2025年湖南省第二届“创新杯”国际数学思维挑战赛五年级下学期复赛试卷

2025年第二届创新杯数学竞赛-5年级复赛 满分：120分时量：90分钟 一、填空题（每题5分，共80分） 1、2.025×447+65.8×20.25-1.05×202.5+22÷20。 2、计算：2 +2+2 55x9t9x15++2017×202+20212025— 2 2 3已知A×15x1可=B号月=Cx152+号D148x2行ABCD四个数中最大的是一 99 34 4解方程： 2x+13x+4 25,x的值是 5、自然数151200的因数中有许多两位数，其中最大的是一。 6、古希腊毕达哥拉斯学派认为万物皆数”。他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据 点子或小石子排列的形状把整数进行分类。如：1,3,6,10，·，这些数叫做三角形数。在整数 45.456,1830和2025中，是三角形数的有个。 7、将循环小数0化成最简分数后，分子与分母的和为134，则原循环小数为一。 8、一整块大豆腐长40厘米，宽20厘米。厨师准备把它切成一些长5厘米，宽4厘米的小块，而 且每次只能沿着直线切，如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切次。 9、将1~2025的整数按照下表的方式排列。用一个正方形框出9个数，如果这9个数的和为 2025,那么被框中的数中，最小的数是。（例如：下表中框出的9个数的和是207） 1 3 4 56 89 10 1 1211 14 15 16 1 718 1920212223 5/26 27 29 2 33 36 10、七位数175口62口的末位数字是时，不管千位上是0~9中的哪一个数字，这个七位数都 不是11的倍数。 11、盒子里有三种球，分别标有数字5、9和2.贝贝从中摸出9个球，它们的数字之和是40。贝贝 摸出了个标有数字2的球。 12、卡利亚在黑板上从左到右写上1,2,3,4，，100，然后开始进行操作：每次擦去最左边的两 个数，把它们的和数加上1写到最右边，如果第一次擦去1和2，在34，.，100的右边写上4， 第二次擦去3和4，在5,6，，100,4的右边写上8。擦了若干次之后，黑板上只剩下一个数了，这 个数是 13、如图，在梯形ABCD中，AD:BE-4:3.BE:EC=2:3.且△BOE的面积比△AOD的面积小 10平方厘米，请问梯形ABCD的面积是 平方厘米。 14、鲁西西最近爱上了折纸，她发现如果把折纸按照图中的样子翻折一下，以直线EF为折 痕将点D翻折到D',ED∥AB,DF/BC。当阴影部分的面积与空白部分的面积相等时，如果知 道折纸的面积就能算出折痕EF的长度。如果鲁西西的这张折纸（正方形ABCD)的面积是108 平方厘米，折痕EF=厘米。 15、一条直线上放着一个长方形1，它的长为4厘米，宽为3厘米，这个长方形绕一个顶点A 按顺时针旋转90度后，到了长方形2的位置，此时B点到C点的位置，如此连续做4次后，A 点最后到了G点的位置，A点所走过得总路程的长是。（π取3.14） 16、某商品有76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买3件，买1件按原定价，买两件降 价10%，买三件降价20%，最后结算平均每件恰好按原价的85%出售，那么买三件的顾客有 人。 二、解答题（每题请写出必要的解题过程，每题10分，共40分） 17、用0至9这10个数字组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个，使它们都是非零的 完全平方数，请至少写出两种答案。 18、某次考试共有100道题，每题一分，做错不扣分，甲、乙、丙三位同学分别得90分、70分 、50分，其中3个人都做出来的题叫作“容易题”，只有1个人做出来的题目叫作“较难题”，没人做 出来的题目叫作“特难题”，且“较难题”是“特难题”的3倍，又已知丙同学做出的题中超过 80%的是“容易题”，但又不全是“容易题”，请问：“特难题”共有多少道？ 19、我国宋朝数学家杨辉在他的著作《解析九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了 (a+b)r(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律。例如： (a+b)=1,它只有一项，系数为1： (a+b)=a+b,它有两项，系数分别为l,l,系数和为2： (a+b)2=a+2ab+b2,它有三项，系数分别为1,2,1.系数和为4： (a+b)=a+3ab+3ab2+b3,它有四项，系数分别为1,3,3,1，系数和为8： 2 1331 根据以上规律，解答下列问题： (I)(a+b)展开式共有项，系数和为，(a+b)"展开式共有项，(a+b)"的系数和是 (2)利用“杨辉三角”可解决实际问题，今天是星期天，那么再过2025225天是星期几？ 20、现定义四种操作的规则如下： ①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2：如果是奇数，就先加上1，然后除以2，例 如从16可以得到8.从27可以得到14。 ②“丢三落四：如果一个自然数中包含数字“3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从 408可以得到8。（不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作） ③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边：如果一个自然数中包 含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。例如从98707可以得到77908，从802可以得到28。（不含数 字7和8的自然数不能进行“七上八下”操作) ④“十全十美：将一个自然数的个位数字换成0。例如从111可以得到110，从905可以得到900。( 个位是0的自然数不能进行“十全十美”操作) (1)对4176依次进行③①③②④操作后的结果是多少？ (2)从655687开始，最少经过几次操作以后可以得到0？ (3)一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是多少？求有多 少个这样的三位数？ 第二届创新杯国际数学邀请赛复赛一5年级【参考答案】 满分：120分时量：90分钟 考号： 姓名： 联系方式： 一、填空题（每题5分，共80分） 1、2.025×447+65.8×20.25-1.05×202.5+22÷20= 【答案】2026.1 【考点】计算 【解折】原式=202.5×(4.47+6.58-1.05)+1.1=2026.1 2 2 2 2 2 2、计算： 1×55×99×13 2017×20212021×2025 1012 【答案】 【考点】裂项计算 2025 111 1 【解析1原式=。×2×1-；+；。++， 1012 20212025 2025 3、已知A×15× 99=B ×23 3÷4 =C×15.2÷4 =DX14.8x73 ，AB,C.D四个数中最大的是 【答案】B 【考点】比较大小 【解折】设原连等式等，4=1+15+1的=1古品品 19933 B=1+2x2=1x2×2-9 34 248 C=1*152×4=1x10x4L 1074-5.9>5>3>1 =1 5 152519 :D=1*14.8+72 74 148*7方7方：87方>500>19故答案为B: 2x+13x+4 4、解方程： ,x的值是 2 J 【答案】 3 【考点】解方程 3 【解析】10x+5=6x+8,x= 4 5、自然数151200的因数中有许多两位数，其中最大的是 【答案】96 【考点】因数、分解质因数 【解析】151200=25×33×52×7，所以最大的两位因数为：25×3=96。 6、古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”。他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石 子排列的形状把整数进行分类。如：1,3,6,10，·，这些数叫做三角形数。在整数45,456,1830和2025 中，是三角形数的有 个。 【答案】2 【考点】估算、找规律 【解析】三角形数满足1+2十3十4十…十n, 1+2+3+4+…+9=45,1+2+3十4+…+60=1830，所以45,1830都是三角形数，1+2+3+4+…+29 =435,1十2十3十4+十30=465，所以456不是三角形数，1+2+3+4+…十63=2016,1+2+3十4+ …十64=2080，所以2025不是三角形数。故答案为2个。 7、将循环小数0.b心化成最简分数后，分子与分母的和为134，则原循环小数为 【答案】0.207 【考点】循环小数与分数 【解析】0.ibc=abc 分子和分母同时除以3时，分母是333，不符合，分子和分母同时除以9时，分母是 999 11,分子=134-11=23，即原分子是207。这个分数是207 23 99g· 约分成最简分数是 符合，则这个循环 111 小数为0207. 8、一整块大豆腐长40厘米，宽20厘米，厨师准备把它切成一些长5厘米，完4厘米的小块，而且每次只能沿 着直线切，如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切 次。 【答案】至少要切11次【考点】图形切拼 【解析】40÷5-1+20÷41=11,40÷41+20÷5-1=12，所以厨师至少要切11次。 9、将1~2025的整数按照下表的方式排列。用一个正方形框出9个数，如果这9个数的和为2025，那么被框 中的数中，最小的数是。 (例如：下表中框出的9个数的和是207) 1 2 4567 101112131415161718 192021222324252627 282930313233到343536 【答案】215 【考点】数表规律及计算 【解析】观察发现，假设框里面中间的数为，则左边的数是(n一1)，右边的数是(n+1),上面的三个 数分别是n一10、n一9、n一8，下面的三个数分别是n十8、n+9、n十10：据此可知九个数的总和为9n,中 间的数再减去10就是最小的数，2025÷9一10=215： 10、七位数175口62口的未位数字是时，不管千位上是0~9中的哪一个数字，这个七位数都不是11 的倍数。 【答案】7【考点】11的整除特点 【解析】设七位数为175462B,奇数位数字和12+B,偶数位数字和9+A,相差3+BA,由于B和A都是数位 上的数字，当3+B=3+7=I0时，无论A填0~9的任何数字，3+B-A都不是11的倍数，答案为7 11、盒子里有三种球，分别标有数字5、9和2，贝贝从中摸出9个球，它们的数字之和是40。贝贝摸出了 个标有数字2的球。 【答案】3【考点】不定方程 【解析】根据题意设数字2的球有A个，数字5的数有B个，数字9的数有C个，则2A+5B+9C=40,且 A+B+C=9。将两个式子整理得3B+7C=22。简单枚举，C只能等于1，B=5,所以A=3,则贝贝摸出了3 个标有数字2的球： 12、卡利亚在黑板上从左到右写上1,2,3,4，·，100，然后开始进行操作：每次擦去最左边的两个数， 把它们的和数加上1写到最右边，如果第一次擦去1和2，在3,4，·，100的右边写上4，第二次擦去3和4， 在5,6，，100,4的右边写上8。擦了若干次之后，黑板上只剩下一个数了，这个数是( ) 【答案】5149 【详解】每次操作使得原来数的总和加1，每次操作减少一个数，操作99次，1+2十3+4十…+100+99=5149 13、如图，在梯形ABCD中，AD:BE=4:3,BE:EC=2:3,且△BOE的面积比△4OD的面积小I0平方厘 米。请问梯形ABCD的面积是 平方厘米？ D B E 【答案】115平方厘米【考点】图形面积 【解折1根都意可阳0服，C=869,则-后5c 而SuD-S=S0-SE=10平方厘米，所以Sum=10,则Sm=40平方厘米， 又3@-9+615 ΓSm88,所以Sn=5 ×40=75平方厘米， 8 所以SAD=SD+ScD=40+75=15(平方厘米)： 14、鲁西西最近爱上了折纸，她发现如果把折纸按照图中的样子翻折一下，以直线EF为折痕将点D翻折到D ',ED'∥AB,D'F∥BC。当阴影部分的面积与空白部分的面积相等时，如果知道折纸的面积就能算出 折痕EF的长度。如果鲁西西的这张折纸（正方形ABCD)的面积是1O8平方厘米，折痕EF= 厘米。 B D 【答案】12 【考点】图形面积、等腰直角三角形 【解】Sm=。×108=36(平方厘米)，阴影部分为等腰直角三角形，EF为斜边，所以EF2=144,所以EF=12cm。 15、一条直线上放着一个长方形1，它的长为4厘米，宽为3厘米，这个长方形绕一个顶点A按顺时针旋转90 度后，到了长方形2的位置，此时B点到C店的位置，如此连续做4次后，A点最后到了G点的位置，A点所走 过得总路程的长 。(n取3.14) 【答案】18.84厘米【考点】旋转与周长 【解析】如图，长方形对角线为5cm 3.14×3x2x×号+3.14×4×2×2+3.14×5×2×=1884(cm 16、某商品有76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买3件，买1件按原定价，买两件降价10%，买三件降价 20%,最后结算平均每件恰好按原价的85%出售，那么买三件的顾客有 人 【答案】14 【解析】设每件商品1元，假设76件原价，则买两件的顾客其中一件80%，买三件的顾客其中一件60%，76 ×856-33×1=31.6(元)，76-33=43（件）(43×80%-31.6)÷(80%-60%)=14（人）。 二、解答题（每题请写出必要的解题过程，每题10分，共40分） 17、用0至9这10个数字组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个，使它们都是非零的完全平方数，请 至少写出两种答案。 【答案】①1,36,784,9025：②9,16,784,3025： ③9,81,324,7056：④9,81,576,2304 【考点】完全平方数与有序思考 【解析】首先写出一位数、两位数中的完全平方数，然后逐一判断出用0至9这10个数字组成一位数、两位 数、三位数、四位数的完全平方数有哪些即可. 解：一位数的完全平方数有3个：1、4、9， 两位数的完全平方数有6个：16、25、36、49、64、81： (1)当一位数的完全平方数是1时，它们分别是：1,36,784,9025： (2)当一位数的完全平方数是9时，两位数的完全平方数是16时 它们分别是：9,16,784,3025： (3)当一位数的完全平方数是9时，两位数的完全平方数是81时， 它们分别是：9,81.324,7056：或9,81,576,2304. 综上，可得满足条件的数有： ①1,36,784,9025：②9,16,784,3025：③9,81,324,7056：④9,81,576,2304。 18、某次考试共有100道题，每题一分，做错不扣分，甲、乙、丙三位同学分别得90分、70分、50分，其中 3个人都做出米的题叫作“容易题”，只有1个人做出米的题目叫作“较难题”，没人做出米的题目叫作“ 特难题”，且“较难题”是“特难题”的3倍，又已知丙同学做出的题中超过80%的是“容易题”，但又不 全是“容易题”，请问：“特难题”共有多少道？ 【答案】7道【考点】容斥原理、方程 【解析】设特难愿a道，较难愿有3a道，容易题有b道，则有2人做出的题有(100-4a-b)道： 可得方程：3a+2(100-4a-b)+3b=210,b=5a+10>40,a≥7，又a<100-90=10,则有a≤9 所以a=7,8,9,解得a=7,b-45:a=8,b-50:a-9,b-55, 由于b<50,所以只有a=7,b=45满足条件： 答：特难题共有7道。 19、我因宋朝数学家杨辉在他的著作《解析九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（十b )n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律。例如： (a十b)0=1,它只有一项，系数为1： (a+b)1=a+b,它有两项，系数分别为1,1，系数和为2： (a+b)2=a2+2ab十b2,它有三项，系数分别为1,2,1，系数和为4： (a+b)3=a3+3ab+3ab2+b3,它有四项，系数分别为1,3,3,1，系数和为8： t 1 1 1 3 3 40400 根据以上规律，解答下列问题： (1)(a+b)6展开式共有 项，系数和为 ,(a十b)1"展开式共有 项， (a十b)的系数和是 (2)利用“杨辉三角”可解决实际问题，今天是星期天，那么再过20252025天是星期几？ 【答案】(1)7、64、12,2m(2)一【考点】数表规律及计算 【解析】(1) 入只R入 1615201561 如图所示，(a+b)展开式各项系数为1,6,15,20,15,6,1，共7项，1+6+15+20+15+6+1=64： (a十b)的展开式有1项：(a+b)1的展开式有2项：…，(a十b)6展开式有7项，因此(a十b)1的展开式 有12项：系数和规律为1、2、4、8、16、、2"。 (2)因为2025202=(7×289+2)2025，依次展开，前面2025项都有因数7×289，所有前面2025项都是7的 倍数，所以2025225除以7的余数是(7×289+2)5展开最后一项除以7的余数，即20255除以7的余数等于 22025除以7的余数，21、22、…、2225除以7的余数规律为2、4、1、2、4、1、…，2025除以3余0，所以222 除以7的余数为1，今天是星期天，那么再过202525天是星期一。