选择性必修第二册综合测-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A D C A D BD ABD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】由题知的所有可能取值为3,4,5，进而求解对应的概率，结合期望公式计算即可. 【详解】由题意知，的所有可能取值为3,4,5， ， ， ， 所以. 故选：B. 2．A 【分析】根据平均变化率的公式计算即可. 【详解】根据平均变化率的公式，可得函数在区间上的平均变化率为： . 故选：A． 3．A 【分析】由空间向量四点共面定理可得，然后利用一元二次函数的图像和性质求最小值即可. 【详解】由题意因为四点共面且平面唯一确定，， 所以，即， 所以， 由一元二次函数的图像和性质可得当时，取得最小值， 所以， 故选：A 4．A 【分析】根据三向量共面，设，从而得到方程组，求出答案. 【详解】三向量共面，设， 故， 即，解得. 故选：A 5．D 【分析】根据题意，由反函数的定义，将的最小值转化为为点Р到直线距离的最小值的两倍，再由点到直线的距离公式列出方程，构造函数，求导即可得到其最小值，从而得到结果. 【详解】因为函数与互为反函数， 所以与的图像关于直线对称， 所以的最小值为点Р到直线距离的最小值的两倍. 设P（，），则. 设，. 由得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，则的最小值是. 故选:D 6．C 【分析】将问题转化为在上恒成立，即在上恒成立，求的范围即可. 【详解】在上是减函数， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 当在上单调递增，则， 则 则实数a的取值范围是. 故选：C 7．A 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断AB；构造函数，利用隐零点与导数判断其单调性，从而判断CD. 【详解】对于AB，构造函数 ， 因为，所以在上单调递减， 因为，所以，即，故A正确，B错误； 对于CD，构造函数，， 易知在上单调递增，而，， 所以，使， 所以当时，；当时，； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，即， 当时，，即，故CD错误. 故选：A. 8．D 【分析】根据条件概率公式和概率的乘法公式以及全概率公式即可求解. 【详解】记第一次抽到红、绿、黄球的事件分别为， 则， 记第二次在红、绿、黄色口袋内抽到黄球的事件分别为， 而两两互斥，其和为， 所以， 记第二次抽到黄球的事件为B， 则， 故选:D． 9．BD 【分析】A项，通过相关系数的定义即可得出结论；B项，通过求出即可求出的值；C项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D项，通过计算即可求出. 【详解】由题意， A项， 两个变量的相关系数为，越小, 与 之间的相关性越弱, 故A 错误, 对于 B, 随机变量 服从正态分布 , 由正态分布概念知若 , 则 , 故 B 正确, 对于 , 在回归分析中, 越接近于 1 , 模型的拟合效果越好, ∴ 为 0.98 的模型比 为 0.89 的模型拟合的更好 故 C 错误, 对于 , 某人在 10 次答题中, 答对题数为 , 则数学期望 , 故 D 正确. 故选：BD. 10．ABD 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对A：若，结合向量基本定理知：为共面向量，故四点P、M、A、B共面，A正确； 对B：若，且，结合向量共面的性质知：四点P、M、A、B共面，B正确； 对C：若，则，可知直线的位置关系：异面或相交，故四点P、M、A、B不一定共面，C错误； 对D：若，可知直线的位置关系：平行或重合，故四点P、M、A、B共面，D正确； 故选：ABD. 11．ABC 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明判断A；利用点面距离的向量求法判断B；求出数量积判断C；借助反证法思想计算判断D. 【详解】以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由为线段上的动点，设 ，，则，， 则 ，则，A正确； 当时，，，，， 设平面的法向量为，由，令，得， 点到平面的距离，B正确； ，，则为定值，C正确； 由，得， 若与所成的角是，即，则， 整理得，得，与矛盾，D错误. 故选：ABC 12． 【分析】求导，再令即可. 【详解】． 故答案为：. 13． 【分析】根据空间向量坐标的线性运算得向量的坐标，即可求得的值. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 14．7 【分析】由空间向量共面，列出等式求解即可； 【详解】因为共面， 所以， 即，解得： 故答案为：7 15．(1) (2)， 【分析】（1）根据空间向量运算的坐标表示即可求解； （2）根据空间共线向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】（1），， ； （2），， 若，则，解得，， 经检验，符合题意，所以，. 16．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）列出所有满足题意的情况，再利用古典概型即可求出答案； （2）首先分析出X可能的值有5，4，3，2，再分别写出其对应概率即可. 【详解】（1）7个球里取3个共有种， 3个小球上的数字之和等于10的含有4，5，1；3，5，2；3，4，3， 其中4，5，1只有一种，而3，5，2有种，即从两个3，两个2里各取一个，3，4，3也只有一种， 所以总共有种， 所以取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为. （2）由题意可知，X可能的值有5，4，3，2， ， ， ， . 所以X的分布列为： 2 3 4 5 17．(1)答案见解析 (2)，. 【分析】（1）求导，分类讨论和，即可根据导函数的单调性即可求解， （2）求导，即可根据函数的单调性求解极值点. 【详解】（1）， 若，由，得；由，得， 的递减区间为，递增区间为. 若，由，得；由，得， 的递减区间为，递增区间为. （2）当时，， . 由，得或. 当变化时，与的变化情况如下表： 2 - 0 + 0 - 递减 极小值 递增 极大值 递减 ， . 18．(1) (2) 【分析】（1）先证明线面平行，得证面面平行，最后由面面平行的性质定理得出线线平行，即可得出比例； （2）空间向量法计算线面角的正弦值. 【详解】（1）因为，， 所以，所以，，且， 所以是等边三角形． 如图，取AD的中点N，连接BN，MN，所以． 又，则．又因为不包含于平面，平面PCD，所以平面PCD． 又因为平面PCD，，平面，平面，所以平面平面PCD． 因为平面平面，平面平面， 所以，所以是棱AP的中点，即． （2）如图，延长DC，AB交于点，连接PE，则直线PE为直线， 过点作，交AC于点，连接OB，OD． 因为平面平面ABCD，平面平面， 平面PAC，所以平面ABCD． 又，，，所以是直角三角形，且， 所以，，． 又，所以，且． 以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，． 设平面PAD的一个法向量为， 则 令，得，所以． 设直线PE与平面PAD所成的角为， 则， 即直线与平面PAD所成的角的正弦值为． 19．(1) (2)当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元 【分析】（1）根据年利润公式代入得出p(万元)关于x的函数； （2）写出本年度的年利润函数，利用导数讨论函数的单调性得出最大值. 【详解】（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为. 因此本年度的年利润 . （2）本年度的年利润为 ， 则， 令，解得或(舍去). 当时，，当时，， 所以时，有最大值. 所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中数学选择性必修第二册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记为取出3个球的总分值，则 (　　) A． B． C．4 D． 2．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．6 B．8 C．11 D．31 3．已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知，若三向量共面，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．若在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若，则（     ） A． B． C． D． 8．已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9．下列关于概率统计说法中正确的是（    ） A．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B．设随机变量，若，则 C．在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好 D．某人解答10个问题，答对题数为，则 10．以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，点到平面的距离为1 C．是定值 D．与所成的角可能是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，则 ． 13．若，则 ． 14．已知向量，若共面，则 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量，，. (1)求； (2)若，求实数，的值. 16．一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； (2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列． 17．已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，求函数的极值. 18．如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． (1)若点是棱AP上一点，且平面PCD，求； (2)若，，平面PCD与平面PAB交于直线，求直线与平面PAD所成角的正弦值． 19．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； (2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$