专题20 不等式恒成立之直接法、分离参数、分离函数、放缩法（4大题型）-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题20 不等式恒成立之直接法、分离参数、分离函数、放缩法 【题型归纳】 题型一：分离参数 题型二：分离函数 题型三：放缩法 题型四：直接法 【典型例题】 题型一：分离参数 【例1】已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高三·辽宁沈阳·期中）已知函数，若对任意的都有恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高三·福建宁德·期中）已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】若在上恒成立，则的范围（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知，若，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】若对任意，不等式恒成立，则正整数的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二：分离函数 【例2】已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】已知函数，若不等式在上恒成立，则参数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数，，当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：放缩法 【例3】（2025·江西新余·一模）已知表示m，n中最大的数，设函数，若，则的最大值为（   ） A．2 B．1 C．1 D．2 【变式3-1】（2025·贵州铜仁·三模）已知函数，．用表示的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：直接法 【例4】（2025·高三·辽宁·期中）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】设，且时，恒成立，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·重庆·二模）已知函数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D．1 2．（2025·高三·四川成都·开学考试）已知函数，其中.当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，则实数的最大值为（     ） A．1 B． C． D． 4．已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 7．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·全国·模拟预测）已知，其中，若恒成立，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·陕西安康·模拟预测）已知当时，函数的图象在函数图象的上方，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知，，若，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·高三·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·高三·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 15．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 19．（2025·高三·江西吉安·期中）设函数（）（为自然对数的底数），若关于的不等式的正整数解有且只有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知不等式 对任意的恒成立，则实数的取值范围为 . 21．（2025·高三·河南南阳·期中）若在恒成立，则实数的取值范围是 .（用区间表示） 22．已知当时，恒成立，则实数m的取值范围是 . 23．已知函数，对恒成立，则的取值范围是 . 24．（2025·山东济宁·一模），若恒成立，则实数的取值范围是 ． 25．若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 26．若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 27．（2025·高三·江西南昌·开学考试）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 . 28．已知函数，，若，，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 不等式恒成立之直接法、分离参数、分离函数、放缩法 【题型归纳】 题型一：分离参数 题型二：分离函数 题型三：放缩法 题型四：直接法 【典型例题】 题型一：分离参数 【例1】已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，其中， 令，其中， 则， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数， 因为，， 所以存在，使得，即， 且当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 因为，则，则， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 由可得，所以，可得， 故， 因此实数的取值范围是. 故选：B. 【变式1-1】（2025·高三·辽宁沈阳·期中）已知函数，若对任意的都有恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意的，有，故， 即， 即， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 其中在上单调递增，，， 故存在，使得， 故，当且仅当时，等号成立， 又，从而，当且仅当时，等号成立， 故，解得. 故选：C 【变式1-2】（2025·高三·福建宁德·期中）已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即， 令， 显然时，时， 即在上单调递增，在上单调递减，所以， 则， 又，当且仅当时，等号成立． ． 故选：D． 【变式1-3】若在上恒成立，则的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意，不等式恒成立， 令，，函数在上单调递增， 则，因此原不等式等价于，令， 求导得 而，则，函数在上单调递增， 因此对任意，，从而， 所以的范围是. 故选：C 【变式1-4】已知，若，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令函数在上单调递减，且， 则，即，而，于是， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以，即. 故选：A 【变式1-5】若对任意，不等式恒成立，则正整数的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】方法一：因为对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立． 设， 所以， 记， 所以，在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，则， 故当时，，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递减， 所以， 故正整数的最大值为． 方法二： 令， 因为对任意，恒成立， 可得，得， 易知，所以正整数的最大值是3． 当时，， 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故在上恒成立． 因此正整数的最大值是3． 故选：B. 题型二：分离函数 【例2】已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】原不等式等价于，由图可知 若满足题意，只需小于与两个函数相切时的的值即可， 设公切点为，因为，， 所以，所以，所以， 令，所以，所以单调递增， 因为，， 所以存在，使得， 所以，令，则， 根据对勾函数的性质知单调递减， 所以，所以正整数的最大值为. 故选：. 【变式2-1】已知函数，若不等式在上恒成立，则参数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，得， 如图，作和在上的图象， 由题意，的图象在图象上方， 随值移动， ①当图象在图象左侧，移动到与相切时， 设与相切，， 设切点为， 则 且由图象，所以，， 结合图象，． ②当图象在图象右侧，若与相交于点，， 得，结合图象，， 综上，. 故选：D． 【变式2-2】（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数，，当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为当时，， 则，即， 整理可得，解得， 若，则， 整理可得， 令，则，可得， 构建，则， 可知在内单调递增， 若与相切， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，整理可得， 注意到直线过定点，则， 整理可得，注意到， 可得，即，可得， 结合图象可知：，所以的取值范围是. 故选：D. 题型三：放缩法 【例3】（2025·江西新余·一模）已知表示m，n中最大的数，设函数，若，则的最大值为（   ） A．2 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由，显然函数定义域为， 当时， 令，则， 令，则， 显然，即在上单调递增， 又，，故使，则， 所以上，即，则在上单调递减， 上，即，则在上单调递增， 所以，显然，则， 此时恒成立，故，即，满足要求； 当时， 对于有，即恒成立， 则时，，又时，， 此时恒成立，即，满足要求； 当时， 对于恒成立， 则时，，又时，， 此时恒成立，即，满足要求； 当时， 对于的图象开口向上且对称轴， 所以，在上单调递减，且有， 对于，在上单调递增，且有， 综上，在区间内，存在，即存在，不满足要求； 综上，，故的最大值为1. 故选：C 【变式3-1】（2025·贵州铜仁·三模）已知函数，．用表示的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，故，从而对和均有. 这表明在和上均单调递增，从而在上递增. 由于，故. ①若，则，且等号至多对成立，所以在上单调递减. 这就意味着对有，对有，从而始终有成立，满足条件； ②若，取，使得，则对有，从而在上递增. 这就意味着有，，所以，不满足条件. 综合①②两个方面可知，实数的取值范围为. 故选：D. 题型四：直接法 【例4】（2025·高三·辽宁·期中）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 又因为， 所以当时，，在上单调递减， 所以，不满足题意； 所以， 令， 则， 令，得， 当，即时，在上恒成立， 所以，即在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 则，满足题意； 当，即时， 当时，，则，即单调递减， 当时，，则，即单调递增， 又因为， 假设存在唯一，使成立，则必有， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， 所以当时，必有，不满足题意； 综上，. 故选：D. 【变式4-1】设，且时，恒成立，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】时，，即， 令，， 则， 当时，在上恒成立， 故在上单调递增， 其中，故时，恒成立，故时，恒成立， 当时，令，解得，负值舍去， 当时，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，当趋向于时，趋向于， 不能使得时，恒成立， 当时，，故在上单调递减， 其中，故时，恒成立，不合要求， 综上，实数的范围为. 故选：A 【变式4-2】已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，，所以不等式恒成立，等价于 恒成立； 因为，所以； 设函数，，则， 计算，且； 所以， 当，时，令，解得， 所以时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以； 设，则， 所以在上单调递增，且； 要使恒成立，需使恒成立，即 所以a的取值范围是. 【变式4-3】（2025·重庆·二模）已知函数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，符合题意； 当时，存在，使得，即，显然不满足题意； 当时，由得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 由得， 设，则， 所以在上单调递减，又，所以， 综上，，即的取值范围是. 故选：B 【过关测试】 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】，，显然， ，注意到， 令，则， 其中， 当，即时， 在上单调递增，故， 故在上单调递增，故恒成立，满足要求， 当时，，又趋向于时，趋向于， 由零点存在性定理得使得， 当时，，即单调递减， 又，故时，， 故在上单调递减，又，在上，， 不合要求，舍去， 故的最大值为 故选：A 2．（2025·高三·四川成都·开学考试）已知函数，其中.当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，不等式恒成立， 设， 所以在恒成立， 所以，解得， 下面证明：当时，恒成立． 因为，所以. 设，，其中. 则，其中， （i）当时，由知恒成立， 即在为增函数，所以成立； （ii）当时，设，可得， 由知恒成立， 所以，即在上单调递增． 所以，即在上单调递减，所以成立， 综上所述，当时，恒成立，即不等式恒成立. 所以若不等式恒成立，则实数的取值范围是. 故选：A. 3．已知函数，若，则实数的最大值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于0或时，趋近于， 所以在内的值域为. 因为的定义域为， 若，整理可得， 令，设，则， 可知对任意恒成立， 若，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则，符合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 设，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，且， 则不等式的解集为，即； 综上所述：，所以实数的最大值为. 故选：D. 4．已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，使成立， 则当且仅当， 于函数而言，其最大值为， 于而言，其导数， 当时，，当时，， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 从而的最大值， 所以原题条件等价于，即. 故选：B. 5．若对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，则可化为， 整理得， 因为，所以， 令，则函数在上单调递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， 则在上单调递减， 所以，故， 所以得最小值为. 故选：D. 6．若不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由，，得 ，所以在为减函数， 又函数在也为减函数，， 在上单调递减， ①当时， 当时，单调递减， ，符合题意； ②当时， 存在，使得， 当时，单调递减，，不符合题意，舍去； ③当时，，又在上单调递减， 当时，单调递减， . 令，则 在上单调递减， ，符合题意. 综上所述，的最小值为1. 故选：C. 7．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，，由，得. 原式可化为， 设，则， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 则当时，，当时，， 故存在使得，即，得，即， 且当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以， 即，设， 由函数在在单调递减， 知函数在在单调递减，且，所以， 所以，故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C 8．（2025·全国·模拟预测）已知，其中，若恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 当时，显然不等式恒成立. 当时，. 考虑函数.易知，且恒成立. ， 若，则，故在上为减函数， 故当时，，矛盾. 又，是增函数. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故. 所以为使，都有，必有. 令， 易知单调递增，单调递减， 故，故对，都有，当且仅当时等号成立， 则有所以，即. 故选：D. 9．（2025·陕西安康·模拟预测）已知当时，函数的图象在函数图象的上方，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 令函数，求导得，显然在上单调递增， 而，即当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 于是，对任意正实数，当时，， 则，因此， 从而当，即时，对任意正实数，成立，即的图象总在的图象上方， 当时，的图象上的点在的图象上，不符合题意， 当时，对任意正实数，，，恒有，， 于是的图象上的点在的图象下方，不符合题意， 所以的取值范围为为. 故选：C 10．已知，，若，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，求导得，，则当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减，则时， ，，使得成立， 而，故须使在上恒成立，即在上恒成立. 不妨设，，则， 再令，，则是减函数，当时，， 即在上为减函数，则， 又，故当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 即时函数取极大值，即最大值， 因，，，故得. 故选:A. 11．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于函数，定义域为R，满足， 得是奇函数，且在R上为增函数. 在上恒成立， 在上恒成立， 在上恒成立，在上恒成立. 令，则， 当时，，故在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ，即a的取值范围为， 故选：D. 12．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需, 记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以， 综上，的取值范围为， 故选：D 13．（2025·高三·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原不等式可化为，设， 则直线过定点， 因为不等式的解集非空，所以函数的图象一定有部分在直线的下方， 又因为不等式的解集中无整数解，所以该部分图象横坐标中没有整数， ∵，∴．设直线与曲线相切于点， 则有，消去a整理得，解得或， 若，则切点横坐标为1，若不等式的解集非空，解集中一定含有整数1，所以不合题意，舍去； 故，则切线的斜率为，解得． 又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，， 当时，解得，当直线绕着点旋转时， 要使不等式的解集非空，且解集中无整数解，必有得，故实数 的取值范围是． 故选：B． 14．（2025·高三·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 15．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令得，所以， 令， 则问题化为存在唯一的整数解， ∵，所以当时，单调递增，当单调递减； 又时，，，， 故可作出的图象： 过定点， 则当时，显然存在无数个整数解，不符题意； 当时，的唯一整数解可以为－1或1， 当时，如图： 则，解得； 当时，如图： 则，解得. 综上，. 故选：C. 16．已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，定义域为，则可得， 令，则， 所以时,，即递增， 时，，即递减， 当时，，当时，，当时，， 当时，，当，且时，， 而恒过，函数图象如下： 要使有且只有两个整数解， 则与必有两个交点， 若交点的横坐标为，则，， 所以，即， 所以的取值范围为. 故选：B. 17．（2025·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由不等式，即， 令，即有， 又由，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 令，问题转化为存在，使得， 因为，令，可得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以当时，， 若存在，使得成立，只需且， 解得，因为，所以. 故选：A. 18．（2025·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式有解，即，，只需要， 令， ，， 令，， ，所以函数在上单调递增， 又，，所以存在，使得，即， ，，即；，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，又由，可得， . . 故选：A. 19．（2025·高三·江西吉安·期中）设函数（）（为自然对数的底数），若关于的不等式的正整数解有且只有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设在上有且只有两个正整数解， 所以，在上有且只有两个正整数解， 令且，则， 当，，则递减；当，，则递增； 故极小值， 又恒过，只需， 故实数的取值范围是. 故选：B 20．已知不等式 对任意的恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得， 令，则对任意的恒成立， ∴. 由题意得， . 令，则， ∵， ∴，即在为减函数， ∵， ∴当时，，，在上为增函数， 当时，，，在上为减函数， ∴， ∴. 所以的取值范围为. 故答案为：. 21．（2025·高三·河南南阳·期中）若在恒成立，则实数的取值范围是 .（用区间表示） 【答案】 【解析】因在恒成立，则在恒成立， 设，则， 设，则在上恒成立， 即在上单调递增. 又 则存在，使，即（*）. 当时，，则，故在上单调递减； 当时，，则，故在上单调递增. 故. 又由（*），可得， 设，则得. 由可得在上单调递增，故得， 即， 于是， 故得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 22．已知当时，恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】原不等式等价于， 令，则， 令，得，， 当时，即时， 当时，单调递增，，满足题意； 当时，即时， 当时，，在上单调递减， ，不合题意. 综上所述，实数m的取值范围是. 故答案为： 23．已知函数，对恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】. 则由题意可得，对恒成立，， 当时，则， ， 则当，故不符合题意； 当时，， ，则在上单调递增， ，符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 24．（2025·山东济宁·一模），若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】在上恒成立 当时，即解得，此时. 令则， ①当时，．在上单调递增， 恒成立，恒成立， ； ②时．在上单调递减，在上单调递增 ， 解得与矛盾，舍去； 综上所述，的取值范围为 故答案为：. 25．若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题，当时恒成立，即恒成立， 函数在定义域上为增函数且，故的取值范围为. 下面证明：当时不等式恒成立. 令，只需证恒成立， 因为，所以在上单调递增， 故， 令，则只需证， 易知，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故，得证.所以实数的取值范围是. 故答案为： 26．若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由得， 当时，由题意知， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则函数的最小值为． 当时，设函数，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以函数的最小值为， 此时，则，即实数的取值范围是． 故答案为： 27．（2025·高三·江西南昌·开学考试）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因存在，使得，即需求函数在上的最大值. 由求导得，， 因，若，则在上恒成立， 即函数在上是增函数，故此时无最大值，且时，，符合题意； 若，由解得，则当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减， 则函数在时取得最大值，即， 依题意，需使，整理得，（*）. 令，则则当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，故时，取最大值， 即在上恒成立， 由（*）可得，即，所以; 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 28．已知函数，，若，，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，，使得成立， 所以 当 令,单调递减， 所以 所以恒成立，即得恒成立， 即， 又，，当且仅当时取等号， 则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$