华师大版八年级下册第17章 反比例函数与三角形综合题专训（含答案）

华师大版八年级下册第１７章反比例函数与三角形综合题专训（含答案） 一、反比例函数与等腰三角形结合 试题１、（2015常州）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积； （2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）k=4，S△PAB=15． 提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图1， 把x=4代入y=x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y=，得k=4． 解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1）， 则点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∴S△AOP=S△BOP， ∴S△PAB=2S△AOP． 设直线AP的解析式为y=mx+n， 把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n， 求得直线AP的解析式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC =OCAR+OCPS =×3×4+×3×1=， ∴S△PAB=2S△AOP=15； （2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2． B（4，1），则反比例函数解析式为y=， 设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q， 联立，解得直线PA的方程为y=x+﹣1， 联立，解得直线PB的方程为y=﹣x++1， ∴M（m﹣4，0），N（m+4，0）， ∴H（m，0）， ∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4， ∴MH=NH， ∴PH垂直平分MN， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形； （3）∠PAQ=∠PBQ． 理由如下： 过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3． 可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有 ， 解得：， ∴直线AQ的解析式为y=x+﹣1． 当y=0时， x+﹣1=0， 解得：x=c﹣4， ∴D（c﹣4，0）． 同理可得E（c+4，0）， ∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣