专题01 曲线运动 运动的合成与分解（压轴28题10大考点）（考题猜想）-2024-2025学年高一物理下学期期末考点大串讲（教科版2019）

专题01 曲线运动 运动的合成与分解（压轴28题10大考点） 训练范围：教科版（2019）： 必修第二册第2章。 一．物体做曲线运动的条件（共2小题） 二．物体运动轨迹、速度、受力的相互判断（共2小题） 三．一个匀速和一个变速运动的合成（共4小题） 四．两个变速直线运动的合成（共4小题） 五．用相对运动规律处理运动的合成与分解（共2小题） 六．过河时间最短问题（共2小题） 七．船速大于水速时最短过河位移问题（共2小题） 八．船速小于水速时最短过河位移问题（共2小题） 九．小船过河模型在其他运动中的应用（共4小题） 十．杆连接物体运动的分析斜牵引运动的运动分解（共4小题） 一．物体做曲线运动的条件（共2小题） 1．关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是（    ） A．物体的速度、加速度一定都随时间在改变 B．物体位移的大小一定等于路程 C．物体所受的合力一定是变化的 D．物体所受的合力方向与速度方向不可能在同一条直线上 2．关于做曲线运动的物体，以下说法中正确的是（　　） A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动 B．物体做曲线运动时，速度、加速度都一定在改变 C．做匀速圆周运动的物体加速度一定变化 D．做圆周运动的物体所受合力一定指向圆心 二．物体运动轨迹、速度、受力的相互判断（共2小题） 3．一质量为的物块在光滑水平面上以速度做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力的作用，之后其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度与恒力夹角正确的是（　　） A． B． C． D． 4．一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N加速行驶。下列各图中汽车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是（　　） A． B． C． D． 三．一个匀速和一个变速运动的合成（共4小题） 5．图甲为某砖坯切割机，原理如图乙所示。工作时，砖坯随水平传送带一起沿直线运动，钢丝在长为R的力臂作用下绕O点转动切割，两者配合保证砖坯的切割面竖直。已知某切割瞬间，传送带的速度为v，钢丝转动的角速度为，力臂与竖直方向的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 6．各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为100kg的货物在x方向的位移—时间图像和y方向的速度—时间关系图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（    ） A．时货物的速度大小为3m/s B．货物的运动轨迹是一条直线 C．货物所受的合力大小为150N D．0~2s这段时间内，货物的合位移大小为11m 7．一质点在平面直角坐标系xOy中运动，时，质点位于x轴上某点，它沿x方向运动的x—t图像如图甲所示，它沿y方向运动的图像如图乙所示。则0~2s内（　　） A．质点做匀加速曲线运动 B．质点初速度大小为10m/s C．质点在时的速度大小为9m/s D．质点在前2s内的位移大小为 8．质量为2kg的物体在水平面内运动，已知该物体在两个互相垂直方向上的分运动的速度一时间图像分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．2s末物体速度大小为7m/s B．物体所受的合力大小为2N C．物体的初速度大小为5m/s D．物体初速度的方向与合力方向垂直，做匀变速曲线运动 四．两个变速直线运动的合成（共4小题） 9．一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度及竖直向上的速度，若它们与运动时间t的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是（    ） A．演员在时刻处于超重状态 B．演员在这段时间内沿直线飞行 C．演员在时刻上升至最高点 D．演员在时间内做匀变速曲线运动 10．如图所示。风洞中没风时，将一个小球以初速度竖直向上抛出，小球能上升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置时，该位置与抛出点间的水平距离为2 h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力与小球重力之比为（　　） A． B． C． D． 11．一无人机欲将货物从甲地送往乙地，其从地面起飞过程中水平方向和竖直方向的速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是（　　） A．内无人机做变加速直线运动 B．内无人机做匀加速曲线运动 C．内无人机的位移大小为 D．内货物一直处于超重状态 12．如图所示，一质量为的小球在光滑水平桌面上，受一水平恒力的作用，先后经过A、B两点，速度方向偏转。已知经过A点时的速度大小为、方向与连线夹角为，AB连线长为。对小球从A运动到B的过程，下列说法正确的是（　　） A．沿A点速度方向的平均速度大小为 B．所用的时间为 C．小球在B点的速度为 D．水平恒力大小为 五．用相对运动规律处理运动的合成与分解（共2小题） 13．图为汽车在水平路面上匀速行驶时车轮边缘上M点的运动轨迹（车轮不打滑）。已知时刻M点与坐标原点O重合，车轮半径，汽车的速度，则（　　） A．M点运动到最高点A时的速度为零 B．M点在圆心等高点处的速度大小为 C．最高点A的坐标为（，） D．M点从O运动到B的时间为0.3s 14．在同一位置同时朝着上、下、左、右四个方向抛出四个小球，小球的初速度大小均相等。不考虑空气阻力，则经过一段时间后（小球均未落地），四个小球的位置可能为（    ） A． B． C． D． 六．过河时间最短问题（共2小题） 15．一小船要渡过一条两岸平行的小河，已知船在静水中的速率，河宽，河水的流动速度，求： (1)若船的渡河时间最短，求船渡河的位移。 (2)若船的渡河距离最短，求船渡河的时间。 16．小船在静水中的速度大小与时间t的关系如图甲所示，河水的流速与小船离河岸的距离d的变化关系如图乙所示，河岸平直。取。求： （1）小船渡河的最短时间； （2）在小船以最短时间渡河的情况下，小船渡河的最大速度及其与河岸下游的夹角。 七．船速大于水速时最短过河位移问题（共2小题） 17．如图所示，宽度的河岸平直，水流速度大小恒为，一只角马（图中未画出）从A点游水渡河，角马渡河的过程中做匀速直线运动。 (1)若角马垂直河岸到达对岸的B点，渡河的时间，求角马在静水中的速度大小； (2)若A点的下游C处是个旋涡，A点与旋涡边缘的点连线的最大角度，取，，求在角马安全到达对岸的条件下，角马在静水中速度的最小值。 18．小船在宽的河中横渡，水流速度为，船在静水中的速度为。 (1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？ (3)小船渡河的最短时间为多长？ 八．船速小于水速时最短过河位移问题（共2小题） 19．2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求： (1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ (2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？ (3)若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？ 20．2023年7月2日上午8点30分，2023年四川省“百舟竞渡龙舟赛”眉山青神会场活动在唤鱼公园青神湖正式开赛。若一艘参赛龙舟（可视为质点）要渡过一条两岸平行的河流，龙舟在静水中的速度大小v1=5m/s，龙舟渡河的最短时间T=40s。 (1)求河的宽度。 (2)若龙舟在静水中的速度大小v2=4m/s，河水的流速大小v3=5m/s，河的宽度不变，求龙舟渡河的最短距离。 九．小船过河模型在其他运动中的应用（共4小题） 21．每年4月初，随着副热带高压北进，夏季风给华南地区带来一场又一场降雨，进入前汛期。如图所示，某地防汛演练中，战士驾驶小船救人，河岸是平直的，河的宽度，小船在静水中的速度大小，河水的流速大小。小船从A点出发，到上游河对岸的B点救人，A、B连线与河岸的夹角为53°，取，，。 （1）若小船船头先垂直河岸渡河，从A点运动到对岸的C点后立即让小船船头指向上游逆水行驶到B点，求该过程小船运动的时间t； （2）若小船沿A、B连线从A点运动到B点，求该过程小船运动的时间。 22．如图所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动，且向他左侧的固定目标拉弓放箭。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭的速度为v2，跑道离固定目标的最近水平距离OC=d。不计空气阻力的影响，重力加速度为g。 （1）若运动员射出的箭能命中目标，求箭在空中飞行的最短时间及放箭处离目标的距离； （2）设箭垂直AB水平射出，并把箭看成质点，并能击中靶心。若已知箭的质量为m，并以过出射点的水平面为零势能面，箭击中靶心时的动能多大？ （3）设箭垂直AB水平射出，并把箭看成质点，箭射出时的位置离地面的高度为H1，靶心离地面上O处高度为H2，靶是边长为a正方形，已知，运动员要击中靶，则运动员静止时射出的箭的速度为v2应满足什么条件？运动员应在跑道的什么位置放箭？ 十．杆连接物体运动的分析斜牵引运动的运动分解（共4小题） 23．如图所示，在一条玻璃生产线上，宽9m的成型玻璃板以2m/s的速度向前匀速平移。在切割工序处，金刚石切割刀的移动速度为10m/s。为使割下的玻璃板呈矩形，问： （1）切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向的夹角应为多大？ （2）切割一块玻璃需要多少时间？ 24．如图所示，质量为m=1.0kg的小球从H=20m高处水平抛出的小球，除受重力外，还受到水平风力作用，假设受到的风力的大小恒定不变，g=10m/s2．问： （1）有水平风力与无风时相比较，小球在空中的飞行时间是否相同？如不相同，说明理由；如果相同，求出这段时间． （2）若风的恒定阻力为Ff=0.25mg，要使小球恰好垂直于地面着地，则水平抛出的小球的初速度v0应为多大？ 25．如图所示，在竖直平面内有光滑轨道ABCD，其中AB是竖直轨道，CD是水平轨道，AB与BC相切于B点，BC与CD相切于C点。一根长为的轻杆两端分别固定着两个质量均为m的相同小球P、Q（视为质点），将轻杆锁定在图示位置，并使Q与B等高。现解除锁定释放轻杆，轻杆将沿轨道下滑，重力加速度为g。求： (1)P球到达C点时的速度大小； (2)P球到达B点时的速度大小。 26．如图所示，轻质细杆的A端靠在竖直墙上，端放置在水平地面上，A端、端和杆的中点处各有可视为质点质量均为的固定小球。细杆与竖直墙面的夹角为，开始时，细杆静止，后因微小扰动，细杆开始运动，设系统处处无摩擦。假设端可以沿地面朝右滑动，但因受约束不会离开地面；A端可以沿着墙面朝下滑动，但不受相应的约束，故可以离开墙面。已知细杆长为，重力加速度为。 （1）A端开始运动到离开墙面前，为确定小球的运动情况，建立如图坐标系，试求小球的运动轨迹方程； （2）根据（1）中小球的运动轨迹，若A端未离开墙面，且小球A的速度为，试求小球的速度的大小； （3）为何值时A端将离开墙面？ 27．如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个直角形光滑槽中。已知当轻杆与槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度为vA，求此时B球的速度vB的大小。 28．一个半径为R的半圆形柱体以速度水平向右做匀速运动。在半圆形柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆形柱体接触点和柱心的连线OP与竖直方向的夹角为时，求竖直杆运动的速度大小。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 曲线运动 运动的合成与分解（压轴28题10大考点） 训练范围：教科版（2019）： 必修第二册第2章。 一．物体做曲线运动的条件（共2小题） 二．物体运动轨迹、速度、受力的相互判断（共2小题） 三．一个匀速和一个变速运动的合成（共4小题） 四．两个变速直线运动的合成（共4小题） 五．用相对运动规律处理运动的合成与分解（共2小题） 六．过河时间最短问题（共2小题） 七．船速大于水速时最短过河位移问题（共2小题） 八．船速小于水速时最短过河位移问题（共2小题） 九．小船过河模型在其他运动中的应用（共4小题） 十．杆连接物体运动的分析斜牵引运动的运动分解（共4小题） 一．物体做曲线运动的条件（共2小题） 1．关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是（    ） A．物体的速度、加速度一定都随时间在改变 B．物体位移的大小一定等于路程 C．物体所受的合力一定是变化的 D．物体所受的合力方向与速度方向不可能在同一条直线上 【答案】D 【解析】AC．曲线运动物体的速度方向为该点的切线方向，所以曲线运动的速度一定随时间发生变化，但加速度不一定随时间发生变化，如平抛运动，即根据牛顿第二定律可知合力也不一定随时间发生变化，AC错误； B．物体做单向直线运动时位移等于路程，曲线运动中位移小于路程，B错误； D．物体做曲线运动的条件是合力方向与速度方向不在一条直线上，D正确。 故选D。 2．关于做曲线运动的物体，以下说法中正确的是（　　） A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动 B．物体做曲线运动时，速度、加速度都一定在改变 C．做匀速圆周运动的物体加速度一定变化 D．做圆周运动的物体所受合力一定指向圆心 【答案】C 【解析】A．物体做曲线运动的条件是速度方向与合力方向不在同一条直线上，物体在恒力作用下可能做曲线运动，如平抛运动，故A错误； B．物体做曲线运动时，速度一定改变，加速度不一定改变，如平抛运动，故B错误； C．做匀速圆周运动的物体加速度始终指向圆心，故一定变化，故C正确； D．做匀速圆周运动的物体所受合力一定指向圆心，而非匀速圆周运动的物体所受合力不指向圆心，故D错误。 故选C。 二．物体运动轨迹、速度、受力的相互判断（共2小题） 3．一质量为的物块在光滑水平面上以速度做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力的作用，之后其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度与恒力夹角正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意物块的速度先减小后增大，可知恒力与速度的夹角大于，将初速度沿方向和垂直F方向分解，垂直方向的分速度不变，如图所示 根据几何关系有 可得 则力的方向与初速度方向夹角为 故选D。 4．一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N加速行驶。下列各图中汽车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】汽车做曲线运动，则合力方向指向轨迹的凹向，速度方向沿轨迹的切线方向，因汽车加速行驶，则合力F与速度夹角为锐角。 故选B。 三．一个匀速和一个变速运动的合成（共4小题） 5．图甲为某砖坯切割机，原理如图乙所示。工作时，砖坯随水平传送带一起沿直线运动，钢丝在长为R的力臂作用下绕O点转动切割，两者配合保证砖坯的切割面竖直。已知某切割瞬间，传送带的速度为v，钢丝转动的角速度为，力臂与竖直方向的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 力臂末端钢丝的线速度为ωR为合速度，将该速度分解为水平向右的分速度,该速度与砖坯运动的速度相同,均为v,和相对砖坯向下的分速度,由图可知。 故选A。 6．各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为100kg的货物在x方向的位移—时间图像和y方向的速度—时间关系图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（    ） A．时货物的速度大小为3m/s B．货物的运动轨迹是一条直线 C．货物所受的合力大小为150N D．0~2s这段时间内，货物的合位移大小为11m 【答案】C 【解析】AB．由图乙可知货物在水平方向做匀速直线运动，速度大小为 由图丙可知货物在竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，2s末货物的竖直分速度为3m/s，则时货物的速度大小为 货物的合运动为匀变速曲线运动，运动轨迹是一条抛物线，故AB错误； C．根据图丙可知，货物的加速度大小为 根据牛顿第二定律可得合力大小为 故C正确； D．由图乙可知0~2s这段时间内，货物的水平位移大小为 货物的竖直位移大小为 则合位移大小为 故D错误。 故选C。 7．一质点在平面直角坐标系xOy中运动，时，质点位于x轴上某点，它沿x方向运动的x—t图像如图甲所示，它沿y方向运动的图像如图乙所示。则0~2s内（　　） A．质点做匀加速曲线运动 B．质点初速度大小为10m/s C．质点在时的速度大小为9m/s D．质点在前2s内的位移大小为 【答案】D 【解析】A．图像的斜率表示速度，根据图甲可知，质点沿x方向运动的分速度 即质点沿x方向做匀速直线运动。由于图像的斜率表示加速度，则质点沿y方向运动的加速度大小 加速度大小一定方向与初速度方向相反，可知，质点沿y方向的分速度先减小，则合速度大小也先减小，由于加速度方向与合速度方向不在同一条直线上，可知，质点做匀变速曲线运动，开始时的速度减小，即质点不是做匀加速曲线运动，故A错误； B．根据图乙可知，0时刻，质点沿y方向的初速度 结合上述可知，质点的初速度大小 故B错误； C．结合上述可知，1s时质点沿y方向的速度 则1s时质点的速度 故C错误； D．质点在前2s内沿x、y轴方向的分位移大小分别为， 则合位移 故D正确。 故选D。 8．质量为2kg的物体在水平面内运动，已知该物体在两个互相垂直方向上的分运动的速度一时间图像分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．2s末物体速度大小为7m/s B．物体所受的合力大小为2N C．物体的初速度大小为5m/s D．物体初速度的方向与合力方向垂直，做匀变速曲线运动 【答案】D 【解析】AC．由图可知，物体沿各方向的初速度为， 所以物体的初速度大小为 2s末的合速度应该为x轴方向分速度和y轴方向分速度的矢量和，此时物体沿各方向的初速度为， 合速度大小为 故AC错误； B．物体的质量为2kg，x轴方向加速度大小为 根据牛顿第二定律可知，物体所受的合力大小为 故B错误； D．物体初始时有y轴方向初速度，x轴方向初速度为0，x轴方向上受水平恒力，初速度的方向与合力方向垂直，物体做匀变速曲线运动，故D正确。 故选D。 四．两个变速直线运动的合成（共4小题） 9．一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度及竖直向上的速度，若它们与运动时间t的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是（    ） A．演员在时刻处于超重状态 B．演员在这段时间内沿直线飞行 C．演员在时刻上升至最高点 D．演员在时间内做匀变速曲线运动 【答案】D 【解析】A．演员在时刻竖直向上的速度减小，则加速度向下，处于失重状态，选项A错误； B．演员在这段时间内水平方向做匀加速运动；竖直方向做匀减速运动，则合初速度和合加速度一定不共线，则合运动为曲线运动，选项B错误； C．演员在时间内的竖直速度一直不为零，可知时刻还没有上升至最高点，选项C错误； D．演员在时间水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀速运动，可知合运动为匀变速曲线运动，即演员做匀变速曲线运动，选项D正确。 故选D。 10．如图所示。风洞中没风时，将一个小球以初速度竖直向上抛出，小球能上升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置时，该位置与抛出点间的水平距离为2 h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力与小球重力之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，竖直方向有 有风时竖直方向运动情况不变，落到与抛出点等高的位置所用时间 水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，有 联立解得，故选C。 11．一无人机欲将货物从甲地送往乙地，其从地面起飞过程中水平方向和竖直方向的速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是（　　） A．内无人机做变加速直线运动 B．内无人机做匀加速曲线运动 C．内无人机的位移大小为 D．内货物一直处于超重状态 【答案】D 【解析】AB．根据图像可知，内水平方向的加速度为 根据图像可知，内竖直方向的加速度为 则内无人机的加速度为 由于无人机在时刻的速度为0，则内无人机做匀加速直线运动，故错误； C．根据图像可知，内无人机的水平位移大小为 无人机的竖直位移大小为 则2~4s内无人机的位移大小为 故C错误； D．根据图像可知，0~4s内货物在竖直方向一直向上加速运动，竖直加速度方向一直向上，所以货物一直处于超重状态，故D正确。 故选D。 12．如图所示，一质量为的小球在光滑水平桌面上，受一水平恒力的作用，先后经过A、B两点，速度方向偏转。已知经过A点时的速度大小为、方向与连线夹角为，AB连线长为。对小球从A运动到B的过程，下列说法正确的是（　　） A．沿A点速度方向的平均速度大小为 B．所用的时间为 C．小球在B点的速度为 D．水平恒力大小为 【答案】D 【解析】ABC．将水平恒力F分解为沿A点速度方向分力和垂直A点速度方向分力，从A到B，沿A点速度方向速度减为零，根据匀变速运动规律可得沿A点速度方向的平均速度大小为 沿A点速度方向，根据匀变速规律可得 解得所用的时间为 垂直A点速度方向，根据匀变速规律可得 解得小球在B点的速度为 故ABC错误； D．沿A点速度方向，根据牛顿第二定律可得 垂直A点速度方向，根据牛顿第二定律可得 则小球受到的恒力大小为 故D正确。 故选D。 五．用相对运动规律处理运动的合成与分解（共2小题） 13．图为汽车在水平路面上匀速行驶时车轮边缘上M点的运动轨迹（车轮不打滑）。已知时刻M点与坐标原点O重合，车轮半径，汽车的速度，则（　　） A．M点运动到最高点A时的速度为零 B．M点在圆心等高点处的速度大小为 C．最高点A的坐标为（，） D．M点从O运动到B的时间为0.3s 【答案】B 【解析】A．M点运动到最高点A时的速度不为零，方向水平向右，故A错误； B．M点的运动可看成匀速圆周运动与匀速直线运动的合成，则M点在圆心等高点处的速度大小为 故B正确； C．M点的运动可看成匀速圆周运动与匀速直线运动的合成，则最高点A的纵坐标为 匀速圆周运动的周期为 O点运动至A点的时间为 最高点A的横坐标为 最高点A的坐标为（，），故C错误； D．根据对称性，M点从O运动到B的时间为 故D错误。 故选B。 14．在同一位置同时朝着上、下、左、右四个方向抛出四个小球，小球的初速度大小均相等。不考虑空气阻力，则经过一段时间后（小球均未落地），四个小球的位置可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】四个小球加速度均相同，假设在该位置还静止释放一个小球，则抛出的四个小球均相对静止释放的小球做匀速直线运动，经过相同时间，四个小球相对中间小球的距离应该相同。 故选A。 六．过河时间最短问题（共2小题） 15．一小船要渡过一条两岸平行的小河，已知船在静水中的速率，河宽，河水的流动速度，求： (1)若船的渡河时间最短，求船渡河的位移。 (2)若船的渡河距离最短，求船渡河的时间。 【答案】(1)，方向与河岸的夹角为 (2) 【解析】（1）若船的渡河时间最短，则此时船头垂直河岸，渡河时间为 则船渡河沿河岸的位移为 船渡河的位移大小 设船渡河的位移与河岸的夹角为，则有 可得 （2）由于船在静水中的速率大于河水的流动速度，则当船的合速度垂直河岸时，船的渡河距离最短，则有 则船渡河的时间为 16．小船在静水中的速度大小与时间t的关系如图甲所示，河水的流速与小船离河岸的距离d的变化关系如图乙所示，河岸平直。取。求： （1）小船渡河的最短时间； （2）在小船以最短时间渡河的情况下，小船渡河的最大速度及其与河岸下游的夹角。 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）设船头与河岸的夹角为，由图乙知，河宽为，则小船渡河的时间 当时，即当船头垂直河对岸行驶时，小船渡河的时间最短，小船渡河的最短时间 （2）当河水的流速最大（设为）时，小船渡河的速度最大，有 其中 解得 小船渡河的最大速度与河岸下游的夹角满足 解得 七．船速大于水速时最短过河位移问题（共2小题） 17．如图所示，宽度的河岸平直，水流速度大小恒为，一只角马（图中未画出）从A点游水渡河，角马渡河的过程中做匀速直线运动。 (1)若角马垂直河岸到达对岸的B点，渡河的时间，求角马在静水中的速度大小； (2)若A点的下游C处是个旋涡，A点与旋涡边缘的点连线的最大角度，取，，求在角马安全到达对岸的条件下，角马在静水中速度的最小值。 【答案】(1)5m/s (2)2.4m/s 【解析】（1）若角马垂直河岸到达对岸的B点，渡河的时间，则渡河的合速度 角马在静水中的速度大小 （2）当角马在静水中速度最小时，速度方向垂直合速度方向，则 18．小船在宽的河中横渡，水流速度为，船在静水中的速度为。 (1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？ (3)小船渡河的最短时间为多长？ 【答案】(1)小船经过50s在正对岸下游100m处到达对岸 (2)小船应与河岸成60º角斜向上游行驶，时间为 (3)50s 【解析】（1）当小船的船头始终正对对岸时，根据运动的独立性，过河时间最短 向下游运动的距离 即小船经过50s在正对岸下游100m处到达对岸。 （2））要使小船横渡，船头应向上游方向倾斜，设v船与上游河岸的夹角为，如图 即 小船应与河岸成60º角斜向上游行驶，小船的合速度 方向垂直于河岸，横渡的时间 （3）根据（1）分析可知过河时间最短为50s。 八．船速小于水速时最短过河位移问题（共2小题） 19．2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求： (1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ (2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？ (3)若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？ 【答案】(1)50s，250m (2) (3)300m， 【解析】（1）当船以静水中的速度垂直河岸过河时，渡河时间最短，如下图所示 最短时间为 这时小船的合速度为 此种情况下小船过河的位移为 （2）船在静水的速度大于水流速度，那么最短位移为河宽，如图所示 这种情况下，小船的合速度为 当过河位移最短时过河的时间为 （3）若水流速度为 则 此种情况下过河如图所示 当船头方向即方向与合速度方向垂直时，渡河位移最短，大小为 这种情况下，小船的合速度为 过河时间为 20．2023年7月2日上午8点30分，2023年四川省“百舟竞渡龙舟赛”眉山青神会场活动在唤鱼公园青神湖正式开赛。若一艘参赛龙舟（可视为质点）要渡过一条两岸平行的河流，龙舟在静水中的速度大小v1=5m/s，龙舟渡河的最短时间T=40s。 (1)求河的宽度。 (2)若龙舟在静水中的速度大小v2=4m/s，河水的流速大小v3=5m/s，河的宽度不变，求龙舟渡河的最短距离。 【答案】(1)200m (2)250m 【解析】（1）当船头垂直河岸过河时，渡河时间最短，则河宽为 （2）由题知，船速小于水速，设龙舟以最短距离渡河时合速度与河岸夹角为，则 则渡河的最短距离 九．小船过河模型在其他运动中的应用（共4小题） 21．每年4月初，随着副热带高压北进，夏季风给华南地区带来一场又一场降雨，进入前汛期。如图所示，某地防汛演练中，战士驾驶小船救人，河岸是平直的，河的宽度，小船在静水中的速度大小，河水的流速大小。小船从A点出发，到上游河对岸的B点救人，A、B连线与河岸的夹角为53°，取，，。 （1）若小船船头先垂直河岸渡河，从A点运动到对岸的C点后立即让小船船头指向上游逆水行驶到B点，求该过程小船运动的时间t； （2）若小船沿A、B连线从A点运动到B点，求该过程小船运动的时间。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由几何关系可知，A、B两点间沿水流方向的距离 设小船从A点运动到另一河岸的C点所用的时间为，有 解得 （2）设小船沿A、B连线从A点运动到B点时小船的实际速度大小为v，由余弦定理有 解得 由 解得 22．如图所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动，且向他左侧的固定目标拉弓放箭。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭的速度为v2，跑道离固定目标的最近水平距离OC=d。不计空气阻力的影响，重力加速度为g。 （1）若运动员射出的箭能命中目标，求箭在空中飞行的最短时间及放箭处离目标的距离； （2）设箭垂直AB水平射出，并把箭看成质点，并能击中靶心。若已知箭的质量为m，并以过出射点的水平面为零势能面，箭击中靶心时的动能多大？ （3）设箭垂直AB水平射出，并把箭看成质点，箭射出时的位置离地面的高度为H1，靶心离地面上O处高度为H2，靶是边长为a正方形，已知，运动员要击中靶，则运动员静止时射出的箭的速度为v2应满足什么条件？运动员应在跑道的什么位置放箭？ 【答案】（1），；（2）；（3）见解析 【解析】（1）若箭在空中飞行的时间最短，则有v2必水平且垂直AB，所以 解得水平距离为 根据几何关系有，箭的出射点与击中目标的位置间距为 所以 （2）箭击中靶心时的动能为 解得 （3）箭在竖直方向下落高度满足 联立可得 设运动员的射箭位置在AB方向上与击中点的距离为z0，则 所以 设击中点离靶右边缘的距离为L，则运动员的射箭位置在AB方向上离靶右边缘的距离满足 ，且 十．杆连接物体运动的分析斜牵引运动的运动分解（共4小题） 23．如图所示，在一条玻璃生产线上，宽9m的成型玻璃板以2m/s的速度向前匀速平移。在切割工序处，金刚石切割刀的移动速度为10m/s。为使割下的玻璃板呈矩形，问： （1）切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向的夹角应为多大？ （2）切割一块玻璃需要多少时间？ 【答案】（1）；（2）0.92s 【解析】（1）金刚石切割刀的移动速度10m/s是割刀对地的速度，切割刀的移动轨迹亦是割刀对地面的相对轨迹，为使割下的玻璃板呈矩形，则割刀相对玻璃板的速度方向应垂直于玻璃板侧边，如图所示 则有 解得 （2）切割一块玻璃需要的时间 24．如图所示，质量为m=1.0kg的小球从H=20m高处水平抛出的小球，除受重力外，还受到水平风力作用，假设受到的风力的大小恒定不变，g=10m/s2．问： （1）有水平风力与无风时相比较，小球在空中的飞行时间是否相同？如不相同，说明理由；如果相同，求出这段时间． （2）若风的恒定阻力为Ff=0.25mg，要使小球恰好垂直于地面着地，则水平抛出的小球的初速度v0应为多大？ 【答案】（1）相同，2.0s；（2）5m/s 【解析】(1)小球在空中的运动时间由竖直方向的分运动决定，有水平风力与无风时，小球竖直方向的分运动不变，运动运动时间相同． 小球在竖直方向做自由落体运动，由自由落体运动的位移公式可得： 则运动时间为： (2)当风力大小恒定不变时，小球在水平方向做匀减速运动，在水平方向，由牛顿第二定律得： 水平初速度： 所以要使小球恰好垂直于地面着地，则水平抛出的小球的初速度应为； 【点睛】解决本题的关键运动的合成与分解，能够将受风力作用时，将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，在竖直方向上受重力，初速度为0，做自由落体运动，在水平方向上受风力作用，做减速运动． 25．如图所示，在竖直平面内有光滑轨道ABCD，其中AB是竖直轨道，CD是水平轨道，AB与BC相切于B点，BC与CD相切于C点。一根长为的轻杆两端分别固定着两个质量均为m的相同小球P、Q（视为质点），将轻杆锁定在图示位置，并使Q与B等高。现解除锁定释放轻杆，轻杆将沿轨道下滑，重力加速度为g。求： (1)P球到达C点时的速度大小； (2)P球到达B点时的速度大小。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）P球到达C点时由机械能守恒定律得 解得 （2）当P球到达B点时杆与水平面的角度为θ，则有 解得 当P球到达B点时，由于两球在沿杆方向的分速度大小相等，则有 P、Q系统机械能守恒，则有 解得 26．如图所示，轻质细杆的A端靠在竖直墙上，端放置在水平地面上，A端、端和杆的中点处各有可视为质点质量均为的固定小球。细杆与竖直墙面的夹角为，开始时，细杆静止，后因微小扰动，细杆开始运动，设系统处处无摩擦。假设端可以沿地面朝右滑动，但因受约束不会离开地面；A端可以沿着墙面朝下滑动，但不受相应的约束，故可以离开墙面。已知细杆长为，重力加速度为。 （1）A端开始运动到离开墙面前，为确定小球的运动情况，建立如图坐标系，试求小球的运动轨迹方程； （2）根据（1）中小球的运动轨迹，若A端未离开墙面，且小球A的速度为，试求小球的速度的大小； （3）为何值时A端将离开墙面？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）以水平墙与竖直墙为轴、轴建立直角坐标系，设C点坐标为，则A、B点 的坐标分别为、，根据勾股定理有 解得 （2）画出小球C运动轨迹,如图 小球C的速度与杆的夹角为 由关联速度可知 解得 （3）由关联速度可知 系统水平方向由动量定理可得 系统机械能守恒有 可得 由数学知识可知，当 解得 此时系统水平动量增大到最大值，则，即A端将离开墙面。 27．如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个直角形光滑槽中。已知当轻杆与槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度为vA，求此时B球的速度vB的大小。 【答案】 【解析】如图所示 A球沿槽下滑的速度为vA时，vA可分解为沿杆方向的分速度vA1和垂直杆方向的分速度vA2.而B球沿槽上滑的速度vB可分解为沿杆方向的分速度vB1和垂直杆方向的分速度vB2.由图可知 即 故 28．一个半径为R的半圆形柱体以速度水平向右做匀速运动。在半圆形柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆形柱体接触点和柱心的连线OP与竖直方向的夹角为时，求竖直杆运动的速度大小。 【答案】 【解析】由于半圆形柱体对杆的弹力沿OP方向，所以将竖直杆向上的速度沿OP方向和沿半圆面的切线方向进行分解，如图甲所示 将半圆形柱体水平向右的速度也沿OP方向和沿半圆面的切线方向分解，如图乙所示。二者在OP方向上的分速度相等，有 即 解得 答：竖直杆运动的速度大小为。 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