （3）的算术平方根为 ． （4）若，则 ，若，则 ． 【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 例3. 使代数式有意义的的取值范围是______________． 【答案】≥； 【解析】＋1≥0，解得≥. 【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 【巩固练习】 1. 判断下列各题正误，并将错误改正： （1）没有平方根．（ ） （2）．（ ） （3）的平方根是．（ ） （4）是的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（2）；（4）是的算术平方根． 2. 下列说法中正确的有（ ）： ①3是9的平方根． ② 9的平方根是3． ③4是8的正的平方根．④ 是64的负的平方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B； 提示：①④是正确的. 3. 求下列各式的值： （1）3 （2） （3） （4） 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4） 4. 若+（3x+y﹣1）2=0，求5x+y2的平方根． 【答案】解：因为+（3x+y﹣1）2=0， 所以， 解得，， 因为5x+y2=5×1+（﹣2）2=9， 所以5x+y2的平方根为±=±3． 知识点二、利用平方根解方程及应用 【例题精讲】 例1. 求下列各式中的x值 （1）169x2=144 （2）（x﹣2）2﹣36=0． 【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解． 【答案与解析】 解：（1）169x2=144， 两边同时除以169，得 开平方，得 x= （2）（x﹣2）2﹣36=0， 移项，得 （x﹣2）2=36 开平方，得 x﹣2=±6， 解得：x=8或x=﹣4． 例2. 要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？ 【答案与解析】 解：设宽为，长为3， 由题意得，·3＝1323 3＝1323 ＝－21(舍去) 答：长为63米，宽为21米. 【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数. 例3. 【巩固练习】 1. 求下列各式中的. （1） （2）； （3） 【答案与解析】 解：（1）∵ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴＋1＝±17 ＝16或＝－18. （3）∵ ∴ ∴ ∴ 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 2. 已知、是实数，且，解关于的方程． 【答案与解析】 解：∵、是实数，，，， ∴，． ∴－3，． 把－3，代入，得－＋2＝－4，∴＝6． 【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出、的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可． 3. 小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【答案与解析】 解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得 . . . ∵ ＞0， ∴ . ∴ 长方形纸片的长为. ∵ 50＞49, ∴. ∴ , 即长方形纸片的长大于20. 由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20, ∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长. 答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片. 一.选择题 1. 16的平方根是（ ） A.－4 B.4 C.± 4 D. 256 2．下列各数中没有平方根的是（ ） A． B．0 C． D． 3．（2015•江西校级模拟）下列各等式中，正确的是（　　） A．﹣=﹣3 B．±=3 C．（）2=﹣3 D．=±3 4. 要使代数式有意义，则的取值范围是( 　) 　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 5. 下列语句不正确的是（ ） A．0的平方根是0 B．正数的两个平方根互为相反数 C．－的平方根是±2 D．是的一个平方根 6.一个数的算术平方根是，则比这个数大8数是（ ） A．＋8 B．－4 C． D． 二.填空题 7．计算：（1）______；（2）______；（3）______； （4）______；（5）______；（6）______． 8.的算术平方根的相反数是________. 9. 的平方根是______；0.0001算术平方根是______；0的平方根是______． 10．的算术平方根是______；的算术平方根的相反数是______． 11．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______． 12．已知，，则=　 　． 三.解答题 13．求下列各式中的． （1）； （2）； （3）． 14．小丽想在一块面积为36m2正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为30m2的长方形纸片，并且使它的长宽的比为2：1．问：小丽能否用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，为什么？ 15.思考题：估计与最接近的整数． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】C； 【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数. 2. 【答案】D； 【解析】负数没有平方根. 3. 【答案】A； 【解析】解：A、﹣=﹣3，故A正确； B、3，故B错误； C、被开方数是非负数，故C错误； D、=3，故D错误； 故选：A． 4. 【答案】B； 【解析】被开方数为非负数. 5. 【答案】C； 【解析】－没有平方根. 6. 【答案】D； 【解析】一个数的算术平方根是，则这个数是. 二.填空题 7. 【答案】11；－16；；9；3；. 8. 【答案】； 9. 【答案】；0.01；0. 10.【答案】2；－3； 【解析】＝4，＝9，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数. 11.【答案】16； 【解析】一个数的平方根是±2，则这个数是4，4的平方是16. 12.【答案】578.9； 【解析】解：∵， ∴=578.9． 故答案为：578.9． 三.解答题 13.【解析】 解：（1） （2） （3） 14.【解析】 解：不能，设长方形纸片的长为2xcm，宽为xcm，则： 2x•x=30， 2x2=30， x2=15， x=， 则长方形纸片的长为2cm， 因为2＞6，而正形纸片的边长为cm=6cm，所以不能裁剪出符合要求的长方形． 15.【解析】 解：∵25＜35＜36 ∴ 即5＜＜6 ∵35比较接近36， ∴最接近的整数是6. 1. 课堂错题收集： 2． 学霸笔记本： 课后巩固 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 预习思考 立方根 5 学科网（北京）股份有限公司 $$