第17讲　直角三角形与锐角三角函数 课件 2025年中考数学一轮复习（广东专版）

第17讲　直角三角形与锐角三角函数 第四单元 内容索引 01 考点·梳理整合 02 考题·自测体验 03 考法·分类全析 04 考点·巩固迁移 考点·梳理整合 1.直角三角形的性质及判定: 性质 (1)两锐角之和等于　　　　;  (2)斜边上的中线等于斜边的　　　;  (3)30°角所对的直角边等于斜边的　　　;  (4)勾股定理:若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2; (5)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于　   判定 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形; (2)勾股定理的逆定理:若a2+b2=c2,则以a,b,c为边的三角形是直角三角形 90° 一半 一半 30° 　 　cos A sin A 　 考题·自测体验 1.(2021广东深圳)如图,在点F处,看建筑物顶端D的仰角为32°,向前走了 15 m到达点E,即EF=15 m,在点E处看点D的仰角为64°,则CD的长用三角函数表示为(　　). A.15sin 32° m B.15tan 64° m C.15sin 64° m D.15tan 32° m C 2.(2022浙江金华)配电房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,已知 BC=6 m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为(　　). A.(4+3sin α)m B.(4+3tan α)m C.(4+)m D.(4+)m B 3.(2024广东深圳)如图,为了测量某建筑的高度,小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°,小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°,则该建筑AB的高度为(　　). (参考数据:sin 53° ≈,cos 53°≈,tan 53°≈) A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m A 4.(2021广东广州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD.若CD=1,则AD的长为　　　　　.  2 5.(2021广东节选)在Rt△ABC中,∠A=90°,作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E,使CE=AB. (1)若AE=1,求△ABD的周长; (2)若AD=BD,求tan∠ABC的值. 解:(1)如图,连接BD,设BC的垂直平分线交BC于点F, ∵DF为BC的垂直平分线, ∴BD=CD,C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC. ∵AB=CE,∴C△ABD=AC+CE=AE=1. (2)设AD=x,∴BD=3x, 又BD=CD,∴AC=AD+CD=4x. 在Rt△ABD中, AB==2x. ∴tan∠ABC=. 考法·分类全析 考法130 °角所对直角边是斜边的一半 含30°角的直角三角形具有特殊的性质:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. 此结论是由等边三角形的性质推出的,它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数. 注意:(1)该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊性质,在非直角三角形或一般直角三角形中不能应用;(2)应用时,要注意找准30°的角所对的直角边,以及斜边. 例1如图4-17-2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线, EF交BC于点F,交AB于点E.求证:BF=FC. 图4-17-2 证明:如图,连接AF,由EF是AB的垂直平分线,可知BF=AF. 在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=30°. 又FB=FA,∴∠FAB=∠B=30°, ∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=120°-30°=90°. 在△ACF中,∠C=30°,∠CAF=90°, ∴AF=FC,即BF=FC. 方法点拨 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.本性质适用的大前提是“在直角三角形中”.在题中如果有一个30°的角,而无直角时,必须依条件构造符合性质特征的直角三角形,才能由角的大小关系,得出边的倍数关系. 考法2直角三角形的性质和判定 例2在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图4-17-3所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是(　　). A.10 B.4 C.10或4 D.10或2 　图4-17-3 (2)如图2,因为CE==5,E是斜边AB的中点,所以AB=2CE=10. 综上,原直角三角形纸片的斜边长是10或4, 故选C. 答案:C 解析:(1)如图1,因为CD==2,点D是斜边AB的中点,所以AB=2CD=4. 图1 图2 方法点拨 直角三角形中线段和角之间的数量关系 (1)边:直角三角形的三边满足勾股定理,是计算线段长度的常用条件,有时也用于证明线段相等;(2)角:直角三角形的两锐角互余,可用来计算角的大小,也是证明角相等的常用依据;(3)斜边中线:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是几何证明或计算的重要工具.直角三角形的判定方法主要利用定义,即证明一个角是直角.另外还有两种方法:一是勾股定理的逆定理,即证明“a2+b2=c2”,则∠C=90°;二是利用“若三角形一边上的中线等于这边的一半,则这个三角形是直角三角形”这一判定方法,但这一方法不常用. 考法3锐角三角函数值的求法 例3如图4-17-4,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是(　　). A.2 B. C. D. 图4-17-4 解析:如图,连接AC,由勾股定理得AB2=22+22=8,AB=2,AC2=12+12=2,AC=,BC2=12+32=10,由AB2+AC2=8+2=10=BC2,可知△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°. 故tan ∠ABC=. 答案:D 方法点拨 在格点图中求某个角的三角函数值的方法 通常的做法是构造合适的直角三角形,然后根据格点来表示出各边的长,从而求出相应的三角函数值.在构造直角三角形时需注意,一般情况下,我们要去求的边或者角不要分割,并且构造的直角三角形的边尽可能地是整个的格点数,这样便于我们求值. 考法4有关特殊角三角函数值的计算 例4计算:tan 45°-sin 30°+(2-)0. 解:原式=1-+1=. 方法点拨 特殊角的三角函数值要记熟,或者把特殊角放到直角三角形中利用相关定理与性质推导计算. 考法5锐角三角函数的应用 例5如图4-17-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A的值为(　　). A. B. C. D.1 解析:设BC=m,则AB=2m, 根据勾股定理可求得AC=m, cos A=,故选C. 答案:C 方法点拨 求直角三角形中某锐角的三角函数值,常需利用勾股定理求出有关边长,有时还要通过作高把非直角三角形中的边和角转化到直角三角形中. 考法6解直角三角形的实际应用 例6如图4-17-6,一艘渔船航行到A处时,发现正东方向的海域B处有一艘船只正在以12 n mile/h的速度向西北方向航行.渔船立即沿北偏东60°方向航行,1.5 h后,在区域C处与该船只相遇.问渔船的航行路程是多少海里?(结果保留根号) 图4-17-6 解:过点C作CD⊥AB于点D(如图). 由题意知,∠CBD=45°,∠CAD=30°. 在Rt△BDC中,BC=12×1.5=18(n mile). ∵sin 45°=,∴CD=9 n mile. 在Rt△ADC中,∠CAD=30°, ∴AC=2CD=18 n mile. 答:渔船的航行路程是18 n mile. 方法点拨 1.解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形;有时所给的角并不一定在直角三角形中,需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角.另外,当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决. 2.一般过程:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).(2)根据题目已知特点选用适当锐角三角函数(或边角关系)去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案. 考点·巩固迁移 1.如图,点A,B都在格点上,若BC=,则AC的长为(　　). A. B. C.2 D.3 B 2.拦水坝的横断面如图所示,斜坡AB的水平宽度为12 m,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB的长为(　　). A.4 m B.6 m C.12 m D.24 m B 3.已知α,β均为锐角,且满足=0,则α+β=　　　　　.  75° 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,分别以AB,AC,BC为边在AB的同侧作正方形ABEF,ACPQ,BCMN,四块阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=　　　.  18 5.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点D在AB上,且AD=AC,AE⊥CD,垂足为F,与BC相交于点E,则tan∠CAE=　　　　　.  6.小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼CD的高度.如图,她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45°,底部的俯角为38°.又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6 m,求大楼CD的高度.(结果精确到0.1 m) (参考数据:sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79,tan 38°≈0.78) 解:作AH⊥CD于点H,如图, 则四边形ABDH是矩形,∴HD=AB=31.6 m. 在Rt△ADH中,∠HAD=38°,tan∠HAD=, ∴AH=≈40.51(m). 在Rt△ACH中,∠CAH=45°, ∴CH=AH≈40.51 m, ∴CD=CH+HD≈40.51+31.6≈72.1(m). 故该大楼的高度约为72.1 m. 7.某区域的平面示意图如图所示,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10 n mile. (1)填空:∠BAC=　　　　,∠C=　　　　;  (2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号). 解:(1)30°,45°. (2)∵BP⊥AC,∴∠BPA=∠BPC=90°. ∵∠C=45°,∴△BCP是等腰直角三角形. ∴BP=PC.∵∠BAC=30°,∴PA=BP. ∵PA+PC=AC, ∴BP+BP=10,解得BP=(5-5)n mile. 因此,观测站B到AC的距离BP为(5-5)n mile. 本 课 结 束 $$