精品解析：江苏省泰州市兴化市四校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

2024~2025学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 （考试用时：120分钟 总分：150分） 注意：所有试题的答案均需填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 从7本书中任意选取2本，不同的选法种数为（ ）． A. 84 B. 42 C. 30 D. 21 2. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 4. 已知向量，，共面，则实数t的值是（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 5. 在空间四边形中，，则（ ） A B. C. D. 6. 兴化千垛景区以“垛田”特色地貌享誉全球，勤劳智慧的兴化人民在湖荡沼泽地带开挖网状深沟或小河的泥土，一方一方使其堆积如垛，成为了可以耕作的垛田，形成了具有世界自然文化遗产价值的兴化垛田奇观.现一名游客从P处沿河道划船到Q处，使得路程最短的不同走法有（ ）种. A. 21 B. 35 C. 70 D. 210 7. 在空间直角坐标系中，若三点，，满足，则实数a的值为（ ）． A. B. 1 C. D. 8. 已知（，），的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（ ） A. 6或7 B. 6 C. 8或9 D. 9 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，，共面 B. 若，，共面，则 C. 若，，不共面，则，， D. 若，，共面，则 10. 设平面平面分别为的一个方向向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则所成角为 C. 若，则与所成角为 D. 若，则夹角为 11. 已知的展开式中存在常数项，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当取最小值时，展开式的二项式系数的和为 C. 当时，展开式中的常数项为 D. 当时，展开式中没有项 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 13. 已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______. 14. 如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图有A，B两组电路图． （1）对于B组电路图，闭合两个开关即可通电的方法数有多少种？ （2）若A组电路与B组电路从衔接点M，N处连接，把两电路串联起来，只需闭合三个开关就可通电的方法数有多少种？ 16. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 17. 话说唐僧师徒四人去西天取经，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（结果用数值表示） （1）唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六个随便站吧．”请问一共有多少种站法． （2）八戒提出：两只妖怪不能站在排头和排尾，否则他们会逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少种站法． （3）悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在一起！如果怕妖怪逃走，让八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照悟空说法，请问一共有多少种站法． 18. 如图，在正四棱锥中，，点M，N分别在PA，BD上，且． （1）求证：； （2）求MN与PC所成的角； （3）求证平面PBC，并求直线MN和平面PBC的距离． 19. 已知函数，. （1）当时，求值； （2）若能被整除，求的最小值； （3）若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 （考试用时：120分钟 总分：150分） 注意：所有试题的答案均需填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 从7本书中任意选取2本，不同的选法种数为（ ）． A. 84 B. 42 C. 30 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数求解即可. 【详解】从7本书中任意选取2本，不同选法种数为 故选：D 2. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量共线的坐标表示建方程组求解即可. 【详解】由，得， 解得，所以， 故选：A. 3. 由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】将四个数字全排列即可. 【详解】由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数有个. 故选：D 4. 已知向量，，共面，则实数t的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 分析】利用空间共面向量定理，设实数满足，列出方程组求解即可. 【详解】因为，，三向量共面， 所以存在实数，使得， 所以，解得， 故选：B. 5. 在空间四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加减法的坐标运算直接求解即可. 【详解】由题知，. 故选：A 6. 兴化千垛景区以“垛田”特色地貌享誉全球，勤劳智慧的兴化人民在湖荡沼泽地带开挖网状深沟或小河的泥土，一方一方使其堆积如垛，成为了可以耕作的垛田，形成了具有世界自然文化遗产价值的兴化垛田奇观.现一名游客从P处沿河道划船到Q处，使得路程最短的不同走法有（ ）种. A. 21 B. 35 C. 70 D. 210 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数的计算，可得答案. 【详解】由图可知从P处运动到Q处的最短路程是向右运动次、向下运动次，共运动次， 则路程最短的不同走法有. 故选：B. 7. 在空间直角坐标系中，若三点，，满足，则实数a的值为（ ）． A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的坐标，再由，得，解方程可求出实数a的值 【详解】因为，，， 所以，，， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 故选：C 8. 已知（，），的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（ ） A. 6或7 B. 6 C. 8或9 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】写出、展开式的通项，再对、分类讨论，分别确定、的值，再利用通项计算可得. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 展开式的通项为（且）， 若，且，时， 则展开式中含的项为， 依题意可得， 若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去； 若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去； 若，满足题意，此时，则展开式中含的项的系数为； 若，此时，，则无解，故舍去； 若，，则展开式中含的项为，则，解得（负值已舍去）， 此时，则展开式中含的项的系数为； 若，时，展开式中含的项的系数为为，显然为偶数， 由，不存在这样的正整数使得方程成立无解，故舍去； 综上可得的展开式中含的项的系数是或. 故选：C 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，，共面 B. 若，，共面，则 C 若，，不共面，则，， D. 若，，共面，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用特殊值判断B、D，根据空间向量基本定理判断C. 【详解】对于A：因为，， 所以， 因为，所以， 所以向量，，共面，故A正确． 对于B、D：若，，，则，，共面， 令，则，，，可为任意实数， 此时由，， 得不到，也得不到，故B、D错误； 对于C：若，，不共面，由，， 则，，，故C正确； 故选：AC 10. 设平面平面分别为的一个方向向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则所成角为 C. 若，则与所成角为 D. 若，则夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据方向向量和法向量的定义，结合线面关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，因为，所以， 又因为直线的夹角的范围为，则所成角为，故B正确； 对于C，如图，设点，，分别为平面上的垂足， 点为与平面的交点，,， 若，则平面与平面的夹角为或， 如下图，即，或，可得， 与所成角为，故C错误； 对于D，若，则的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知的展开式中存在常数项，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当取最小值时，展开式的二项式系数的和为 C. 当时，展开式中的常数项为 D. 当时，展开式中没有项 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件得到展开式的通项，进而得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】因为展开式的通项， 由题知， 对于选项A，因为，所以的最小值为，故选项A错误， 对于选项B，由选项A知当取最小值时，，所以二项式系数的和为，故选项B正确， 对于选项C，当时，，所以常数项为，故选项C正确， 对于选项D，令，得，不符合题意，所以当时，展开式中没有项，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为： 13. 已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，设， 则，解得，所以坐标为. 故答案为：. 14. 如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算可知，两边平方，再利用向量的数量积公式即可得解． 【详解】设平面于F， 平面， ，又与平面成角， ， 与的夹角为， 又平面，平面，， 又， ， ． 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图有A，B两组电路图． （1）对于B组电路图，闭合两个开关即可通电的方法数有多少种？ （2）若A组电路与B组电路从衔接点M，N处连接，把两电路串联起来，只需闭合三个开关就可通电的方法数有多少种？ 【答案】（1）13 （2）65 【解析】 【分析】（1）对于组电路，可分上、中、下路三类，求得每一类的方法数，进而可求总的方法数； （2）先利用分类加法计数原理求得组通电的方法数，进而结合（1）与分步计数原理求得结论. 【小问1详解】 对于组电路，可分上、中、下路三类， 上路：第一步接通有1种方法，第二步接通有3种方法，由分步乘法计数原理，总方法数为； 中路：第一步接通有2种方法，第二步接通有2种方法，由分步乘法计数原理，总方法数为； 下路：第一步接通有2种方法，第二步接通有3种方法，由分步乘法计数原理，总方法数为． 故所求方法数有种． 【小问2详解】 对于组，合上一个开关可使电路通电，可分两路：从上路接通有2种方法，从下路接通有3种方法， 由分类加法计数原理，总方法数为； 两组串联后要使电路通电，需两组均通电，组电路通电有5种情况，由（1）知组电路通电有13种情况， 所以串联后的电路通电有种情况． 16. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， ， 所以 17. 话说唐僧师徒四人去西天取经，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（结果用数值表示） （1）唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六个随便站吧．”请问一共有多少种站法． （2）八戒提出：两只妖怪不能站在排头和排尾，否则他们会逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少种站法． （3）悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在一起！如果怕妖怪逃走，让八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照悟空的说法，请问一共有多少种站法． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因是六个人随便站，即相当于六个人在六个空位上全排； （2）因两只妖怪不站两头，运用特优法分步完成，第一步在中间四个位置上排好两个妖怪，第二步在剩余四个位置排其他四个人，利用分步乘法计数原理即得； （3）因师傅和悟空要站一起，八戒要站在两个妖怪中间，沙僧不管，所以应先按照1，2，3分成三组，悟空和师傅在分配好的两个位置上有个全排，八戒在两只妖怪之间，两只妖怪有个全排，最后位置则是沙僧的. 【小问1详解】 六个人随便站，即六个人进行全排列，故符合条件的排法共有种． 【小问2详解】 因总共有六个位置，两只妖怪不能站在排头和排尾，先将两只妖怪排好， 故有种排法，剩下四个人四个位置，故有种排法，故共有种排法． 【小问3详解】 先将六人分成三组，且这三组人数分别为1、2、3，并排列，故有种排法， 师傅和悟空站在一起共有种排法，八戒站在两只妖怪中间共有种排法， 故共有种排法． 18. 如图，在正四棱锥中，，点M，N分别在PA，BD上，且． （1）求证：； （2）求MN与PC所成的角； （3）求证平面PBC，并求直线MN和平面PBC的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析，距离为 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得. （2）利用向量法求得与所成的角. （3）利用向量法证得平面，利用向量法求得和平面的距离. 小问1详解】 设，根据正四棱锥的性质可知两两互相垂直. 以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. ，则， ， ，则，. ， ， 所以. 【小问2详解】 ， 设直线与直线所成角为， 则 【小问3详解】 ， 设平面的法向量为， 则，故可设， ，所以平面. 到平面的距离即到平面的距离， ， 所以到平面的距离即到平面的距离为. 19. 已知函数，. （1）当时，求的值； （2）若能被整除，求的最小值； （3）若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 【答案】（1） （2） （3），或 【解析】 【分析】（1）依题意，再代入计算可得； （2）由，写出展开式，即可分析要能被整除，再分为偶数、奇数讨论，分别确定的最小值； （3）写出展开式的通项，即可得到，根据组合数公式整理得到，则为完全平方数，即可确定的值，同时取出相应的. 【小问1详解】 因为 ，， 当时，所以； 【小问2详解】 因为，， 则 ， 又能被整除，所以， 又能被整除， 所以要能被整除， 当为偶数时，，此时的最小值为； 当为奇数时，不可能被整除，所以不存在符合题意， 综上可得的最小值为； 【小问3详解】 因为展开式的通项为（且）， 所以，，的项的系数分别为，，， 因为，，的项的系数成等差数列， 所以，整理可得， 即，为完全平方数， 又且 的最大值为，此时，则或， 解得或， 所以时中，，的项的系数分别为，，成等差数列， 中，，的项的系数分别为，，成等差数列； 综上可得，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $