精品解析：山西省忻州地区2024-2025学年八年级下学期期中成果展示数学试题

2024-2025学年第二学期期中双减教学成果展示 八年级数学（人教版A） （本试卷共6页，满分120分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内．） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式； 中根指数是3，不是二次根式； 是二次根式． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，运用二次根式的加、减、乘、除运算法则计算出各选项结果，再进行判断即可． 【详解】解：A.和不能计算，故此选项错误 ，不符合题意； B. ，故此选项错误 ，不符合题意； C. ，计算正确，符合题意； D. ，故此选项错误 ，不符合题意； 故选：C． 3. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质．根据点在数轴上的位置，判断出数的正负，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴； 故选：C． 4. 如图中，是角平分线，交于E，交于F，若， 那么四边形周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和平行四边形的性质，等腰三角形的判定，掌握菱形的判定方法一组邻边相等的平行四边形是菱形是关键． 根据两组对边平行得出四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义，可得，进而可得，然后根据领边相等的平行四边形是菱形可证平行四边形是菱形，最后根据菱形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， 是角平分线 ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形周长为， 故选：B． 5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，在一个高为5m，斜面长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是（ ） A. 12m B. 13m C. 17m D. 18m 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据平移的性质可知需要的地毯的长度至少即为． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴由平移的性质可知地毯的长度至少是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平移的性质，正确用勾股定理求出的长是解题的关键． 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（ ） A. 24度 B. 25度 C. 40度 D. 65度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键； 先根据菱形的性质得，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余，同角的余角相等即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9. 如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据题意，利用勾股定理求出吸管在杯内的最大长度，即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意，得：， 由勾股定理，得：， ∴最小； 故选B． 10. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是：（ ） A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 【详解】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意； ∴正确的有①②； 故选C． 【点睛】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的除法计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 12. 已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图所示，一棵高的树被风刮断了，树顶落在离树根处，则折断处的高度为 __． 【答案】5 【解析】 【分析】设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， ， 设，则， ∴， 解得：， 米， 折断处的高度为． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 14. 如下图所示，每个小正方形的边长为1，先把中间的正方形剪下来，再将得到的两个长方形沿图中虚线剪开得到4个直角三角形，将剪下的小正方形和4个直角三角形无缝拼接在一起可以得到一个大正方形，大正方形的边长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新得到大正方形面积与原本的大长方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为x， 由题意得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根在几何图形中的应用，正确理解大正方形面积与原本的大长方形面积相等是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）5； （2）； （3）； （4）3． 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算进行计算即可； （2）直接利用完全平方公式进行化简即可； （3）先将二次根式化简，再合并同类二次根式即可； （4）根据二次根式的除法运算计算，然后化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答此题的关键． 17. 如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，，求的长． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． （1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个等腰三角形，使它的面积为8； （3）在图3中，画一个等腰直角三角形，使它的面积为5． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求 ．（图形作法不唯一，符合题意即可） 【解析】 【分析】（1）构造直角三角形，使它的三边长都是有理数，三边可以分别为：3，4，5，由此作图即可； （2）要使得面积为8，则可确定底和高均为4，再确定等腰三角形，画出图形即可； （3）要使得等腰直角三角形的面积为5，可构造腰长为，然后再确定直角三角形，画出图形即可． 【详解】（1）Rt△ABC三边的长分别为3，4，5， （2）等腰△DEF满足DE=FE，面积S=4×4÷2=8， （3）如图，根据勾股定理可得GI=HI=，GH=， 满足， ∴△GHI为等腰直角三角形，且面积， （图形作法不唯一，符合题意即可） 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，考查了等腰直角三角形的判定，直角三角形的判定，正确应用勾股定理，勾股定理的逆定理是解题关键． 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 求风筝的垂直高度： 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意可得，四边形是矩形，在中，运用勾股定理得，由即可求解． 【详解】解：根据图示可得，四边形是矩形， ∴米， 在中，由勾股定理得，， （负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为米． 20. 如图，在中，连接．为边的中点，，的延长线交于点，连接． （1）求证； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在 和 中， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到．推出四边形是平行四边形．根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 21. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如下图： ∵边上的垂直平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， ∴在中， ， 即 解得：， 则． 22. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）； 的有理化因式是______． （2）把下列式子分母有理化：． （3）化简：． 【答案】（1）； （2） （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式，解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，按照材料中的解题思路进行计算． （1）因为，所以的有理化因式是，因为，所以的有理化因式是； （2）把的分子、分母同时乘以可得：原式，利用完全平方公式和平方差公式把分子、分母分别展开，再约去分子、分母的公约数即可； （3）把每一项的分子、分母分别乘以分母的有理化因式，可得：原式，然后再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：， 的有理化因式是， ， 的有理化因式是， 故答案为：，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 23. 综合与实践 问题情境 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．已知矩形纸片．如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，展开后折痕交于点．如图2，在图1的基础上，继续沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，展开后折痕交于点，延长交于点． 初步探究 （1）求证：四边形是平行四边形． 深入探究 （2）判断和的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）当四边形为菱形时，若，则的长为___________． 【答案】 （1）证明：如图分别标记，，，，， 在矩形中，，， ∴，即， ∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，继续沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）， 理由：在矩形中，， ∴， ∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上， ∴，，， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）在矩形中，，，，又根据折叠推出，根据内错角相等推出，，即可得证； （2）由矩形推出，由根据折叠得，，由（1）知，，由推出，进而，，即可得出结论； （3）四边形为菱形，进而推出，又，推出，在中，，根据折叠得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵四边形为菱形， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴当四边形为菱形时，． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等角对等边，菱形的性质，特殊角三角函数等知识点．解题的关键是特殊平行四边形的判定和性质，折叠的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中双减教学成果展示 八年级数学（人教版A） （本试卷共6页，满分120分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内．） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（ ） A. B. C. D. 4. 如图中，是角平分线，交于E，交于F，若， 那么四边形周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在一个高为5m，斜面长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是（ ） A. 12m B. 13m C. 17m D. 18m 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（ ） A. 24度 B. 25度 C. 40度 D. 65度 8. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 10. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是：（ ） A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③ 二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____________． 12. 已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是______．（写出一个即可） 13. 如图所示，一棵高的树被风刮断了，树顶落在离树根处，则折断处的高度为 __． 14. 如下图所示，每个小正方形的边长为1，先把中间的正方形剪下来，再将得到的两个长方形沿图中虚线剪开得到4个直角三角形，将剪下的小正方形和4个直角三角形无缝拼接在一起可以得到一个大正方形，大正方形的边长是__________． 15. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，，求的长． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． （1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个等腰三角形，使它的面积为8； （3）在图3中，画一个等腰直角三角形，使它的面积为5． 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 求风筝的垂直高度： 20. 如图，在中，连接．为边的中点，，的延长线交于点，连接． （1）求证； （2）若，，，求四边形的面积． 21. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）； 的有理化因式是______． （2）把下列式子分母有理化：． （3）化简：． 23. 综合与实践 问题情境 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．已知矩形纸片．如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，展开后折痕交于点．如图2，在图1的基础上，继续沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，展开后折痕交于点，延长交于点． 初步探究 （1）求证：四边形是平行四边形． 深入探究 （2）判断和的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）当四边形为菱形时，若，则的长为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $