精品解析：天津市五区县重点校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024~2025学年度第二学期期中重点校联考 高一数学 出题学校：杨村一中 宝坻一中 第I卷（共36分） 一､选择题（本题共9小题，每题4分，共36分） 1. 设i为虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 在中，是角的对边，，则角的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 一个四边形用斜二测画法得到的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该四边形原来的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）倍 A. 9 B. 27 C. 81 D. 729 6. 已知甲船位于灯塔的北偏东方向，且与相距3海里，乙船位于灯塔的北偏西方向，若两船相距海里，则乙船与灯塔之间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 5 7. 若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为，则此正四棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 四边形是边长为的正方形，延长至，使得，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ） ①若，则是等腰三角形； ②若，则是等腰三角形； ③若，则一定是锐角三角形； ④在中，，若有一个解，则的取值范围是或. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（共84分） 二､填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 10. 是虚数单位，复数的虚部为______. 11. 已知四棱锥底面是边长为1的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为__________. 12. 已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 13. 如图，在正方体中，是棱上的点，且，是棱上的点，且.延长，三条直线交于，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则的值为__________. 14. 在中，且的最小值为3，则__________，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于的面积为面积的一半，则的取值范围是__________. 三､解答题（本题共5小题，共59分） 15. 若复数z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i（，i是虚数单位）． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围． 16. 已知的内角所对的边分别为，且满足， （1）求角的值； （2）求的值. 17. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设. （1）用表示及； （2）若，且， ①求的长； ②求在方向上的投影向量（结果用表示）. 18. 如图，已知正三棱柱的体积为，点分别为棱与的中点. （1）若边长为2，求三棱柱的高； （2）求三棱锥的体积； （3）若球与三棱柱的各棱均相切，求球的表面积. 19. 已知的内角所对的边分别为，其中. （1）若. ①求角； ②若为锐角三角形，求周长的取值范围； （2）若，求内切圆面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中重点校联考 高一数学 出题学校：杨村一中 宝坻一中 第I卷（共36分） 一､选择题（本题共9小题，每题4分，共36分） 1. 设i为虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求得. 【详解】， 所以. 故选：A. 2. 在中，是角的对边，，则角的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理计算，结合三角形内角范围即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理得，则， 因，则的值为或. 故选：D. 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 4. 一个四边形用斜二测画法得到的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该四边形原来的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件求出直观图的面积，再利用即可求解. 【详解】 如图，根据题意知，，， 所以等腰梯形的高，下底的长为， 所以等腰梯形的面积为， 所以该四边形原来的面积为. 故选：A. 5. 若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）倍 A. 9 B. 27 C. 81 D. 729 【答案】B 【解析】 【分析】由球的表面积和体积公式可知，球的表面积之比为半径比的平方，体积比为半径比的立方. 【详解】设扩大后球半径分别为，而球原来的半径为， 由表面积之比为 ，得， 则体积之比为 . 故选：B. 6. 已知甲船位于灯塔的北偏东方向，且与相距3海里，乙船位于灯塔的北偏西方向，若两船相距海里，则乙船与灯塔之间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由图结合余弦定理可得答案. 【详解】设甲船位于点处，乙船位于点处， 则由题意可得，，，， 则由余弦定理可得： 即，即，得， 故乙船与灯塔之间的距离为海里. 故选：B. 7. 若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为，则此正四棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆锥的底面半径与高，设棱柱的底面对角线长的一半为，高为h，根据比例式得出，h的关系，可求的值，根据柱体的体积公式可得答案． 【详解】设圆锥底面半径为，因为母线长为, 则半圆弧长底面周长， 所以，圆锥的高为 如图，设，则，设，则， 因为， ∴， 所以， ∴，， 故选：C． 8. 四边形是边长为的正方形，延长至，使得，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算以及二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、，设点，其中， 所以，，， 所以，， 因为函数在区间上单调递减， 当时，取最小值. 故选：B. 9. 在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ） ①若，则是等腰三角形； ②若，则是等腰三角形； ③若，则一定是锐角三角形； ④在中，，若有一个解，则的取值范围是或. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先给出射影定理，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式证明，最后结合判断①，举反例判断②，③，④即可. 【详解】对于①，首先，我们给出射影定理， 若证，则证即可， 即证即可， 而在中，成立，即射影定理得证， 因为，，所以， 则是等腰三角形，故①正确， 对于②，当，，，时， 满足，由勾股定理得， 但此时不是等腰三角形，故②错误， 对于③，令，满足， 由勾股定理逆定理得，此时， 此时不是锐角三角形，故③错误， 对于④，当时，因为，所以是等边三角形， 则，此时满足有一个解， 即则的取值范围不可能是或，故④错误， 综上，下列四个命题中正确的个数为个，故A正确. 故选：A 第II卷（共84分） 二､填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 10. 是虚数单位，复数的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数除法运算和虚部定义可直接求得结果. 【详解】，的虚部为. 故答案为：. 11. 已知四棱锥底面是边长为1的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据体积可求出四棱锥的高，再由此求出棱长，即可求出表面积. 【详解】如图，设底面中心为， 则，可得， 因为底面为正方形，则，， 则的边边上的高为， 则该四棱锥的表面积为. 故答案为：3. 12. 已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【分析】由两向量的夹角为锐角得两向量的数量积大于0且两向量不共线求解即可． 【详解】因， 由，解得， 若与的夹角为锐角， 则，且与不共线， 由，即，解得， 由与不共线，可得， 故实数的取值范围为且. 故答案为：且. 13. 如图，在正方体中，是棱上的点，且，是棱上的点，且.延长，三条直线交于，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，求出正方体的体积、台体体积，得到剩余部分的体积，即可求出答案. 【详解】连接，设正方体的棱长为，则正方体的体积， 由，得∥，又∥，所以∥. 而的延长线交于，所以为三棱台， ，,所以. 故答案为：. 14. 在中，且的最小值为3，则__________，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于的面积为面积的一半，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】①令，，的中点为Q，则，求得，即可得②利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可. 【详解】①令，， 则， 即， 所以，即点在直线上. 设的中点为Q，因为，所以 因为，， ∴ 所以 ②设，由向量共线的充要条件不妨设 则 又 则，即， 又的面积为面积的一半，得,∴ 所以，. 由①得， . 解得，∴ 所以. 故答案为：①；②. 三､解答题（本题共5小题，共59分） 15. 若复数z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i（，i是虚数单位）． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1）-3 （2） 【解析】 【分析】（1）由纯虚数的定义建立方程，求解即可； （2）由第二象限的点的特征建立不等式组，求解即可. 【小问1详解】 解：因为z是纯虚数，所以，解得 所以m的值为-3； 【小问2详解】 解：因为z在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得， 所以m的取值范围为． 16. 已知的内角所对的边分别为，且满足， （1）求角的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边角转化结合余弦定理计算求解； （2）先应用二倍角公式结合两角和差正弦公式计算求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 且，所以. 【小问2详解】 由正弦定理知， 又 ， ， . 17. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设. （1）用表示及； （2）若，且， ①求的长； ②求在方向上的投影向量（结果用表示）. 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）①由，可得，根据数量积的运算律计算可得；②根据在方向上的投影向量为计算可得. 【小问1详解】 因为，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点， 所以， . 【小问2详解】 ①因为，所以， 所以，由，可得（负值已舍去），即； ②在方向上的投影向量为 ； 18. 如图，已知正三棱柱的体积为，点分别为棱与的中点. （1）若边长为2，求三棱柱的高； （2）求三棱锥的体积； （3）若球与三棱柱的各棱均相切，求球的表面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱的体积公式求解； （2）利用等体积法，进行求解； （3）设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，连接，则球的球心在的中点上，根据球与三棱柱的各棱均相切，求得，可求解. 【小问1详解】 设的高为， ， ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，连接，则球的球心在的中点上， 球切棱于，切棱于， 由题意，① 因为，又， 所以， 所以，解得②， 联立①②可得，所以球的半径为， 所以球的表面积为. 19. 已知的内角所对的边分别为，其中. （1）若. ①求角； ②若为锐角三角形，求周长的取值范围； （2）若，求内切圆面积的最大值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理边角互化可得，再利用余弦定理即可； ②利用正弦定理得到，再利用两角和差公式以及辅助角公式化简周长，最后利用求出三角函数的值域即可； （2）先将条件化为，再利用正弦定理得 ，利用两角和差公式化简得到，再利用基本不等式求出的范围，利用直角三角形内切圆半径公式求出的范围，即可求出内切圆面积的最值. 【小问1详解】 ①因，则， 即， 则由正弦定理可得，则， 因，则 ②由正弦定理，得， 则周长 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以周长范围是. 【小问2详解】 因为，则， 由正弦定理得， 即， 即， 化简得， 因为，所以，则， 所以，则， 设内切圆半径为，则， 又， 当且仅当时，即当时等号成立， 所以， 的内切圆面积， 即的内切圆面积的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $