江苏省南京市田家炳高级中学2024-2025学年高三下学期数学周练（5.15）

南京田家炳高级中学高三第二学期数学周练2025.05.15 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 2. 已知i(i是虚数单位)是方程的根，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 4. 设，则的值为（ ） A. 20 B. －20 C. 160 D. －160 5. 已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 6. 希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为过其外接球球心作平行于底面的截面，则截得的棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区ABCD四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知ABCD四校人数之比为，则应从B校中抽取的样本数量为80 B．6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6 C．箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件{第一次取到红球}，{第二次取到白球}，则M、N为相互独立事件 D．已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则 10．已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．存在，使得函数为奇函数 C．任意， D．函数有且仅有2个零点 11．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（    ） A．若的方程为，则 B．若的方程为，且，则 C．分别延长交于点，则点在的准线上 D．抛物线在点处的切线分别与直线，所成角相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，为锐角，且，，则_____. 13．在数列中，，则的值为_______. 14. 生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，比如：，．当取遍所有的个有序数组时，的总和为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求面积；(2)若，求b． 16. 如图，在六面体中，三棱锥为正四面体. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 17．部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中. (1)若，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，过点作直线（不与轴重合）交椭圆于，连接交于点，连接，直线与轴交于点． （i）求的值； （ii）若点在线段上，求的取值范围． 19. 函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． （1）判断是否为的“－函数”，并证明； （2）设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； （3）若，，，，证明：是的“－函数”． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京田家炳高级中学高三第二学期数学周练2025.05.15 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布定义即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 已知i(i是虚数单位)是方程的根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程，根据复数为0的条件求出参数即可. 【详解】因为是方程的根， 所以， 所以，所以， 所以. 故选：A． 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由已知及向量数量积的运算律得，进而求. 【详解】由，则， 所以. 故选：D 4. 设，则的值为（ ） A. 20 B. －20 C. 160 D. －160 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的通项，令，即可求出的值. 【详解】因为的通项为：， 令，则， 故选：D. 5. 已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 6. 希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的外接圆半径，得弓形面积，再求得大的半圆面积，相减可得结论． 【详解】因为，， 所以，所以， 设的外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示， 由正弦定理得，所以， 内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为， 则弓形的面积为， 外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为， 则月牙形的面积为. 故选：A． 7. 已知一个正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为过其外接球球心作平行于底面的截面，则截得的棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三棱锥的几何性质可求解长度，即可根据勾股定理可得球半径，进而根据相似可得，即可根据台体体积公式求解. 【详解】如图正三棱锥，设为的中心，外接球半径为,球心为, 则，， ， ，，，， 棱台的上下底面的面积为， ，， 所以棱台的体积为， 故选：B． 8. 已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数是奇函数及函数单调性，化简不等式计算，应用函数最值求解. 【详解】因为函数，定义域为R， 函数，所以函数是奇函数； 对任意，都有恒成立， 则， 所以， 化简得 所以或， 所以或 令，单调递减，单调递增， 当时，； 当时，，当时，； 所以， 对任意， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（       ） A．为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区ABCD四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知ABCD四校人数之比为，则应从B校中抽取的样本数量为80 B．6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6 C．箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件{第一次取到红球}，{第二次取到白球}，则M、N为相互独立事件 D．已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则 【答案】ABD 【分析】 根据分层抽样、古典概型、相互独立事件、样本中心点等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【解析】 A选项，校抽取人数为人，A选项正确. B选项，6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为： ，B选项正确. C选项，，， ，C选项错误. D选项，依题意，D选项正确. 故选：ABD 10．已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．存在，使得函数为奇函数 C．任意， D．函数有且仅有2个零点 【答案】ABC 【解析】对于A：， 因为，所以，，因此， 故，所以在上单调递增，故A正确； 对于B：令，则，令，定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，B正确； 对于C：时，；时，； 时，；C正确； 对于D：时，，时，， 时，，所以只有1个零点，D错误； 故选：ABC 11．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（    ）    A．若的方程为，则 B．若的方程为，且，则 C．分别延长交于点，则点在的准线上 D．抛物线在点处的切线分别与直线，所成角相等 【答案】BCD 【解析】对于选项A、B： 若的方程为，则，又， 直线的斜率，直线的方程为：， 联立，得， ，，， ，所以A选项错误； 由，，得直线的方程为，直线的方程为， 若，则点在的平分线上，点到直线和到直线的距离相等，设， 则有，由，解得，所以，B选项正确； 对于选项C：抛物线，焦点坐标，准线方程， 设，，由，得， 即，由，得， 又直线的斜率，直线的方程为：，直线的方程为：， 分别延长交于点，由得，即点横坐标为-2，所以点在的准线上，C选项正确； 对于选项D：设抛物线在处的切线方程为：， 联立，得， 由，解得． 该切线与直线所成角的正切值为． 设该切线与直线所成角为， 则， 该切线与直线所成角的正切值与该切线与直线所成角的正切值相同， 即抛物线在点处的切线分别与直线、所成角相等，D选项正确． 故选：BCD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，为锐角，且，，则_____. 【答案】 【解析】因为，所以 ， 又，为锐角， 所以，，且． 因为，为锐角，，所以， 又， 所以， 故． 13．在数列中，，则的值为_______. 【答案】8 【解析】数列中，，则， 则当时，在数列中；当时，数列单调递增，则 则 . 14. 生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，比如：，．当取遍所有的个有序数组时，的总和为____________． 【答案】10505 【解析】 【分析】根据题意得数据中的整数个数可能有五种情况，分别进行讨论即可得出结果. 【详解】按的取值分类， 当时，有组， 当时，有组， 当时，有组， 当时，有组， 当时，有组， 所以总和为. 故答案为：10505.. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求面积；(2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意得， 则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则； (2)由正弦定理得：，则，则，． 16. 如图，在六面体中，三棱锥为正四面体. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定性质证得，再在正四面体中利用线面垂直的判定性质证明即可. （2）取正的重心，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 由，而平面，平面， 得平面，又平面，平面平面， 则，取中点，连接，由正四面体， 得，，而平面， 因此平面，又平面，则， 所以． 【小问2详解】 四面体为正四面体，在面上的射影为点，在平面内作， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 显然，， ， ，直线的方向向量为， 设平面法向量，则，令，得， 显然平面的法向量，二面角平面角为，为锐角， ， 所以二面角的余弦值. 17．部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中. (1)若，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围. 【解析】（1）设该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件， 则； 该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件， 则. （2）该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则，； 该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则所有可能的取值为， ； ； ； ； 随机变量的分布列： ； 该考生更有希望进入大学的面试环节，，即， 解得：，的范围为. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，过点作直线（不与轴重合）交椭圆于，连接交于点，连接，直线与轴交于点． （i）求的值； （ii）若点在线段上，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）（i）设，记，分别将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，再求出即可得解； （ii）由（i）可得点为线段的中点，则，进一步有，再求出的范围即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）设，记， 则直线， 联立，消得， 则，故， 则，所以， 另一方面直线， 联立，消得， 则，所以， 由于，得， ， 所以； （ii）由（i）的结论可知，点为线段的中点，则， 不妨设都在轴上方， 进一步有， 由（i）联立直线与椭圆的方程得， 由韦达定理得， 则， 因为点在线段上，所以， 所以， 所以得取值范围为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． （1）判断是否为的“－函数”，并证明； （2）设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； （3）若，，，，证明：是的“－函数”． 【答案】（1）是的“－函数”，证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得和，结合“－函数”的定义，即可求解； （2）先求得为偶函数，根据是的“－函数”，得到，证得是的“－函数”，进而得到，令，得到，即可证得； （3）设，求得，再设，求得，得到递增且，，得到使得，求得的单调性和最小值，再设，求得，求得的单调性和最小值，得出，进而求得，得到，即可证得是的“－函数”. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 又由，可得， 因为，所以是的“－函数”. 【小问2详解】 解：由为定义在上的函数，可得函数的定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为是的“－函数”，所以， 因为，，所以是“－函数”， 即，用代替，可得，所以， 令，则，所以（为常数）， 所以（为常数） 【小问3详解】 解：由函数，， 可得，， 设，可得， 设，则， 则，所以递增，即递增，且，， 存在使得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，即， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以当时，是的“－函数” 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$