必修第二册综合测-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A D B A B B ABD BD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】由余弦定理求解． 【详解】由余弦定理，得，即，解得（负值舍去）． 故选：A． 2．A 【分析】利用向量的数量积运算律和夹角公式求解. 【详解】由可得，， 所以， 所以，又因为，所以， 故选：A. 3．A 【分析】利用复数的除法法则计算得到，从而得到虚部. 【详解】，所以虚部是． 故选：A 4．D 【分析】先求向量的单位向量，再利用投影向量的求法求解即可. 【详解】设与的夹角为，由， 可得与方向相同的单位向量为， 所以在上的投影向量为： ， 故选：D. 5．B 【分析】取中点，连接，根据向量的运算法则可得，即，从而可得的面积与面积关系，即可得答案. 【详解】如图，取中点，连接 则，所以，故点到直线的距离等于2倍的点到直线的距离， 则. 故选：B. 6．A 【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求，进而利用线面垂直可判断点轨迹为，求解周长即可． 【详解】连接、，交于点，连接， 为菱形，， 所以，，， 所以为二面角的平面角， 于是， 又因为， 所以， 取中点，取中点，连接、、，所以、， 所以、，，相交， 所以平面， 所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为， 因为，，， 所以的周长为， 所以点轨迹的长度为． 故选：A． 7．B 【分析】将方程的根代入方程，化为复数的代数形式，根据复数为零求出参数的值. 【详解】由题，，即， 所以，得，，所以. 故选：B 8．B 【分析】根据事件的包含关系、相互独立､互斥事件概率计算方法计算即可. 【详解】对于A，如果，那么，，故 A错误； 对于B，如果A与互斥，那么，，故 B正确； 对于C，如果A与相互独立，那么，，故C错误； 对于D，如果A与相互独立，那么，故 D错误； 故选：B 9．ABD 【分析】根据向量的线性运算以及模长的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A、D：由向量的数乘可知：的结果为向量，则A、D正确； 对于选项B：由向量的加法可知：的结果为向量，则B正确； 对于选项C：由向量的模长可知：为数量，则的结果为数量，则C错误； 故选：ABD. 10．BD 【分析】根据给定条件，求出圆锥的高，再逐项分析判断即得. 【详解】圆锥的底面半径，母线长，则该圆锥的高， 对于A，圆锥的体积，A错误； 对于B，圆锥侧面展开图扇形弧长为，该扇形圆心角为，B正确； 对于C，该圆锥的轴截面是底边长为6，高为的等腰三角形，面积为，C错误； 对于D，该圆锥的侧面积，D正确. 故选：BD 11．ABD 【分析】作出在三棱锥的示意图，利用线线垂直可得平面，可判断A；当时，则是的中点，可证平面，可判断B；因为，求得的最小值判断C；求得外接球的表面积判断D. 【详解】作出在三棱锥的示意图如图所示： 在展开图中，因为于点C，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 当时，则是的中点，由是边长为4的等边三角形， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故B正确； 因为平面，为直线在平面内的射影直线， 所以为直线与平面所成的角， 因为，所以最小时，最大， 当时，最小，最小值为， 所以直线与平面所成最大角的正切值为，故C错误； 因为为直角三角形，的外心在斜边的中点， 过作平面的垂线，外接球的球心在此垂线上， 又是等边三角形，所以的外心是的中心， 过作平面的垂线，外接球的球心在此垂线上，所以两垂线的交点即为外接球的球心， 连接并延长交于，易证为正方形， 由题意易得，又， 设外接球的半径为，则， 所以球O的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：对于D，关键在于确定外接球的球心，利用球心为过两三角形的外心的两垂线的交点是常用的思路与方法. 12．/ 【分析】设，根据复数相等列方程组求解即可. 【详解】设，则，由题意得，即， 所以，解得，则， 所以． 故答案为： 13．/ 【分析】由正弦定理化角为边，得，再由余弦定理化边为角即可求解. 【详解】由结合正弦定理得，则， 即，由余弦定理有， 而，所以. 故答案为：. 14．/ 【分析】根据相互独立事件和概率的加法公式进行计算可得答案. 【详解】设比赛A获胜为事件M，比赛C获胜为事件N，比赛B获胜为事件Q， 且相互独立，则， 设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D， 则 . 故答案为：. 15．证明见解析 【分析】求出，找到使成立的即可证明； 【详解】证明：， 因此，即三点共线. 16．(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式等，可将函数化为，从而可得最小正周期； （2）根据正弦函数的性质，即可求出函数的值域，从而可得最值. 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期为； （2）由（1），， 因为，所以，则， 因此 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列式求解； （2）根据复数的几何意义列式求解. 【详解】（1）若复数为纯虚数，则，解得， 所以实数的值为. （2）若点A在第二象限，则，解得， 所以实数的取值范围为. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的性质，结合待定系数法求得，再利用三角函数平移的性质与奇偶性求得，从而得解； （2）利用已知可求得，由正弦定理可得，利用余弦定理可求得，可求三角形的面积. 【详解】（1）由题意得，， 即，又， 则，，所以， 则， 因为为奇函数，所以，所以， 因为，所以，所以． （2）由，得, 因为，所以，得，得， 因为，由正弦定理得， 因为，代入余弦定理公式，得 ， 得． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及同角三角的基本关系式，转化求解即可； （2）由余弦定理得：，又，设的内切圆半径为，则，因为的面积，可得，解方程可求解； （3）由题意可得为外接圆圆心，利用余弦定理及得，由是钝角三角形，得到，结合正弦定理求解外接圆半径的取值范围即可. 【详解】（1）由正弦定理及得： ， 因为角是的内角， 所以，即， 因为，所以. （2）由（1）知，由余弦定理得：， 又，所以①， 设的内切圆半径为，则， 因为的面积， 所以，即， 整理得，即， 因为，解得. （3）因为点为平面内一点， 设点为的中点，点为的中点， 则， 又， 所以， 所以为线段和垂直平分线的交点，即为外接圆圆心， 因为是钝角三角形，由，可知角为钝角，所以， 即，得②， 由①②可得，解得，所以， 由，得，即， 设外接圆半径为，由正弦定理得， 所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湘教版高中数学必修第二册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在中，，则边的长等于（    ） A． B． C． D．2 2．已知，且，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．已知是两个非零向量，设．给出定义：经过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，则称向量，为在上的投影向量．已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．所在平面上一点，满足且，若的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 6．在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 7．已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．已知事件A，B，且，则下列说法正确的是（ ） A．若BA那么， B．若A与B互斥，那么， C．若A与B相互独立，那么， D．若A与B相互独立，那么， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9．下列各式中，表示向量的是（    ） A． B． C． D． 10．某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．该圆锥的轴截面的面积是8 D．圆锥侧面积是 11．如图，在三棱锥的平面展开图中（重合于点P），是边长为4的等边三角形，，于点C，，则在三棱锥中（   ） A． B．当时，平面平面BDC C．直线BD与平面PAC所成最大角的正切值为 D．若四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，为的共轭复数，若，则 ． 13．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 14．三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战､的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知、是两个不平行的向量，向量，，，求证：三点共线. 16．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 17．已知复数在复平面内所对应的点为A. (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若点A在第二象限，求实数的取值范围. 18．已知，分别为函数图象上相邻的最高点和最低点，，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)在中，角的对边分别为，若，，，求的面积． 19．在中，分别为角所对的边，. (1)求角； (2)若的内切圆半径为，求边长； (3)若为钝角三角形，点为平面内一点且满足，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$