精品解析：四川省成都市盐道街中学2024-2025学年高二下学期半期考试数学试题

成都市盐道街中学2024-2025学年下期半期考试 高2023级数学试题 一、单选题 1. 在等差数列中，若，，则公差（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，联立式子即可求解. 【详解】，所以， ，所以， 所以. 故选：A. 2. 集合，，从集合中取一个元素作为点的横坐标，从集合中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第一象限内有（ ）种 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一象限内的点的横坐标是正数，纵坐标是正数． 从集合取一个正数作为点的横坐标有1，3两种不同的选法， 从集合取一个正数作为点的纵坐标有5，6两种不同的选法， 由分步乘法计数原理可得总的方法数有种不同的选法. 故选：C. 3. 已知数列满足，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推式得到数列的周期，再应用周期性求. 【详解】由题设，，，， 所以是周期为3的数列，则. 故选：C 4. 若函数无极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意将问题转化为恒成立，利用判别式法求解即可. 【详解】的导数为， 因为函数无极值，在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：D 5. 已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，利用等比数列的等比中项性质即可求解. 【详解】由题得，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的等比中项性质可得：. 因为等比数列的偶数项符号相同，都是负数，设公比为q，则, 所以. 故选：B. 6. 设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式. 【详解】令， ∵函数在上是可导的偶函数， ∴在上也是偶函数 又当时，，∴， ∴， ∴在上是增函数 ∵， 由得 即不等式转化为， ∴x不为0时有， 而x为0时，不等式显然成立， ∴不等式的解集为. 故选：C. 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，为等比数列，求得，利用累乘法可求得，进而求得答案． 【详解】设数列为，且为一阶等比数列， 设，所以为等比数列，其中，，公比， ， 则，， . 故选：D. 8. 若曲线与，恰有2条公切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设在曲线上的切点为，求出切线方程，设该切线方程与曲线相交于点，由此可得，再利用导数研究函数的性质，结合题意即可得出答案． 【详解】设在曲线上的切点为， 由，可得过点的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 设切线与曲线相交于点，， 则， 消去，可得， 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令， 解得或， 令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得． 故选：B． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，即可得结论． 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 有2个极大值点，1个极小值点 D. 的单调递减区间为， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数单调性和极值与导函数图象一一分析即可. 【详解】对A，由图知当时，，此时单调递减，则，故A错误； 对B，当时，，此时单调递增，则，故B正确； 对C，由图知，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则为的极大值点； ，当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增，则为的极小值点； ，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则为的极大值点； 则有2个极大值点，1个极小值点，故C正确； 对D，当时，，当时，， 则的单调递减区间为，，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，，，则使的最大正整数的值为15 B. 若是等比数列，（为常数），则必有 C. 若是等比数列，，，也为等比数列 D. 若，，则数列为递增等差数列 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及前项和公式判断A；求出等比数列的通项公式判断B；举例说明判断C；利用等差数列的定义及单调性判断D. 【详解】对于A，等差数列中，， ，则使的最大正整数的值不为15，A错误； 对于B，等比数列前项和，则当时，， 因此是首项，公比为的等比数列，，，B正确； 对于C，当等比数列的公比时，，不成等比数列，C错误； 对于D，由，得，而，即， 则有，数列是以为首项，为公差的递增等差数列，D正确. 故选：BD 11. 已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 存在，使得成立 D. 恒成立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，转化同构形式，根据函数在上单调，可得，计算即可；B选项，转化为研究函数的最小值问题即可；C选项，特值验证，找到满足条件即可；D选项，不等式变形、分离参数，转化为恒成立问题，构造函数研究最值即可. 【详解】选项A，因为，所以， 则，且， 由，得， 当时，，则在上递增， 所以当时，有唯一解，故， 所以，故A正确； 选项B，由A正确，得， 令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，所以，所以，故B正确； 选项C，由，，得， 又验证知，故存在，使得，故C正确； 选项D，由，恒成立，即恒成立， 令，则， 由在上递增，又，， 存在，使， 所以在上递减，在上递增（其中满足，即）. 所以，要使恒成立， 所以，所以存在满足题意，故D错误. 故选：ABC.. 三、填空题 12. 若抛物线经过点，则该抛物线的焦点到准线的距离为________． 【答案】3 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程，得，抛物线的焦点到准线的距离为. 【详解】将点代入抛物线方程， 得. 所以抛物线的焦点到准线的距离为3. 故答案为：3 13. 已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. 【详解】由，， ， ， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以当时，取最小值的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，则下列命题叙述正确的是______.（填写番号） ①当时，； ②若不等式至少有3个正整数解，则； ③过点作函数图象的切线有且只有一条； ④设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①选项，利用分段函数特征求解解析式；②选项，数形结合进行求解；③选项，设出切点坐标，利用斜率列出方程， 结合单调性得到零点个数，即可判断；④选项，同构构造函数，参变分离，利用导函数得到最值，进而求出的最大值. 【详解】对于①：当，∴，，∵，∴，故①正确； 对于②：由，得， 画出与的图象，根据函数的图象， 要想至少有3个正整数解，要满足，∴，故②错误； 对于③：设切点，则，∴，即， 设，求导得，当时，， ∴是单调递增函数，∴最多只有一个根，又，∴，由得切线方程是，故③正确； 对于④.：由题意.设，则， 于是在上是增函数.因为，所以， 即对任意的恒成立，因此只需. 设，，所以在上为增函数， 所以，所以，即的最大值是，故④正确； 故答案为：.①③④. 四、解答题 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. （1）证明：平面ABCD. （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为底面为正方形，所以. 又因为，，平面，所以平面PBD； 因为平面，所以. 因为，与相交，平面. 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可得，结合可完成证明； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为. ， 易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 16. 已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）求函数的极值. （3）若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求解； （2）利用导数讨论函数的单调性，即可求得极值； （3）将函数在区间上为单调递增函数转化为不等式在恒成立问题即可求解. 【小问1详解】 ，，，， 曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，， 由，得，由得， 在单调递减，在单调递增， 当时，有极小值，无极大值； 【小问3详解】 设函数，则， 函数在区间上为单调递增函数， 在恒成立，即在恒成立， 设，，则， ，，在区间上单调递减， ，， 实数的取值范围为. 17. 已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列． （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的最大项； （3）记数列的前n项和为，求， 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由前项和与通项的关系得出数列的通项公式，再结合等比性质得出的通项公式； （2）由作差法得出单调性，进而得出最值； （3）由错位相减法求解即可. 【小问1详解】 ，且，， ， ， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则. 设等差数列的公差为， 则由，得， 解得： (舍)，或，所以. 【小问2详解】 由 (1) 可知， 当时，， 所以， 当时，，所以. 经分析可知当时，最大，且最大值为. 【小问3详解】 由（1）可知，，设， 则， 两式相减得 故. 18. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出的值，进而得出求出椭圆方程； （2）①设直线的方程及，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； ②联立直线得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化简计算求解． 【小问1详解】 椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3， ，故， ， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则， 又点到直线的距离， 令，化简整理得 ，，，解得， 直线的方程为． ②由①知，， 直线，直线， 联立直线，整理得， 由①知，， ， 即，解得， 点在直线上． 19. 已知函数（，为自然对数的底数），. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，再对分类讨论，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成有两个相异实根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间和最大值，进而得的图象，数形结合，即可求解； （3）根据条件将问题转化成对一切恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值，即可求解. 【小问1详解】 易知定义域为，又， 当时，在恒成立，此时在单调递增， 当时，令，则， 又时，；时， 所以在单调递增，在单调递减. 综上所述，当时，在区间单调递增， 时，在区间单调递增，在区间单调递减. 【小问2详解】 因为有两个零点关于的方程有两个相异实根， 由，知，由，得到，即， 有两个零点有两个相异实根， 令，则，令，得到， 当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，又时，，时，， 则的图象如图， 由图知，当有两个零点时，实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时，， 所以原命题等价于对一切恒成立， 即对一切恒成立， 令，则， 又，令，， 则恒成立，所以在上单调递增， 又，，所以，使， 即①， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，由①知， ， 令，则恒成立， 所以函数在单调递增， 所以，即，则， 所以，故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市盐道街中学2024-2025学年下期半期考试 高2023级数学试题 一、单选题 1. 在等差数列中，若，，则公差（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 集合，，从集合中取一个元素作为点的横坐标，从集合中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第一象限内有（ ）种 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 已知数列满足，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 若函数无极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线与，恰有2条公切线，则（ ） A. B. C. D. 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 有2个极大值点，1个极小值点 D. 的单调递减区间为， 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，，，则使的最大正整数的值为15 B. 若是等比数列，（为常数），则必有 C. 若是等比数列，，，也为等比数列 D. 若，，则数列为递增等差数列 11. 已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 存在，使得成立 D. 恒成立，则 三、填空题 12. 若抛物线经过点，则该抛物线的焦点到准线的距离为________． 13. 已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 14. 已知函数，则下列命题叙述正确的是______.（填写番号） ①当时，； ②若不等式至少有3个正整数解，则； ③过点作函数图象的切线有且只有一条； ④设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是. 四、解答题 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. （1）证明：平面ABCD. （2）若，求二面角的余弦值. 16. 已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）求函数的极值. （3）若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围. 17. 已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列． （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的最大项； （3）记数列的前n项和为，求， 18. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 19. 已知函数（，为自然对数的底数），. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $