专题19 导数的同构思想（4大题型）-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题19 导数的同构思想 【题型归纳】 题型一：直接变形同构 题型二：加法同构 题型三：乘法同构 题型四：朗博同构 【方法技巧总结】 方法技巧总结一、常见的同构函数图像 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 过定点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题 1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2、同构式的应用： （1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根 （2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路> ①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键； ③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程 （4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解 3、常见的指数放缩： 4、常见的对数放缩： 5、常见三角函数的放缩： 6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： （1） 且时，有 （2） 当 且时，有 再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） （3） （4） （5） （6） 再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申： （7）； （8）； 7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有： ①； ②； ③ 8、乘法同构、加法同构 （1）乘法同构，即乘同构，如； （2）加法同构，即加同构，如， （3）两种构法的区别： ①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数； ②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围； 【典型例题】 题型一：直接变形同构 【例1】 ，不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】对于，恒成立，则正数的范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：加法同构 【例2】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高三·四川成都·开学考试）已知，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式2-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：乘法同构 【例3】（2025·河南·三模）若，都有，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·河北廊坊·模拟预测）当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·江西宜春·二模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：朗博同构 【例4】已知函数，，当时，函数的图象始终在函数的图象的上方，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高三·云南昭通·开学考试）已知对于，都有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数在定义域内是增函数，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知对于，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．已知对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数，且，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知对于都有，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 4．若存在正实数x，使得不等式成立（e是自然对数的底数），则实数a的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高三·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高三·江苏泰州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知不等式，对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高三·内蒙古包头·开学考试）设实数，若不等式对任意恒成立，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D．2e 10．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）设实数，对任意实数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 11．已知不等式对任意的恒成立， 则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．对任意的，不等式恒成立，则正实数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 14．（2025·浙江·模拟预测）已知对恒成立，则的最大值为（    ） A．0 B． C．e D．1 15．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 16．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 . 17．（2025·四川·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 18．（2025·陕西·模拟预测）已知恒成立，求正数的取值范围 ． 19．（2025·江苏泰州·模拟预测），，则实数a的取值范围为 . 20．已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 21．（2025·高三·吉林长春·开学考试）若对恒成立，则实数的取值范围是 . 22．设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为 ． 23．已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 24．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 25．若对任意，当时恒有，则的取值范围是 . 26．若不等式恒成立，则实数k的取值范围为 27．（2025·高三·四川内江·期中）若恒成立，则的取值范围为 . 28．（2025·高三·河南南阳·期中）若在恒成立，则实数的取值范围是 .（用区间表示） 29．（2025·江西新余·模拟预测）函数满足恒成立，则的取值范围是 . 30．已知，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 31．已知不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 32．已知函数，若函数对任意恒成立，则a的取值范围是 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 导数的同构思想 【题型归纳】 题型一：直接变形同构 题型二：加法同构 题型三：乘法同构 题型四：朗博同构 【方法技巧总结】 方法技巧总结一、常见的同构函数图像 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 过定点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题 1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2、同构式的应用： （1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根 （2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路> ①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键； ③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程 （4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解 3、常见的指数放缩： 4、常见的对数放缩： 5、常见三角函数的放缩： 6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： （1） 且时，有 （2） 当 且时，有 再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） （3） （4） （5） （6） 再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申： （7）； （8）； 7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有： ①； ②； ③ 8、乘法同构、加法同构 （1）乘法同构，即乘同构，如； （2）加法同构，即加同构，如， （3）两种构法的区别： ①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数； ②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围； 【典型例题】 题型一：直接变形同构 【例1】 ，不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将不等式变形可得， 即， 构造函数，可得， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当当时，，即在上单调递增， 所以，即，所以函数在上单调递增， 利用单调性并根据可得，则有， 又，即可得，即对恒成立，因此即可， 令，，则， 显然当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，因此正实数的最大值是. 故选：A. 【变式1-1】（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，对任意恒成立， 即， 令，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， ，即，， 又由切线放缩可知，， ，即， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式1-2】对于，恒成立，则正数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由恒成立可得，即恒成立， 由，可得恒成立， 令，则， 由知，函数单调递增， 所以恒成立， 则恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 所以只需，即. 故选：B 题型二：加法同构 【例2】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，，由， 可得，可得， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，则，可得， 令，其中，则， 当时，，即函数在上递减， 当时，，即函数在上递增， 所以，，即实数的取值范围是. 故选：D. 【变式2-1】（2025·高三·四川成都·开学考试）已知，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】. 令，则易知在上单调递增，， 令，问题转化为求 在的最小值. 因为，当时，（当且仅当时取“”）. 所以在上单调递增，. 所以的最大值为. 故选：A 【变式2-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则，所以在上单调递增， 又对任意的恒成立，， 所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即的取值范围为. 故选：D 题型三：乘法同构 【例3】（2025·河南·三模）若，都有，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，，即， 令且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，此时，则，不合题设， 故，所以， 而在上单调递增，则， 问题化为，在上恒成立， 令且，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，故. 故选：D 【变式3-1】（2025·河北廊坊·模拟预测）当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 即， 令，则， 所以在上单调递增， 由， 可得，，即在时恒成立， 令，则，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，所以. 故选：D. 【变式3-2】（2025·江西宜春·二模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式可化为，，又， 所以，故， 由已知不等式在上恒成立， 因为有意义，故，又，所以， 当时，不等式恒成立， 设，， 则， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，故， 令，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 故， 所以， 所以的取值范围为 故选：C. 题型四：朗博同构 【例4】已知函数，，当时，函数的图象始终在函数的图象的上方，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知在上恒成立，即在上恒成立， 令，则，由，得， 当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，又时，，故， 所以在上恒成立， 当时，恒成立，此时； 当时，由，得；当时，由，得， 令，则，当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 当时，，时，， 故在上的最小值为，在上的最大值为． 综上所述，实数的取值范围为， 故选：D． 【变式4-1】（2025·高三·云南昭通·开学考试）已知对于，都有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式可转化为 因为，所以 设，则，在上单调递增， 又，所以 又，所以对恒成立，即 令，则由得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以则 故选：D. 【变式4-2】函数在定义域内是增函数，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：的定义域为，， 且， 若在定义域内是增函数，则在定义域上恒成立， 可得， 构建，则， 因为在定义域上单调递增， 可知在定义域上单调递增，可得，即， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 可得，所以实数a的最大值为. 故选：B. 【变式4-3】已知对于，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，， 即，即， 设，函数，即恒成立， 又函数在上单调递增，且， 即， 即，， 设，， 则， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取最小值为， 即， 故选：C. 【过关测试】 1．已知对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则. ∵时，，，∴，故在上单调递增. ∵对恒成立，∴当时，，则有， 当时，可等价变形为. ∵在上单调递增，且，（）， ∴由可得，即对恒成立. 设，则. 当时，， ，，故. ∴在上单调递减， ∴当时， . ∵对恒成立， ∴，即实数的取值范围是. 故选：A. 2．若函数，且，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知的定义域为， 由可得，即； 因为，所以，即， 构造函数，则， 可知函数在上单调递增，因此， 即，所以， 令，则， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值，； 即可得，解得. 所以正实数的取值范围是. 故选：C 3．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知对于都有，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 即，得. 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以，即. 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，所以， 即实数的最小值为. 故选：C 4．若存在正实数x，使得不等式成立（e是自然对数的底数），则实数a的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，． 设，则对恒成立， 则在上单调递增， 则． 设，则． 当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得最大值，故，因此实数a的最大值为． 故选：C． 5．（2025·高三·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，由，得到，即， 令，则，因为，所以在区间上恒成立， 即在区间上单调递增，又， 所以，可得，即在区间上恒成立， 令，则，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，得到， 故选D. 6．（2025·高三·江苏泰州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 令，则， 因为在R上单调递增，所以， 当时，可由向右平移得到， 结合与的图象可知，恒成立， 当时，由得到，其中， 令，， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，最小值为， 故， 综上，. 故选：B 7．已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：，整理可得， 设，则，可知在内单调递增， 由题意可知：，则对任意内恒成立， 可得对任意内恒成立， 设函数，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以的最小值为，可得， 所以的取值范围为. 故选：D. 8．已知不等式，对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式对恒成立， 当时，，取，此时，不符合题意， 因此，此时有，即， 当，即时，，不等式恒成立， 当，即时，令，于是，且， 而时，，即函数在上单调递增，此时， 所以要使题干不等式恒成立，只需上，即， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 9．（2025·高三·内蒙古包头·开学考试）设实数，若不等式对任意恒成立，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D．2e 【答案】B 【解析】因为不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立， 不等式对任意恒成立， 所以不等式对任意恒成立， 令，则， 令，则， 当时，即单调递减； 当时，即单调递增； 所以， 所以在上单调递增， 又因为式对任意恒成立， 即， 所以在上恒成立， 即，即在上恒成立， 令，则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以， 所以a的最小值为. 故选：B. 10．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）设实数，对任意实数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以 依题意恒成立，即， 因为， 所以恒成立. 令，则， 当时，所以在上单调递增， 则不等式恒成立，等价于恒成立. 因为，所以所以， 当时，，此时恒成立； 当时，，所以对任意的恒成立，所以恒成立. 设,可得. 当时在单调递增， 当时在单调递减. 所以当时函数取得最大值，为，此时， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：B. 11．已知不等式对任意的恒成立， 则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，不等式可变形为，设， 则对任意恒成立，， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增. 当时，， 因为要求实数的最小值，所以考虑的情况，此时， 因为函数在上单调递增，所以要使，只需， 两边取对数，得，由于，所以， 令，，则，令，得， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以，. 故选：B. 12．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 因为对任意，都有，即恒成立， 令，易知在定义域上单调递增， 所以在区间上恒成立，也即在区间上恒成立， 令，则，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，得到， 故选：A. 13．对任意的，不等式恒成立，则正实数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】恒成立，恒成立， 恒成立， 令，，当时，，单调递增． 由，即， 在为增函数，且， 恒成立， 恒成立，令， 则， 当时时，， 在单调递增，单调递减， ，， 即正实数的最小值为． 故选：D． 14．（2025·浙江·模拟预测）已知对恒成立，则的最大值为（    ） A．0 B． C．e D．1 【答案】D 【解析】由，得， 所以对恒成立， 令，则在上单调递增， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，即 令， 则在上单调递增， 由，得， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以， 所以的最大值为1. 故选：D 15．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为关于的不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以，即的取值范围是. (令，则，，所以在上存在零点). 故答案为： 16．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得， 即. 令，则，令，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以在R上单调递增， 所以，即， 又，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 17．（2025·四川·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，可得. 令，则， 当且仅当时，等号成立，故在上单调递增， 由，可得， 所以，则， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，故， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 18．（2025·陕西·模拟预测）已知恒成立，求正数的取值范围 ． 【答案】 【解析】， 又，所以， 当时，上式显然成立， 所以只需处理的情况即可，此时 ， 令， 恒成立，所以严格递增， 在恒成立即可， 令，则， 令， 当时，，严格增， 当时，，严格减， 所以，所以， 故答案为：. 19．（2025·江苏泰州·模拟预测），，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】，，变形为，即， 显然若，当时，，不等式不成立，故， 从而，此时，若，则，故不等式恒成立， 故只需考虑的情况. 令，则， 因，所以，则在上递增， 又时，，，而即， 从而时，恒成立，也即时，恒成立， 令，则， 当时，，在上递增， 当时，，上递减， 则有最大值为， 所以，即. 故答案为：. 20．已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 21．（2025·高三·吉林长春·开学考试）若对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】令，，， 要使对恒成立，则与需异号. 当时： 对于，因为，，所以恒成立. 对于，其导数，因为，， 所以，在上单调递增. 则，此时与同号， 不满足恒成立，所以舍去. 当时： 令，解得. 对求导得. 令，即，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值. 因为对恒成立，分以下两种情况讨论： 情况一：当时（的零点在的左侧或与重合）， 则需且，由，可得. 由，可得. 综合可得. 情况二：当时（的零点在的右侧）， 由，可得， 当时，；当时，；当时，. 在单调递增，在单调递减，， ①当，即时， 则，即，，则，解得， 此时，，则；，则； ，则， 均使得在上成立. ②当，即时， ，所以， 而时，，，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 22．设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由得， 即， 令，则． 因为， 所以在上单调递增， 因为，所以，即， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，即， 所以k的最小值为． 23．已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，得，恒成立即，恒成立. ，恒成立，化简可得，， ，， 令，，故单调递增， ，，令， ， 当时，，当时，，时，取最大值为， ，即. 故答案为：. 24．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为 ， 由， 可得，即， 可得， 令，其中，，所以，函数为上的增函数， 由，可得， 所以，，所以，， 令，其中，则，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 25．若对任意，当时恒有，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由得， 即， 设，则，所以问题转化为在上没有零点. 当0时，没有零点，满足题意； 当时，由得， 设， 则， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以， 所以. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 26．若不等式恒成立，则实数k的取值范围为 【答案】 【解析】令，易知在上单调递增， 由得，即可得， 即， 所以，即， 令，则， 易得，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 可得在处取得极大值，也是最大值； 因此，可得. 即实数k的取值范围为. 故答案为： 27．（2025·高三·四川内江·期中）若恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】依题意，．得，所以， 所以， 因为，所以，若，显然成立，此时满足； 若，令，在上恒成立， 所以在上单调递增，而，所以． 综上，在上恒成立，所以． 令，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以，即． 所以的取值范围为. 28．（2025·高三·河南南阳·期中）若在恒成立，则实数的取值范围是 .（用区间表示） 【答案】 【解析】因在恒成立，则在恒成立， 设，则， 设，则在上恒成立， 即在上单调递增. 又 则存在，使，即（*）. 当时，，则，故在上单调递减； 当时，，则，故在上单调递增. 故. 又由（*），可得， 设，则得. 由可得在上单调递增，故得， 即， 于是， 故得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 29．（2025·江西新余·模拟预测）函数满足恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】，设，在上单调递增， ， 令，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，又， 则的取值范围为： 故答案为： 30．已知，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由对恒成立，且， 即恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 设，则， 设，则， 令，则；令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以恒成立， 可以转化为恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，即. 设，，则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又，所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 31．已知不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，且， 则，整理可得， 令， 则，即为， 因为在内均为增函数，则在内为增函数， 可得恒成立，即恒成立， 令，则， 令， 因为在内均为增函数， 则在内为增函数，且， 当时，则，即；当时，则，即； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 32．已知函数，若函数对任意恒成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，，有，， 整理得，，即，， 故仅需时，即可； 令，，则等价于， 因为，令，解得， 所以当时，，则在上单调递增， 所以当时，等价于，即恒成立， 令，，则，令，解得， 所以时，，即在上单调递增， 所以，则即可，所以的取值范围为. 故答案为： 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$