重点专题5-1 随机抽样，样本估计总体，统计案例（十大题型）- 【重难点突破】2024-2025学年高一下·人教A版必修第二册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题5-1 随机抽样，样本估计总体，统计案例 总览 题型·解读 【题型1】分层抽样 【题型2】简单随机抽样估计总体 【题型3】频率分布直方图的相关计算 【题型4】几个数的百分位数计算 【题型5】频率分布直方图中的百分位数计算 【题型6】数据的处理与分析案例 【题型7】几个数的平均数、方差、极差的计算 【题型8】两组数据合并之后的方差计算 【题型9】综合问题 【题型10】统计解答题专练 题型汇编 知识梳理与常考题型 基础知识 1、总体平均数与样本平均数 (1)概念 名称 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式. 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数. 说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确. (2)求和符号的性质 ①； ②，其中k为常数. 2、总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，，，，总体平均数为，则总体方差=. ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，不妨记为，，，，其中出现的频数为(i=1，2，，k)，则总体方差为=. 总体标准差：S=. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 【题型1】分层抽样 典型例题 【例题1】高一（1）班有学生45人，高一（2）班有学生27人，高一（3）班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（   ） A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，9 巩固练习 题型 【巩固练习1】某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（   ） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 【巩固练习2】（23-24高一下·广东佛山·期末）某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩，并算得这部分同学的平均分以及男生和女生各自的平均分 ，且男女生的平均分不相等，由于记录员的疏忽把人数弄丢了，则据此可确定的是（      ） A．这部分同学是高分人数多还是低分人数多 B．这部分同学是男生多还是女生多 C．这部分同学的总人数 D．全年级是男生多还是女生多 【题型2】简单随机抽样估计总体 典型例题 【例题1】从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（    ） A． B． C． D． 【例题2】某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（    ） A． B． C． D． .巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一上·贵州遵义·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（    ） A．2800 B．1800 C．1400 D．1200 【巩固练习2】用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有（    ） A．320石 B．160石 C．80石 D．60石 【巩固练习3】中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 【题型3】频率分布直方图的相关计算 基础知识 频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%个体大于或等于中位数. 因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 【例题1】某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了200名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间内的人数为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【例题2】（23-24高一下·山东青岛·期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（    ） A．数据中可能存在极端大的值 B．这组数据是不对称的 C．数据中众数一定不等于中位数 D．数据的平均数大于中位数 【例题3】某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求m的值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (2)为了了解部分员工对＂工作任务安排＂的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数. 巩固练习 题型 【巩固练习1】某高中有300名学生参加数学竞赛， 其中有三分之一的学生 成绩不低于100分， 将不低于100分的学生成绩制成频率分布直方图(如图)，分段区间是，现用分层抽样的方法从这300名学生中随机进行抽取，若成绩在之间的抽取5人，那么应从间抽取的人数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习2】某城市户居民的月平均用电量单位：度，以，，，分组的频率分布直方图如图．    （1）求直方图中的值； （2）在这户居民中，月平均用电量不低于度的有多少户？ （3）在月平均用电量为，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？ 【巩固练习3】为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中x的值； (2)设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量小于6吨的人数； (3)由频率分布直方图估计该市居民月均用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）． 【题型4】几个数的百分位数计算 基础知识 基本概念：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 求解步骤：可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 示例：数据集为 12,14,15,17,19,23,27,30 （1）求第70百分位数：n=8 ， i=8×70%=5.6 ，向上取整得 6 ，故第70百分位数为第6项数据23 （2）求第50百分位数： i=8×50%=5, 故取第5项和第6项数据的平均数（19+23）÷2=21 四分位数的分类 下四分位数：第25百分位数； 上四分位数：第75百分位数 典型例题 【例题1】一组数据23，76，45，37，58，16，28，15，20的第25百分位数是 ． 【例题2】从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（   ） A．88 B．90 C．123 D．126 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ） A．17 B．16.5 C．16 D．15.5 【巩固练习2】有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98，则其25%分位数与75%分位数的和为（    ） A．144 B．145 C．148 D．153 【巩固练习3】已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（23-24高一上·江西南昌·期末）支原体肺炎是学龄前儿童及青年人常见的一种肺炎，全年均可发病，以冬季多见，主要通过飞沫传播，潜伏期较长，近期，某班级出现许多学生感染支原体肺炎的现象，为确保班级的正常教学，该班班主任统计了最近一周5天感染支原体肺炎的学生人数，已知这5天的人数互不相等，且5天数据的平均数为，若最后一天的数据不小心被墨水污染，前4天的数据的平均数为，若，则4天数据的第60百分位数 （填“大于”，“小于”“等于”）这5天数据的第60百分位数． 【题型5】频率分布直方图中的百分位数计算 基础知识 在频率分布直方图中计算百分位数的步骤可分为以下四部分 1、计算累积频率；2、定位区间；3、设值计算 典型例题 【例题1】（多选）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（   ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6% B．估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元 C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【例题2】某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数； (2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）． 【例题2】（23-24高一下·广东佛山·期末）某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了 100 名同学的身高数据 (单位: )，制作成频率分布直方图如图所示. (1)求这 100 名同学的平均身高的估计值 (同一组数据用区间中点值作为代表); (2)用分层抽样的方法从 中抽出一个容量为17 的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人? (3)估计这 100 名同学身高的上四分位数. 巩固练习 题型 【巩固练习1】某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（    ）    A． B．长度的平均数是93 C．长度的中位数一定落在区间内 D．长度落在区间内的个数为35 【巩固练习2】党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．则下列结论不正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数为80分 C．满意度计分的分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76.5 【巩固练习3】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取了名用户，从地区随机抽取了名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分，该公司将收集到的数据按照、、、分组，绘制成评分频率分布直方图如图． (1)从地区满意程度评分的第百分位数； (2)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，估计地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，比较和的大小． 【题型6】数据的处理与分析案例 典型例题 【例题1】甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（   ） A．甲：平均数为，中位数为 B．乙：中位数为，众数为 C．丙：平均数为，方差为 D．丁：中位数为，方差为 【例题2】在某次演讲比赛中，10位评委对选手甲的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.3，8.4，9.9.选手的最终得分将按照去掉一个最低分和一个最高分的规则进行处理，则处理前后选手甲的得分（   ） A．极差不变 B．平均数不变 C．方差不变 D．中位数不变 【例题3】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（    ） A．甲组中位数为3，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为2，方差为3 D．丁组平均数为2，第85百分位数为7 巩固练习 题型 【巩固练习1】某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（    ） A．诗经组中位数为3，众数为2 B．论语组平均数为3，方差为1 C．春秋组平均数为3，众数为2 D．礼记组中位数为3，极差为4 【巩固练习2】甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（   ） 甲同学：中位数为22，众数为20 乙同学：中位数为25，平均数为22 丙同学：第40百分位数为22，极差为2 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8 A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习3】甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是（   ） A．甲：中位数为9，众数为11 B．乙：中位数为9，极差为3 C．丙：平均数为8，极差为4 D．丁：平均数为8，方差为3 【巩固练习4】（多选）某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（    ） A．诗经组中位数为3，众数为2 B．论语组平均数为3，方差为1 C．春秋组平均数为3，众数为2 D．礼记组中位数为2，极差为4 【巩固练习5】（多选）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：平均数为2，众数为2；乙地：中位数为3，极差为4；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，标准差为，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（   ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【题型7】几个数的平均数、方差、极差的计算 典型例题 【例题1】已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为 ． 【例题2】（23-24高一下·广东中山·期末）记一组数据的平均数为，方差为，则数据的平均数为 . 【例题3】记数据的平均数为 ，方差为，数据的平均数为，方差为，若，为非零常数，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题4】（23-24高一下·浙江温州·期末）已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（    ） A．18.2 B．19.6 C．19.8 D．21.7 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·福建福州·期末）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰了出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是 （   ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为3，方差为2 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为1.6 【巩固练习2】已知某数据的平均数为，方差为，现再加入一个数据，则这个数据的方差为（       ） A． B． C． D． 【巩固练习3】设实数x，，满足1，3，4，x，y，的平均数与50%分位数相等，则数据x，y，的方差为 ． 【巩固练习4】若一组样本数据、、、的平均数为，方差为，则数据、、、、、、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【题型8】两组数据合并之后的方差计算 解题技巧 分层随机抽样的平均数与方差计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，，第1层、第2层的样本平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则==+. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用=+估计总体平均数. 又==，所以+=+=. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 分层随机抽样的方差计算：若第1组数据中有m个数，且平均数为，；第2组数据有n个数，且的平均数与方差为，. （1）两组数据合并后的平均数 （2）两组数据合并后的方差 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为 ．参考公式 【例题2】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）某校组织高一1班，2班开展数学竞赛，1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为，.记两个班总成绩的方差为，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若一组样本数据、、、的平均数为，另一组样本数据、、、的方差为，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习3】在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（    ） A．中位数一定不变，方差可能变大 B．中位数可能改变，方差可能变大 C．中位数一定不变，方差可能变小 D．中位数可能改变，方差可能变小 【巩固练习4】某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为，标准差为6，男员工的平均体重为，标准差为4.若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（    ） A．28 B．35 C．39 D．48 【题型9】综合问题 典型例题 【例题1】（多选）某校高三年级在一次考试后，为分析学生的学习情况，从中随机抽取了200名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这200名学生中，成绩位于的学生成绩方差为13.75，成绩位于的学生成绩方差为7.75.则（   ）    A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为76.14 C．估计该年级在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级在80分及以上的学生成绩的方差为31 【例题2】（多选）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（    ） A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 【巩固练习2】某药品企业研发了一个新药，其药效（单位：药物单位）与某活性成分AHH的含量（单位：mg）近似满足函数关系，为检查其质量，现抽查了8个样本，得到某活性成分AHH的含量的平均为4mg，标准差为2mg，则药效的平均值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【巩固练习3】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年200位居民家庭的月平均用水量（单位：吨），将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值； （2）该市决定设置议价收费标准，用水量低于的居民家庭按照“民用价”收费，不低于的按照“商业价”收费，为保障有的居民能享受“民用价”，请设置该标准； （3）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，分别是.规定“最佳稳定值”是这样一个量：与各组代表值的差的平方和最小.依此规定，请求出的值. 【题型10】统计解答题专练 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰. 【例题2】（24-25高一下·重庆·期中）在重庆复旦中学“复旦好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：85 86   92 87 89   95 82 91 85 小组B：95 93 51 88   90 89 91 92 94 (1)分别求两组评委打分的平均分． (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【例题3】（23-24高一下·浙江衢州·期末）2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中. (1)求图中的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗？ (3)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差. 【例题4】（23-24高一下·湖北·期末）某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖，，三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.    (1)求的值； (2)若去年小明家的月均用电量为，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？ (3)通过进一步计算抽样的样本数据，得到A区样本数据的均值为213，方差为24.2；B区样本数据的均值为223，方差为12.3；C区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算） 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； (2)根据样本频率分布直方图估计样本的平均数； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线．（精确到1） 【巩固练习2】（23-24高一下·广东广州·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【巩固练习3】（23-24高一下·广东茂名·期末）某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人. (1)求图中a，b的值； (2)并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）； (3)若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为；200名学生分数的平均数为，方差为. ①；②，请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由. 【巩固练习4】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【巩固练习5】某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: (3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【巩固练习6】（23-24高一下·广东广州·期末）为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (1)求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间； (3)若样本数据在与内的方差分别为，，计样本数据在内的方差. 【巩固练习7】在对重庆市某中学高一年级学生身高的调查中，采用分层抽样，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据（单位：cm）如下： 男生：172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0 172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0 女生：163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0 162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0 155.0148.0172.0162.5 (1)从身高在的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于174.5的概率； (2)利用所学过的统计学知识比较样本中男生、女生的身高的整齐程度； (3)估计该中学高一年级全体学生身高的方差（精确到0.1）. 参考数据：其中男生样本记为，，…，，女生样本记为，，…，，其中，，，，，. 【巩固练习8】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)样本数据的第62百分位数约为多少； (3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【巩固练习9】（24-25高一下·云南昆明·期中）云南师大附中在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)学校要求按照分数从高到低选拔首100名的学生进行培训，试估计这100名学生的最低分数（计算结果保留一位小数）； (3)试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为63分和86分的两名同学的成绩是否进人到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）． 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 1 / 30 专题 5-1 随机抽样，样本估计总体，统计案例 【题型 1】分层抽样 【题型 2】简单随机抽样估计总体 【题型 3】频率分布直方图的相关计算 【题型 4】几个数的百分位数计算 【题型 5】频率分布直方图中的百分位数计算 【题型 6】数据的处理与分析案例 【题型 7】几个数的平均数、方差、极差的计算 【题型 8】两组数据合并之后的方差计算 【题型 9】综合问题 【题型 10】统计解答题专练 1、总体平均数与样本平均数 (1)概念 名称 定义 总体均值（总体 平均数） 一般地，总体中有 N 个个体，它们的变量值分别为 Y1，Y2，…，YN，则称 为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的 N个变量值中，不同的值共有 k（k≤N）个，不妨记为 Y1，Y2，…， Yk，其中 Yi出现的频数为 fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权 平均数的形式 . 样本均值（样本 平均数） 如果从总体中抽取一个容量为 n 的样本，它们的变量值分别为 y1，y2，…， yn，则称 为样本均值，又称样本平均数. 说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数 去估计总体平均数 ； 总览 题型·解读 题型汇编 知识梳理与常考题型 基础知识 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 2 / 30 (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确. (2)求和符号 的性质 ① ； ② ，其中 k为常数. 2、总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是 ， ， ， ，用 表示这组数据的平均数，则我们称 为这组数 据的方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成 的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根 ，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为 ， ， ， ，总体平均数为 ，则总体方差 = . ②加权式：如果总体的 N个变量值中，不同的值共有 k(k N)个，不妨记为 ， ， ， ，其中 出现的频数为 (i=1，2， ，k)，则总体方差为 = . 总体标准差：S= . (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数 据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+ ).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性， 则标准差为 0.反之，标准差为 0 的样本，其中的数据都相等. 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 3 / 30 【题型 1】分层抽样 【例题 1】高一（1）班有学生 45 人，高一（2）班有学生 27 人，高一（3）班有学生 36 人，用分 层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成 6 6 的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2） 班、高一（3）班分别被抽取的人数是（ ） A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，9 【巩固练习 1】某政府机关在编人员共 100 人，其中副处级以上干部 10 人，一般干部 70 人，工人 20 人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取 20 人，用下列哪种方法最合 适（ ） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 【巩固练习 2】（23-24 高一下·广东佛山·期末）某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分 女生的期中考试数学成绩，并算得这部分同学的平均分以及男生和女生各自的平均分 ，且男女生的 平均分不相等，由于记录员的疏忽把人数弄丢了，则据此可确定的是（ ） A．这部分同学是高分人数多还是低分人数多 B．这部分同学是男生多还是女生多 C．这部分同学的总人数 D．全年级是男生多还是女生多 【题型 2】简单随机抽样估计总体 【例题 1】从一群游戏的小孩中随机抽出 k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿， 再从中任取 m人，发现其中有 n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（ ） A． 𝑘𝑛 𝑚 B．𝑘 +𝑚 − 𝑛 C． 𝑘𝑚 𝑛 D． 𝑚 𝑘𝑛 典型例题 巩固练习 题型 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 4 / 30 【例题 2】某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的 500 名学生进行 了调查，调查中使用了两个问题，问题 1：你的生日公历月份是不是偶数？问题 2：你是否经常吸烟？ 调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的 50 个白球和 50 个红球的袋子，每个被调查者 随机从袋子中摸取 1 个球，再放回摸出白球就如实回答问题 1，摸出红球就如实回答问题 2. 回答“是” 的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有 140 个石头，由此估计 这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（ ） A．6% B．12% C．14% D． 28% . 【巩固练习 1】（23-24 高一上·贵州遵义·期末）管理人员从一池塘内随机捞出 40 条鱼，做上标记后 放回池塘.10 天后，又从池塘内随机捞出 70 条鱼，其中有标记的有 2 条.根据以上数据可以估计该池 塘内鱼的总条数是（ ） A．2800 B．1800 C．1400 D．1200 【巩固练习 2】用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有 道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1600 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 250 粒 内夹谷 25 粒，估计这批米内所夹的谷有（ ） A．320 石 B．160 石 C．80 石 D．60 石 【巩固练习 3】中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期， 并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之 作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识 的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷 3318 石，抽样取谷一把，数 得 168 粒内有秕谷 22 粒，则粮仓内的秕谷约为（ ） A．321 石 B．166 石 C．434 石 D．623 石 【题型 3】频率分布直方图的相关计算 频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一 般用中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有 50%的个体小于或等于中位数，也有 50%个体大于或等于中位数. 巩固练习 题型 基础知识 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 5 / 30 因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率 分布直方图中，样本平均数可用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 【例题 1】某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了 200 名学生的成绩（满分 100 分）进行 统计，成绩均在[50,100]内，将其分成 5 组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整 理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间[80,90)内的人数为（ ） A．20 B．40 C．60 D．80 【例题 2】（23-24 高一下·山东青岛·期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说 法一定错误的是（ ） A．数据中可能存在极端大的值 B．这组数据是不对称的 C．数据中众数一定不等于中位数 D．数据的平均数大于中位数 【例题 3】某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了 200 名员工，根据 这 200 名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在 50,100 内），将所得数据分成五 组：  )50,60 ，[60,70)，[70,80) ，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求 m的值，并估计这 200 名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (2)为了了解部分员工对＂工作任务安排＂的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在[50,60) ， [60,70)，[70,80) 的员工中用分层抽样的方法随机抽取 54 人进行沟通，求抽取的评分落在[70,80) 内 的人数. 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 6 / 30 【巩固练习 1】某高中有 300 名学生参加数学竞赛， 其中有三分之一的学生 成绩不低于 100 分， 将 不低于 100 分的学生成绩制成频率分布直方图(如图)，分段区间是 [100,110), [110,120), [120,130), [130,140), [140,150]，现用分层抽样的方法从这 300 名学生中随机 进行抽取，若成绩在[120,140)之间的抽取 5 人，那么应从[100,110)间抽取的人数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习 2】某城市100户居民的月平均用电量 (单位：度 )，以 [160,180), [180,200)， [200,220), [220,240)，[240,260), [260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中𝑥的值； （2）在这100户居民中，月平均用电量不低于220度的有多少户？ （3）在月平均用电量为[220,240),[240,260)，[260,280), [280,300]的四组用户中，用分层抽样的方 法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？ 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 7 / 30 【巩固练习 3】为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居 民节约用水．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 200 位居民每人的月均用水量（单位： 吨），将数据按照  )0,2 ，  )2,4 ，…， )8,10 分成 5 组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中 x的值； (2)设该市有 50 万居民，估计全市居民中月均用水量小于 6 吨的人数； (3)由频率分布直方图估计该市居民月均用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）． 【题型 4】几个数的百分位数计算 基本概念：一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p%的数据小 于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 求解步骤：可以通过下面的步骤计算一组 n 个数据的第 p 百分位数： 第 1 步，按从小到大排列原始数据. 第 2 步，计算 i=n×p%. 第 3 步，若 i不是整数，而大于 i的比邻整数为 j，则第 p 百分位数为第 j项数据；若 i是整数，则第 p 百分位数为第 i项与第(i+1)项数据的平均数. 示例：数据集为 12,14,15,17,19,23,27,30 （1）求第 70 百分位数：n=8 ， i=8×70%=5.6 ，向上取整得 6 ，故第 70 百分位数为第 6 项数据 23 （2）求第 50 百分位数： i=8×50%=5, 故取第 5 项和第 6 项数据的平均数（19+23）÷2=21 四分位数的分类 下四分位数：第 25 百分位数； 上四分位数：第 75 百分位数 基础知识 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 8 / 30 【例题 1】一组数据 23，76，45，37，58，16，28，15，20 的第 25 百分位数是 ． 【例题 2】从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分 位数为（ ） A．88 B．90 C．123 D．126 【巩固练习 1】已知一组数据12,17,15, ,20x 的平均数为 16，则这组数据的第 60 百分位数为（ ） A．17 B．16.5 C．16 D．15.5 【巩固练习 2】有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77， 78，79，79，82，85，87，88，95，98，则其 25%分位数与 75%分位数的和为（ ） A．144 B．145 C．148 D．153 【巩固练习 3】已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37, ,40,50m ；乙组： 24, ,33,44,48,52n ，若这两组数据的第 30 百分位数､第 50 百分位数都分别对应相等，则 m n 等于（ ） A． 4 3 B． 10 7 C． 12 7 D． 7 4 【巩固练习 4】（23-24 高一上·江西南昌·期末）支原体肺炎是学龄前儿童及青年人常见的一种肺炎， 全年均可发病，以冬季多见，主要通过飞沫传播，潜伏期较长，近期，某班级出现许多学生感染支 原体肺炎的现象，为确保班级的正常教学，该班班主任统计了最近一周 5 天感染支原体肺炎的学生 人数，已知这 5 天的人数互不相等，且 5 天数据的平均数为 x ，若最后一天的数据不小心被墨水污 染，前 4 天的数据的平均数为 y ，若 x y= ，则 4 天数据的第 60 百分位数 （填“大于”，“小 于”“等于”）这 5 天数据的第 60 百分位数． 【题型 5】频率分布直方图中的百分位数计算 在频率分布直方图中计算百分位数的步骤可分为以下四部分 1、计算累积频率；2、定位区间；3、设值计算 典型例题 巩固练习 题型 基础知识 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 9 / 30 【例题 1】（多选）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年 收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A．该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比例估计为 6% B．估计该地农户家庭年收入的 85%分位数为 10 万元 C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 【例题 2】某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的 100 名 学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方 图． (1)估计这 100 名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数； (2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的 75百分位数（结果保留两位小数）． 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 10 / 30 【例题 2】（23-24 高一下·广东佛山·期末）某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随 机抽取了 100 名同学的身高数据 (单位: cm )，制作成频率分布直方图如图所示. (1)求这 100 名同学的平均身高的估计值 (同一组数据用区间中点值作为代表); (2)用分层抽样的方法从  )  )  )165,170 , 170,175 , 175,180 中抽出一个容量为 17 的样本，如果样本按 比例分配，则各区间应抽取多少人? (3)估计这 100 名同学身高的上四分位数. 【巩固练习 1】某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了 100 件产品，质检人员测量其长度（单位： 厘米），将所得数据分成 6 组：[90,91),[91,92),[92,93),[93,94),[94,95),[95,96]，得到如图所示的频率 分布直方图，则对这 100 件产品，下列说法中不正确的是（ ） A． 0.20b = B．长度的平均数是 93 C．长度的中位数一定落在区间[93,94)内 D．长度落在区间[93,94)内的个数为 35 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 11 / 30 【巩固练习 2】党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合， 数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社 区服务的满意度，满意度采用计分制（满分 100 分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中 𝑏 = 3𝑎．则下列结论不正确的是（ ） A．𝑎 = 0.01 B．满意度计分的众数为 80 分 C．满意度计分的75%分位数是 85 分 D．满意度计分的平均分是 76.5 【巩固练习 3】（23-24 高一下·广东广州·阶段练习）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A 地 区随机抽取了 400名用户，从 B 地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分， 该公司将收集到的数据按照[20,40) 、[40,60)、[60,80) 、[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图 如图． (1)从A 地区满意程度评分的第70百分位数； (2)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，估计A 地区抽取的400名 用户对该公司产品的评分的平均值为 1 ， B 地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为 2 ，以及 ,A B两地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为 0 ，比较 0 和 1 2 2  + 的大小． 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 12 / 30 【题型 6】数据的处理与分析案例 【例题 1】甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数 .根据四名同学的 统计结果，可以判断出一定没有出现点数 6 的是（ ） A．甲：平均数为3，中位数为 2 B．乙：中位数为3，众数为2 C．丙：平均数为 2，方差为 2.4 D．丁：中位数为3，方差为2.8 【例题 2】在某次演讲比赛中，10 位评委对选手甲的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2， 8.3，8.4，9.9.选手的最终得分将按照去掉一个最低分和一个最高分的规则进行处理，则处理前后选 手甲的得分（ ） A．极差不变 B．平均数不变 C．方差不变 D．中位数不变 【例题 3】（23-24 高一下·陕西咸阳·阶段练习）在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三 年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有 10 位选手．记录参赛人员失分（均为非负 整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过 7 分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息 如下，则一定为“优秀小组”的是（ ） A．甲组中位数为 3，极差为 5 B．乙组平均数为 2，众数为 2 C．丙组平均数为 2，方差为 3 D．丁组平均数为 2，第 85 百分位数为 7 【巩固练习 1】某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4 个小 组参赛，每组 10 位选手，若该组每位选手的失分不超过 6 分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选 手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（ ） A．诗经组中位数为 3，众数为 2 B．论语组平均数为 3，方差为 1 C．春秋组平均数为 3，众数为 2 D．礼记组中位数为 3，极差为 4 【巩固练习 2】甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了 5 个正整数数据，根据下面四名同学的统计结 果，可以判断出所有数据一定都不小于 20 的同学人数是（ ） 甲同学：中位数为 22，众数为 20 乙同学：中位数为 25，平均数为 22 丙同学：第 40 百分位数为 22，极差为 2 丁同学：有一个数据为 30，平均数为 24，方差为 10.8 A．1 B．2 C．3 D．4 典型例题 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 13 / 30 【巩固练习 3】甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由 5 个整数组成）进行分析，得到以下数字 特征，则不能判断这组数据一定都小于 12 的是（ ） A．甲：中位数为 9，众数为 11 B．乙：中位数为 9，极差为 3 C．丙：平均数为 8，极差为 4 D．丁：平均数为 8，方差为 3 【巩固练习 4】（多选）某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4 个小组参赛，每组 10 位选手，若该组每位选手的失分不超过 6 分，该组获得“优秀”称号，则根据每 组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（ ） A．诗经组中位数为 3，众数为 2 B．论语组平均数为 3，方差为 1 C．春秋组平均数为 3，众数为 2 D．礼记组中位数为 2，极差为 4 【巩固练习 5】（多选）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大 规模群体感染的标准为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”，过去 10 天，甲、乙、丙、丁 四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：平均数为 2，众数为 2；乙地：中位数为 3，极差为 4；丙 地：平均数为 2，中位数为 3；丁地：平均数为 2，标准差为 2 ，甲、乙、丙、丁四地中，一定没 有发生大规模群体感染的是（ ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【题型 7】几个数的平均数、方差、极差的计算 【例题 1】已知样本 1x ， 2x ， 3x 的平均数为 2，方差为 1，则 2 1x ， 2 2x ， 2 3x 的平均数为 ． 【例题 2】（23-24 高一下·广东中山·期末）记一组数据 1 2, , , nx x x 的平均数为1.6，方差为1.44，则数 据 2 2 2 1 2, , , nx x x 的平均数为 . 【例题 3】记数据 1 2, , , nx x x 的平均数为 x ，方差为 2 xs ，数据 1 2, , , ny y y 的平均数为 y ，方差为 2 ys ， 若 ( 1,2, , )i iy kx b i n= + = ， ,k b为非零常数，则下列说法一定正确的是（ ） A． 2 2 2y k x= B． 2 2 2 2y k x b= + C． 2 2 2 y xs k s= D． 2 2 2 2 y xs k s b= + 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 14 / 30 【例题 4】（23-24 高一下·浙江温州·期末）已知样本数据 1 2 9, , ,x x x   的平均数为 9，方差为 12，现这 组样本数据增加一个数据 10x ，此时新样本数据的平均数为 10，则新样本数据的方差为（ ） A．18.2 B．19.6 C．19.8 D．21.7 【巩固练习 1】（23-24 高一下·福建福州·期末）四名同学各掷骰子 5 次，分别记录每次骰了出现的点 数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数 6 的是 （ ） A．平均数为 3，中位数为 2 B．平均数为 3，方差为 2 C．中位数为 3，众数为 2 D．中位数为 3，方差为 1.6 【巩固练习 2】已知某4数据的平均数为6 ，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差 为（ ） A． 12 5 B． 16 5 C． 76 25 D． 18 5 【巩固练习 3】设实数 x， ( )4y x y  ，满足 1，3，4，x，y， 2y + 的平均数与 50%分位数相等， 则数据 x，y， 2y + 的方差为 ． 【巩固练习 4】若一组样本数据 1x 、 2x 、 3x 、 4x 的平均数为 2 ，方差为4 ，则数据 1x 、 2x 、 3x 、 4x 、 12 2x + 、 22 2x + 、 32 2x + 、 42 2x + 的平均数和方差分别为（ ） A． 4、14 B． 4、6 C．3、14 D．3、6 【题型 8】两组数据合并之后的方差计算 分层随机抽样的平均数与方差计算 在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第 1 层和第 2 层包含的个体数分别为M和 N，抽取的样本 量分别为 m和 n，第 1 层、第 2 层的总体平均数分别为 ， ，第 1 层、第 2 层的样本平均数分别 为 ， ，总体平均数为 ，样本平均数为 ，则 = = + . 由于用第 1 层的样本平均数 可以估计第 1 层的总体平均数 ，用第 2 层的样本平均数 可以 估计第 2 层的总体平均数 ，因此可以用 = + 估计总体平均数 . 巩固练习 题型 解题技巧 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 15 / 30 又 = = ，所以 + = + = . 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数 . 分层随机抽样的方差计算：若第 1 组数据中有 m 个数，且平均数为 1x ， 2 1S ；第 2 组数据有 n 个数， 且的平均数与方差为 2x ， 2 2S . （1）两组数据合并后的平均数 1 2 mx nx w m n + = + （2）两组数据合并后的方差 ( ) ( )2 2 21 2 2 2 48S m n x w y w m n m n S S= +   + − + −    + = + 【例题 1】（23-24 高一下·广东惠州·阶段练习）某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均 分和方差分别为 91 和 11，女生的平均分和方差分别为 86 和 8，已知该班男生有 30 人，女生有 20 人，则该班本次数学测试的总体方差为 ．参考公式 ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 + − + + − = + m s x x n s x x s m n 【例题 2】（23-24 高一上·浙江绍兴·期末）某校组织高一 1 班，2 班开展数学竞赛，1 班 40 人，2 班 30 人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为 2 1s ， 2 2s .记两个班总成绩的方差为 2s ，则（ ） A． 2 2 2 1 2 2 s s s +  B． 2 2 2 1 24 3 7 s s s +  C． 2 2 2 1 24 3 7 s s s + = D． 2 2 2 1 24 3 7 s s s +  【巩固练习 1】某班级有 30 名男生和 20 名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得 到男生样本数据的平均值为 8，方差为 2，女生样本数据的平均值为 10.5，方差为 0.75，则该班级全 体学生周末在家学习时长的平均值 x 和方差 2s 的值分别是（ ） A． 29.5 1.5x s= =， B． 29 1.5x s= =， C． 29.5 3x s= =， D． 29 3x s= =， 【巩固练习 2】若一组样本数据 1x 、 2x 、 、 nx 的平均数为10，另一组样本数据 12 4x + 、 22 4x + 、 、 2 4nx + 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ） A．17，54 B．17 ， 48 C．15，54 D．15，48 典型例题 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 16 / 30 【巩固练习 3】在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出 10 个人的成绩，甲班的十个人成绩分 别为 1 2 10x x x､ ､ ､ ，乙班的十个人成绩分别为 1 2 10, , ,y y y .假设这两组数据中位数相同､方差也相同， 则把这 20 个数据合并后（ ） A．中位数一定不变，方差可能变大 B．中位数可能改变，方差可能变大 C．中位数一定不变，方差可能变小 D．中位数可能改变，方差可能变小 【巩固练习 4】某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例 分配的分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的体重的方差为 120，女员工的平均 体重为 50kg，标准差为 6，男员工的平均体重为 70kg，标准差为 4.若样本中有 21 名男员工，则女员 工的人数为（ ） A．28 B．35 C．39 D．48 【题型 9】综合问题 【例题 1】（多选）某校高三年级在一次考试后，为分析学生的学习情况，从中随机抽取了 200 名学 生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这 200 名学生中，成绩位于 )80,90 的学生成绩方差为 13.75，成绩位于 90,100 的学生成绩方差为 7.75. 则（ ） A． 0.005a = B．估计该年级学生成绩的中位数约为 76.14 C．估计该年级在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 87.50 D．估计该年级在 80 分及以上的学生成绩的方差为 31 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 17 / 30 【例题 2】（多选）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了 100 名学 生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得 到这 100 名学生中，成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为 12，成绩位于[90,100) 内的同学成绩方差 为 10．则（ ） A． 0.004a = B．估计该年级学生成绩的中位数约为 77.14 C．估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 87.50 D．估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的方差为 30.25 【巩固练习 1】（多选）若数据 1 2 10, , ,x x x 的平均数为 3，方差为 4，则下列说法正确的是（ ） A．数据 1 2 104 1,4 1, , 4 1x x x+ + + 的平均数为 13 B．数据 1 2 103 ,3 , ,3x x x 的方差为 12 C． 10 1 30i i x = = D． 10 2 1 130i i x = = 【巩固练习 2】某药品企业研发了一个新药，其药效 y（单位：药物单位）与某活性成分 AHH 的含 量 x（单位：mg）近似满足函数关系 22 12y x x= − + ，为检查其质量，现抽查了 8 个样本，得到某活 性成分 AHH 的含量的平均为 4mg，标准差为 2mg，则药效 y 的平均值为（ ） A．8 B．6 C．5 D．4 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 18 / 30 【巩固练习 3】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进 行了调查.通过抽样，获得了某年 200 位居民家庭的月平均用水量（单位：吨），将数据按照 )0,4 ，  )  )  )  )  4,8 , 8,12 , 12,16 , 16,20 , 20,24 分成 6 组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中m的值； （2）该市决定设置议价收费标准n，用水量低于 n的居民家庭按照“民用价”收费，不低于 n的按照“商 业价”收费，为保障有92%的居民能享受“民用价”，请设置该标准 n； （3）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，分别是 1 2 3 4 5 6 , , , , ,x x x x x x .规定“最佳稳定值” x 是这样 一个量： x与各组代表值的差的平方和最小.依此规定，请求出 x的值. 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 19 / 30 【题型 10】统计解答题专练 【例题 1】（23-24 高一下·广东深圳·阶段练习）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创 建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100份作为样本，将100个样本数据按 )30.40 ， )40 50， ，  )50 60， ，  )60 70， ，  )70,80 ，  80,90 分成 6 组，并整理得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)请通过频率分布直方图估计这 100 份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表）； (3)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30%的市民，某市民知识竞赛的成绩是 78，请估计该市民能否 得到表彰. 【例题 2】（24-25 高一下·重庆·期中）在重庆复旦中学“复旦好声音”校园歌手决赛中，由 9 名专业人 士和 9 名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组 A：85 86 92 87 89 95 82 91 85 小组 B：95 93 51 88 90 89 91 92 94 (1)分别求两组评委打分的平均分． (2)判断小组 A和小组 B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 20 / 30 【例题 3】（23-24 高一下·浙江衢州·期末）2023 年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期， 先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢 州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅， 提升衢州经济，在 5 月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方 面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中 4b a= . (1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过60%的人满意度在 75 分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市 5 月份文旅成绩合格 了吗？ (3)衢州文旅 6 月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知 6 月 1 日-6 月 7 日调查的 4 万份数据 中其满意度的平均值为 80，方差为 75；6 月 8 日-6 月 14 日调查的 6 万份数据中满意度的平均值为 90，方差为 70.由这些数据计算 6 月 1 日—6 月 14 日的总样本的平均数与方差. 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 21 / 30 【例题 4】（23-24 高一下·湖北·期末）某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该 市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖 A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按 2：2：1 的比例分配抽取了 100 户后，统计其去年一年的月均用电 量（单位： kW h ），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示. (1)求m的值； (2)若去年小明家的月均用电量为234kW h ，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中 85%的用户，请判断小明的估计是否正确？ (3)通过进一步计算抽样的样本数据，得到 A 区样本数据的均值为 213，方差为 24.2；B 区样本数据 的均值为 223，方差为 12.3；C 区样本数据的均值为 233，方差为 38.5，试估计该市去年第二档居民 用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算） 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 22 / 30 【巩固练习 1】（23-24 高一下·广东广州·阶段练习）某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测 评，共有 1000 名学生参加，随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 4 组：[60，70）， [70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从 )  80,90 , 90,100 两个区间共抽取出 5 名学生，则每个区间分别应抽取多 少人； (2)根据样本频率分布直方图估计样本的平均数； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图 估计良好的最低分数线．（精确到 1） 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 23 / 30 【巩固练习 2】（23-24 高一下·广东广州·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创 建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成绩 均为不低于 40 分的整数）分成六段：  )40,50 ， )50,60 ，， 90,100 得到如图所示的频率分布直 方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第 75 百分位数； (3)已知落在 )50,60 的平均成绩是 56，方差是 7，落在 )60,70 的平均成绩为 65，方差是 4，求两组 成绩的总平均数 z 和总方差 2s . 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 24 / 30 【巩固练习 3】（23-24 高一下·广东茂名·期末）某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯 体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了 200 名学生进行测试，测试 成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过 80 分的有 108 人. (1)求图中 a，b的值； (2)并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组 区间的中点值为代表）； (3)若抽取的 200 名学生中，男生 120 人，女生 80 人，其中男生分数的平均数为 x ，方差为 2 1s ；女生 分数的平均数为 y ，方差为 2 2s ；200 名学生分数的平均数为 z ，方差为 2s . ① ( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 2 120 80 200 200 s s x z s y z= + − + + − ；② ( ) ( ) 2 22 2 2 1 2 120 80 200 200 s s x z s y z   = + − + + −     ，请判断 公式①和公式②是否相等，并说明理由. 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 25 / 30 【巩固练习 4】（23-24 高一下·广东深圳·阶段练习）2023 年 10 月 22 日，汉江生态城 2023 襄阳马拉 松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明 实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第 一组  )45,55 ，第二组  )55,65 ，第三组 )65,75 ，第四组 )75,85 ，第五组 85,95 ，绘制成如图所示的 频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为 0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这 100 名候选者面试成绩的平均数和第 25 百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20 人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面 试者的面试成绩的平均数和方差分别为 72 和 30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 90 和 60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 26 / 30 【巩固练习 5】某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、 定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分 100 分.参加考核的学生有 40 人，考核得 分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中 t的值，并估计考核得分的第 60 百分位数: (2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比 例分配)，从得分在  )70,90 内的学生中抽取 5 人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自  )70,80 和  )80,90 的概率: (3)现已知直方图中考核得分在 )70,80 内的平均数为 75，方差为 6.25，在 )80,90 内的平均数为 85， 方差为 0.5，求得分在  )70,90 内的平均数和方差. 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 27 / 30 【巩固练习 6】（23-24 高一下·广东广州·期末）为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心， 促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复 兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的 2000 名学生中发放调查问卷，随机调查 了 100 名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照 )0, 20 ， )20, 40 ，… )100,120 ， 120,140 组后 绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (1)求a的值，若每周课外阅读时间 60 分钟以上（含 60 分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间； (3)若样本数据在 )0, 20 与  )20, 40 内的方差分别为 21 3s = ， 2 2 5 3 s = ，计样本数据在 )0, 40 内的方差 2s . 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 28 / 30 【巩固练习 7】在对重庆市某中学高一年级学生身高的调查中，采用分层抽样，抽取了一个容量为 40 的样本，其中男生 18 人，女生 22 人，其观测数据（单位：cm）如下： 男生：172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0 172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0 女生：163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0 162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0 155.0148.0172.0162.5 (1)从身高在 174.0,176.0 的男生中随机抽取 2 人，求至少有 1 人的身高大于 174.5 的概率； (2)利用所学过的统计学知识比较样本中男生、女生的身高的整齐程度； (3)估计该中学高一年级全体学生身高的方差（精确到 0.1）. 参考数据：其中男生样本记为 1x ， 2x ，…， 18x ，女生样本记为 1y ， 2y ，…， 22y ，其中 18 2 1 1 29083.3 18 i i x =  ， 170.5x = ， 22 2 1 1 25799.4 22 i i y =  ， 160.5y = ， 2170.5 29070.3 ， 2160.5 25760.3 . 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 29 / 30 【巩固练习 8】（24-25 高一下·河北保定·阶段练习）某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了 "我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取 100 份作为样本，将样本数据（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：  )  )  40 50 , 50 60 , , 90 100, , , ，并作出如图所示的频率分 布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)样本数据的第 62 百分位数约为多少； (3)若落在 )50,60 中的样本数据平均数是 52，方差是 6；落在 )60 70, 中的样本数据平均数是 64，方差 是 3，求这两组数据的总平均数 x和方差 2 . 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 30 / 30 【巩固练习 9】（24-25 高一下·云南昆明·期中）云南师大附中在组织选拔数学英才班的过程中，对高 一年级的 300 名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数 ( 1,2, ,300)ix i = 全部介于 45 分到 95 分之间，学校将所有分数分成 5 组：[45,55) ，[55,65) ，…，[85,95]，整理得到如图所示 的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值 x ； (2)学校要求按照分数从高到低选拔首 100 名的学生进行培训，试估计这 100 名学生的最低分数（计 算结果保留一位小数）； (3)试估计这 300 名学生的分数 ( 1,2, ,300)ix i = 的方差 2s ，并判断此次得分为 63 分和 86 分的两名 同学的成绩是否进人到了  ,x s x s− + 范围内？ （参考公式： ( ) 22 1 1 n i i i s f x x n = = − ，其中 if 为各组频数，参考数据： 129 11.4 ）． 【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题5-1 随机抽样，样本估计总体，统计案例 总览 题型·解读 【题型1】分层抽样 【题型2】简单随机抽样估计总体 【题型3】频率分布直方图的相关计算 【题型4】几个数的百分位数计算 【题型5】频率分布直方图中的百分位数计算 【题型6】数据的处理与分析案例 【题型7】几个数的平均数、方差、极差的计算 【题型8】两组数据合并之后的方差计算 【题型9】综合问题 【题型10】统计解答题专练 题型汇编 知识梳理与常考题型 基础知识 1、总体平均数与样本平均数 (1)概念 名称 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式. 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数. 说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确. (2)求和符号的性质 ①； ②，其中k为常数. 2、总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，，，，总体平均数为，则总体方差=. ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，不妨记为，，，，其中出现的频数为(i=1，2，，k)，则总体方差为=. 总体标准差：S=. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 【题型1】分层抽样 典型例题 【例题1】高一（1）班有学生45人，高一（2）班有学生27人，高一（3）班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（   ） A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，9 【答案】A 【分析】由分层抽样的方法结合题意计算即可. 【详解】利用分层抽样的方法得，高一（1）班应抽出（人）， 高一（2）班应抽出（人）， 高一（3）班应抽出（人）， 则高一（1）班，高一（2）班，高一（3）班分别被抽取的人数是15，9，12 巩固练习 题型 【巩固练习1】某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（   ） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 【答案】C 【分析】由分层抽样的适用条件即可判断； 【详解】由题意可知，总体由差异明显的三部分构成，所以选用分层随机抽样法． 【巩固练习2】（23-24高一下·广东佛山·期末）某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩，并算得这部分同学的平均分以及男生和女生各自的平均分 ，且男女生的平均分不相等，由于记录员的疏忽把人数弄丢了，则据此可确定的是（      ） A．这部分同学是高分人数多还是低分人数多 B．这部分同学是男生多还是女生多 C．这部分同学的总人数 D．全年级是男生多还是女生多 【答案】B 【分析】根据平均数意义可判断A；利用分层平均数公式可求出女生所占比例，可判断BC；分析题中样本的抽取方式可判断D. 【详解】对于A，平均数描述平均水平，所以无法判断高分和低分人数，A错误； 对于B，设这部分同学的平均分为，其中有男生人，女生人，平均分分别为， 根据分层平均数公式有， 整理得，即， 即根据两个平均数可求出这部分同学中女生所占比例，故B正确； 对于C，由B可知，只能求出男女生所占比例，无法确定总人数，C错误； 对于D，因为题干并没有告诉这部分学生的抽取是否按照比例抽取， 所以无法全年级是男生多还是女生多，D错误. 【题型2】简单随机抽样估计总体 典型例题 【例题1】从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（    ） A． B． C． D． 【分析】用样本估计总体，计算即可得. 【详解】设总人数为，则， 【例题2】某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，从随机从袋子中摸取1个球，所以摸到白球和红球的概率都为，所以这500个人中回答问题1的人数约为，回答问题2的人数约为，因为12个月其中月份为偶数的有6个，所以月份为偶数的概率为，所以问题1回答为是的人数约为人，所以问题2回答为是的人数约为人，所以这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为. .巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一上·贵州遵义·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（    ） A．2800 B．1800 C．1400 D．1200 【分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解. 【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为， 由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条， 所有池塘中有标记的鱼的概率为：， 又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼， 所以，解得， 即估计该池塘内共有条鱼. 【巩固练习2】用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有（    ） A．320石 B．160石 C．80石 D．60石 【分析】利用米与米内夹谷的比例大致相同得到关于的方程，解之即可估算. 【详解】依题意，设这批米内所夹的谷有石， 则，解得，所以估计这批米内所夹的谷有石. 【巩固练习3】中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 【详解】设粮仓内的秕谷有石，依题意，，解得，所以粮仓内的秕谷约为434石. 【题型3】频率分布直方图的相关计算 基础知识 频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数. 因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 典型例题 【例题1】2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了200名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间内的人数为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【分析】 先根据频率和为求出，进而可得人数. 【详解】由频率分布直方图可得 ，解得， 所以成绩落在区间内的人数为. 【例题2】（23-24高一下·山东青岛·期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（    ） A．数据中可能存在极端大的值 B．这组数据是不对称的 C．数据中众数一定不等于中位数 D．数据的平均数大于中位数 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的性质结合样本的数字特征即可判断. 【详解】数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则其图单峰不对称，故B正确；其大致图如下： 由图可知数据中可能存在极端大的值，故A正确； 由于“右拖尾”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，可能与众数相等，故C错误； 平均数靠近中点处，平均数容易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，故D正确 【例题3】某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求m的值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (2)为了了解部分员工对＂工作任务安排＂的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于m的方程，解出m值，再利用频率分布直方图中平均数公式即可； （2）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，解得. 估计这200名员工评分的平均数. （2）评分落在的人数： 评分落在的人数： 评分落在的人数： 所以评分落在区间，，的员工的人数比例为， 所以应抽取的评分落在内的人数为， 即应抽取的评分落在内的人数为24. 巩固练习 题型 【巩固练习1】某高中有300名学生参加数学竞赛， 其中有三分之一的学生 成绩不低于100分， 将不低于100分的学生成绩制成频率分布直方图(如图)，分段区间是，现用分层抽样的方法从这300名学生中随机进行抽取，若成绩在之间的抽取5人，那么应从间抽取的人数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由频率分布直方图求出样本中成绩在之间的人数，再求出分层抽样的抽样比，由此可求从间抽取的人数. 【详解】在之间的学生人数为人， 在之间的学生人数为 100人， 在之间的学生人数 为50人， 又用分层抽样的方法在之间的50名学生中抽取5人，即抽取比例为， 所以成绩在间的学生中抽取的人数应为人. 【巩固练习2】某城市户居民的月平均用电量单位：度，以，，，分组的频率分布直方图如图．    （1）求直方图中的值； （2）在这户居民中，月平均用电量不低于度的有多少户？ （3）在月平均用电量为，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？ 【分析】由直方图的性质可得，解方程可得；（2）根据频数的计算公式即可求解各段的用户数； （3）由（2）可得抽取比例，从而可得要抽取的户数. 【详解】（1）由直方图的性质可得， 解得，所以直方图中x的值是. （2）月平均用电量为的用户有户， 月平均用电量为的用户有户， 月平均用电量为的用户有户， 月平均用电量为的用户有户， 所以月平均用电量不低于度的有户. （3）由（2）可知，抽取比例＝＝， 所以月平均用电量在的用户中应抽取户． 【巩固练习3】为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中x的值； (2)设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量小于6吨的人数； (3)由频率分布直方图估计该市居民月均用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）． 【答案】(1) (2)万 (3)吨 【分析】（1）由频率之和为1列方程求解即得； （2）计算月均用水量小于6吨人数对应的频率，求出对应的人数； （3）由频率分布直方图中间值作为代表，计算估计平均数； 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得， 故直方图中x的值为. （2）由频率分布直方图可得， 月均用水量小于6吨的频率为：， 所以估计全市50万居民中月均用水量小于6吨的人数为：（万）； （3）该市居民用水的平均数估计为： ； 估计该市居民月均用水的平均数吨. 【题型4】几个数的百分位数计算 基础知识 基本概念：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 求解步骤：可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 示例：数据集为 12,14,15,17,19,23,27,30 （1）求第70百分位数 n=8 ， i=8×70%=5.6 ，向上取整得 6 ，故第70百分位数为第6项数据23 （2）求第50百分位数  i=8×50%=5, 故取第5项和第6项数据的平均数（19+23）÷2=21 四分位数的分类 下四分位数：第25百分位数； 上四分位数：第75百分位数 典型例题 【例题1】一组数据23，76，45，37，58，16，28，15，20的第25百分位数是 ． 【答案】20 【详解】先将数据从小到大排列为：15，16，20，23，28，37，45，58，76. 共9个数据.，因不是整数，大于的毗邻整数为3，故第3个数据20为第25百分位数. 【例题2】从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（   ） A．88 B．90 C．123 D．126 【答案】A 【分析】由百分位数的概念即可求解. 【详解】由题意，所以下四分位数为 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ） A．17 B．16.5 C．16 D．15.5 【答案】B 【分析】由给定的平均数求出，再由第60百分位数的定义求解即可. 【详解】由数据的平均数为16，得，解得， 由，得数据的第60百分位数为. 【巩固练习2】有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98，则其25%分位数与75%分位数的和为（    ） A．144 B．145 C．148 D．153 【答案】C 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】因为，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66； 因为，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82. 所以25%分位数与75%分位数的和为. 【巩固练习3】已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，甲组：第30百分位数为，第50百分位数为， 乙组：第30百分位数为，第50百分位数为， 由已知得：，，解得，所以 【巩固练习4】（23-24高一上·江西南昌·期末）支原体肺炎是学龄前儿童及青年人常见的一种肺炎，全年均可发病，以冬季多见，主要通过飞沫传播，潜伏期较长，近期，某班级出现许多学生感染支原体肺炎的现象，为确保班级的正常教学，该班班主任统计了最近一周5天感染支原体肺炎的学生人数，已知这5天的人数互不相等，且5天数据的平均数为，若最后一天的数据不小心被墨水污染，前4天的数据的平均数为，若，则4天数据的第60百分位数 （填“大于”，“小于”“等于”）这5天数据的第60百分位数． 【答案】大于 【详解】5天数据的平均数为，前4天的数据的平均数为且， 则被污染的数据为， 不妨设5天的数据关系为，其中， 则5天数据的第60百分位数为，污染后的数据关系为， 则4天数据的第60百分位数为，显然. 【题型5】频率分布直方图中的百分位数计算 基础知识 在频率分布直方图中计算百分位数的步骤可分为以下四部分 1、计算累积频率；2、定位区间；3、设值计算 典型例题 【例题1】（多选）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（   ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6% B．估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元 C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】ABD 【分析】根据频率分布直方图进行数据分析，确定85%分位数，平均值判断各选项． 【详解】对于A，由频率分布直方图低于4.5万元的农户比例约为，A正确； 对于B，由频率分布直方图知收入超过10.5万元的有，收入在之间的有．低于9.5万元有80%， 而因此85%分位数，B正确； 对于C，平均值约为，C错； 对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的有，D正确． 【例题2】某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数； (2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）． 【答案】(1)平均数为20.32 (2)23.86 【分析】（1）根据频率分布直方图求出的值，然后求平均数即可； （2）根据75百分位数确定所在区间，再计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：， 解得， 所以这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数为： . （2）75百分位数即为上四分位数， 又∵， ， ∴上四分位数位于之间，设上四分位数为， 则，解得． 【例题2】（23-24高一下·广东佛山·期末）某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了 100 名同学的身高数据 (单位: )，制作成频率分布直方图如图所示. (1)求这 100 名同学的平均身高的估计值 (同一组数据用区间中点值作为代表); (2)用分层抽样的方法从 中抽出一个容量为17 的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人? (3)估计这 100 名同学身高的上四分位数. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)176.25 【分析】（1）根据频率分布直方图频率和为1求x,再求平均数即可； （2）由分层抽样的定义求出第2,3,4组所抽取的人数; （3）上四分位数为频率和为0.75对应的数据，根据频率分布直方图，结合频率，即可求解； 【详解】（1）第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三组的频率为，第四组的频率为0.20，第五组的频率为0.10， 故平均数. （2）根据题意，第组有人，第组有人， 所以第3组选人. （3）因为前3组的频率和为0.7，前4组的频率和为0.9， 所以第75百分位数在第四组，不妨设为， 则， 解得，即第75百分位数约为176.25 巩固练习 题型 【巩固练习1】某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（    ）    A． B．长度的平均数是93 C．长度的中位数一定落在区间内 D．长度落在区间内的个数为35 【答案】A 【分析】按照频率分布直方图的含义，结合相关公式即可得解. 【详解】对于A，由频率和为1，得，解得，故A错误； 对于B，根据频率分布直方图长度的平均数为 ，故B正确； 对于D，长度落在区间内的个数为，故D正确； 对于C，有个数，内有个数， 所以长度的中位数一定落在区间内，故C正确. 【巩固练习2】党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．则下列结论不正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数为80分 C．满意度计分的分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76.5 【分析】A.由频率之和为1求解判断；B.由众数的定义判断；C.由百分位数的定义求解判断；D.利用平均数的定义求解判断. 【详解】解：由频率分布直方图可知，即，又，所以，所以选项A正确； 满意度计分的众数为75分，所以选项B不正确； 前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 则分位数，且，满意度计分的分位数为85，所以选项C正确；满意度计分的平均分为：分，所以选项D正确． 【巩固练习3】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取了名用户，从地区随机抽取了名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分，该公司将收集到的数据按照、、、分组，绘制成评分频率分布直方图如图． (1)从地区满意程度评分的第百分位数； (2)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，估计地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小． 【答案】(1)75 (2) 【分析】（1）根据百分位数的定义结合频率分布直方图求解即可； （2）由每组区间的中点值乘对应的频率再求和得到，再由求出，比较大小即可. 【详解】（1）因为前2组的频率和为， 前3组的频率和为， 所以第百分位数在第3组，设第百分位数为， 则，解得， 所以地区满意程度评分的第百分位数为75； （2）由频率分布直方图可得 ， ， 所以， 因为地区和地区所抽取的用户人数之比为， 所以地区抽取用户人数占总数的，地区抽取用户人数占总数的， 所以两地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值，所以. 【题型6】数据的处理与分析案例 典型例题 【例题1】甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（   ） A．甲：平均数为，中位数为 B．乙：中位数为，众数为 C．丙：平均数为，方差为 D．丁：中位数为，方差为 【答案】C 【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除ABD，由假设推理判断C． 【详解】若甲的5个点数分别是，满足选项A； 若乙的5个点数分别是，满足选项B； 若丁的5个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D； 若丙的平均数为2，又有点数6，则方差，不可能满足C，因此丙不会出现点数6 【例题2】在某次演讲比赛中，10位评委对选手甲的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.3，8.4，9.9.选手的最终得分将按照去掉一个最低分和一个最高分的规则进行处理，则处理前后选手甲的得分（   ） A．极差不变 B．平均数不变 C．方差不变 D．中位数不变 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用极差、平均数、方差、中位数的意义依次判断即可. 【详解】处理后选手甲的得分为7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.3，8.4， 对于A，处理前后最低分不变，最高分变小，极差变小，A错误； 对于B，处理前平均分， 处理后平均分，平均数变小，B错误； 对于C，去掉一个最低分和一个最高分后，数据的波动变小，方差变小，C错误； 对于D，处理前后的中位数都为，D正确. 【例题3】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（    ） A．甲组中位数为3，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为2，方差为3 D．丁组平均数为2，第85百分位数为7 【答案】C 【分析】A选项，假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为3分，中位数为3，故A错误；C选项，根据方差得到，若有选手失8分，则有，矛盾，故C正确；BD选项，举出反例即可判断. 【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分，根据极差为5，得到最低失分为3分， 此时中位数为3，故假设可以成立，故A错误； B选项，假设乙组的失分情况为， 满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B错误； C选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为， 丙组平均数为2，方差为3，即， 若，则，不合要求，故， 所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C正确； D选项，，故从小到大，选取第9个数作为第85百分位数， 即从小到大第9个数为7，假设丁组失分情况为， 满足平均数为2，第85百分位数为7，但不是“优秀小组”，故D错误. 巩固练习 题型 【巩固练习1】某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（    ） A．诗经组中位数为3，众数为2 B．论语组平均数为3，方差为1 C．春秋组平均数为3，众数为2 D．礼记组中位数为3，极差为4 【答案】B 【分析】举出相应反例计算可得A、C、D错误，借助反证法及方差计算公式可得B. 【详解】对于A，数据为：时，满足中位数为3，众数为2， 但不满足每位选手的失分不超过6分，故A错误； 对于B，假设有一位同学失7分，则方差，与方差为1矛盾， 假设不成立，故B正确； 对于C，数据为：1，2，2，2，2，时，满足平均数为3，众数为2， 但是不满足每位选手失分不超过6分，故C错误； 对于D，数据为：，满足中位数为3，极差为4， 但最大值超过6分，故D错误. 【巩固练习2】甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（   ） 甲同学：中位数为22，众数为20 乙同学：中位数为25，平均数为22 丙同学：第40百分位数为22，极差为2 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用中位数、众数、平均数百分位数及方差的意义逐项分析判断. 【详解】甲同学的5个数据的中位数为22，众数为20，则数据中必有20，20，22，余下两个数据都大于22， 且不相等，所有数据一定都不小于20； 乙同学的5个数据的中位数为25，平均数为22，当5个数据为17，18，25，25，25时， 符合题意，而有小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20； 丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，则5个数据由小到大排列后第二和第三个 数只可能是22，22或21，23，由极差为2知，所有数据一定都不小于20； 丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24，设其余4个数据依次为， 则方差 ，若中有小于20的数， ，不符合题意，因此均不小于20，5个数21，21，24，24，30可满足条件， 所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学. 【巩固练习3】甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是（   ） A．甲：中位数为9，众数为11 B．乙：中位数为9，极差为3 C．丙：平均数为8，极差为4 D．丁：平均数为8，方差为3 【答案】B 【分析】通过理解中位数，众数，极差，平均数，方差的概念及相关知识，再对5个数据进行举例假设分析，即可得到判断. 【详解】对于A，中位数为9，众数为11，说明11至少有两个数，不妨取两个11， 则由中位数可知另外两个数肯定不超过9，故A能判断这组数据都小于12，所以不能选A； 对于B，中位数为9，极差为3，由于极差是5个数中最大与最小的差， 由于该组数据由5个整数组成，所以不妨取4个9，1个12，这样不能判断该组数据一定小于12，故选B； 对于C，平均数为，极差为，由于个数都是整数，根据条件可知，这个数中肯定最大数与最小数的差为，则可知最大数肯定大于，最小数肯定小于，故最小数加得最大数肯定小于，从而能判断这组数据一定都小于12，故不能选C； 对于D，平均数为8，方差为3，由方差公式可得， 若存在数12，则 ，这与方差为3相矛盾，所以最大数也一定小于12，故不能选D 【巩固练习4】（多选）某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（    ） A．诗经组中位数为3，众数为2 B．论语组平均数为3，方差为1 C．春秋组平均数为3，众数为2 D．礼记组中位数为2，极差为4 【答案】BD 【分析】利用列举法判断AC，根据方差公式，判断B，根据极差的定义，判断D. 【详解】A.若该组选手的失分情况如下，1,2,2,2,3,3,4,5,6,7,满足中位数为3，众数为2， 但有选手失分超过6分，故A错误； B.该组每位选手的失分情况按照从小到大排列，，， 则方差， 即，若，， 所以每位选手的得分都不超过6分，故B正确； C.若该组选手的失分情况如下，0,2,2,2,2,2,4,4,5,7,这组数据满足平均数为3，众数为2， 但有选手失分超过6分，故C错误； D.因为中位数为2，则最低分小于等于2，又因为极差为4， 所以最该分小于等于6，该组选手失分没有超过6分的，故D正确. 【巩固练习5】（多选）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：平均数为2，众数为2；乙地：中位数为3，极差为4；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，标准差为，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（   ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】BCD 【分析】对于A，举例判断，对于B，计算出每天新增疑似病例人数的最大值判断，对于CD，利用反证法判断. 【详解】对于A，若甲地过去10天每天新增疑似病例人数分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8， 则满足平均数2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，所以A错误， 对于B，因为乙地：中位数为3，极差为4，则最大值不大于， 所以乙地满足每天新增疑似病例不超过7人，所以B正确， 对于C，假设丙地至少有一天新增疑似病例人数超过7人， 由中位数为3可得平均数的最小值为， 与题意矛盾，所以C正确， 对于D，假设丁地至少有一天新增疑似病例人数超过7人， 则方差的最小值为，与题意矛盾，所以D正确 【题型7】几个数的平均数、方差、极差的计算 典型例题 【例题1】已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为 ． 【答案】5 【分析】根据平均数和方差的定义建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 由，得，所以. 【例题2】（23-24高一下·广东中山·期末）记一组数据的平均数为，方差为，则数据的平均数为 . 【答案】 【分析】根据平均数、方差公式计算可得. 【详解】因为的平均数为，方差为， 所以，， 即， 即， 即，即， 所以， 所以数据的平均数为. 【例题3】记数据的平均数为 ，方差为，数据的平均数为，方差为，若，为非零常数，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的定义计算判断. 【详解】由，得， 对于AB，，AB错误； 对于CD，，C正确，D错误. 【例题4】（23-24高一下·浙江温州·期末）已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（    ） A．18.2 B．19.6 C．19.8 D．21.7 【答案】C 【分析】根据平均数和方差公式整理可得，由新样本数据的平均数可得，结合方差公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 可得，且，解得， 所以新样本数据的方差为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·福建福州·期末）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰了出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是 （   ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为3，方差为2 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为1.6 【答案】B 【分析】根据题意，利用特例法可判断A、C和D错误，结合平均数和方差的计算公式，可判定B正确，即可求解. 【详解】对于选项A，当投掷骰子出现的结果为时，满足平均数为，中位数为，可以出现点数，所以选项A错误； 对于选项B，若平均数为，且出现点数，则必出现小于的点数，且至少有个， 所以方差， 所以平均数为，方差为时，一定没有出现点数，所以选项B正确； 对于选项C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，所以选项C错误； 对于选项D，当投掷骰子出现的结果为时，满足中位数为， 此时平均数为，所以方差为， 此时出现点数，所以选项D错误 【巩固练习2】已知某数据的平均数为，方差为，现再加入一个数据，则这个数据的方差为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由平均数以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设原来个数据依次为、、、，则， 方差为，则， 即， 所以， 则 再加入一个数据，则其平均数为， 则这个数据的方差为 . 【巩固练习3】设实数x，，满足1，3，4，x，y，的平均数与50%分位数相等，则数据x，y，的方差为 ． 【答案】 【分析】利用平均数与分位数相等，得，代入数据中得方差. 【详解】根据题意，数据的平均数为， 数据的分位数为， ∴ ，即，代入数据， 即为，此组数据的平均数为， ∴ 数据的方差为. 【巩固练习4】若一组样本数据、、、的平均数为，方差为，则数据、、、、、、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【分析】由平均数公式可得，由方差公式可得，再利用平均数和方差公式可求得结果. 【详解】因为一组样本数据、、、的平均数为，方差为， 则，可得，方差为，可得， 因此，数据、、、、、、、的平均数为 ， 方差为 . 【题型8】两组数据合并之后的方差计算 解题技巧 分层随机抽样的平均数与方差计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，，第1层、第2层的样本平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则==+. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用=+估计总体平均数. 又==，所以+=+=. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 分层随机抽样的方差计算：若第1组数据中有m个数，且平均数为，；第2组数据有n个数，且的平均数与方差为，. （1）两组数据合并后的平均数 （2）两组数据合并后的方差 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为 ．参考公式 【答案】 【分析】先求出总体平均值，再用计算方差. 【详解】假设总体平均值为，则， 则. 【例题2】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）某校组织高一1班，2班开展数学竞赛，1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为，.记两个班总成绩的方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助分层抽样的方差公式计算即可得. 【详解】设两个班的平均分分别为，，两个班的总的平均分为， 则 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分层随机抽样的平均数和方差公式即可算出答案. 【详解】， 【巩固练习2】若一组样本数据、、、的平均数为，另一组样本数据、、、的方差为，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差. 【详解】由题意可知，数据、、、的平均数为，则，则 所以，数据、、、的平均数为 ， 方差为， 所以，， 将两组数据合并后，新数据、、、、、、、的平均数为 ， 方差为 . 【巩固练习3】在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（    ） A．中位数一定不变，方差可能变大 B．中位数可能改变，方差可能变大 C．中位数一定不变，方差可能变小 D．中位数可能改变，方差可能变小 【答案】A 【分析】不妨设，表达出两组数据的中位数，根据中位数相同得到或，则合并后的数据中位数是或者，中位数不变，再设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为，根据公式得到合并后平均数为，方差为，，得到结论. 【详解】不妨设， 则的中位数为，的中位数为， 因为，所以或， 则合并后的数据中位数是或者，所以中位数不变. 设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为， 合并后总数为20，平均数为，方差为， 如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大. 【巩固练习4】某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为，标准差为6，男员工的平均体重为，标准差为4.若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（    ） A．28 B．35 C．39 D．48 【答案】C 【分析】设女、男员工的权重分别为和，根据方差公式可求出结果. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和标准差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和标准差分别为，，所占权重为， 所以样本中全部员工的平均体重为，方差 ， 化简得，即， 解得或（舍）， 所以女员工的人数为： 【题型9】综合问题 典型例题 【例题1】（多选）某校高三年级在一次考试后，为分析学生的学习情况，从中随机抽取了200名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这200名学生中，成绩位于的学生成绩方差为13.75，成绩位于的学生成绩方差为7.75.则（   ）    A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为76.14 C．估计该年级在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级在80分及以上的学生成绩的方差为31 【答案】ACD 【分析】A选项利用各长方形的面积之和为1可求；B选项利用中位数左边的直方图的面积等于0.5即可列式求解；C，D选项利用平均数和方差的计算公式进行求解即可. 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，各长方形的面积之和为1， 则，解得，故A正确； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，故B错误； 对于C选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为 分，故C正确； 对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确. 【例题2】（多选）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（    ） A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】BCD 【分析】A项，由各组频率之和为求参数；B项可由频率分布直方图面积与比较，估计中位数所在区间，利用面积关系建方程求解可得；C项，两组求加权平均数可得；D项，由分别两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可. 【详解】A项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1， 则，解得，故A错误； 项，前两个矩形的面积之和为 前三个矩形的面积之和为. 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B正确； C项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为 分，故C正确； D项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可得，，利用平均数的性质可得A；利用方差的性质计算可得B：由即可得C；结合方差与平均数计算即可得D. 【详解】依题意，，， 对A：，故A正确: 对B：依题意，， 所以数据的方差为： ，故B错误； 对C：，故C正确; 对D：由 ，解得，故D正确. 【巩固练习2】某药品企业研发了一个新药，其药效（单位：药物单位）与某活性成分AHH的含量（单位：mg）近似满足函数关系，为检查其质量，现抽查了8个样本，得到某活性成分AHH的含量的平均为4mg，标准差为2mg，则药效的平均值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据公式求解，需先根据条件求. 【详解】由题意：， ， 则 即， 所以. 所以 . 【巩固练习3】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年200位居民家庭的月平均用水量（单位：吨），将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值； （2）该市决定设置议价收费标准，用水量低于的居民家庭按照“民用价”收费，不低于的按照“商业价”收费，为保障有的居民能享受“民用价”，请设置该标准； （3）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，分别是.规定“最佳稳定值”是这样一个量：与各组代表值的差的平方和最小.依此规定，请求出的值. 【答案】(1)0.0625 (2)19.2 (3)12 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解. （2）由频率分布直方图求第p百分位数的计算公式即可求解. （3）设与各数据的差的平方和为，由题意得，利用二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图知，家庭月均用水量在中的频率为， 同理，在中的频率分别为. 由，解得； （2）由（1）知，前4组的总频率为， 前5组的总频率为，所以， 所以根据百分位数的计算方法有，解得； （3）设与各数据的差的平方和为， 则 ， 由二次函数的性质知，当时，取得最小值， 故. 【题型10】统计解答题专练 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰. 【答案】(1) (2) (3)估计该市民能得到表彰 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质列方程求即可. （2）根据平均数的计算公式，即可求得答案； （3）根据频率分布直方图计算样本的第70 百分位数，与78比较，即可得结论. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 所以， （2）（1）100份样本数据的平均值为． （3）成绩低于70分的频率为0.45，成绩低于80分的频率为0.77， 则被表彰的最低成绩为第70%分位数：， 因为，所以估计该市民能得到表彰． 【例题2】（24-25高一下·重庆·期中）在重庆复旦中学“复旦好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：85 86   92 87 89   95 82 91 85 小组B：95 93 51 88   90 89 91 92 94 (1)分别求两组评委打分的平均分． (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【答案】(1)88，87 (2)A组更像，理由见解析 【分析】（1）根据平均数的定义计算即可求解； （2）分别求出两组的方差，比较大小，结合方差的表示意义即可下结论. 【详解】（1）记小组A的数据依次为，小组B的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. （2）A组更像是由专业人士组成， 两组的方差分别为：，. 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，， 因而，根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的． 【例题3】（23-24高一下·浙江衢州·期末）2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中. (1)求图中的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗？ (3)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差. 【答案】(1)，79.5 (2)合格 (3)平均值为86，方差为96 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求出a，进而即可求出平均数； （2）先确定40%分位数的位置，再由频率分布直方图求出百分位数，即可下结论； （3）求出总样本平均数，根据方差的定义，即可求出总样本方差. 【详解】（1）由题意知， 估计满意度得分的平均值 （2）超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75 又由满意度在的频率为，满意度在的频率为 知40%分位数位于 由 可以估计40%分位数为 有超过60%的人满意度在75分及以上，衢州市5月份文旅成绩合格了 （3）把6月1日—6月7日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月8日—6月14日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数 由方差的定义，总样本方差为 总样本平均值为86，总样本方差为96 【例题4】（23-24高一下·湖北·期末）某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖，，三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.    (1)求的值； (2)若去年小明家的月均用电量为，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？ (3)通过进一步计算抽样的样本数据，得到A区样本数据的均值为213，方差为24.2；B区样本数据的均值为223，方差为12.3；C区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算） 【答案】(1) (2)不正确 (3) 【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解； （2）求出85%分位数后判断即可； （3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解. 【详解】（1）根据频率和为1，可知， 可得. （2）由题意，需要确定月均用电量的85%分位数， 因为， ， 所以85%分位数位于内， 从而85%分位数为. 所以小明的估计不正确. （3）由题意，A区的样本数为，样本记为，，，，平均数记为； B区的样本数，样本记为，，，，平均数记为； C区样本数为，样本记为，，，，平均数记为. 记抽取的样本均值为，. 设该市第二档用户的月均用电量方差为，则根据方差定义，总体样本方差为 因为，所以， 同理， ， 因此 ， 代入数据得 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； (2)根据样本频率分布直方图估计样本的平均数； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线．（精确到1） 【答案】(1)； (2)84.5 (3) 【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果； （2）由平均数的计算公式直接计算即可求解； （3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线. 【详解】（1）依题意，设区间中应抽人，区间中应抽人，得 成绩在区间样本中的学生人数为：； 成绩在区间样本中的学生人数为：； 所以，解得， 所以区间中应抽人，区间中应抽人. （2）根据样本频率分布直方图估计样本的平均数为 . （3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为， 所以成绩良好的最低分数线落在区间中，不妨记为， 故，解得， 所以成绩良好的最低分数线为. 【巩固练习2】（23-24高一下·广东广州·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）（1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由，得，故第75百分位数为84. （3）由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 【巩固练习3】（23-24高一下·广东茂名·期末）某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人. (1)求图中a，b的值； (2)并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）； (3)若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为；200名学生分数的平均数为，方差为. ①；②，请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由. 【答案】(1)；； (2)平均数78.8；上四分位数87； (3)相等，理由见解析 【分析】（1）先根据低于80分的人数为108求出，在根据频率之和为1求出； （2）根据平均数的公式直接计算，上分位数根据分位数的含义计算； （3）两式作差，根据，，以及因式分解即可得到结论. 【详解】（1）由低于80分的人数为108，得， 所以. （2）平均数， 显然上四分位数即分位数应该在之间，设上四分位数为，则， 所以平均数为78.8，上四分位数为87. （3）设，，显然，， ①-②得：. 所以①和②相等. 【巩固练习4】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【答案】(1)平均数69.5，第25百分位数为63； (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图分别表示出各组的频率，由第一、二组的频率之和为0.3及总的频率之和为1列方程组解出，的值；分别写出每一组的频率，由平均数计算公式得到平均数，根据频率和得到第25百分位数所在的组，由概率和为0.25解出第25百分位数的值； （2）由第二组、第四组的频率之比得到分层抽样后两组人数所占比例，再结合两组各自的平均数和方差，由公式，分别求出两组所有面试者的方差． 【详解】（1）由题意可知：， 解得； 由图可知，每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为， 因为，设第25百分位数为，则，， 则，解得， 故第25百分位数为63； （2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 【巩固练习5】某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: (3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【答案】(1)，85 (2) (3)得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【详解】（1）由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. （2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、. 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为. （3）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，且，则. 根据方差的定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【巩固练习6】（23-24高一下·广东广州·期末）为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (1)求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间； (3)若样本数据在与内的方差分别为，，计样本数据在内的方差. 【答案】(1)，1200人； (2)68分钟； (3)91. 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出；求出阅读时间达标的频率即可得解. （2）利用频率分布直方图求出平均时间. （3）利用分层抽样的方差公式计算即得. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，所以； 阅读时间达标的频率为， 估计该校阅读时间达标的人数为. （2）一周的课外阅读时间在 内的频率依次为：， ， 所以估计该校学生每周课外阅读的平均时间为68分钟. （3）样本数据在与内的平均数分别为， 则样本数据在内的平均数为， 所以样本数据在内的方差. 【巩固练习7】在对重庆市某中学高一年级学生身高的调查中，采用分层抽样，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据（单位：cm）如下： 男生：172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0 172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0 女生：163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0 162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0 155.0148.0172.0162.5 (1)从身高在的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于174.5的概率； (2)利用所学过的统计学知识比较样本中男生、女生的身高的整齐程度； (3)估计该中学高一年级全体学生身高的方差（精确到0.1）. 参考数据：其中男生样本记为，，…，，女生样本记为，，…，，其中，，，，，. 【答案】(1) (2)样本中男生的身高比较整齐； (3)52.1 【分析】（1）身高在区间，的3名男生分别记为，，身高在，的三名男生分别记为，，利用列举法能求出至少有1人的身高大于的概率； （2）分别求出男生女生身高的平均数和方差，比较平均数和方差的大小，能求出结果； （3）利用分层抽样的平均数与方差公式即可得解. 【详解】（1）身高在区间共有4名男生，其中2名男生身高位于分别记为，， 身高在，的三名男生分别记为，， 从身高在中的男生中抽取2人，基本事件总数6个，分别为： ，，，，， 其中至少有1人的身高大于包含的基本事件有5个，分别为： ，，，，， 至少有1人的身高大于的概率为. （2）男生身高的平均数为， 男生身高的方差为， 女生身高的平均数为， 女生身高的方差为， ，样本中男生的身高比较整齐； （3）把总体样本的平均数记为，方差记为， 则， 【巩固练习8】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)样本数据的第62百分位数约为多少； (3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【答案】(1)0.030 (2)79分 (3)， 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）由，解得； （2）因为， ， 所以样本数据的第62百分位数在内， 可得， 所以样本数据的第62百分位数为分； （3）样本数据落在的个数为， 落在的个数为， ， 总方差. 【巩固练习9】（24-25高一下·云南昆明·期中）云南师大附中在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)学校要求按照分数从高到低选拔首100名的学生进行培训，试估计这100名学生的最低分数（计算结果保留一位小数）； (3)试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为63分和86分的两名同学的成绩是否进人到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）． 【答案】(1) (2)75.6 (3)；答案见详解 【分析】（1）先由各组的频率和为1，求出，然后利用平均数的定义可求出， （2）先求出这100名学生的最低分数就是该次校内测试分数的分位数，然后利用百分位的定义求解即可， （3）先利用方差公式求出方差后再判断即可 【详解】（1），所以， 所以该次校内考试测试分数的平均数的估计值为： 分. （2）因为， 所以这100名学生的最低分数就是该次校内测试分数的分位数. 设该次校内考试测试分数的分位数为， 则，解得 所以这100名学生的最低分数的估计值为分. （3） ， ， 故得分为63分的同学的成绩没有进入到内， 得分为86分的同学的成绩进入到了内. 即：得分为63分的同学的成绩没有进入到范围， 得分为86分的同学的成绩进入到范围了. 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$