精品解析：浙江省台州市台州六校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

六校联盟2024学年第二学期期中联考 高二数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线的斜率以及时，即可求解. 【详解】由于处的切线方程为，故， 当时，，故， 故， 故选：D 2. 在（x－）10展开式中，含x6项的二项式系数为（　　） A. － B. C. －4 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解析：含x6项为展开式中第五项，所以二项式系数为C. 3. 已知随机变量的分布列如图，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率之和为1得，即可根据期望公式即可求解. 【详解】由表可得，故， 故， 故选：D 4. 已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ） A. 在上单调递增 B. 有极大值 C. 有3个极值点 D. 在处取得最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象确定单调区间、极值情况，即可判断各项的正误. 【详解】由题图知，在上，则在上单调递减， 在上，则在上单调递增， 所以在上不单调，为极小值，且共有3个极值点，处不是最大值. 故选：C 5. 某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（ ） A. 60种 B. 54种 C. 48种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】分选派2名快递员和选派3名快递员两种情况讨论. 【详解】第一：选派2名快递员的时候： 首先，快递员的选法有种不同选法，其中一名快递员从四个区域中选2个区域，有种选法，剩余快递员的选法只有1种， 所以不同安排方案有：种； 第二：选派3名快递员的时候： 先从四个区域中选2个区域，有种选法，将其看做一个区域，现在3个区域安排给三个人有种方法， 所以不同安排方案有：种. 综上，不同安排方案有：种. 故选：B 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，根据函数单调性求最值即可得解. 【详解】函数，则， 因函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因在区间上单调递减，则， 故，即实数取值范围是. 故选：B 7. 已知随机事件满足：，，则下列选项错误的是（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与相互独立，则 C. 若与互斥，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由独立事件的乘法公式可得判断A，B；由互斥事件的加法公式可得判断C；由全概率公式可得判断D. 【详解】对于A，，故与相互独立， 命题正确，即A不符合条件； 对于B，若与相互独立，则与也相互独立， 则，命题正确，即B不符合条件； 对于C，若与互斥，则， ，命题错误，故C符合题意； 对于D，因为， 由全概率公式可得， 即，所以， 所以，命题正确，即D不符合条件. 故选：C. 8. 设函数，若，则最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，将转化为，在定义域内同正同负，函数图象与轴的交点重合，得到，进而，利用导数求出最小值. 【详解】可看作，在定义域内二者均单调递增， 在定义域内同正，因此只需函数图象与轴的交点重合，如图所示： 令， 得，所以， 所以， 令，， 当时， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有最小值，最小值为， 所以的最小值为2， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：可看作，在定义域内同正同负，因此函数图象与轴的交点重合. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ） A. 由“第行所有数之和为”猜想： B. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C. D. 第29行中从左到右第14与第15个数相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项式系数和的公式即可求解A，根据组合数的性质即可求解BCD. 【详解】对于A, ，故A正确， 对于B,由组合数的性质可得，B正确， 对于C, ,C正确， 对于D, 第29行中从左到右第14个数为,第15个数为，两者不相等，D错误， 故选：ABC 10. 甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件为“取出的两球都是红球”，事件为“取出的两球为一红一白”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件概率及全概率公式计算，逐项判断即可. 【详解】由题意知，，，， ，， 所以， ， . 故选：AD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极小值点 B. 的单调减区间是 C. 在定义域内既无最大值又无最小值 D. 若有两个不同的交点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项. 【详解】对于A，函数定义域满足，解得， 由，令可得和，当或时，所以在和上单调递减，当时. 所以在上单调递增，这表明是的极小值点，A正确； 对B， 的单调减区间是，，故B不正确； 对C，由A可得当和时单调递减， 当时单调递增，且， 作出简图，可得的值域是，故C正确； 对D，由图象可得，与有两个不同的公共点，则，故D正确； 故选：ACD 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果随机变量，且，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 则. 故答案为： 13. 在的展开式中，项的系数为_____． 【答案】25 【解析】 【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再结合指定项指数求解. 【详解】二项式展开式的通项， 因此项为， 所以项的系数为25. 故选：25 14. 曲线与和分别交于、两点，设曲线在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果. 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或（舍去）， 可得，则，所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共7小题；其中第15小题12分，第16小题14分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题19分；共77分） 15. 某种产品的加工需要经过、、、、共5道工序． （1）如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （2）如果工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （3）如果和工序相邻，和不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）特殊元素优先法，先排工序，其余工序全排列； （2）首先排工序和工序，，其余工序全排列； （3）相邻问题用捆绑，不相邻问题用插空法. 【小问1详解】 因为工序不能放在最后， 首先排工序，有种排法， 其余工序全排列即可，有种排法， 按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序； 【小问2详解】 因为工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后， 首先排工序和工序，有种排法， 其余工序全排列即可，有种排法， 按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序； 【小问3详解】 如果和工序相邻，和不能相邻， 把和工序捆绑作为一组，与工序排列，有种排法， 再将和插入所形成的个空中的个空，有种排法， 按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序； 16. 已知函数，当时，取得极小值． （1）求的值； （2）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值是，最小值是 【解析】 分析】（1）根据条件得，从而有，再进行验证，即可求解； （2）利用（1）中结果，求出的单调区间，进而求出极值和端点值，即可求出结果. 【小问1详解】 ，, 当时，取得极小值， ，得到，， 当时，， 由，解得或；由解得， 在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，符合题意，故， 当时，， 由，解得或；由解得； 在，上单调递增，在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意，舍去． 综上，． 【小问2详解】 由（1）可知，， 且在，上单调递增，在上单调递减； 在上极大值为，极小值为； 又，， 在上的最大值是，最小值是． 17. 已知展开式的二项式系数和为512，且． （1）求和的值； （2）若，且被6整除，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和为可求得的值，再将原式中的进行赋值，即可求解； （2）利用的解析式先求出，再利用二项式定理展开，进而可求解. 【小问1详解】 由二项式系数和为512知，，所以， ， 令，，令，， ； 【小问2详解】 由（1）知，则， ， 被6整除，能被6整除， 能被6整除， 能被6整除， ，，. 18. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码． （1）求的分布列； （2）小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？ 【答案】（1）分布列见解析 （2）能 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解，列出分布列即可； （2）列出的分布列，求出其期望，即可得到结论. 【小问1详解】 由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7． ， ， ， ， 则的分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 P 【小问2详解】 由（1）得，， 的分布列为： Y 0 1 5 10 P 则， 小州同学能盈利． 19. 定义函数满足，且的定义域均为，．已知函数． （1）求的解析式及其定义域； （2）证明：； （3）若，是的两个零点，证明：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义，求得函数的解析式，即可求得其定义域； （2）要证：，即证：，当时，， ，得证； （3）根据已知条件化为，换元令，则只需证，构造函数，利用导数得到函数单调性，利用函数单调性证明不等式即可. 【小问1详解】 由题意得，，，， ，，， ，且的定义域为． 【小问2详解】 要证：，即证：， 当时，． 令，， ，在上单调递增． ， ，即． 【小问3详解】 是的两个零点 ，，则，， ， 要证，只需证， ，且为增函数，， ，且在上为减函数，， 即证，即证， 即证，即证， 即证， 令，则只需证； 设， 则， 在上单调递增，则， 成立，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六校联盟2024学年第二学期期中联考 高二数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 8 2. 在（x－）10展开式中，含x6项的二项式系数为（　　） A. － B. C. －4 D. 4 3. 已知随机变量分布列如图，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 4. 已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ） A. 在上单调递增 B. 有极大值 C. 有3个极值点 D. 处取得最大值 5. 某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（ ） A. 60种 B. 54种 C. 48种 D. 36种 6. 若函数在区间上单调递增，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机事件满足：，，则下列选项错误的是（ ） A 若，则与相互独立 B. 若与相互独立，则 C. 若与互斥，则 D. 若，则 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ） A. 由“第行所有数之和为”猜想： B. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C D. 第29行中从左到右第14与第15个数相等 10. 甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件为“取出的两球都是红球”，事件为“取出的两球为一红一白”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极小值点 B. 的单调减区间是 C. 在定义域内既无最大值又无最小值 D. 若有两个不同的交点，则 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果随机变量，且，则_____． 13. 在的展开式中，项的系数为_____． 14. 曲线与和分别交于、两点，设曲线在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则_____． 四、解答题（本题共7小题；其中第15小题12分，第16小题14分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题19分；共77分） 15. 某种产品的加工需要经过、、、、共5道工序． （1）如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （2）如果工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （3）如果和工序相邻，和不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 16. 已知函数，当时，取得极小值． （1）求的值； （2）求函数在上的最大值和最小值． 17. 已知展开式的二项式系数和为512，且． （1）求和的值； （2）若，且被6整除，求． 18. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码． （1）求的分布列； （2）小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？ 19. 定义函数满足，且的定义域均为，．已知函数． （1）求的解析式及其定义域； （2）证明：； （3）若，是的两个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$