专题强化1：统计题型精讲与精练【十二大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

专题强化1：统计题型精讲与精练 【题型归纳】 · 题型一：简单随机抽样 · 题型二：随机数表法 · 题型三：分层抽样 · 题型四：条形统计图 · 题型五：折线统计图 · 题型六：扇形统计图 · 题型七：频率分布直方图问题 · 题型八：茎叶图 · 题型九：众数 、平均数、中位数与方差 · 题型十：加减数据对平均数、方差的影响 · 题型十一：百分数问题 · 题型十二：统计的综合问题 【题型过关】 题型一：简单随机抽样 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（    ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 2．（22-23高一下·四川乐山·期末）关于简单随机抽样，下列说法错误的是（    ） A．它是从总体中逐个随机抽取 B．被抽取样本的总体可以是无限的 C．它是等可能抽取的 D．样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样 3．（22-23高一下·河北石家庄·期末）下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是（    ） ①一项对“中兴事件”（2018年4月16日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论）影响的调查中有10000人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响；有9000人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响；有1000人没有发表自己的看法．现要从这20000人中随机抽取200人做进一步调查． ②从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况． A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 题型二：随机数表法 4．（24-25高一上·江西南昌·期末）某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．37 B．32 C．14 D．16 5．（23-24高一下·四川·期末）某企业利用随机数表对生产的60个太阳能面板进行抽样测试，先将60个太阳能面板进行编号，.从中抽取12个样本，下图提供随机数表的第6行至第8行，若从表中第7行第9列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 12 23 43 56 77 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 35 78 90 56 42 25 30 07 32 86 23 45 58 89 07 23 18 96 08 04 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 34 89 94 83 75 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A．07 B．18 C．23 D．08 6．（2024高一下·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（    ） 41792  71635  86089  32157  95620  92109  29145 74955  82835  98378  83513  47870  20799  32122 A．29 B．21 C．14 D．09 题型三：分层抽样 7．（22-23高一下·云南昭通·期末）高一（1）班有学生45人，高一（2）班有学生27人，高一（3）班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（   ） A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，9 8．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）某校高一年级有810名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为（    ）. A．450 B．360 C．400 D．320 9．（23-24高一下·江苏苏州·期末）某工厂生产A，B，C,3种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量（    ） A．40 B．60 C．80 D．100 10．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）随着科学技术的不断进步和人们环保意识的提升，全球新能源汽车市场愈发繁荣，近年来，我国在新能源汽车的研发以及产销量上取得了巨大的进步．下图是2016～2022年全球及中国新能源汽车销量情况统计图，则下列说法正确的是（    ） A．全球新能源汽车销量数据的极差为456 B．中国新能源汽车销量逐年递增 C．2021年中国新能源汽车销量同比增长最快 D．2022年中国新能源汽车销量占全球销量的比重最大 题型四：条形统计图 11．（21-22高一下·全国·期末）某公司2021年5月至2022年3月的各月利润率与每百元营业收入中的成本如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．2021年5—12月的利润率呈递减趋势 B．这11个月的利润率的80%分位数为7.09% C．这11个月的每百元营业收入中的成本呈递增趋势 D．这11个月的每百元营业收入中的成本的方差大于1 12．（2023·山东·二模）某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（岁以上含岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（    ）    A．男性比女性更关注地铁建设 B．关注地铁建设的女性多数是岁以上 C．岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多 D．岁以上的人对地铁建设关注度更高 题型五：折线统计图 13．（23-24高一下·山东聊城·期末）采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用.PMI高于时，反映经济总体较上月扩张；低于，则反映经济总体较上月收缩.根据我国2022年6月至2023年9月的PMI绘制出如下折线图. 根据该折线图，下列结论正确的是（    ） A．2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于 B．2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第三季度各月的PMI的方差 C．2023年第三季度各月经济总体较上月扩张 D．2023年第一季度各月经济总体较上月扩张 14．（2024·四川眉山·三模）采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测､预警作用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于，则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：    根据该折线图判断，下列结论正确的是（    ） A．2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于 B．2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张 C．2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩 D．2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差 15．（23-24高一下·甘肃·期中）某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（    ）    A．B组打分的极差小于A组打分的极差 B．B组打分的中位数为75 C．A组的意见相对一致 D．A组打分的众数为50 题型六：扇形统计图 16．（2023·广西柳州·模拟预测）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（    ） A．这五个社团的总人数为100 B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C．这五个社团总人数占该校学生人数的8% D．从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50% 17．（22-23高一下·陕西西安·期末）某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：    下列说法正确的是（    ） A．产品升级后，产品A的营收是升级前的2倍 B．产品升级后，产品B的营收不变 C．产品升级后，产品C的营收减少 D．产品升级后，产品B，D的营收的总和占总营收的比例不变 18．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（    ）    A．年甲系列产品收入比年的多 B．年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多 C．年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的 D．年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍 题型七：频率分布直方图问题 19．（23-24高一下·河北张家口·期末）某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（    ）    A． B．车速的众数估计值是70 C．车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D．车速的中位数估计值是62.5 20．（23-24高一下·贵州毕节·期末）某研究小组为了解某市高中生自主阅读情况，随机调查了2000名学生的每周自主阅读时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3.则以下说法中错误的是（    ） A． B．估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时 C．样本的极差介于6小时至10小时之间 D．估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是6.5小时 21．（23-24高一下·天津滨海新·期末）某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．图中 B．估计样本数据的第80百分位数为93分 C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分 D．测试成绩低于80分的人数为450人 题型八：茎叶图 22．（22-23高一上·北京昌平·期末）为响应“健康中国2030”的全民健身号召，某校高一年级举办了学生篮球比赛，甲､乙两位同学在6场比赛中的得分茎叶图如图所示，下列结论正确的是（    ） A．甲得分的极差比乙得分的极差小 B．甲得分的平均数比乙得分的平均数小 C．甲得分的方差比乙得分的方差大 D．甲得分的分位数比乙得分的分位数大 23．（21-22高一下·贵州贵阳·期末）从贵阳市某高中全体高一学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则参加体能测试的人数n和频率分布直方图中a的值分别是（    ） A． B． C． D． 24．（20-21高一下·广西贺州·期中）张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的A、B两酒店中的一个人住．两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如图的茎叶图．记A、B两酒店的宗合评分数据的均值为，，方差为，，若以此为依据，下述判断较合理的是（    ） A．因为，，应选择A酒店 B．因为，，应选择A酒店 C．因为，，应选择B酒店 D．因为，，应选择B酒店 题型九：众数 、平均数、中位数与方差 25．（24-25高一上·山东威海·期末）已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（   ） A．极差为6 B．中位数为90 C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25 26．（2024·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知一组数据满足 ，则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的40%分位数是 B．的平均数小于的平均数 C．的方差大于的方差 D．的极差小于的极差 题型十：加减数据对平均数、方差的影响 28．（23-24高一下·广东·期末）有一组从小到大排列的样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，，则（    ） A．数据的标准差不小于数据的标准差 B．数据的中位数与数据的中位数相等 C．若数据的方差为m，则数据的方差为 D．若数据的极差为d，则数据的极差为 29．（23-24高一下·福建福州·期末）若数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 30．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（   ） A． =10，=14 B． =9，=44 C． =29，=45 D． =29，=44 题型十一：百分数问题 31．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是 . 32．（23-24高一下·天津南开·期末）某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（    ） A．直方图中x的值为0.035 B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 C．估计全校学生的平均成绩为84分 D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分 33．（23-24高二下·陕西西安·期末）某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） ①频率分布直方图中a的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④ 题型十二：统计的综合问题 34．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）2024年3月31日，贵州铜仁梵净山春季马拉松在梵净山赛道成功举行，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.铜仁市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 35．（23-24高一下·江苏徐州·期末）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，航天员叶光富、李聪、李广苏开始了他们的太空征程．为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取2000名学生进行了航天知识竞赛，将成绩（满分：150分）整理后分成五组，从左到右依次记为[50,70），[70,90），[90,110），[110,130），[130,150]，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计这2000名学生成绩的平均数、求85%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数为94，方差为1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数为124，方差为2，求这200人中分数在区间[90,130）的学生成绩的方差． 36．（22-23高一下·江苏徐州·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流.      (1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【专题强化】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（    ） A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业从业人员中90后占一半以上 2．（23-24高三上·上海松江·期末）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是 （   ） A．甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数； B．甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值； C．甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差； D．乙队数据的第75百分位数为27． 3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（    ） A．甲组中位数为3，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为2，方差为3 D．丁组平均数为2，第85百分位数为7 4．（22-23高一下·江苏无锡·期末）一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（    ） A．6，，5 B．5，5，5 C．5，，6 D．4，5，6 5．（2024·贵州遵义·三模）在第29个世界读书日活动到来之际，遵义市某高中学校为了了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，样本的平均数为4，方差为5；乙同学抽取一个容量为8的样本，样本的平均数为7，方差为10；将甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本方差是（结果精确到0.01）（    ） A．5.34 B．6.78 C．9.44 D．11.46 6．（22-23高一下·湖北·期末）已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（    ） A．10 B．10.6 C．12.6 D．13.6 7．（23-24高一下·青海·期末）某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（    ） A．10 B． C． D．5 8．（23-24高一下·云南昆明·期末）某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 9．（24-25高一上·山东日照·期末）已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（   ） A．极差是4 B．众数不等于平均数 C．方差是 D．分位数是3 10．（23-24高一下·湖北武汉·期末）某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了户家庭十月份的用电量（单位：），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（    ）    A．图中的值为 B．样本的第百分位数约为 C．样本平均数约为 D．样本平均数小于样本中位数 11．（23-24高一下·安徽安庆·期末）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 12．（23-24高一下·广西南宁·期末）某市2023年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图．则下列结论中正确的是（    ） A．招商引资后，工资净收入较前一年减少 B．招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍 C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍 12．（23-24高三上·安徽·期末）党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署．如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是（    ）    A．从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大 B．从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年 C．这6年中国海洋生产总值的极差为15122 D．这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628 14、（23-24高一下·安徽阜阳·期末）已知样本数据，则下列命题正确的是（    ） A．该样本数据的上四分位数为 B．若该样本数据的方差，则 C．数据分别为，若数据满足，则数据的平均数为20 D．若的平均数为，方差为的平均数为，方差为，样本的平均数为，则样本的方差为 三、填空题 15．（23-24高一下·广东中山·期末）记一组数据的平均数为，方差为，则数据的平均数为 . 16．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为 . 17．（23-24高一下·湖南怀化·期末）统计学中，协方差用来描述两个变量之间的总体的误差.设一组数据的平均值为，另一组数据的平均值为，则协方差.某次考试结束后，抽取了高一年级10名学生的数学成绩x、物理成绩y如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 135 124 118 107 95 87 74 63 53 44 物理成绩 97 78 82 83 77 65 67 52 44 45 已知，则 . 18．（2024高一下·全国·专题练习）某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为 . 19．（2024高三下·全国·专题练习）为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第70百分位数为 . 四、解答题 20．（23-24高一下·江苏连云港·期末）为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．    (1)求图中a的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； (2)试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 21．（23-24高一下·河南商丘·期末）2023年12月，“尔滨”持续爆火，冰雪主题热度狂飙，随之而来的是大家对冬季户外运动装备的高需求，从雪鞋､雪板等滑雪装备，到手套､帽子等保暖用品，各家体育用品店在这个冬天迎来“滑雪十”新热潮．某体育用品制造企业为了提升产品质量，对现有的一条生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的体育用品中随机抽取了件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）． 质量指标值 产品 (1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； (2)设表示不小于的最小整数，表示不大于的最大整数，,，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值落在内的频率超过，可认为生产线技术改造成功．请根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：，） 22．（23-24高一下·福建福州·期末）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注． 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人． 年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）： (1)根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数； (2)已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．（请先推导必要的公式，再代值计算） 23．（23-24高一下·福建厦门·期末）某厂为了提升车载激光雷达质量的稳定性，对生产线进行升级改造､为了分析升级改造的效果，随机抽取了12台车载激光雷达进行检测，检测结果如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 探测距离（单位：） 146 151 152 149 153 150 144 150 156 统计后得到样本平均数，方差. (1)升级改造后，若有的产品的探测距离在内，则认为升级改造成功；若改造成功且有的产品的探测距离在内，则认为升级改造效果显著.根据样本数据，分析此次升级改造的效果； (2)采用在内的数据作为新样本，求新样本的平均数和方差. 24．（23-24高一下·湖北·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，另一组落在已知内，且两组成绩的总平均数为62和总方差为23.求落在的平均成绩以及方差. 25．（23-24高一下·北京大兴·期末）某学校为了解本校历史选科，物理选科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，从历史选科的学生中随机抽取人的成绩得到样本甲，从物理选科的学生中随机抽取60人的成绩得到样本乙，分别得到如下频率分布直方图： 已知样本甲中数据在的有20个． (1)求和样本甲的频率分布直方图中的值； (2)试估计该校历史选科的学生本次模拟测试数学成绩的中位数； (3)设该校历史与物理选科的学生本次模拟测试数学成绩的平均值分别为，方差分别为，，试估计与，与的大小（只需写出结论）． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化1：统计题型精讲与精练 【题型归纳】 · 题型一：简单随机抽样 · 题型二：随机数表法 · 题型三：分层抽样 · 题型四：条形统计图 · 题型五：折线统计图 · 题型六：扇形统计图 · 题型七：频率分布直方图问题 · 题型八：茎叶图 · 题型九：众数 、平均数、中位数与方差 · 题型十：加减数据对平均数、方差的影响 · 题型十一：百分数问题 · 题型十二：统计的综合问题 【题型过关】 题型一：简单随机抽样 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（    ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C 【分析】由简单随机抽样、分层随机抽样的概念即可判断. 【详解】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样， 对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样. 故选：C. 2．（22-23高一下·四川乐山·期末）关于简单随机抽样，下列说法错误的是（    ） A．它是从总体中逐个随机抽取 B．被抽取样本的总体可以是无限的 C．它是等可能抽取的 D．样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样的特点判断即可. 【详解】简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限， 它是从总体中逐个随机抽取，样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样， 简单随机抽样是一种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，故A、C、D正确，B错误. 故选：B 3．（22-23高一下·河北石家庄·期末）下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是（    ） ①一项对“中兴事件”（2018年4月16日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论）影响的调查中有10000人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响；有9000人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响；有1000人没有发表自己的看法．现要从这20000人中随机抽取200人做进一步调查． ②从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况． A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 【答案】B 【分析】根据分层抽样及简单随机抽样的概念结合条件分析即得. 【详解】由题可知对①，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围； 对②，从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，此项抽查的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围； 所以宜采用的抽样方法依次是：①分层抽样，②简单随机抽样． 故选：B. 题型二：随机数表法 4．（24-25高一上·江西南昌·期末）某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．37 B．32 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可． 【详解】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14， 57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16， 则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16． 故选：D 5．（23-24高一下·四川·期末）某企业利用随机数表对生产的60个太阳能面板进行抽样测试，先将60个太阳能面板进行编号，.从中抽取12个样本，下图提供随机数表的第6行至第8行，若从表中第7行第9列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 12 23 43 56 77 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 35 78 90 56 42 25 30 07 32 86 23 45 58 89 07 23 18 96 08 04 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 34 89 94 83 75 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A．07 B．18 C．23 D．08 【答案】D 【分析】利用随机数表法来选取样本编号即可. 【详解】从第7行第9列开始向右读取数据，开始为86，不符合要求，第一个数是23，第二个数是45，第三个数是58，下一个数是89，不符合要求，第四个数是07，下一个数是23，重复，第五个数是18，下一个数是96，不符合要求，第六个数是08； 故选:D. 6．（2024高一下·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（    ） 41792  71635  86089  32157  95620  92109  29145 74955  82835  98378  83513  47870  20799  32122 A．29 B．21 C．14 D．09 【答案】A 【分析】根据随机数表法分析求解. 【详解】从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字分别为 27，16，35（舍去），86（舍去），08，93（舍去），21，57（舍去）， 95（舍去），62（舍去），09，21（舍去），09（舍去），29. 故最终取得的第6个数字为29. 故选：A 题型三：分层抽样 7．（22-23高一下·云南昭通·期末）高一（1）班有学生45人，高一（2）班有学生27人，高一（3）班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（   ） A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，9 【答案】A 【分析】由分层抽样的方法结合题意计算即可. 【详解】利用分层抽样的方法得，高一（1）班应抽出（人）， 高一（2）班应抽出（人）， 高一（3）班应抽出（人）， 则高一（1）班，高一（2）班，高一（3）班分别被抽取的人数是15，9，12， 故选：A. 8．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）某校高一年级有810名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为（    ）. A．450 B．360 C．400 D．320 【答案】B 【分析】根据分层抽样定义计算即可. 【详解】由分层抽样可得高一年级的女生人数为. 故选：B. 9．（23-24高一下·江苏苏州·期末）某工厂生产A，B，C,3种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量（    ） A．40 B．60 C．80 D．100 【答案】B 【分析】运用分层抽样知识可解. 【详解】分层抽样抽样比为，样本中A种型号的产品有18件， 则样本中B,C种型号的产品有12件,30件.则样本容量. 故选：B. 10．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）随着科学技术的不断进步和人们环保意识的提升，全球新能源汽车市场愈发繁荣，近年来，我国在新能源汽车的研发以及产销量上取得了巨大的进步．下图是2016～2022年全球及中国新能源汽车销量情况统计图，则下列说法正确的是（    ） A．全球新能源汽车销量数据的极差为456 B．中国新能源汽车销量逐年递增 C．2021年中国新能源汽车销量同比增长最快 D．2022年中国新能源汽车销量占全球销量的比重最大 【答案】C 【分析】根据给定的条形图，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，全球新能源汽车销量数据的极差为，A错误； 对于B，2019年中国新能源汽车销量比上一年小，B错误； 对于C，中国新能源汽车销量，2017年比2016年增长，2018年比2017年增长， 2019年比2018年增长，2020年比2019年增长，2021年比2020年增长， 2022年比2021年增长，因此2021年中国新能源汽车销量同比增长最快，C正确； 对于D，2016年中国新能源汽车销量占全球销量的比重超过，2022年不到，D错误. 故选：C 题型四：条形统计图 11．（21-22高一下·全国·期末）某公司2021年5月至2022年3月的各月利润率与每百元营业收入中的成本如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．2021年5—12月的利润率呈递减趋势 B．这11个月的利润率的80%分位数为7.09% C．这11个月的每百元营业收入中的成本呈递增趋势 D．这11个月的每百元营业收入中的成本的方差大于1 【答案】B 【分析】由图中信息可判断A，C；由百分位数和方差的定义可判断B，D. 【详解】对于A，2021年5,6月的利润率相同，8,9月的利润率在递增，所以A不正确； 对于B，将这11个月的利润率从小排到大为： ， 所以80%分位数为：，为第9位数即7.09%.所以B正确； 对于C，由图中可知，8,9月的每百元营业收入中的成本呈递减趋势，所以C不正确； 对于D，这11个月的每百元营业收入中的成本的平均数为， 因为，所以这11个月的每百元营业收入中的成本的方差不可能大于1，所以D不正确. 故选：B. 12．（2023·山东·二模）某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（岁以上含岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（    ）    A．男性比女性更关注地铁建设 B．关注地铁建设的女性多数是岁以上 C．岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多 D．岁以上的人对地铁建设关注度更高 【答案】C 【分析】由等高条形图一一分析即可. 【详解】由等高条形图可得： 对于A：由左图知，样本中男性数量多于女性数量， 从而男性比女性更关注地铁建设，故A正确； 对于B：由右图知女性中岁以上的占多数，从而样本中多数女性是岁以上， 从而得到关注地铁建设的女性多数是岁以上，故B正确； 对于C：由左图知男性人数大于女性人数，由右图知岁以下的男性占男性人数比岁以上的女性占女性人数的比例少，无法判断岁以下的男性人数与岁以上的女性人数的多少，故C不一定正确； 对于D：由右图知样本中岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D正确． 故选：C． 题型五：折线统计图 13．（23-24高一下·山东聊城·期末）采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用.PMI高于时，反映经济总体较上月扩张；低于，则反映经济总体较上月收缩.根据我国2022年6月至2023年9月的PMI绘制出如下折线图. 根据该折线图，下列结论正确的是（    ） A．2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于 B．2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第三季度各月的PMI的方差 C．2023年第三季度各月经济总体较上月扩张 D．2023年第一季度各月经济总体较上月扩张 【答案】D 【分析】根据中位数定义判断A，根据数据波动情况判断B，利用扩张和收缩情况判断CD. 【详解】对于选项A：根据图表可知，共有10个月的PMI小于， 所以各月的PMI的中位数小于50，故A错误； 对于选项B：2022年第四季度各月的PMI比2023年第一季度各月PMI的波动大， 即方差也大，故B错误； 对于选项C：因为2023年第七、八月PMI均小于， 所以反映经济总体反映经济总体较上月收缩，故C错误； 对于选项D：2023年第一季度各月PMI均大于，则各月经济总体较上月扩张，故D正确； 故选：D. 14．（2024·四川眉山·三模）采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测､预警作用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于，则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：    根据该折线图判断，下列结论正确的是（    ） A．2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于 B．2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张 C．2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩 D．2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差 【答案】B 【分析】根据中位数定义判断A；利用扩张和收缩情况判断BC； 根据数据波动情况判断D. 【详解】根据图表可知，各月PMI的中位数小于，A错误； 2023年各月，2023年我国综合PMI产出指数均大于，表明我国企业生产经营活动持续扩张，C错误，B正确； 2023年上半年各月PMI比下半年各月PMI的波动大，则方差也大，故D错误. 故选：B 15．（23-24高一下·甘肃·期中）某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（    ）    A．B组打分的极差小于A组打分的极差 B．B组打分的中位数为75 C．A组的意见相对一致 D．A组打分的众数为50 【答案】C 【分析】对于A：根据折线图结合极差的定义分析判断；对于B：将数据按升序排列，结合中位数分析判断；对于C：根据方差的性质分析判断；对于D：根据题中数据结合众数的定义分析判断. 【详解】对于A：观察折线图可知，小组B的极差大于小组A的极差，故选项A错误； 对于B：小组B打分的分值按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75， 所以中间数为66，故中位数为66，故选项B错误； 对于C：小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确； 对于D：小组A打分的分值为：42，47，45，46，50，47，55，50，47， 所以小组A打分的分值的众数为47，故选项D错误． 故选：C． 题型六：扇形统计图 16．（2023·广西柳州·模拟预测）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（    ） A．这五个社团的总人数为100 B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C．这五个社团总人数占该校学生人数的8% D．从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50% 【答案】B 【分析】根据饼状图及有关数据得各个社团比例，计算人数及相应概率判断各选项． 【详解】这五个社团的总人数为，．A错误，C错误． 因为太极拳社团人数的占比为，所以脱口秀社团人数的占比为 ，B正确．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D错误． 故选：B． 17．（22-23高一下·陕西西安·期末）某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：    下列说法正确的是（    ） A．产品升级后，产品A的营收是升级前的2倍 B．产品升级后，产品B的营收不变 C．产品升级后，产品C的营收减少 D．产品升级后，产品B，D的营收的总和占总营收的比例不变 【答案】D 【分析】根据企业改造升级前后的四种产品的营收占比图，分别计算各选项中的数据，即可判断答案. 【详解】不妨设产品升级升级前企业营收为1，则升级后企业营收为2， 故产品A升级前营收为，升级后营收为， 即产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍，A错误； 产品B升级前营收为，升级后营收为， 即产品升级后，产品A的营收是升级前的2倍，B错误； 产品C升级前营收为，升级后营收为， 即产品升级后，产品A的营收是升级前的倍，营收增加，C错误； 产品升级前，产品B，D的营收的总和占总营收的， 产品升级后，产品B，D的营收的总和也占总营收的， 故产品升级后，产品B，D的营收的总和占总营收的比例不变，D正确， 故选：D 18．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（    ）    A．年甲系列产品收入比年的多 B．年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多 C．年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的 D．年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍 【答案】C 【分析】利用已知条件可分别得出年和年种系列产品所占总收入的比例，结合该企业年种系列产品年总收入是年的倍，逐一检验选项即可得出答案． 【详解】对于A：年甲系列产品收入占了总收入的，年甲系列产品收入占了总收入的， 而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年甲系列产品收入比年的多，故A选项不符题意； 对于B：年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的，该企业年种系列产品年总收入是年的倍， 故年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多，故B选项不符题意； 对于C：年丁系列产品收入占了总收入的，年丁系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的，故C选项符合题意； 对于D：年戊系列产品收入占了总收入的，年戊系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍，故D选项不符题意. 故选：C. 题型七：频率分布直方图问题 19．（23-24高一下·河北张家口·期末）某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（    ）    A． B．车速的众数估计值是70 C．车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D．车速的中位数估计值是62.5 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图求出、众数、平均数、中位数判断即得. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，车速在内的频率最大，车速的众数估计值是65，B错误； 对于C，车速的平均数为， 车速的中位数，则，解得，C错误； 对于D，车速的中位数估计值是62.5. 故选：D 20．（23-24高一下·贵州毕节·期末）某研究小组为了解某市高中生自主阅读情况，随机调查了2000名学生的每周自主阅读时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3.则以下说法中错误的是（    ） A． B．估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时 C．样本的极差介于6小时至10小时之间 D．估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是6.5小时 【答案】D 【分析】A项，由已知频率可得关系；B项，由各组频率之和为与A项所得频率关系求解，由，估计第60百分位数值所在区间，再利用矩形面积计算估值即可；C项，由最大值与最小值的取值区间，再由不等式的性质可得极差范围；D项，样本平均数由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积（频率）的乘积之和近似代替，计算可得. 【详解】选项A，由每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3， 则，解得，故A正确； 选项B，由各组频率之和为得，， 联立解得， 故五组的频率分别为， 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 且， 设样本数据的第60百分位数值为，则， 由，解得， 故估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时，故B正确； 选项C，设样本数据中的最小值为，最大值为， 由频率分布直方图可知，最小值，最大值， 所以，则由不等式的性质可得极差， 即样本的极差介于6小时至10小时之间，故C正确； 选项D，由频率分布直方图样本平均数的近似值为， 估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是小时，故D错误. 故选：D. 21．（23-24高一下·天津滨海新·期末）某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．图中 B．估计样本数据的第80百分位数为93分 C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分 D．测试成绩低于80分的人数为450人 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的性质，百分位数的概念，平均数概念，逐个计算判断即可. 【详解】，，选项错误； 的频率为0.25，第80百分位数在中， 估计样本数据的第80百分位数为（分，选项错误； （分，选项错误； 测试成绩低于80分的频率为， 测试成绩低于80分的人数为，选项正确． 故选：． 题型八：茎叶图 22．（22-23高一上·北京昌平·期末）为响应“健康中国2030”的全民健身号召，某校高一年级举办了学生篮球比赛，甲､乙两位同学在6场比赛中的得分茎叶图如图所示，下列结论正确的是（    ） A．甲得分的极差比乙得分的极差小 B．甲得分的平均数比乙得分的平均数小 C．甲得分的方差比乙得分的方差大 D．甲得分的分位数比乙得分的分位数大 【答案】C 【分析】根据茎叶图求出甲，乙两位同学得分的极差，平均分，方差，百分位数即可解决. 【详解】由题知，甲同学6场比赛得分分别为14,16,23,27,32,38， 极差为， 平均数， 方差， 因为，所以得分的25%分位数为16， 乙同学6场比赛得分分别为13,22,24,26,28,37， 极差为， 平均数， 方差， 因为，所以得分的25%分位数为22， 所以ABD错误； 故选：C 23．（21-22高一下·贵州贵阳·期末）从贵阳市某高中全体高一学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则参加体能测试的人数n和频率分布直方图中a的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由频率分布直方图求出测试成绩在区间的频率，再由茎叶图求出参加体能测试的人数，然后求出测试成绩在区间的频数，进而求出测试成绩在区间的频率，最后根据频率分布直方图利用频率列出方程即可求出值. 【详解】由频率分布直方图可知，测试成绩在区间的频率为， 又由茎叶图可知，测试成绩在区间的频数为， 参加体能测试的人数， 又由茎叶图可知， 测试成绩在区间的频数为， 测试成绩在区间的频率为， 又由频率分布直方图可知， 测试成绩在区间的频率为， 解得. 故选：A. 24．（20-21高一下·广西贺州·期中）张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的A、B两酒店中的一个人住．两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如图的茎叶图．记A、B两酒店的宗合评分数据的均值为，，方差为，，若以此为依据，下述判断较合理的是（    ） A．因为，，应选择A酒店 B．因为，，应选择A酒店 C．因为，，应选择B酒店 D．因为，，应选择B酒店 【答案】B 【分析】先根据茎叶图得到A，B酒店的评分数值，再根据平均数和方差公式求解． 【详解】由茎叶图可知A酒店的评分分别为：72，86，87，89，92，94， B酒店的评分分别为：73，74，86，88，94，95， 所以， 即， 故选：B． 题型九：众数 、平均数、中位数与方差 25．（24-25高一上·山东威海·期末）已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（   ） A．极差为6 B．中位数为90 C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25 【答案】C 【分析】根据一组数据的极差，平均数，中位数，百分位数的定义依次求解即可. 【详解】由题意可知：数据的极差为：，故A错误； 数据的中位数为：，故B错误； 因为，故数据的第70%分位数为第6个数，故C正确； 因为数据的平均数为：，故D错误. 故选：C 26．（2024·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由频率分布直方图结合中位数以及众数的计算即可比较大小. 【详解】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数大于中位数为， 由于第一个小矩形面积为， 前2个小矩形面积之和为， 所以中位数位于之间，故可得，解得， 由频率分布直方图可知众数， 故， 故选：D. 27．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知一组数据满足 ，则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的40%分位数是 B．的平均数小于的平均数 C．的方差大于的方差 D．的极差小于的极差 【答案】D 【分析】根据百分位数、极差、平均数、方差的概念及含义计算分析可得． 【详解】对于A，，所以这组数据的40%分位数是，故A错误； 对于B，不妨取这组数据为1，2，3，4，5， 此时的平均数为3，的平均数均为3，故B错误； 对于C，由可知，数据比数据更分散， 所以的方差小于的方差，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确； 故选：D． 题型十：加减数据对平均数、方差的影响 28．（23-24高一下·广东·期末）有一组从小到大排列的样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，，则（    ） A．数据的标准差不小于数据的标准差 B．数据的中位数与数据的中位数相等 C．若数据的方差为m，则数据的方差为 D．若数据的极差为d，则数据的极差为 【答案】B 【分析】对于A，根据题意以及标准差的意义即可判断；对于B，根据中位数定义即可判断；对于C，由方差性质即可判断；对于D，根据极差定义直接计算即可得解. 【详解】对于A， 因为， 所以根据标准差的意义可知数据的标准差小于等于数据的标准差， 故A错误； 对于B，根据中位数定义可知，数据的中位数与数据的中位数是相同数据所得， 所以两组数据中位数相等，故B正确； 对于C，若数据的方差为m， 则由方差性质得数据的方差为，故C错误； 对于D，由题意数据的极差为， 所以数据的极差为，故D错误. 故选：B. 29．（23-24高一下·福建福州·期末）若数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，方差，代入计算可得平均数，方差的值，开方求出标准差，可得答案. 【详解】因为数据、、…、的平均数是4，方差是4， 即，， 数据、、…、的平均数 ， 数据、、…、的方差 ， 所以标准差是. 故选：D. 30．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（   ） A． =10，=14 B． =9，=44 C． =29，=45 D． =29，=44 【答案】C 【分析】根据平均数和方差公式计算即可． 【详解】解：原来数据平均值为，方差为则， 方差为 ． 故选：C． 题型十一：百分数问题 31．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是 . 【答案】50 【分析】根据给定条件，利用第75百分位数的定义求解即得. 【详解】依题意，，所以所求的第75百分位数是. 故答案为：50 32．（23-24高一下·天津南开·期末）某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（    ） A．直方图中x的值为0.035 B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 C．估计全校学生的平均成绩为84分 D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分 【答案】C 【分析】由频率分布直方图求得x值判断A；由频率求得学生数判断B；由频率频率分布直方图估计平均数判断C；由频率分布直方图求出百分位数判断D. 【详解】对于A，由频率分布直方图得，解得x=0.03，A错误； 对于B，成绩在区间的学生数为（人），B错误； 对于C，平均成绩为（分），C正确； 对于D，全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为（分），D错误. 故选：C 33．（23-24高二下·陕西西安·期末）某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） ①频率分布直方图中a的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据题意，由频率分布直方图的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由频率分布直方图可得： ，解得，故①正确； 前三个矩形的面积为， 即第60百分位数为80，故②正确； 估计这200名学生竞赛成绩的众数为，故③错误； 总体中成绩落在内的学生人数为，故④正确； 故选：B 题型十二：统计的综合问题 34．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）2024年3月31日，贵州铜仁梵净山春季马拉松在梵净山赛道成功举行，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.铜仁市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）计算出的值，根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解； （2）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】（1）由图得， 解得， 则， ， ， 设第80百分位数为，则， ，解得， 故这100名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. （2）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为： ， 故第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 35．（23-24高一下·江苏徐州·期末）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，航天员叶光富、李聪、李广苏开始了他们的太空征程．为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取2000名学生进行了航天知识竞赛，将成绩（满分：150分）整理后分成五组，从左到右依次记为[50,70），[70,90），[90,110），[110,130），[130,150]，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计这2000名学生成绩的平均数、求85%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数为94，方差为1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数为124，方差为2，求这200人中分数在区间[90,130）的学生成绩的方差． 【答案】(1)平均数是88；85%分位数是120 (2)217.4 【分析】（1）利用所有数据频率之和为1算出的频率，再根据平均数和分位数的概念直接计算即可. （2）直接利用分层抽样方差公式计算即可. 【详解】（1）频率为， 所以该组数据的纵坐标为，补齐的直方图如图： 平均数为， 因为前三组的频率之和， 而前四组的频率之和， 所以第分位数为第四组数据的中点即. （2）设第三组的平均数是，权重为，方差为，设第四组的平均数是，权重为，方差为， 两组的平均数是，方差为，由直方图可知则， ，则， 根据分层抽样方差公式得：. 36．（22-23高一下·江苏徐州·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流.      (1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【答案】(1)小吃类21家，生鲜类9家. (2)（i）中位数为元，平均数为440元；（ii）256. 【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可； （2）（i）根据中位数和平均数的定义计算即可； （ii）根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可. 【详解】（1）根据分层抽样知： 应抽取小吃类家，生鲜类家， 所以应抽取小吃类21家，生鲜类9家. （2）（i）根据题意可得，解得， 设中位数为x，因为，， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的中位数为元. 平均数为, 所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元. （ii）， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为256. 【专题强化】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（    ） A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业从业人员中90后占一半以上 【答案】A 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假． 【详解】选项A；设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事技术岗位的90后人数为，小于80后的人数， 但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故A错误． 选项B：设整个互联网行业总人数为a，90后从事技术岗位人数为56％×39.6％a， 而90后总人数的20％为，故B正确； 选项C：设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事运营岗位的90后人数为， 超过80前的人数6％a，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确； 选项D： 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故D正确. 故选：A． 2．（23-24高三上·上海松江·期末）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是 （   ） A．甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数； B．甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值； C．甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差； D．乙队数据的第75百分位数为27． 【答案】D 【分析】根据中位数、平均数、方程、百分位数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，甲队的中位数是，乙队的中位数是， 两者相等，所以A选项错误. B选项，甲队的平均数为， 乙队的平均数为， 两者相等，所以B选项错误. C选项，甲队的标准差为： ， 乙队的标准差为： ， 所以甲队数据的标准差小于乙队数据的标准差，所以C选项错误. D选项，乙队的数据为，， 所以乙队数据的第75百分位数为，D选项正确. 故选：D 3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（    ） A．甲组中位数为3，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为2，方差为3 D．丁组平均数为2，第85百分位数为7 【答案】C 【分析】A选项，假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为3分，中位数为3，故A错误；C选项，根据方差得到，若有选手失8分，则有，矛盾，故C正确；BD选项，举出反例即可判断. 【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分，根据极差为5，得到最低失分为3分， 此时中位数为3，故假设可以成立，故A错误； B选项，假设乙组的失分情况为， 满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B错误； C选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为， 丙组平均数为2，方差为3，即， 若，则，不合要求，故， 所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C正确； D选项，，故从小到大，选取第9个数作为第85百分位数， 即从小到大第9个数为7，假设丁组失分情况为， 满足平均数为2，第85百分位数为7，但不是“优秀小组”，故D错误. 故选：C. 4．（22-23高一下·江苏无锡·期末）一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（    ） A．6，，5 B．5，5，5 C．5，，6 D．4，5，6 【答案】C 【分析】利用中位数与众数的定义得到关于的方程，从而得解. 【详解】依题意，将这组数据从小到大重新排列得，，，，，， 则中位数 ，众数为， 由题意知，解得， 所以这组数据的平均数为， 则这组数据的方差是， 因为，所以这组数据的第百分位数是； 故选：C. 5．（2024·贵州遵义·三模）在第29个世界读书日活动到来之际，遵义市某高中学校为了了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，样本的平均数为4，方差为5；乙同学抽取一个容量为8的样本，样本的平均数为7，方差为10；将甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本方差是（结果精确到0.01）（    ） A．5.34 B．6.78 C．9.44 D．11.46 【答案】C 【分析】利用样本平均数和样本方差的定义列式计算即可. 【详解】由甲同学的样本的平均数，方差分别为， 乙同学的样本的平均数，方差分别为， 则合在一起后的样本平均数， 则合在一起后的样本方差 . 故选：C. 6．（22-23高一下·湖北·期末）已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（    ） A．10 B．10.6 C．12.6 D．13.6 【答案】D 【分析】利用平均数公式及其方差公式求解. 【详解】设增加的数为，，原来的8个数分别为， 则，，所以， 又因为，即， 新的样本数据的方差为 ， 因为，， 所以方差的最小值为13.6（当时取到最小值）. 故选：D. 7．（23-24高一下·青海·期末）某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（    ） A．10 B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据平均数与方差的公式列方程可得解. 【详解】因为这组数据的平均数为48，方差为7， 所以 整理得 设，则， 因为50，所以，即， 则． 故选：A 8．（23-24高一下·云南昆明·期末）某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用均值公式、方差公式逐项判断正误即可 【详解】选项A：，所以，若，则， 故选项A正确. 选项B： ， 所以 ,不妨令则 ， 故选项B错误. 选项C：若，则故选项C正确. 选项D:若， 因为，所以， 则． 又， 所 故选项D正确. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·山东日照·期末）已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（   ） A．极差是4 B．众数不等于平均数 C．方差是 D．分位数是3 【答案】AD 【分析】由数据的最大值减去最小值可得极差，即可判断；出现次数最多的为众数，求出7个数据的平均数即可判断；根据方差公式求解即可判断；将数据从小到大排序，由百分位数的计算方法即可求解. 【详解】对于，由已知样本数据的最大值为，最小值为，所以极差为，故正确； 对于，样本数据的众数为，平均数为， 所以众数等于平均数，故错误； 对于，方差为，故错误； 对于，将数据按照从小到大的顺序排列可得，，，，，，， 因为，所以分位数是，故正确. 故选：. 10．（23-24高一下·湖北武汉·期末）某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了户家庭十月份的用电量（单位：），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（    ）    A．图中的值为 B．样本的第百分位数约为 C．样本平均数约为 D．样本平均数小于样本中位数 【答案】ABC 【分析】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由题意，，解得，，故A正确； 对于B，因为用电量在以下的频率为， 用电量在以下的频率为， 所以样本的第分位数在区间内， 设样本的第分位数为，则，解得， 即样本的第分位数约为，故B正确； 对于C，样本的平均数为，故C正确； 对于D，因为用电量在以下的频率为， 用电量在以下的频率为， 所以样本的中位数在区间内， 设样本的中位数为，则，解得， 所以样本的中位数约为， 因为，所以样本的中位数样本的平均数，故D错误. 故选：ABC. 11．（23-24高一下·安徽安庆·期末）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可得，，利用平均数的性质可得A；利用方差的性质计算可得B：由即可得C；结合方差与平均数计算即可得D. 【详解】依题意，，， 对A：，故A正确: 对B：依题意，， 所以数据的方差为： ，故B错误； 对C：，故C正确; 对D：由 ，解得，故D正确. 故选：ACD. 12．（23-24高一下·广西南宁·期末）某市2023年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图．则下列结论中正确的是（    ） A．招商引资后，工资净收入较前一年减少 B．招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍 C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍 【答案】BD 【分析】依题意招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，再依据招商引资前后的年经济收入构成比例计算即可得出结论. 【详解】根据题意，可设招商引资前的经济收入为，则招商引资后的经济收入为； 对于A，由招商引资前后的年经济收入构成比例可知招商引资前的工资收入为，招商引资后的工资收入为， 可知招商引资后，工资净收入较前一年增多，即A错误； 对于B，招商引资前的转移净收入为，招商引资后的工资收入为， 即招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，可得B正确； 对于C，由招商引资后的年经济收入构成比例可知转移净收入与财产净收入的总和占比为，小于，即C错误； 对于D，招商引资后的经营净收入为，招商引资前的经营净收入为， 可得招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，即D正确. 故选：BD 12．（23-24高三上·安徽·期末）党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署．如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是（    ）    A．从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大 B．从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年 C．这6年中国海洋生产总值的极差为15122 D．这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628 【答案】BD 【分析】对A，根据条形图数据可判断；对B，根据数据计算年增长率可判断；对C，计算极差可判断；对D，根据80%分位数概念计算可判断. 【详解】对于A，根据条形图数据可以看到2020年较2019年海洋生产总值是下降的，故A错误； 对于B，2019年海洋生产总值年增长率是， 2020年海洋生产总值年增长率是，2021年海洋生产总值年增长率是， 2022年海洋生产总值年增长率是，2023年海洋生产总值年增长率是， 故年增长率最大的是2021年，故B正确； 对于C，这6年中国海洋生产总值的极差为，故C错误； 对于D，将这6年的海洋生产总值按照从小到大排列80010，83415，89415，90385，94628，98537，又， 所以这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628，故D正确. 故选：BD. 14、（23-24高一下·安徽阜阳·期末）已知样本数据，则下列命题正确的是（    ） A．该样本数据的上四分位数为 B．若该样本数据的方差，则 C．数据分别为，若数据满足，则数据的平均数为20 D．若的平均数为，方差为的平均数为，方差为，样本的平均数为，则样本的方差为 【答案】BCD 【分析】利用上四分位数的意义计算判断A；利用方差的计算公式推理判断B；求出平均数判断C；利用分层抽样的方差公式计算判断D. 【详解】对于A，没有明确数据的大小关系，A错误； 对于B，令该样本平均数为，则方差， 则，B正确； 对于C，，则平均数为，C正确； 对于D，依题意，，D正确. 故选：BCD 三、填空题 15．（23-24高一下·广东中山·期末）记一组数据的平均数为，方差为，则数据的平均数为 . 【答案】 【分析】根据平均数、方差公式计算可得. 【详解】因为的平均数为，方差为， 所以，， 即， 即， 即，即， 所以， 所以数据的平均数为. 故答案为： 16．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为 . 【答案】19.8 【分析】利用平均数公式和方差公式计算. 【详解】设增加的数为， 则，， 所以， 又因为即 所以 故答案为:19.8. 17．（23-24高一下·湖南怀化·期末）统计学中，协方差用来描述两个变量之间的总体的误差.设一组数据的平均值为，另一组数据的平均值为，则协方差.某次考试结束后，抽取了高一年级10名学生的数学成绩x、物理成绩y如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 135 124 118 107 95 87 74 63 53 44 物理成绩 97 78 82 83 77 65 67 52 44 45 已知，则 . 【答案】474 【分析】根据表格数据，算出，再对协方差公式进行展开化简，再代入求值即得. 【详解】由已知得， ， 则 . 故答案为：474. 18．（2024高一下·全国·专题练习）某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为 . 【答案】 【分析】根据极差求得的值，计算，根据百分位数的含义即可确定答案即可. 【详解】由题意得，数据的极差为，因为数据中最小值为， 故应为最大值，为81，则 ， 将数据从小到大排列为： ， 故这组数据的第百分位数为第九个数据. 故答案为：79 19．（2024高三下·全国·专题练习）为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第70百分位数为 . 【答案】84.55 【分析】利用第70百分位数的定义结合频率分布直方图求解即可. 【详解】由题意得， 解得， 因为前4组数据的频率之和为， 前5组数据的频率之和为， 则分位数在内，设分位数为x， 则，解得， 所以分位数约为. 故答案为： 四、解答题 20．（23-24高一下·江苏连云港·期末）为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．    (1)求图中a的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； (2)试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 【答案】(1)；百分位数为； (2) (3) 【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数；设该样本的60百分位数为分，由题意可得，求解即可； （2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可； （3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为对应分数即可. 【详解】（1）由，解得； 设该样本的60百分位数为分， 因为对应的频率分别为0.05，0.15，0.3，0.25， 所以60百分位数在内，由题意可得，解得， 所以60百分位数为； （2）， 故本次防疫知识测试成绩的平均分为； （3）设受嘉奖的学生分数不低于分， 因为对应的频率分别为0.15，0.1， 所以，解得， 故受嘉奖的学生分数不低于分． 21．（23-24高一下·河南商丘·期末）2023年12月，“尔滨”持续爆火，冰雪主题热度狂飙，随之而来的是大家对冬季户外运动装备的高需求，从雪鞋､雪板等滑雪装备，到手套､帽子等保暖用品，各家体育用品店在这个冬天迎来“滑雪十”新热潮．某体育用品制造企业为了提升产品质量，对现有的一条生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的体育用品中随机抽取了件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）． 质量指标值 产品 (1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； (2)设表示不小于的最小整数，表示不大于的最大整数，,，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值落在内的频率超过，可认为生产线技术改造成功．请根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：，） 【答案】(1)， (2)可以判定生产线技术改造是成功的 【分析】（1）根据平均数与方差公式直接计算可得解； （2）直接代入可得，，再根据频率公式可得解. 【详解】（1）由题意可知， ； （2）由（1），则， 则，， 该抽样数据落在内的频率为， 则可以判定生产线技术改造是成功的． 22．（23-24高一下·福建福州·期末）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注． 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人． 年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）： (1)根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数； (2)已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．（请先推导必要的公式，再代值计算） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可； （2）先根据方差的性质推出公式，再代入题目中的数据计算即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图，平均数为. 而由于， ， 故第百分位数在区间第百分位数内，设其为. 则，得. 所以第百分位数为. （2）先证明一个结论：对，设数据的平均值和方差分别为，数据的平均值和方差分别为，则数据的平均值和方差分别为和. 证明：设数据的平均值和方差分别为，则 . 由于方差. 故，，且 . 所以 . 这就证明了结论. 回到原题，本题中，，，，，. 代入数值即知所求方差为 . 23．（23-24高一下·福建厦门·期末）某厂为了提升车载激光雷达质量的稳定性，对生产线进行升级改造､为了分析升级改造的效果，随机抽取了12台车载激光雷达进行检测，检测结果如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 探测距离（单位：） 146 151 152 149 153 150 144 150 156 统计后得到样本平均数，方差. (1)升级改造后，若有的产品的探测距离在内，则认为升级改造成功；若改造成功且有的产品的探测距离在内，则认为升级改造效果显著.根据样本数据，分析此次升级改造的效果； (2)采用在内的数据作为新样本，求新样本的平均数和方差. 【答案】(1)答案见解析 (2)150， 【分析】（1）根据已知数据结合古典概型公式计算判断即可； （2）根据已知平均数及方差数据应用平均数及方差公式计算即得. 【详解】（1）依题意得， 共有8个数据落在内，， 所以有产品的探测距离在内， 所以升级改造成功； 共有10个数据落在内，， 所以没有产品的探测距离在内， 所以升级改造成功，但效果不显著. （2）依题意，需剔除数据， 因为样本平均数，方差， 所以， 所以， 所以新样本的平均数， 新样本的方差为 . 24．（23-24高一下·湖北·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，另一组落在已知内，且两组成绩的总平均数为62和总方差为23.求落在的平均成绩以及方差. 【答案】(1) (2)84. (3)平均数为65，方差为4 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据百分位数的计算公式即可求解， （3）根据平均数的计算可得的平均数，即可利用总体方差公式即可求解. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，所以. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数，由， 解得，所以第75百分位数为84. （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以的平均数为x，方差为，，则. 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为，计算可得方差为4. 25．（23-24高一下·北京大兴·期末）某学校为了解本校历史选科，物理选科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，从历史选科的学生中随机抽取人的成绩得到样本甲，从物理选科的学生中随机抽取60人的成绩得到样本乙，分别得到如下频率分布直方图： 已知样本甲中数据在的有20个． (1)求和样本甲的频率分布直方图中的值； (2)试估计该校历史选科的学生本次模拟测试数学成绩的中位数； (3)设该校历史与物理选科的学生本次模拟测试数学成绩的平均值分别为，方差分别为，，试估计与，与的大小（只需写出结论）． 【答案】(1)； (2)82 (3)， 【分析】（1）样本甲中数据在的有20个可求出，根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1可求出的值；（2）根据中位数的定义求解；（3）根据平均数和方差的实际意义即可判断. 【详解】（1）由直方图可知，样本甲中数据在的频率为， 又因为样本甲中数据在的有20个，所以，解得：， 由样本甲数据的直方图可知，，解得 （2）因为， ， 所以样本甲数据的中位数在第4组，设中位数为， 则，解得： （3）结论是：，， 方法一：因为样本甲数据主要集中在70分到90分之间，样本乙数据主要集中在80到100分之间，所以； 因为样本甲数据更加集中，样本数据乙的数据更加分散，所以 方法二：由直方图可得：， 所以； ， ， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$