精品解析：海南省临高县新盈中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

临高县新盈中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 的化简结果是（ ） A. B. C. D. 2. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两个非零向量不共线，且，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题为（ ） A. 若两个平面，，，则∥； B. 若两个平面，，，则与b平行或异面； C. 若两个平面，，，则与b是异面直线； D. 若两个平面，，则与一定相交． 6. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分值，有选错的得0分. 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同 B. 若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线 C. 若非零向量 与 共线，则 D. 四边形ABCD是平行四边形，则必有 10. 在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则与的夹角为______. 13. 方程在复数范围内的根为__________. 14. 如图，半径为的半圆剪去一个以直径为底的等腰直角三角形，将剩余部分以半圆的直径为轴旋转一周，所得几何体的体积是______________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，． （1）若，求实数x的值； （2）若，求实数x的值； （3）若，且，求的坐标． 16. 若复数（），复数． （1）求； （2）若，求实数a的值； （3）若a=2，求． 17. 已知向量，满足，，． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 18. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱， （1）求剩余几何体的体积 （2）求剩余几何体的表面积 19. 已知的内角所对的边分别为，. （1）求角； （2）若，的面积为，求边． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临高县新盈中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 的化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加减的几何意义，直接计算即可. 【详解】解：∵； 故选：A. 【点睛】本题考查向量加减混合运算的应用，是基础题. 2. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算与共轭复数的概念即可求解． 【详解】因为，所以的共轭复数为． 故选：C. 3. 已知两个非零向量不共线，且，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可． 【详解】对于A，，， 不存在实数，使得成立， ∴三点不共线，故A错误； 对于B，由A知，又， 不存在实数，使得成立， 三点不共线，故B错误； 对于C，， 不存在实数，使得成立， 三点不共线，故C错误； 对于D，， 三点共线，故D正确． 故选：D． 4. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，利用向量的投影定义求解可得答案. 【分析】因为向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为 . 所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 5. 下列命题中，真命题为（ ） A. 若两个平面，，，则∥； B. 若两个平面，，，则与b平行或异面； C. 若两个平面，，，则与b是异面直线； D. 若两个平面，，则与一定相交． 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的性质定理，以及线线的位置关系，即可判断选项. 【详解】对于A，B，C，若两个平面，，，则或异面，故A错误；B正确；C错误； 对于D，若两个平面，，则与相交或平行，故D错误. 故选：B 6. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法的定义通过的长确定OA，OB的长，再求出的面积. 【详解】∵在轴上，在轴上， ∴在x轴上，在y轴上， ，，如图， ∴. 故选：B. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求出，利用向量的夹角公式，计算出，由此求得的夹角． 【详解】由于， 所以， 所以. 所以， 由于向量的夹角的取值范围是， 所以的夹角为. 故选：B 8. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出角，再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出，即可得解. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 因为，由正弦定理得， 则， 则， 所以为有一个角为的直角三角形. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分值，有选错的得0分. 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同 B. 若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线 C. 若非零向量 与 共线，则 D. 四边形ABCD是平行四边形，则必有 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据相等向量,相反向量,共线向量的概念逐一分析可得. 【详解】A中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A中命题不正确； B中，向量与共线，只能说明、所在直线平行或在同一条直线上，所以B中命题不正确； C中，向量 与 共线，说明 与方向相同或相反， 与不一定相等，所以C中命题不正确； D中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以与是相反向量，所以，所以D中命题正确. 故选:ABC 【点睛】本题考查了相等向量,相反向量,共线向量的概念,属于基础题. 10. 在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A正确；由，可判定B不正确； ，可判定C不正确；由，，结合数量积的运算公式，可判定D正确. 【详解】如图所示，等腰直角中，，， 对于A中，由， 所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由， 所以，所以C不正确； 对于D中，由， 所以，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数除法求得，然后根据复数的概念、几何意义，复数的运算判断各选项． 【详解】的虚部为5，故A错误； 在复平面中对应的点在第三象限，故B正确； ，故C正确； 虚数不能比较大小，故D错误， 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则与的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出向量的坐标，再利用向量夹角公式求解作答. 【详解】由向量，，得， 则，，， 因此，而，所以. 故答案为： 13. 方程在复数范围内的根为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程求根公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以实系数方程的两根为， 故答案为： 14. 如图，半径为的半圆剪去一个以直径为底的等腰直角三角形，将剩余部分以半圆的直径为轴旋转一周，所得几何体的体积是______________________． 【答案】 【解析】 【分析】几何体可以看成一个球挖去两个圆锥所得，利用球和圆锥的体积公式即可求解. 【详解】解：所得几何体为半径为的球体去掉两个底面半径为，高为的两个圆锥， 故体积为： . 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，． （1）若，求实数x的值； （2）若，求实数x的值； （3）若，且，求的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由平面向量平行的坐标表示计算即可； （2）由平面向量垂直的坐标表示计算即可； （3）由平面向量垂直的坐标表示及模长计算即可； 【小问1详解】 因为，且，所以，解得； 【小问2详解】 因为，又且，所以，解得； 【小问3详解】 设，因，且，则， 解得或，故或. 16. 若复数（），复数． （1）求； （2）若，求实数a的值； （3）若a=2，求． 【答案】（1）5；（2）a=4；（3）. 【解析】 【分析】（1）直接根据复数模的计算公式计算可得； （2）首先化简，再根据虚部为零，得到方程，解得即可； （3）根据复数代数形式的除法运算法则计算可得； 【详解】解：（1）因为 所以 （2）∵复数（），复数 所以 又∵ ∴，即 （3） 17. 已知向量，满足，，． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积运算律求解即可； （2）根据平面向量的夹角和模长公式求解即可. 【小问1详解】 由，，， 得， 所以； 【小问2详解】 ， 所以. 18. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱， （1）求剩余几何体的体积 （2）求剩余几何体的表面积 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）用锥体体积减去柱体体积. （2）先求母线长，再求圆锥的表面积与挖去的小圆柱的侧面积之和即为剩余几何体的表面积. 【详解】解：（1）由题意知，因为为的中点，所以挖去圆柱的半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积， 所以. （2）因为圆锥的底面直径和高均是4，所以半径为2，母线， 所以圆锥的表面积为， 挖去的圆柱的侧面积为：， 所以剩余几何体的表面积为. 19. 已知的内角所对的边分别为，. （1）求角； （2）若，的面积为，求边． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理先化角为边，再化边为角即可求； （2）由（１）结论与三角形面积公式可得，再根据余弦定理求即可． 【小问1详解】 由两边同乘以可得， 由余弦定理可得代入上式得，， 即，又由余弦定理可得， 所以有， 则，因为是三角形内角， ∴； 【小问2详解】 由于，所以， 在中，，由于的面积为， 所以， 即，解得， 故， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $