第23讲　尺规作图 课件 2025年中考数学一轮复习（-广东专版）

第23讲　尺规作图 第六单元 内容索引 01 考点·梳理整合 02 考题·自测体验 03 考法·分类全析 04 考点·巩固迁移 考点·梳理整合 考点一 尺规作图 1.尺规的含义: (1)几何中,直尺没有刻度,它的作用是连接、画直线、画射线; (2)圆规的作用是截取、画弧、画圆. 2.五种基本作图: (1)作一条线段等于已知线段; (2)作一个角等于已知角; (3)作已知角的平分线; (4)作已知线段的垂直平分线; (5)过一点作已知直线的垂线. 3.尺规作图的一般步骤: (1)已知; (2)求作; (3)作法; (4)证明. 考点二 根据已知的三个条件作三角形 1.已知两边及夹角作三角形. 2.已知两个角及夹边作三角形. 3.已知三边作三角形. 考点三 三角形的外接圆和内切圆 1.过一点的圆有无数多个. 2.过两点的圆有无数多个,它们的圆心都在这两点连线的垂直平分线上. 3.过不在同一直线上的三点的圆(即三角形的外接圆)的圆心是三边垂直平分线的交点,半径是这个交点到一个顶点的距离. 4.三角形的内切圆:三角形内切圆的圆心是三个角的平分线的交点,半径是这个交点到一边的距离. 考题·自测体验 1.(2021湖北黄石)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,按以下步骤作图:①以B为圆心,任意长为半径作弧,分别交BA,BC于M,N两点;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线BP,交边AC于D点.若AB=10,BC=6,则线段CD的长为(　　). A.3 B. C. D. A 2.(2024广东深圳)在下面三个图形中,根据尺规作图的痕迹,能判断射线AD平分∠BAC的是(　　). A.①② B.①③ C.②③ D.只有① B 3.(2021湖北襄阳)如图,BD为▱ABCD的对角线. (1)作对角线BD的垂直平分线,分别交AD,BC,BD于点E,F,O;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)连接BE,DF,求证:四边形BEDF为菱形. (1)解:如图,EF为所作; (2)证明:如图,∵EF垂直平分BD,∴OB=OD,EB=ED, FB=FD, ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO, 在△ODE和△OBF中, ∴△ODE≌△OBF,∴DE=BF, ∴BE=DE=BF=DF, ∴四边形BEDF为菱形. 4.(2021湖北宜昌)如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=50°. (1)通过观察尺规作图的痕迹,可以发现直线DF是线段AB的　　　　　,射线AE是∠DAC的　　　　　;  (2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数. 解:(1)垂直平分线　平分线 (2)∵DF垂直平分线段AB, ∴DA=DB,∴∠BAD=∠B=40°. 又∠C=50°,∴∠BAC=90°,∴∠CAD=50°. ∵AE平分∠CAD, ∴∠DAE=∠CAD=25°. 5.(2023广东)如图,在▱ABCD中,∠DAB=30°. (1)实践与操作:用尺规作图法过点D作AB边上的高DE;(保留作图痕迹,不要求写作法) (2)应用与计算:在(1)的条件下,AD=4,AB=6,求BE的长. 解:(1)如图,E即为所求作的点. (2)∵cos∠DAB=,∴AE=AD·cos 30°=4×=2, ∴BE=AB-AE=6-2. 考法·分类全析 考法1利用基本作图,解决简单实际问题 常用的基本作图包括:作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作已知角的平分线,作已知线段的垂直平分线,过一点作已知直线的垂线,过直线外一点作已知直线的平行线,过不在同一直线上的三点作圆等. 例1如图6-23-1,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA,OB的距离相等,且到两工厂C,D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论) 解:如图所示,连接CD,作CD的垂直平分线与∠AOB的平分线交于点P,交点P即为所求. 方法点拨 此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法.这些基本作图要熟练掌握,注意保留作图痕迹.解题时根据点P到∠AOB两边距离相等,到点C,D的距离也相等,知点P既在∠AOB的平分线上,又在CD的垂直平分线上,故∠AOB的平分线和CD的垂直平分线的交点处即为点P. 考法2根据已知的三个条件作三角形 能作出确定的三角形的条件:已知两边及夹角,已知两个角及任意一边,已知三边,已知斜边和一条直角边等. 例2如图6-23-2,已知线段a及∠O,只用无刻度的直尺和圆规,求作△ABC,使BC=a,∠B=∠O,∠C=2∠B.(在指定作图区域作图,保留作图痕迹,不写作法) 图6-23-2 解:如图所示. 方法点拨 解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的基本作图方法.先作一个角等于已知角,即∠MBN=∠O,在边BN上截取BC=a,以CB为一边,C为顶点,作∠PCB=2∠O,CP交BM于点A,△ABC即为所求. 考法3作三角形的外接圆 确定一个圆的关键:确定圆心和半径.三角形外接圆的圆心是三边中垂线的交点,半径是这点与某一个顶点之间的距离. 例3如图6-23-3,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°. (1)实践与操作　利用尺规按下列要求作图并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法):①作△ABC的外接圆,圆心为O;②以线段AC为一边,在AC的右侧作等边三角形ACD;③连接BD交☉O于点E,连接AE. 图6-23-3 (2)综合与运用　在你所作的图中,如果AB=4,BC=2,则: ①AD与☉O的位置关系是　　　;  ②线段AE的长为　　　　.  解:(1)如图: (2)①相切　② 方法点拨 △ABC是直角三角形,作△ABC的外接圆关键是找到圆心,我们可以作AB的垂直平分线,它与AB的交点即为圆心O,以点O为圆心,以AO为半径作圆,即得到△ABC的外接圆.分别以点A,C为圆心、以AC为半径画弧,两弧交于点D,即为等边三角形ACD.判断AD与☉O的位置关系,关键是判断OA与AD是否垂直. 考法4作三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点,半径是这个交点到某一边的距离. 例4用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹. 为美化校园,学校准备在如图6-23-4的三角形(△ABC)空地上修建一个面积最大的圆形花坛,请在图中画出这个圆形花坛. 图6-23-4 解:面积最大的圆形花坛即△ABC的内切圆.如图,分别作∠BAC和∠ACB的平分线,交于点O,以O为圆心,以O到BC的距离为半径画圆即得所求. 方法点拨 1.设△ABC的内切圆的半径为r,周长为p,则其面积S=pr,这个公式在关于三角形内切圆的有关计算中有重要的地位. 2.三角形能覆盖的最大的圆即其内切圆. 考点·巩固迁移 1.观察下列作图痕迹,所作CD为△ABC的边AB上的中线是(　　). B 2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB>AC.按下列步骤作图:①分别以点B和点C为圆心,大于BC一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点M和点N;②作直线MN,与边AB相交于点D,连接CD. 下列说法不一定正确的是(　　). A.∠BDN=∠CDN B.∠ADC=2∠B C.∠ACD=∠DCB D.2∠B+∠ACD=90° C 3.如图,AB,AC表示两条相交的公路,现要在∠BAC的内部建一个物流中心.设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等,且到公路交叉处A点的距离为1 000 m. (1)若要以1∶50 000的比例尺画设计图,求物流中心到公路交叉处A点的图上距离; (2)在图中画出物流中心的位置P. 解:(1)1 000 m=100 000 cm,100 000÷50 000=2(cm), 故物流中心到公路交叉处A点的图上距离为2 cm. (2)作∠BAC的平分线,且AP=2 cm,如图. 4.在平行四边形ABCD中,E为AD的中点,请仅用无刻度的直尺完成下列画图,不写画法,保留画图痕迹. (1)如图1,在BC上找出一点M,使点M是BC的中点; (2)如图2,在BD上找出一点N,使点N是BD的一个三等分点. 解:(1)如图1,M点就是所求作的点. (2)如图2,点N就是所求作的点. 图1 图2 5.如图,要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮,需先在这块铁皮上画出一个半圆,使它的圆心在线段AC上,且与AB,BC都相切.请你用无刻度的直尺和圆规画出来.(要求保留作图痕迹,不要求写作法) 解:如图. 6.(1)如图1,在△ABC中,∠C=90°,请用无刻度的直尺和圆规作一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形.(不写作法,但须保留作图痕迹) (2)已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数. 图1 图2 图3 解:(1)如图,直线CM即为所求. (2)图2能画一条直线分割成两个等腰三角形,分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°.图3不能分割成两个等腰三角形. 本 课 结 束 $$