二次函数与几何图形综合题（与相似三角形问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考

二次函数与几何图形综合题（与相似三角形问题）归纳练2026 年中考数学二轮复习备考 1.(24-25九年级下·陕西西安开学考试)如图，在平面直角坐标系中，直线y=c+1与x轴 交于点A(-2,0),与y轴交于点C,过点C的抛物线y= 1x-2x+1的对称轴为1,1与直线 AC交于点B, B (1)求点B的坐标； (2)已知x轴上的动点Q,连接BQ,若△ABQ与△AOC相似，求点Q的坐标. 2.(2025湖南张家界模拟预测)如图，直线y=-x+n与x轴交于点A(3,0),与y轴交于 点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B. 备用图 (1)求抛物线解析式： (②)E(m,O)是线段OA上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E,交AB于点D,交抛物线于点 P,连接PB ①当m=2时，求△ABP的面积 ②点E在线段OA上运动时，连结PC交AB于点Q,当 PC 的值最大时，请你求出点E的坐 C01 PC的最大值. 标和c0 试卷第1页，共3页 3.(2025海南·三模)如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点，与y 轴交于点C,点M为抛物线的顶点，直线MC交x轴于点D D D B B 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)点P(m,n)是第三象限内抛物线上的一个动点，作PQ∥y轴交BC于点Q. ①求线段PQ的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在点Q,使得以点Q,B,O为顶点的三角形与△BDM相似？若存在，求出点Q的坐 标；若不存在，请说明理由 4.（2024九年级下·上海·月考)如图在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于 点A,与x轴分别交于点B-1,0)、点C(3,0),点D是抛物线的顶点. 备用图 ()求：抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P在直线DC上，连接OP,若以O、P、C为顶点的三角形与ABC相似，求点P的 坐标 6(2526九年级上陕西检林月考)如图，抛物线y=-x'+10 +3x+2分别与x轴和y轴交 于点A和点B,且OA=3. 试卷第1页，共3页 3210 ()将抛物线y=- +3x+2向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到抛 物线=音+加+c,求，c的值： (②)连接AB,点C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交线段AB于点D,交该 抛物线于点E.当以B,E,D为顶点的三角形与△CDA相似时，求所有满足条件的点C的 坐标. 6.(2425九年级上山东济南月考)如图，抛物线y=4x+10 3 3 +2与x轴交于点A,与y 轴交于点B,C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D,交该 抛物线于点E. 备用图 (I)求直线AB的表达式： (2)若△ABE的面积取得最大值，求出这个最大值； (3)当以B,E,D为顶点的三角形与aCDA相似时，求点C的坐标. 7.(2025湖北武汉·三模)抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-3,0),B(1,0)两点，与y轴 交于点C. 试卷第1页，共3页 Nv=t B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，D为第二象限内抛物线上一点，OD交AC于点E,若△A0E与ABC相似，求 点D的横坐标： (3)如图2，直线y=1交抛物线于M,N两点，直线CM和AN交于点P,若点P在直线 y=2x+9上，求t的值 8.(24-25九年级下·四川广安期中)如图，已知直线y=。x-2与x轴、y轴分别交于点 AC,抛物线y=x2+hr+c过点4C,且与x轴交于另一个点B. VA B D P 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)点P是直线AC下方抛物线上的动点. ①连接OP与线段AC交于点D,则当D为线段OP中点时，求出点P坐标. ②过点P作PQ⊥AC,垂足为Q,且以点P、C、Q为顶点的三角形与aBOC相似，请直接 写出符合条件的点Q的坐标 9.(2025广东揭阳·三模)如图，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A-1,0)和点B,与y 轴交于点C(0,-3),顶点是点D,BC交抛物线的对称轴于点E. 试卷第1页，共3页 E (1)求抛物线的解析式： (②)以CD为直径作OP,判断BC与OP的位置关系，并说明理由； (3)若抛物线对称轴上存在点F,使得△FBE与△CDE相似，求点F的坐标 10.(2026上海徐汇·二模)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线C:y=x2+bx+c经过 点A(-1,0)和点B(3,0),顶点为M.直线1经过点A,且I⊥AM. M (备用图) (1)求直线1的表达式： (2)已知抛物线C,:y=ax2+mx+n也经过A、B两点，且开口向下，顶点为N.设D为抛物 线C,与直线l的交点，连接AN、DN、DM,当四边形ANDM是梯形时，求抛物线C,的表 达式 11.(2024四川内江一模)在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y= r+bc+c与x轴交 1 于A(-4,0)、B两点，与y轴交于点C,且A0=20C. B 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： 试卷第1页，共3页 2如图1，点D为第三象限抛物线上一点，连接OD,4C交于点E,求DE的最大值： OE (3)如图2，连接AC,BC,过点O作直线1∥AC,点P,Q分别为直线1和抛物线上的点.试 探究：在第二象限是否存在这样的点P,Q,使△PQA∽CBA,若存在，请直接写出所有符合 条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 12.(2025九年级上全国.专题练习)如图，己知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两 息，与y轴交于点C,0是坐标原点，已知点B的坐标是3,0,3 图1 备用图 (1)求该抛物线的对称轴： (2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q,求 Pp+Q的最大值及此时P点的坐扇 (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与ABC相似，求出符合条件的 点D的坐标 13.（2026四川南充一模)如图1，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A-1,0) 、B两点，交y轴于点C,对称轴为直线x=3 VA 图1 图2 (1)求二次函数的解析式： (2)如图1，点D是BC上方抛物线上一点，连接AD交BC于点E,设△ACE的面积为S, 试卷第1页，共3页 5 BDE的面积为S,当S,-S=之时，求点D的坐标. (3)如图2，己知点T(0,)(t>2),TF与抛物线有唯一交点F(点F在y轴左侧)，点P在第 一象限的抛物线上，射线TP与抛物线另一个交点为Q,连接FP、FQ,分别交y轴于M N.当FM=3PM时，探究FN与NQ的数量关系，并说明理由. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)2,2 (2)3,0)或(2,0 【分析】1)先将点4(-2,0)代入直线y=c+1中，求出大=分，再求出猫物线 y=-2x+1的对称轴为x=2,将=2代入直线y=x+1中，即可求出点日的坐标： 2 (2)根据题意得：∠BAQ=∠CAO,∠A0C=90°，若△ABQ与△AOC相似，分 ∠AQB=90°和∠ABQ=90°两种情况讨论即可； 【详解】(1)解：将点A(-2,0)代入直线y=+1中，则0=-2k+1, 解得：上分 :抛物线y=-2x+1的对称铺为=-， =2 1 2× 2 将x=2代入直线)+1中，则×2+1=2 点B的坐标为2,2)； (2)解：根据题意得：∠BAQ=∠CAO,∠A0C=90°， 如图，当∠AQB=∠AOC=90°时， B 此时，△ABQ∽△ACO, 由(1)知B(2,2), .0(2,0): 如图，当∠ABQ=∠AOC=90°时， 答案第1页，共2页 此时，△AQB∽△ACO, AC OA ·A0AB' 设2(q,0, 令y=x-2x+1中r=0,则y=1, 2 .C(0,1, A(-2,0),B(2,2, 4C=[0-(-2]+1-02=5,AB=[2-(-2]'+2-02=25,0A=2, A0=9-(-2=9+2, 52 9+22W5' 解得：q=3或9=-7（舍去）， 点0的坐标为3,0)， 综上，点0的坐标为3,0)或(2,0). 【点晴】本题考查二次函数的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，一次函数解析式， 二次函数与坐标轴的交点，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键 2.(1)抛物线y=-x2+2x+3 (2)①△ABP的面积为3；②点E的坐标 ：当，需有设大，大为 2’ 16 【分析】(1)求出点B坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式即可； (2)①求出点P坐标，再求出△ABP的面积即可；②过点Q作QH1OA于点H,设点P坐 求出直线PC解析式，列出S的代数式，再确定它的最大值和E点坐标四 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：：直线y=-x+n与x轴交于点A(3,0), .0=-3+n得n=3,则直线y=-x+3, 当x=0时，y=3,点B(0,3, 又：，抛物线y=-x2+bx+c经过A,B, 「-9+3b+c=0 解得b=2,c=3, c=3 则抛物线y=-x2+2x+3; (2)解：①DE⊥x轴，：m=2, .P(2,3), y4B=-x+3, :点D坐标为(2,1)， PD=2, 1 1 S.-PD--x2x3-3. ②如图，过点Q作QH10A于点H, E 设直线PC的解析式为y=kx+tk≠0)， :P(m,-m2+2m+3, 0=-k+t -m2+2m+3=mk+t' k=3-m 解得： t=3-m 直线PC的解析式为y=（3-m)x+3-m, 答案第1页，共2页 联立少=(3-mx+3-m y=-x+3 x24-t m 解得： y= 2-4m 4-1m 则0410） ) ·QH=12-4m 4-m :PE⊥OA,QH⊥OA, .PE∥QH, .△PCEn△QCH, PC PE Co OH' :PE=-m2+2m+3, PC=Pg-m2+2m+3-m-3m+1×4m,-(m+14-m。-1 :co OH 12-4m -4(m-3)= -m2+2m+1, 4 4 4-m CO 4 4 4 0, 1 当m=时， 3 有及大值，及大值为亮 Co 【点晴】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练利用待定系数法求出二次函数解析式， 利用点的坐标表示出比值，再利用二次函数的性质确定最值 3.(1)y=x2+2x-3 ®0（房》：@存在，-2或子到 【分析】题目主要考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，最值问题，理解题意， 熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键， (1)根据题意利用待定系数法即可确定函数解析式： 答案第1页，共2页 2①设P(mm+2m-3,则0m,=m-3,其中-3<m<0,确定PQ=m++} ,即可求解； ②根据待定系数法确定直线MC的解析式为y=x-3,得出点D的坐标为3,0)，分别过点 Q、M作QE⊥x轴于点E,MF⊥x轴于点F,由P(m,m2+2m-3,Q(m,-m-3),得 E(m0,然后分两科情况讨论：1.当BD-BO时，△OB0ABDM,Ⅱ.当B0=B肥时， BD DM DM BD △QBO∽△BDM,即可求解， 【详解】(1)解：将A1,0)B(-3,0)代入y=ax2+bx-3, a+b-3=0 得 9a-3b-3=0, a=1 解得b=2 :该抛物线的表达式为y=x2+2x-3; (2)①当x=0时，y=x2+2x-3=-3, C(0,-3 设直线BC的解析式是：y=x+b, 「-3k+b=0 ，解得 k=-1 则 b=-3 b=-3 直线BC的解析式是：y=-x-3, 如图1，设P(m,m2+2m-3,则0(m,-m-3),其中-3<m<0, 则阳--42a---a++号 当m=时、线段D有最大值，为}+2-35 4 此时点P的坐标为》】 答案第1页，共2页 EF 图1 ②存在，理由如下： :C(0,-3,M(-1,-4, :使用待定系数法同理可得：直线MC的解析式为y=x-3. 令y=0,则x=3, :点D的坐标为3,0). B-3,0,C(0,-3,D(3,0, 0D=0B=0C=3,且0C⊥BD, .∠CBD=∠BDC=45°. 如图1，分别过点Q、M作QE⊥x轴于点E,MF⊥x轴于点F. 由Pm,m2+2m-3,Q(m,-m-3),得E(m,0), .B0=V2(m+3),DM=4V2 分两种情况讨论： L.当BO=B2时，OBQABDM, BD DM 即3-2(m+3) 4V2 解得m=-1,满足-3<m<0, 此时点Q的坐标为(-1，-2). ,当BO-B2时，△QBO7BDM, DM BD 即3=5(m+3) 4v2 6 答案第1页，共2页 3 9 39 解得m=一子，满足-3<m<0,此时-m-3=一手点0的坐标为子4) 综上所述，存在点Q,使得以点Q、B、O为顶点的三角形与△BDM相似， 点0的坐标为-1，-2或44) 39 4.(1)y=x2-2x-3,(1,-4 eg）2-2. 【分析】(1)利用待定系数法求出Q、b的值，得到抛物线的表达式，再化为顶点式，写出 顶点D的坐标即可； (2)先求出A(0,-3),再根据坐标两点的距离公式和勾股定理逆定理，得到△ACD是直角 三角形，且∠CAD=90°，进而推出△AOB∽aCAD,得到∠OAB=∠ACD,再结合等腰直角三 角形的性质，得出∠BAC=∠BCD,若以O、P、C为顶点的三角形与ABC相似，且 ABC是锐角三角形，则△COP也是锐角三角形，且点P在第四象限，利用待定系数法求出 直线DC的表达式，进而设P(p,2p-6)(0<p<3,过点P作PH⊥OC于点H,则OH=p ,PH=6-2p,根据相似三角形的判定定理分两种情况讨论：利用角的正切值分别求解即可. 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx-3与x轴分别交于点B(-1,0)、点C(3,0), a-b-3=0 9a+3b-3=0' a=1 解得： 1b=-21 :抛物线的表达式为y=x2-2x-3, y=x2-2x-3=(x-12-4, :顶点D的坐标为1，-4)： （2)解：：抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A, 当x=0时，y=-3, A0,-3), C(3,0),D1,-4, 答案第1页，共2页 AC=3√2，AD2=V2,CD2=2V5, ..AC2+AD2=CD2, △ACD是直角三角形，且∠CAD=90°， AD _AC=, :∠40B=LC4D=90,O8O1 .△AOB∽△CAD, .∠OAB=∠ACD, :0A=0C=3,∠A0C=90°， .∠AC0=∠AC0=45°， ∴∠CAO+∠OAB=∠ACO+∠ACD,即∠BAC=∠BCD, 若以O、P、C为顶点的三角形与ABC相似，且ABC是锐角三角形， “△COP也是锐角三角形，且点P在第四象限， 设直线DC的表达式为y=mx+n, [3m+n=0 m=2 m+n=4'解得： 则 (n=-6' :直线DC的表达式为y=2x-6, :点P在直线DC上， :设P(p,2p-6)(0<p<3), 如图，过点P作PH⊥OC于点H,则OH=p,PH=6-2P, OH D 当∠ABC=∠POC时，则tan ZABC=tan∠POC, ..OA_PH OB OH' 3.6-22 解得p名此时2p-6=2×号-6=5 5 :点P的坐标为55 7618 答案第1页，共2页 当∠ACB=∠POC时，则tan∠ACB=tan∠POC, OA PH=1, OC OH P=6-2p, 解得卫p=2,此时2p-6=2x2-6=-2, :点P的坐标为2，-2. 618) 综上可知，若以O、P、C为顶点的三角形与ABC相似，点P的坐标为 5-5 或(2，-2). 【点晴】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理及其逆定理，相 似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决 问题是关键。 S.0)b=3,c=1 ®ac的标为传0 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的性质， 掌握二次函数的图象和性质是解题的关键 (1)把原抛物线解析式化为顶点式，再根据平移的性质解答即可； (2)分两种情况，结合相似三角形的判定和性质解答即可. 4 译解】D解：由题意可知y+,+2字 5249 3x-4+12 :物线：+2向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度， 3 :得到新的地物线为)=4x-乏++9-3=-4c+x+1。 42 2 x-二+1+ 34 12 3 3 2 .b= 3’c-1. 2)解：将x0代入y三r》 x+2,得y=2. 3 B(0,2). 0B=2. :∠ADC=∠BDE,∠ACD=90°， :△BED是直角三角形. 设Ct,0), 答案第1页，共2页 ①当∠BED=90°时，BE∥AC, E,2). 9+2-2 解得1=0（舍去）或1=3 sc3o ②如图，连接BE,当∠EBD=90°时，过点E作EQ⊥y轴于点Q. :∠BA0+∠AB0=90°，LAB0+L0BE=90°， ·LQBE=∠BA0 .△ABO∽△BEQ. 0D即2 ..40_BO BO 1 2+31=-4+10 +2, 2 3 3 解得1=0（舍去）或t= P ccuo 综上所述，点C的坐标为 传o 2 6.(1)y=-2x+2 3 o号 3)C点的坐标为 【分析】(1)先求出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； 答案第1页，共2页 2点号+2小，+9+2j0≤m≤3，示DE的长，然后利用 y=Sm+Sm号DE-01得到解析式，配方得到最大值即可： (3)分为∠BED=90°和∠EBD=90°两种情况，利用对应边成比例解题即可. 【弹解】)解：令0，则-+号+2=0， 3 1 x=-2或x=3, .A3,0), 令x=0,则y=2, B(0,2), 设直线AB的解析式为y=kc+b, b=2 2 3k+b=0’解得： k二3， b=2 y= 2x+2 (2)解：由(1)可得4B的解析式为y=- x+2, 3 :DE⊥x轴 2 设Dm,专m+2Em, E+9m+20≤≤引，48E的面积为 3 4 :.DE=- 10 3m+2 72 (3m+2 m+4m, 4 y=S△ED+SAAFD=)DEOA =1_4m2+4m3 23" =-2m2+6m m329 =-2m-2)+2 △ABE的面积最大值为号， (3)解：：∠ADC=∠BDE,∠ACD=90°， △BED是直角三角形， 设Cu,0), 答案第1页，共2页 ①如图1，当∠BED=90°时，BE∥AC, E(L,2), 9+2=2, 3 4=0(合去)或-， c B 图1 ②如图2，当∠EBD=90°时，过点E作EQ⊥y轴，垂足为点Q, :∠BA0+∠AB0=90°，LAB0+L0BE=90°， ·LQBE=LBAO, .△ABO∽△BEQ, :40、B0 BO EO + 2+92 3 1=0(舍去)或1=马 .co 综上所述：C点的坐标为 o 答案第1页，共2页 y B 图2 【点晴】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的性质， 掌握二次函数的图象和性质是解题的关键。 7.(1)y=-x2-2x+3 2点D的横坐标为1或-5 2 (3)1 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)分两种情况：当&A0E△ABC时，LA0E=∠ABC;当△40Ea4CB时，4E=40 AB AC 分别求解即可； (3)设Mm,-m2-2m+3,N(n,-n2-2n+3,P(xo,2x,+9,由题意可得MN∥x轴， 轮物线的对称轴为宜线=2么2引-1，从面可行+=2,1=-2+3、求出直线 2×(-1 CM的解析式为y=-m-2)x+3,同理可得直线AWN的解析式为y=（-n+1)x+3-3n,结合 题意可得 2x,+9=(-n+1)6+3-3n②’由①可得6=6 2x+9=(-m-2)x+3① -6 m+42-n ②可得x=6-3加 n+1 ，从而得出6-3n。-6 n+1 ,整理可得n2+2n=2,即可得解。 2-n 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点， [9a-3b+3=0 a+b+3=0 a=-1 解得： b=-21 答案第1页，共2页 ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3: (2)解：在y=-x2-2x+3中，令x=0,则y=3,即C(0,3), :A-3,0,B(1,0), AB=4,A0=3,0C=3, ·△A0C为等边三角形，AC=V-3-0)2+(0-3)}2=32, .∠CA0=45°， 设直线BC的解析式为y=kx+b, 将B1,0,C0,3)代入解折式可得6=3 k+b=0 「k=-3 解得： b=3, 直线BC的解析式为y=-3x+3, 连接AD、BC, y D B 图1 :△A0E与ABC相似， .当△AOE∽△ABC时，∠AOE=∠ABC, .OE∥BC, 设直线OE的解析式为y=-3x+b2, 将0(0,0)代入解析式可得b=0, .直线OE的解析式为y=-3x, 联立y=-2-2x+3 y=-3x 可得-x2-2x+3=-3x, 药：与正，与+不特合题，合去 2 答案第1页，共2页 此时点D的横坐标为1-V3 2 当△A0E∽△ACB时， AE AO AE 3 ABAC，即 43√2' ·AE=22, 过点E作EH⊥AB于H,则△AEH为等腰直角三角形， :AH =EH= -AE=2, 2 .0H=1, E(-1,2), 设直线OE的解析式为y=kx, 将E(-1,2代入解析式可得2=-k, k1=-2, 直线OE的解析式为y=-2x, 联立y=-x2-2x+3 y=-2x 得-x2-2x+3=-2x, 解得：x=-3,x2=√3（不符合题意，舍去） 此时点D的横坐标为-√3； 综上所述，点D的横坐标为=⑤或-5， 2 (3)解：设Mm,-m2-2m+3,Nn,-n2-2n+3,P(xo,2x。+9, 由题意可得MN∥x轴，抛物线的对称轴为直线x=- (-2) =-1, 2×-1 .m+n=-2,t=-n2-2n+3, 设直线CM的解析式可得y=k2x+b2, 将C(0,3),Mm,-m2-2m+3代入解析式可得 mk2+b2=-m2-2m+3 b2=3 k2=-m-2 解得：6，=3 答案第1页，共2页 .直线CM的解析式为y=-m-2)x+3, 同理可得直线AN的解析式为y=（-n+1)x+3-3n, :直线CM和AN交于点P, 2x+9=(-m-2)x+3① 2x+9=(-n+1x+3-3n②’ 由①可得：x,= 6-6 2,由②可得：x。= -6-3n m+42- n+1 :6-3n。-6 n+12-n 整理可得：n2+2n=2 t=-n2-2n+3=-n2+2n+3=-2+3=1. 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函 数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的 辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键 5x-2 124313 202-3):②5,5或48 【分析】1)根据直线y=2-2求得点C的坐标为0，-2)，点A的坐标为4,0)，再将其代 入抛物线y=?+x+c中，利用待定系数法即可求解； 2 (2@设点P的坐标为兮一子-2共中0<14，根器中点坐标公式得点D的坐标为 合好-子-小将其代入y宁-2，可符-2--子-1，样方程即可采解， ②根据题意求得点B的坐标为-1,0)，可得OB=1,OC=2,过点Q作MN∥x轴， PW1N,先证△cOw△0N,则88器8，再分两件：当 OB OC cgp时， △0 ACOP,当8-8S.△0c6A,分别时论可求解 【详解】(1)解：对于直线y=2-2,当x=0时，y=-2,即点C的坐标为0，-2， 当y=0时，x=4,即点A的坐标为4,0)， 将0，-2，(4,0)代入抛物线y=x+r+c中， 2 答案第1页，共2页 [c=-2 3 b=- 可得×42+4b+c=0’解得： 2, C=-2 抛物线的解析式为y= x-2: 2 (2)①设点P的坐标为，1-。 2t-2 其中0<t<4, :点D为线段OP中点， 点D的坐标为 62-3-1 24-41-1 l, 将其代入y= -2,可得：-2 11 1, 12-3 整理得：2-4t+4=0,即(t-2=0, 解得：t=2, 当t=2时， -2=3 .点P的坐标为2，-3)： ②对于抛物线y=x2-名x -2.令10，即时-多-2=0，解得：5=4，k. 2 点B的坐标为-1,0)， .0B=1, 点C的坐标为(0，-2)， 0C=2, :PQ⊥AC, .∠PQC=∠BOC=90°， 过点Q作MN∥x轴，PN⊥MN, A MO P .LN=LPQC=LCMQ=90°，则LCQM+LPQN=LPQN+∠QPN=90°， .ZCOM Z0PN 答案第1页，共2页 △,则5-8器6 当OB0c OCOP 时，△B0Cn△C0P,即：g-0e=2, OC OB =XPN=2,即：-=-”=2 .cCMOM Yo+2 xo 3 而%-2。-2，则n=2。,=-2。-2, 指点代入y--2%62--含262 解得：。子(。=0舍去)，则6-日 81 即，点Q的坐标为？8》 当OB0C 时，△BOCn△PQC,即： 0C_0C-2, OP OC OP OB c0Cw0W5,即：5-- OP ON PN 1 yo+2 xo 2 5 而%=2。-2，则=40，p=-2, 将点r--2得2-任-2 解得：6号(。=0含去，则%=合 即此，点0的坐标为华引： 综上，@的单标为各）安传) 【点晴】本题考查了二次函数的综合题，涉及用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的 判定和性质、等知识点，正确作出辅助线是解题的关键.注意此题要运用分类讨论思想. 9.(1)y=x2-2x-3: (2)BC与OP相切，见解析； (3)点F的坐标为1,0)或(1,2). 【分析】本题考查的是待定系数法求抛物线解析式，判定直线与圆的位置关系，相似三角形 的判定与性质；掌握切线的判定方法，作出合适的辅助线以及熟记相似三角形的判定与性质 是解题关键。 (1)将点坐标代入表达式，求解即可； (2)先求出抛物线的顶点坐标，后过点D作DG⊥y轴于点G,证明∠DCB=90°即可； 答案第1页，共2页 (3)由于相似三角形对应点尚不明确，所以分两种情况讨论，再根据相似三角形的性质即 可求出坐标， 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2-2x+c过点A(-1,0),C(0,-3, a+2+c=0 解得 「a=1 c=-3 c=-3 :抛物线的解析式为y=x2-2x-3. (2)BC与0P相切， 理由：如图(1)，令y=x2-2x-3=0, 图(1) 解得x=-1,x2=3. :A(-1,0), B(3,0, 又C(0,-3) .0B=0C=3, .∠1=∠2=45°， 过点D作DG⊥y轴于点G. :y=x2-2x-3=(x-1)2-4 :抛物线的对称轴为直线x=1,顶点D(1,-4). .DG=CG=1, :∠3=L4=45 ∠DCB=180°-∠1-∠4=90°， CD⊥BC, 答案第1页，共2页 又：CD为OP直径， :BC与OP相切. (3)如图(2)：设抛物线对称轴与x轴交于点H,则H(1,0). :LCED=LBEH,且点F在抛物线对称轴上. D 图(2) :若aFBE与△CDE相似，则分以下两种情况： ①当∠BFE=∠ECD=90°时，点F与点H重合， .F(1,0 ②当∠EBF=LECD=90°时，如图(2)， :∠0BC=45 ∠FBH=45°， ∴.FH=BH=2, F1,2). :点F的坐标为1,0)或1,2). 10.(0)直线1的表达式y=2+ 11 2 06-7:-2r-到或=-2r-到 【分析】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及待定系数法求解析式，求一次函数的解 析式，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离，以及梯形的性质，解题的关键是应用分 类讨论思想。 (1)根据待定系数法求得抛物线C:y=x2-2x-3=(x-12-4,即可知点M(1,-4),过点 M作MC⊥x轴，交x轴于点C,交直线1于点N,可证明aNAC∽△AMC,有 NC AC AC MC 结合两点之间距离求得NC=1,利用待定系数法即可求得直线I的表达式： (2)根据题意的a<0,利用待定系数法求得抛物线y=ax2-2ar-3a,则点N1,-4a),联 答案第1页，共2页 立方程求得点D 6a+18a+1 2a,4a 结合梯形的性质若AN∥DM,过点N作NC⊥x轴于点C, 过点M作平行于x轴的直线与过点D作DE⊥ME轴于点C,线段DM与x轴交于点F,则 点E61,4 2a 且NACDME,有AC- NC DE ,两点之间距离公式求得a(当a值接近 O时不满足题干要求的梯形字母顺序，故舍去)；若ND∥AM,过点M作MG⊥x轴于点G ,过点D作平行于x轴的直线与过点N作NH⊥DH轴于点H,同理可得△NHD∽△MGA, a站 求得a即可. 【详解】(1)解：：抛物线C:y=x2+bx+c经过点A-1,0)和点B(3,0), .J-12-b+c=0 32+3b+c=0 b=-2 解得 c=-3' 则抛物线C1:y=x2-2x-3=（x-1)2-4, 点M(1,-4), 如图，过点M作MC⊥x轴，交x轴于点C,交直线1于点N, M 则∠ACM=∠ACN=90°，∠MAC+∠AMC=90°， :1⊥AM, .∠NAC+∠CAM=90°， .∠NAC=LAMC, 则△NAC∽△AMC, 瓷瓷 :点M(1,-4)和点A-1,0), 答案第1页，共2页 CM=4,AC=2, 则NC2 2=4,解得NC=1, 点N(1,1 设直线1的解析式为y=kx+b(k≠0)， :直线I经过点A和点N, 「-k+b=0 “k+b=1 1 解得 1 b= 2 则直线1的表达式y=2+2 11 （2)解：：抛物线C2:y=ax2+mx+n开口向下， a<0, :抛物线C2:y=ax2+mx+n经过A(-1,0)、B(3,0)两点， a×(-12+mx-1+n=0 a×32+3m+n=0 m=-2a 解得 n=-3a' 则抛物线C2:y=ax2-2ax-3a=a(x-1)-4a, :抛物线C,:y=ar2+mx+n顶点为N, .N(1,-4a, 11 联立 y=。x+ 22 y=ax2-2ax-3a 1 x=-1 x3=3+ 2a 解得 y=0’ 2=2+ 1 4a 则点D3+,2+ 1 2a 答案第1页，共2页 :四边形ANDM是梯形， .AN∥DM,或ND∥AM, ①如图，若AN∥DM,过点N作NC⊥x轴于点C,过点M作平行于x轴的直线与过点D 作DE⊥ME轴于点C,线段DM与x轴交于点F, 则LE=LACN=90°，∠NAC=∠DFB=∠DME,点C(L,O),点E .△NACADME, AC ME NC DE 点D3+2a21 40,点L-4a,点A-l,0),点M1,-4,点C1,0, 。AC=2,NC4a,ME6a+-1=40+,DB=a++4=6+, 2a 2a 4a+1 2-20 则如6+ 4a 8,4,=-7+35 解得a=7-35 (构不成梯形，舍去)， 8 那么指物线Gy=75-2- ②若ND∥AM,过点M作MG⊥x轴于点G,过点D作平行于x轴的直线与过点N作 NH⊥DH轴于点H, 答案第1页，共2页 同理可得NHD6MG4,点HL,8a+ 4a ,点M1,-4), NH HD MG GA ，4G=2,MG4,NH=-4a-8a+_-16a2+8a+1 Aa 4a DH=6a+l-1-4a+1 2a 2a 16a2+8a+14a+1 则4a=2a 4 2 5 1 解得4=- 4’9=- (构不成梯形，舍去)， 4 那么，抛物线C,y=-x-2x-3. 40 (2)1 (3)存在，点P的坐标是 6834 6+2√413+√41 99 或 5 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆 定理，相似三角形的判定与性质，难度大，熟练掌握知识点是解题的关键 (1)由待定系数法求解即可； (2)过点D作DH⊥AB交AC于H,证明△DHE∽△OCE,则 De--m-m=m+2+1,再转化为二次函数求最值： OE OC 4 (3)分两种情况讨论，构造一线三等角的相似三角形解决问题. 【详解】(1)解：：A(-4,0), .0A=4, :0A=20C, 答案第1页，共2页 .0C=2, .C(0,-2）, 把A(-4,0),C(0,-2)代入y= [c=-2 得到 8-4b+c=0' ，3 解得 C=-2 小抛物线约解折式为y式+号-2。 21 (2)解：如图1中，过点D作DH⊥AB交AC于H, 图1 设0m2m+m-2 1 3 2 设直线AC:y=kx+b A-4,0),C(0,-2), 「-4k+b=0 b=2 1 k=- 解得 2, b=-2 :直线AC的解析式为y=- 2-2, m-2, 1 .DH= m2-2m, 2 :DH∥OC, ∴.△DHE∽△OCE, 答案第1页，共2页 1 :0E-D娘=-m2-m=-m+2列土 4 、DE的最大值为1. .0E (3)解：①当点P在直线AQ左侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N,过点Q作 OM⊥直线PN于点M, 图2 对于抛物线y= +-2,当0则r 2-2=0, 解得：x1=-4,x2=1, :A-4,0),C(0,-2),B(1,0, .BC=V5,AB=5,AC=2√5， :直线I∥AC, :直线1的解析式为y=一2， 1 设Pm :AC2+BC2=20+5=25=AB2, .∠ACB=90°， .△PQA∽△CBA, :P9、PA CBCA ∠QPA=90° PO CB 1 ·PACA2 :∠QMP=∠ANP=90°， ∴.∠MQP+∠MPQ=90°，∠MPQ+∠APN=90°， .∠MQP=∠APN, .△OPMr△PAW, 答案第1页，共2页 OM PM PO 1 PN ANPA=2 “QM=-m,PM=(-4-m)=-2-m 4 2 MN=PM+PN =-2-1m+ 2m+ 2F-0-2-0w=4-m+= 1 4m-4, 3 m-4+4 3 .0= 4m, 3 ..0 m,m-2 将点Q的坐标代入抛物线的解新式得}×？m了+3x3m 三m+。×2m-2=-m-2, 2424 解得m=0(舍去)或-6 ②当点P在直线AQ右侧时，构造同样辅助线，如图： "r B 图2-1 散P 同理可证明：△QPM∽aPAW, .oM-PM P0 1 PN AN PA 2 0M=- mPw-4+=2+m 2 MN=PM+PN=2+m+1m》 2m+2m2, QM+ON三am-m5 5 :.xg4 m, 5 m,2 答案第1页，共2页 路点Q的坐标代入抛物线的解析武待5m七×22 24m 解得m=-6+2V4 ,(舍去)或m= -6-2V41 5 5 -6-2√413+√41 此时点P的坐标为 5 ，5 6834 6+2V413+V41 综上所述，符合条件的点P的坐标是 9’9 或 5 5 12.(1)x=1 563 8’(4-16 a或0 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解 一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质. (1)根据题意求出点C的坐标，再结合 OC =3,可求出点A的坐标，再根据待定系数法求 OA 得函数解析式，即可求解； (2)过点Q作QH⊥x轴于点H,证明ABQH为等腰直角三角形，得出OH-2A0,求 出PQ+5BQ=P0+QH,先求出直线BC的解析式y=-3,设点P的坐标为 2 (m,m2-2m-3)(0≤m≤3，求出QH=-m2+2m+3,PQ=m-m2-2m)=-m2+3m,根据二 次函数最值，求出最后结果即可； (3)根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于y的方程，解方 程即可得答案 【详解】(1)解：抛物线与y轴交于点C, 令x=0,得y=-3, .点C的坐标为(0，-3). .0C=3. 0C=3, ·OA .0A=1, 答案第1页，共2页 即点A的坐标为-1,0). 点B(3,0), a-b-3=0 9a+3b-3=0' a=1 解得b=2 抛物线的函数表达式是y=x2-2x-3,即y=(x-1)2-4. .抛物线的对称轴为直线x=1. (2)解：如图1，过点Q作QH⊥x轴于点H, V 人 图1 :点B的坐标为3,0)，点C的坐标为0，-3， .0B=0C=3. .∠0BC=∠0CB=45°. ∴.△BQH为等腰直角三角形. 0H=5B0 2 PO+BO=P0+OH 设直线BC的解析式为y=c-3,把B(3,0)代入得：3k-3=0,解得k=1, .直线BC的解析式为y=x-3, 设点P的坐标为m,m2-2m-3)(0≤m≤3)， :PQ∥x轴， .QH=-m2+2m+3. 把y=m2-2m-3代入y=x-3得：x-3=m2-2m-3,解得x=m2-2m, 答案第1页，共2页 .P0=m-(m2-2m)=-m2+3m. :P0+5B0=P0+QH =-m2+3m+(-m2+2m+3) =-2m2+5m+3 :当m=三时，P阳+5B0有最大值，且最大信为 :P0+5B0的最大值为智，此时点P的坐标为 49 5 63 （3)解：如图2， 图2 设点D的坐标为(0，y), :0B=0C=3,∠B0C=90°， .ABC为LABC=45°的锐角三角形. :△DCB也是锐角三角形. 点D在点C的上方. .∠DCB=45°. .ZABC ZDCB AB=3-(-1)=3+1=4,BC=3√2，DC=y+3, ①当△ABC∽△DCB时， B,即4332 .DC=BC 432,解得y=1, 即点D(0,1. ②当△ABCn△BCD时， 答案第1页，共2页 DCBC BC AB 即对3Y2,解得y3 324 即点0引 综上所述，符合条件的点D的坐标为(0，或0，】 2 1 3 13.(1)二次函数的解析式为：y= x2+2x+2 2 2 (2)点D的坐标为1,3)或(2,3 (3)QN=3FN,理由见解析 【分析】(1)根据待定系数法求解即可； ②》过点D作DH103于，根摄抛物线的对称性求出4,0，设oa+4+2 2 ,根据S2-S,=2,得出SA△4BD-S△Bc=2,则 [4-(明×++[4-2-解方程得4=1,4=2，即可求： 2 (3)结合T(0,)可求直线TF的解析式y=kx+t,联立直线TF与抛物线可得 x2+(2k,-3)x+21-4=0,结合T℉与抛物线有唯一交点F,可求出x=21-4,同法求出直 线TP的解析式为y=k2x+t,联立直线TP与抛物线可得x2+(2k-3)x+2t-4=0,进而 x,0=21-4,得出=上，过点P作PI上y轴于，过点F作F⊥y轴于J,过点Q作 XE XO 水y能于太，正明△P1△MF,海出兴朵，适面求出字有同理得出 FN FK 0wQK, 进而求出 ON 即可求解 a-b+2=0 【详解】(1)解：由题意可得： b 3 2a2 d= 2 解得： 3 b= 2 :二次函数的解析式为：y=+多x+2: 3 2 2 (2)解：过点D作DH⊥OB于H, 答案第1页，共2页 D 幽物线y+,+2交y轴于点C10,2》 :4-10叭、B关于宜线：对称， .B4,0. 2 :5,-5=2' .5 (S,+SaE)-(S+S)=2,即S4m-5c= [-++[-2- 2 2 整理得：d2-3d+2=0, 解得：d,=1,d2=2, 点D的坐标为1,3)或(2,3). (3)解：FN与NQ的数量关系为：QN=3FN. 理由如下：设直线TF的解析式为：y=kx+b, 把T(0,代入可得，b=t, .y=kx+t y=kx+t, 联立直线TF与抛物线得， +x+2 3 y= 2 2 1 3 .-5x2+2x+2=kx+t, 2 整理得x2+(2k,-3)x+2t-4=0. 答案第1页，共2页 :T℉与抛物线有唯一交点F, .x1=X2=xF. :x1x2=2t-4, .x2=21-4. 设直线TP的解析式为：y=k2x+b2, 把T(0,t代入可得，b,=t, .y=kx+t. y=kx+t, 联立直线TP与抛物线得， y=21 2r+2 -1x+ 3 2+2+2=x+1, 1 整理得x2+(2k-3)x+2t-4=0. .x=2t-4,p=2t-4, XF=xpXo, Xp=Xr XF Xo 过点P作PI⊥y轴于I,过点F作F⊥y轴于J,过点Q作QK⊥y轴于K, 则PI∥FJ, .△MPI∽△MFJ. PM IP ·FMF FM =3PM 答案第1页，共2页 PM Xp ÷3PMxp' 2=1 -3' Xr 3 同理可得： FN FK ON OK ON XE .ON=3FN. 答案第1页，共2页