第16讲　等腰三角形 课件 2025年中考数学一轮复习专题（广东专版）

第16讲　等腰三角形 第四单元 内容索引 01 考点·梳理整合 02 考题·自测体验 03 考法·分类全析 04 考点·巩固迁移 考点·梳理整合 考点一 等腰三角形 定义 有　　　　边相等的三角形叫做等腰三角形  性质 (1)两腰相等,　　　　相等;  (2)顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相　　　;  (3)是轴对称图形 判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形; (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形 两条 两底角　 重合 考点二 等边三角形 定义 三边都　　　　的三角形叫做等边三角形  性质 (1)三边相等; (2)三个内角相等而且每一个角都等于　　　;  (3)是轴对称图形,有　　　条对称轴  判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形; (2)三个角都相等的三角形是等边三角形; (3)有一个角是　　　的等腰三角形是等边三角形  相等 60° 3 60° 考点三 线段垂直平分线 定义 经过线段　　　点,并且　　　于这条线段的直线,叫这条线段的垂直平分线,简称线段的中垂线  性质 线段垂直平分线上的点到这条线段　　　　　的距离相等  判定 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的　　　　　　　上  中 垂直 两个端点 垂直平分线 考题·自测体验 1.(2021青海)已知a,b是等腰三角形的两边长,且a,b满足+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为(　　). A.8 B.6或8 C.7 D.7或8 D 2.(2020广东深圳)如图,在△ABC中,AB=AC.在AB,AC上分别截取AP,AQ,使AP=AQ.再分别以点P,Q为圆心,以大于PQ的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点R,连接AR并延长,交BC于点D.若BC=6,则BD的长为(　　). A.2 B.3 C.4 D.5 B 3.(2021浙江绍兴节选)在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,以点C为圆心,CA长为半径作弧,交直线BC于点P,连接AP,则∠BAP的度数是　　　　　　　.  4.(2022江苏苏州)一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为　　　.  15°或75° 6 5.(2021广东深圳)如图,已知∠BAC=60°,AD是角平分线且AD=10,作AD的垂直平分线交AC于点F,作DE⊥AC,则△DEF的周长为　　　　　.  5+5 考法·分类全析 考法1等腰三角形的概念和性质 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形具有性质:(1)等腰三角形的两腰相等;(2)等腰三角形的两个底角相等;(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. 例1如图4-16-1,在△ABC中,AB=AC,BD=DC,∠CAF是△ABC的外角, AE∥BC. 求证:(1)AE平分∠FAC; (2)AE⊥AD. 证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C. 又AE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C, ∴∠1=∠2,即AE平分∠FAC. (2)∵AB=AC,BD=DC,∴△ABC为等腰三角形,AD⊥BC. 又AE∥BC,∴AE⊥AD. 方法点拨 等腰三角形“三线合一”的性质,既涉及角相等又涉及线段相等和垂直,为证明线段和角的关系增添了理论根据. 考法2等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等. 注意:(1)等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既可作为性质,又可作为判定方法; (2)等腰三角形的判定和性质互逆; (3)判定定理在同一个三角形中才能适用. 例2如图4-16-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,过点B作BD∥AC,且BD=2AC,连接AD.试判断△ABD的形状,并说明理由. 图4-16-2 解:△ABD是等腰三角形. 理由:如图,在BD上取点E,使BE=DE,连接AE,则BE=BD. ∵BD=2AC,∴BE=AC. 由BD∥AC,可知四边形ACBE是平行四边形. 由∠C=90°,可知四边形ACBE是矩形, ∴∠AEB=90°,即AE⊥BD. ∴AB=AD,即△ABD是等腰三角形. 考法3等边三角形的判定和性质 1.等边三角形是一种非常特殊的几何图形,它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同时等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质,解题时要善于挖掘图形中的隐含条件并灵活运用. 2.等边三角形的特性:三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等. 3.等边三角形判定最复杂,在应用时要抓住已知条件的特点,选取恰当的判定方法.一般地,若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定;若从等腰三角形出发,则想办法获取一个60°的角进行判定. 例3如图4-16-3,点C为线段AB上一点,△ACD,△CBE均是等边三角形,AE与CD交于点M,BD与CE交于点N,连接MN,AE与BD交于点O. 求证:(1)AE=DB; (2)△CMN是等边三角形. 图4-16-3 证明:(1)由△ACD,△CBE均是等边三角形, 可知AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE=60°. 又点C为线段AB上一点, ∴∠ACE=180°-∠BCE=120°. 同理,∠DCB=120°,∴∠ACE=∠DCB. 在△ACE和△DCB中, ∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB. (2)∵△ACE≌△DCB, ∴∠EAC=∠BDC,即∠MAC=∠NDC. 由(1)知∠DCN=180°-60°-60°=60°. 在△ACM和△DCN中, ∴△ACM≌△DCN,∴CM=CN. 又∠MCN=60°,∴△CMN是等边三角形. 方法点拨 解决与等边三角形有关的问题时应注意挖掘等边三角形所隐含的相等的边和角. 考法4线段垂直平分线的性质和判定 定义:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,简称“中垂线”. 性质:(1)线段的垂直平分线垂直且平分该线段;(2)垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等;(3)三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫三角形的外心,并且这一点到三角形三个顶点的距离相等. 判定:到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 例4如图4-16-4,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD,BC相交于点E,F,连接AF.求证:AE=AF. 证明:∵AD∥BC, ∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO. 由题意知,EF垂直平分AC,可知AO=CO,FA=FC. 在△AOE和△COF中, ∴△AOE≌△COF, ∴AE=CF,∴AE=AF. 方法点拨 解决有关线段垂直平分线的题目时,常连接线段的端点和线段垂直平分线上的点,构造等腰三角形得到线段相等和角相等. 考点·巩固迁移 1.已知△ABC为等腰三角形,△ABC的周长为16,其中一条边长为4,则另外两条边的长为(　　). A.4,4 B.6,6 C.4,8 D.6,6或4,8 2.在平面直角坐标系中,点A(),B(3,3),动点C在x轴上,若以A,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数为(　　). A.2 B.3 C.4 D.5 B B 3.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它的形状发生改变,当∠B=90°时,如图1,测得AC=2,当∠B=60°时,如图2,AC=(　　). A. B.2 C. D.2 A 4.如图,在△ABC中,AC=4 cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,交AB于点M,△BCN的周长是 7 cm,则BC的长为(　　). A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm C 5.如图,在△ABC中,AB=AC=2,P是BC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F.若=1,则PE+PF=　　　　　.  1 本 课 结 束 $$