28.2.2 应用举例课时2 仰角、俯角问题　课件　2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例 课时2 仰角、俯角问题 1. 巩固解直角三角形有关知识. (重点) 2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实 际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、 方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基 本模型及解题思路. (重点、难点) 学习目标 新课导入 问题引入 某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地， 海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相信你也行. ． A B ． ． 新课讲解 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. 新课讲解 例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. A B C D α β 仰角 水平线 俯角 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°，β=60°. Rt△ABD中，a =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度. 新课讲解 解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120． 答：这栋楼高约为277.1m. A B C D α β 新课讲解 例2 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗? D′ A B′ B D C′ C 分析：由图可知，塔高AB可以分为两部分，上部分AB′可以在Rt△AD′B′和Rt△AC′B′中利用仰角的正切值求出，B′B与D′D相等. 新课讲解 解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m. ∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设 AB′=x m. D′ A B′ B D C′ C 课堂小结 利用仰俯角解直角三角形 仰角、俯角的概念 运用解直角三角形解决仰角、俯角问题 课堂小结 模型一 模型二 模型三 模型四 仰角、俯角问题的常见基本模型： A D B E C C D A B A C B D 当堂小练 1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平 面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观 测者之间的水平距离BC=_________米. 2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点 测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则 建筑物CD的高为_____米. 100 图① B C A 图② B C A D 30° 60° 当堂小练 3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E 处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米， 则树高 (精确到0.1米）. A D B E C 20.9 米 当堂小练 4. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一 根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为 m(结果用带根号的数的形式表示). 拓展与延伸 5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81） (1) 求大楼与电视塔之间的距离AC； 解：由题意，AC＝AB＝610（米）. 拓展与延伸 (2) 求大楼的高度CD（精确到1米）. 故BE＝DEtan39°． ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－BE=AB-DE·tan39° ＝610－610×tan39°≈116（米）. 解：DE＝AC＝610（米）， 在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ . 1．(1)抬头看时，视线与水平线的夹角为仰角，图中人眼看点A的仰角为　 　；  (2)低头看时，视线与水平线的夹角为俯角，图中人眼看点B的俯角为　 　．  　70°　 　20°　 课后练习 A．米 B．20tan 37°米 C．米 D．20sin 37°米 2．(2024长春模拟)如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为37°，同时测得BC＝20米，则树的高度AB为( ) B A．6 B．3 C．6 D．3 3．(北师9下P91)(2024淄博模拟)如图是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是( ) A 4．2024新疆一模)如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高(小明的身高忽略不计，结果保留根号)？ 解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ADB＝∠DAB＝30°， ∴BD＝AB＝50 m．∴DC＝BD·sin 60°＝50×＝25(m)． 答：该塔高为25 m． 5．【例2】(人教9下P75、北师9下P15)(2024济宁一模)如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120米，求这栋楼的高度(结果取整数；参考数据：≈1.41，≈1.73)． 解：在Rt△ABD中，tan α＝， 则BD＝AD·tan α＝120×tan 30°＝40， 在Rt△ACD中，tan β＝， 则CD＝AD·tan β＝120×tan 60°＝120． ∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277(米)． 答：这栋楼的高度约为277米． 小结：解决此类问题时，需构造视线与水平线构成的双直角三角形.  6．(2023揭阳二模)如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CD为1 000 m，且点D，A，B在同一水平直线上，求这条江的宽度AB(结果精确到1 m，参考数据：≈1.414 2，≈1.732 1)． 解：由题意，得∠CAD＝45°，∠CBD＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝1 000 m， ∴AD＝＝1 000(m)， 在Rt△BCD中，BD＝＝1 000(m)， ∴AB＝BD－AD＝1 000－1 000≈732(m)， ∴这条江的宽度AB约为732 m． ★7． 0.50 (人教9下P84、北师9下P26)如图，大楼高30 m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC及大楼与塔之间的距离AC(结果精确到0.01 m)． 解：根据题意，得BC＝AC·tan 60°＝AC， BE＝DE·tan 30°＝AC·tan 30°＝AC， ∴AD＝BC－BE＝AC＝30．解得AC＝15≈25.98． ∴BC＝AC≈45.00． 答：塔高BC约为45.00米，大楼与塔之间的距离AC约为25.98米． 请完成课本本节对应习题 布置作业 感谢大家观看 $$