精品解析：安徽省合肥市2024-2025学年下学期期中教学质量检测八年级数学试题卷

2024-2025学年第二学期期中教学质量检测 八年级数学 试题卷 注意事项：试卷满分100分，考试时间100分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≥3 B. x＞3 C. x≥0 D. x＞0 2. 下列各式中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面各组数中，勾股数是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 1，1， C. 5，12，13 D. 1，，2 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ） A. −2 B. 2 C. −4 D. 4 6. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 7. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 8. 某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线的最低点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共18分． 11. 正边形的内角和等于，则的值为______． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则_______． 14. 如图,某小区有一块长为18m,宽为6m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人形通道,若设人形道的宽度为xm,则可以列出关于x的方程是______ 15. 如图，四边形中，，将边绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作，垂足为F，若，则线段的长是_______． 16. 若，则代数式的值为_______． 三、解答题：本大题共7小题，共52分． 17. （1）计算：； （2）解下列方程：． 18. 在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点． （1）在网格中找一格点E，使得； （2）作格点，使得，； （3）在（2）的条件下，_______． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围． 20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 21. 小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于_______对称； （2）关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 22. 如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒． （1）求的长； （2）用含t的代数式表示的长； （3）在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积； （4）点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值． 附加题： 23. 已知为一元二次方程的一个根，且为有理数，则_______，_______，此时若，且，则的最小值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中教学质量检测 八年级数学 试题卷 注意事项：试卷满分100分，考试时间100分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≥3 B. x＞3 C. x≥0 D. x＞0 【答案】A 【解析】 【详解】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x-3≥0，解得x≥3． 故选A． 2. 下列各式中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可：只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、当时，不是一元二次方程，不符合题意； D、不是方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知相关定义是解题的关键． 3. 下面各组数中，勾股数是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 1，1， C. 5，12，13 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可． 【详解】解：A、都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意； B、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意； D、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的概念，正确记忆满足的三个正整数，称为勾股数是解题关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，根据二次根式的加减运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ） A. −2 B. 2 C. −4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可． 【详解】解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 7. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合， ∴． ∵． ∴， 根据勾股定理可知， 解得． ∴的面积为． 故选：A． 8. 某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价为x元/台，根据利润销售量每台风扇的利润，列方程即可． 【详解】解：设售价为x元/台， 根据题意可得：， 故选：D． 9. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图1，在中，．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线的最低点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．作，当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时，当动点P运动到点时，运动结束，此时，根据直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：作，垂足为， 当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时点P运动的路程为，即， 当动点P运动到点时，运动结束，线段的长度就是的长度，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，共18分． 11. 正边形的内角和等于，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和的计算，掌握多边形内角和的计算公式是解题的关键． 根据多边形内角和公式（是多边形的边数），列式求解即可． 【详解】解：正边形的内角和等于， ∴， 解得，， 故答案为：6 ． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，理解“化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式”是解决问题的关键． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：2． 14. 如图,某小区有一块长为18m,宽为6m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人形通道,若设人形道的宽度为xm,则可以列出关于x的方程是______ 【答案】 【解析】 【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程． 【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得， （18-3x）（6-2x）=60， 化简整理得，x2-9x+8=0． 故答案为x2-9x+8=0． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60m2得出等式是解题关键． 15. 如图，四边形中，，将边绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作，垂足为F，若，则线段的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可得到和是等边三角形，从而得到，进而得到，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，由勾股定理得： ， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 若，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，先求出，从而可得，推出，将所求式子变形并整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共52分． 17. （1）计算：； （2）解下列方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简以及计算二次根式的乘法和化简绝对值，再计算加减即可得解； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点． （1）在网格中找一格点E，使得； （2）作格点，使得，； （3）在（2）的条件下，_______． 【答案】（1） 如图：点、、即为所求， （2） 如图：即为所求， （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理求出距离点为的格点即可； （2）根据勾股定理求出距离点为且该点距离点为的格点即可； （3）连接，由网格特点可得，由勾股定理可得，证明为等腰直角三角形，得出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：连接， ， 由网格特点可得：， 由勾股定理可得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵不论为何值， ∴方程有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． （）利用一元二次方程根的判别式判断即可得解； （）先求解一元二次方程，再根据方程两个根都是负根判断的取值范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程中，， ∴， ∴，， ∵方程的两个根都是负根， ∴， ∴． 20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 【答案】（1）该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 （2）最多可购买电脑8台 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答． （2）设购买电脑台，则购买实物投影仪台，依题意，列式，进行解不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； 【小问2详解】 解：4月份投入图书购置经费为（万元）， 设购买电脑台，则购买实物投影仪台， 根据题意得：， 解得：， 答：最多可购买电脑8台． 21. 小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于_______对称； （2）关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程： （1）利用配方法把原多项式变形为，根据得到当，即时，多项式有最小值，据此可根据题意求出答案； （2）利用配方法把原多项式变形为，进而得到当，即时，多项式有最小值，最小值为，则，解方程求出a、c，进而解方程可得答案． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，多项式有最小值， ∴多项式关于对称， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为， ∵关于的多项式关于对称，且最小值为3， ∴， ∴， ∴方程即为方程， ∴， 解得． 22. 如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒． （1）求的长； （2）用含t的代数式表示的长； （3）在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积； （4）点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）3 （2）当时，；当时，； （3）的面积为或； （4）或． 【解析】 【分析】（1）利用等面积法即可求出的长； （2）利用勾股定理算出，再根据动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，分别讨论①当点P在上运动时，②当点P在上运动时，根据上述两种情况表示出的长即可； （3）本题根据不再添加其他辅助线的情况下，图中存在等腰直角三角形，分以下两种情况讨论，①当点P在上运动，为等腰直角三角形时，②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时，再根据等腰直角三角形性质进行分析求解，即可解题． （4）本题根据点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，可分以下情况讨论，①为等腰三角形，， ②为等腰三角形，， ③为等腰三角形，，再根据等腰三角形性质进行分析，建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：，的面积为，是边上的高， ， ，解得; 【小问2详解】 解：，， ， 动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动， ①当点P在上运动时（即时）， 有， ， ②当点P在上运动时（即时）， ， 综上所述，当时，；当时，； 【小问3详解】 解：①当点P在上运动，为等腰直角三角形时， 有， ，解得， ， ， 的面积为：； ②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时， 有， ， ， ， ， 的面积为：； 综上所述，的面积为或； 【小问4详解】 解：点P在上运动，图中存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况： ①为等腰三角形，， ， ， ， 秒（不合题意，舍去）， ②为等腰三角形，， ， 整理得，解得（不合题意，舍去），， ③为等腰三角形，， 即，解得． 综上所述，或． 【点睛】本题考查几何图形的动点问题，勾股定理，等面积法求高，列代数式相关知识，等腰三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论思想，从多方面考虑不同情况的下满足的条件． 附加题： 23. 已知为一元二次方程的一个根，且为有理数，则_______，_______，此时若，且，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】求出，进一步得到，则，，得到，，的最小值即为点到点和的距离之和的最小值，利用轴对称和勾股定理进一步求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴，也为有理数， 故当时候，只有，， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值即为点到点和的距离之和的最小值， ∵点关于轴的对称点为， ∴当、、三点共线时，点到点和的距离之和取得最小值， 最小值为 故答案为：，， 【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念、勾股定理、轴对称的理解，熟悉相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $