第20讲　圆的有关概念及性质 课件　2025年中考总复习数学北师大版-广东专版

第20讲　圆的有关概念及性质 第六单元 内容索引 01 考点·梳理整合 02 考题·自测体验 03 考法·分类全析 04 考点·巩固迁移 考点·梳理整合 考点一 圆的有关概念和性质 1.圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,定点就是　　　　,定长就是　　　　.  2.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的　　　.  推论:平分弦(　　　　　　　)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的　　.  圆心 半径 弧 不是直径 弧 3.圆心角、弧、弦之间的关系: 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的　　　相等,所对的　　　相等.  推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别　　　　.  4.圆的对称性: 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条　　　　　　,圆是中心对称图形,其对称中心是　　　　.  弧 弦 相等 过圆心的直线 圆心 5.三角形的外接圆、外心: (1)确定圆的条件:　　　　　　　　　的三个点确定一个圆;  (2)三角形的外接圆、外心:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三边　　　　　　的交点,叫做三角形的　　　　　.  6.圆的内接正多边形: 顶点都在同一圆上的正多边形叫做　　 　　　,这个圆叫做该正多边形的　　　　　.  7.圆内接四边形的性质: 圆的内接四边形的对角　　　　,并且一个外角等于它的内对角.  不在同一条直线上 垂直平分线 外心 圆内接正多边形 外接圆 互补 考点二 圆周角与圆心角 1.圆心角:顶点在　　　　的角叫做圆心角,圆心角的度数等于它所对的 　　　的度数.  2.圆周角:顶点在圆上,两边分别和圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角. 3.圆周角定理(圆周角和圆心角的关系):圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的　　　　.  推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等; 推论2:直径所对的圆周角是　　　;90°的圆周角所对的弦是　　　.  圆心 弧 一半 直角 直径 考题·自测体验 1.(2023广东)如图,AB是☉O的直径,∠BAC=50°,则∠D=(　　). A.20° B.40° C.50° D.80° B 2.(2024广东广州)如图,在☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB, ∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是(　　). A.点P在☉O上 B.点P在☉O内 C.点P在☉O外 D.无法确定 C 3.(2023广东深圳)如图,在☉O中,AB为直径,C为圆上一点,∠BAC的平分线与☉O交于点D.若∠ADC=20°,则∠BAD=　　　　.  35° 4.(2021广东深圳)如图,AB为☉O的弦,D,C为优弧AB的三等分点, AC∥BE,BE与DC的延长线交于点E. (1)求证:∠A=∠E; (2)若BC=3,BE=5,求CE的长. (1)证明:如图,连接AD,由题意知A,D,C,B四点共圆, ∴∠BAD+∠BCD=180°. 又∠BCD+∠BCE=180°, ∴∠BAD=∠BCE. 由题意知∠BAD=∠ABC,∴∠ABC=∠BCE, ∴AB∥CE. 又AC∥BE,∴四边形ACEB为平行四边形, ∴∠BAC=∠E. (2)解:由题意知,, ∴∠BDC=∠CBD=∠BAC=∠E, ∴BE=BD=5,BC=CD=3. ∵∠E=∠DBC,∠BDE=∠BDE, ∴△CBD∽△BED, ∴,即,解得DE=. ∴CE=DE-CD=-3=. 5.(2022广东)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径, ∠ADB=∠CDB. (1)试判断△ABC的形状,并给出证明; (2)若AB=,AD=1,求CD的长度. 解:(1)△ABC是等腰直角三角形. 证明:∵AC为☉O的直径, ∴∠ADC=∠ABC=90°. ∵∠ADB=∠CDB,∴,∴AB=BC. 又∵∠ABC=90°, ∴△ABC是等腰直角三角形. (2)由(1)知,在Rt△ABC中,AB=BC=, ∴AC=2, 在Rt△ADC中,AD=1,AC=2,∴CD=. 考法·分类全析 考法1圆心角与圆周角的相关计算问题 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍.利用这个关系来解决的问题常常是:已知圆周角求圆心角或已知圆心角求圆周角,结合勾股定理求解半径或直径. 例1一个圆形人工湖如图6-20-1,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100 m,测得圆周角∠C=45°,则这个人工湖的直径AD长(　　). A.50 m　　　　 B.100 m C.150 m D.200 m 图6-20-1 解析:如图,连接OB, 则∠AOB=2∠C=90°. 因为AB=100 m,由勾股定理得OA==50 m, 所以AD=2AO=100 m. 答案:B 方法点拨 由弧AB所对的圆周角是其所对的圆心角的一半,得到Rt△AOB,根据勾股定理进行计算,再利用圆的半径等于直径的一半求得直径AD的长. 考法2垂径定理及其推论的应用 利用垂径定理和勾股定理相结合,进行有关弦、弦心距、半径(直径)的计算是中考中关注热度较大的题型. 例2如图6-20-2,☉O是△ABC的外接圆,∠BAC=60°.若☉O的半径OC为2,则弦BC的长为(　　). A.1 B. C.2 D.2 解析:如图,过点O作OD⊥BC于点D,则∠BOD=∠COD,BD=CD. 又∠BAC=60°,则∠BOC=120°,所以∠COD=60°,∠OCD=30°, 所以OD=1. 由勾股定理得CD=,则BC=2. 答案:D 方法点拨 在应用垂径定理时,往往需要作垂直于弦的直径或半径,利用垂径定理及其推论和勾股定理达到解题的目的. 例3已知梯形ABCD的四个顶点都在半径为5的☉O上,若上底AD=6,下底BC=8,求此梯形的面积. 解:分两种情况:①若圆心O在梯形内部,如图1,过点O作OE⊥AD于点E,作OF⊥BC于点F,可知E,O,F三点共线,连接OA,OB.由题意知AE=3,BF=4,OA=OB=5,则OE=4,OF=3,所以梯形的高EF=7,故其面积为(6+8)×7÷2=49;②若圆心O在梯形的外部,如图2,同①可得EF=1,梯形的面积为(6+8)×1÷2=7,因此,梯形的面积为49或7. 方法点拨 1.在有关弦的计算问题中,要根据圆心的位置与弦的关系进行分类讨论. 2.有关弦的计算问题,常常过圆心作弦的垂线段这条辅助线,构造基本图形——直角三角形,利用勾股定理来进行计算求值. 考法3圆的性质的综合应用 圆的有关性质包括半径与直径的关系,圆心角与圆周角的关系,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,圆的对称性等.题型有圆的角度的计算,圆的内接三角形的相关计算,直径(半径)、弦、弦心距的计算问题,综合性较强. 例4如图6-20-3,在平面直角坐标系中,☉A经过原点O,并且分别与x轴、y轴交于B,C两点,已知B(8,0),C(0,6),则☉A的半径为(　　). A.3 B.4 C.5 D.8 解析: 如图,连接BC. 由∠BOC=90°,可知BC为☉A的直径,即BC过圆心A. 在Rt△BOC中,OB=8,OC=6,根据勾股定理,得BC=10,则☉A的半径为5. 答案:C 考点·巩固迁移 1.如图,O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等.若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是(　　). A.130° B.140° C.150° D.160° B 2.如图,☉O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为(　　). A.2 B.8 C.2 D.2 D 3.如图,已知☉O是△ABD的外接圆,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦, ∠ABD=58°,则∠BCD等于(　　). A.116° B.32° C.58° D.64° B 4.某公园修建的一个草坪如图所示.若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,测得CD⊥AB,AD=BD,且CD=AB=80 m,则该圆的半径为(　　). A.40 m B.50 m C.60 m D.80 m B 5.如图,BC是☉O的直径,A是☉O上的一点,∠OAC=32°,则∠B的度数 是(　　). A.58° B.60° C.64° D.68° A 6.如图,在☉O中,OA⊥BC,∠CDA=22.5°,则∠AOB的度数为(　　). A.22.5° B.30° C.45° D.60° C 7.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形.如果∠AOC+∠ABC=90°,那么∠ADC的度数是　　　　.  150° 8.如图,圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别交于点E,F,且∠A=55°,∠E=30°,则∠F等于　　　　. 40° 9.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,其中有水部分水面宽0.8 m.若此输水管道的直径是1 m,求此时最深处水深为多少米. 解:如图,由题意,知弦AB=0.8 m,半径OA=0.5 m,过O作AB的垂线交AB于点C,交圆O于点D,则OD=0.5 m,AC=0.4 m, 所以OC==0.3 (m), 故最深处水深CD=0.5-0.3=0.2(m). 本 课 结 束 $$