专题05 特殊的平行四边形（考题猜想，17大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（浙教版）

专题05 特殊的平行四边形（17大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用矩形的性质与判定求角度 题型二 利用矩形的性质与判定求线段长 题型三 利用矩形的性质与判定求面积 题型四 利用菱形的性质与判定求角度 题型五 利用菱形的性质与判定求线段长 题型六 利用菱形的性质与判定求面积 题型七 利用正方形的性质与判定求角度 题型八 利用正方形的性质与判定求线段长 题型九 利用正方形的性质与判定求面积 题型十 与特殊平行四边形有关的折叠问题 题型十一 特殊平行四边形与函数综合 题型十二 与特殊平行四边形有关的最值问题 题型十三 与特殊平行四边形有关的新定义问题 题型十四 几何模型—中点四边形模型 题型十五 几何模型—半角模型 题型十六 几何模型—对角互补模型 题型十七 几何模型—其它模型 题型一 利用矩形的性质与判定求角度 1．（2023·广东梅州·一模）如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先判断四边形是平行四边形，继而根据已知条件推导出，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证； （2）由矩形的性质得到，再由平行线的性质得到，然后由三角形的内角和求出，再根据直角三角形的两锐角互余，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明是解题的关键． 2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 题型二 利用矩形的性质与判定求线段长 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，过点A作，过点B作，相交于点E．若四边形的面积为12，求四边形的周长． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，先证明四边形为矩形，勾股定理得到，面积公式得到，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为矩形， ∵，四边形的面积为12， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴四边形的周长为． 5．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，延长至点，使，连接交于点，连接，． (1)求证：； (2)若． ①若，，求的面积； ②连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，再证明四边形是平行四边形，得到，据此可证得结论； （2）①由已知条件，得到，结合勾股定理，求得的长，从而得到平行四边形的面积；②由条件，得到四边形是矩形，在中，，结合图形，得到，，且，从而证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：①，， ， 在中，，， ， 的面积为； ②证明：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， ，即， ， ， 在中，由勾股定理，且， ， ． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门．门槛长为，，分别为左右门扇的底部门宽，且，关上门时，C与D重合．阳光明媚的某天，将两扇门向外开到如图2的位置（平面示意图），这时阳光正好垂直照射向门槛，因门的遮挡，在门槛上留下三线段、、，只有线段晒到太阳，且，求此时C、D间的距离．    【答案】 【分析】本题考查了比例线段，和勾股定理，熟练掌握比例的性质和勾股定理是关键．根据比例得到，，，，，再结合勾股定理和矩形的判定和性质得到，，进而得到，即可解题． 【详解】解： ，，   ， 同理，， ， ， 作于点， 由题知，，， 四边形为矩形， ， ， ． 题型三 利用矩形的性质与判定求面积 7．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，点D是的中点，点F是的中点，，连结并延长交于点E，连结． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （3）证明，再由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中，， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （3）解：由（2）知，四边形是矩形， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 8．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）平行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)20． 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，等角对等边，勾股定理等等： （1）先由平行四边形的性质得到，再由即可证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是矩形； （2）先证明，得到，再由勾股定理求出，则矩形的面积为． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 在中，，， ， 矩形的面积为． 9．（2023·浙江宁波·三模）如图，在中，延长至点E，延长至点F，使得，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得出，根据题意得出，再由平行四边形的判定即可证明； （2）根据矩形的判定得出四边形是矩形，然后求矩形面积即可． 【详解】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵延长至点E，延长至点F，使得， ∴即， ∴四边形是平行四边形； （2） 连接，如图所示，    由（1）得四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形的面积为：， ∴四边形的面积为． 【点睛】 题目主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形和矩形的判定性质定理是解题关键． 题型四 利用菱形的性质与判定求角度 10．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质成为解题的关键． （1）根据三角形中位线的性质可得、，即；再说明、，证得可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）先证明平行四边形BEFC是菱形，再利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：点D，E分别是边的中点， ，， ， ∵点O是边的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 平行四边形BEFC是菱形， ，， ． 11．（23-24八年级下·浙江台州·期中）在矩形中，将点A翻折到对角线上的点M处，折痕交于点E．将点C翻折到对角线上的点N处，折痕交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． （1）证，根据折叠性质推出，求出，根据平行四边形判定推出即可． （2）求出，根据直角三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵由折叠：， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）∵是平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴， 又∵由折叠：， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 12．（21-22八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF． (1)求证：四边形EBFD为菱形； (2)若，，求∠ABE的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)15° 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到BO=DO，∠OBF=∠ODE，证明△BOF≌△DOE（ASA），得到BF=DE，证得四边形EBFD为平行四边形，又因为EF⊥BD，得到四边形EBFD为菱形； （2）根据菱形的性质得到，所以，利用平行线的性质得到，求解即可得到∠ABE的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，BO=DO， ∴∠OBF=∠ODE， ∵EF⊥BD， ∴∠BOF=∠DOE=90°， 在△BOF和△DOE中， ∴△BOF≌△DOE（ASA）， ∴BF=DE， ∵BFDE， ∴四边形EBFD为平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形EBFD为菱形； （2）∵四边形EBFD为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 题型五 利用菱形的性质与判定求线段长 13．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 14．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，进而利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定定理可得结论； （2）先根据菱形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形，利用矩形的对角线相等得到． 【详解】（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握菱形和矩形的判定与性质是解答的关键． 15．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图． 在平行四边形中，分别是 边上的点，且 ， 交于点 ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若 ，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定以及性质，勾股定理，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得出 ，由已知条件得出，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得出四边形是平行四边形． （2）先证明平行四边形是菱形，由菱形的性质可得出，，由勾股定理可得出，即可得出． 【详解】（1）证明∶四边形是平行四边形， 又 四边形是平行四边形． （2） 平行四边形是菱形 ，，． ． ∴， 题型六 利用菱形的性质与判定求面积 16．（2025·贵州黔东南·一模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明四边形是平行四边形，再由可得出结论； （2）先由菱形的性质得出，，，再由勾股定理求出，从而得，即可求得，则，设与之间的距离为h，则可求解菱形的面积平行四边形的面积，而菱形的面积，代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形 ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与之间的距离为h， ∵菱形的面积，平行四边形的面积， ∴菱形的面积平行四边形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积． 17．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 18．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，进而可证得四边形是平行四边形，由于，于是结论得证； （2）由平分可得，由矩形的性质可得，，，，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，于是可得，利用勾股定理可得，进而可得，由（1）可得，于是可得，利用菱形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， 点是的中点，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，两直线平行内错角相等，线段中点的有关计算，对顶角相等，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，等角对等边，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 题型七 利用正方形的性质与判定求角度 19．（20-21八年级下·浙江杭州·期中）如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【分析】（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论； （2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）； （2）∵FD=FE， ∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x， ∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=135°-2x， ∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°， 解得：x=30， ∴∠AFE=60°． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 20．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 21．（20-21九年级上·天津红桥·期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求的大小．（直接写出结果即可） 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可； （2）结论：．证明，即可解决问题； （3）连接，过点B作交的延长线于H，作于T，证明，得出，证明四边形为正方形，得出，从而得出，证明，得出，求出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是由旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：结论：． 由旋转的性质可知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点B作交的延长线于H，作于T， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ，， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直的定义，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 题型八 利用正方形的性质与判定求线段长 22．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点 (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，进而可得，再证明，即可证明结论； （2）过点C作于点，于点H，证明四边形是正方形，结合角平分的性质定理可得，设，证明，易得，进而可得；由（1）可知，是直角三角形，由勾股定理解得；在中，由勾股定理得，易知；证明，易得，故，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， ， 和的角平分线相交于点C， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 即， 是直角三角形， 又， ∴， ∴， 是等腰直角三角形； （2）解：过点C作于点E，于点H，如图所示， ， 四边形是矩形， 平分，，，， ， 矩形是正方形，且， 设， 在和中， ， ， ， ， 由（1）可知，是直角三角形，且， ∵， 由勾股定理得：， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质定理并正确作出辅助线是解题关键． 23．（24-25九年级上·辽宁·期中）如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． (1)求证：四边形是正方形． (2)当是的中点，且时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据即可得出结论； （2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，，，进而得到，在中由勾股定理得，据此可求的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， 又， 菱形为正方形， （2）连接，如下图所示： 于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ，， ， 四边形为正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， （负值舍去）， ． 24．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）如图，已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为，射线与x轴正半轴交于点A、射线与y轴正半轴交于点B．若，则的周长是否会发生变化?若不变，求出的周长；若变化，请说明理由． 【答案】不变，周长为10 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，作垂直x轴于点C，轴于点D，在x轴上截取，连接，，证明四边形为正方形，得出，，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：的周长不发生变化；且的周长为10． 作垂直x轴于点C，轴于点D，在x轴上截取，连接，，如图所示： ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 ． 题型九 利用正方形的性质与判定求面积 25．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20cm，要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠），图1和图2是两种不同裁法的示意图． (1)求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数； (2)分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； (3)这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？ 【答案】(1)图1裁法最多能得到2条长方形纸条；图2裁法最多能得到3条长方形纸条； (2)图1裁法得到长方形纸条的总长度：（80﹣30）cm；图2裁法得到长方形纸条的总长度：30（cm）； (3)12.5（cm2） 【分析】（1）如图3，过点C作CD⊥AB于D，利用CD的长÷5可得如图1裁法最多能得到的长方形纸条的条数，利用AC的长÷5可得如图2裁法最多能得到的长方形纸条的条数； （2）根据等腰直角三角形的性质分别计算如图1和如图2中长方形纸条的总长度； （3）因为四边形EFGH是正方形，所以它的面积为边长的平方，所以比较两种裁法的边长即可，根据两种裁法的总长可得如图4中的PG的长，最后计算FG的长即可解答． 【详解】（1）如图3，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝BC＝20，∠ACB＝90°， ∴AB＝AC＝×20＝40cm， ∴CD＝AB＝20cm， ＝＝2，且2＜2＜3， ∴如图1裁法最多能得到2条长方形纸条； 20÷5＝4， ∴如图2裁法最多能得到3条长方形纸条； （2）如图1， ∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴EF＝AF＝5cm， ∴EQ＝40﹣5﹣5＝（40﹣10）cm， 同理得：DP＝40﹣10﹣10＝（40﹣20）cm， ∴如图1裁法得到长方形纸条的总长度＝EQ+DP＝40﹣10+40﹣20＝（80﹣30）cm； 如图2， 同理可知△PEB是等腰直角三角形，且BE＝5cm， ∴PD＝20﹣5＝15cm，QG＝15﹣5＝10cm， ∴如图2裁法得到长方形纸条的总长度＝15+10+5＝30（cm）； （3）如图4， 如图1裁法：PG＝＝（20﹣）cm， FG＝PG﹣PF＝20﹣﹣5＝（20﹣）cm， 如图2裁法：PG＝＝cm， FG＝PG﹣PF＝﹣5＝cm， ∵20﹣＜， ∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为＝12.5（cm2）． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，正方形及矩形的性质等知识，要仔细观察图形，掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键． 26．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)64 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）证明，并结合邻补角的性质可得出，则得出菱形是正方形，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， 又是的中点， ， ， 平分， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 又， 正方形的面积是． 27．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交点．已知，求四边形的面积． 【答案】80 【分析】取边的中点M，连接,证明，得，，，进而可证明，，可得，根据勾股定理得，进而可得，即可求出四边形的面积． 【详解】解：取边的中点M，连接． ∵四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∴在中，根据勾股定理得， ， ， ∵四边形是正方形， ， ． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形三角形的判定等；难度系数较大，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 题型十 与特殊平行四边形有关的折叠问题 28．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，P为线段上一点，连结，将沿着线段折叠，点D落在处，作交于点E． (1)证明：四边形为菱形； (2)如图1，若恰好落在平行四边形的对角线交点处，求此时的长度； (3)如图2，连结，在上取一点M（），若点M关于直线的对称点N落在的内部（包括边界），请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，折叠的性质，含角的直角三角形的边长关系，正确画出图形，添加辅助线，利用临界值求解是解题的关键． （1）利用折叠的性质，可得，即可得，先证明四边形为平行四边形，再证明菱形即可； （2）作的中点，连接，证明，即可解答； （3）找到两个临界值，即刚好落在和上，求出此时的，则可得的取值范围． 【详解】（1）证明：将沿着线段折叠，点D落在处， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2）解：如图，作的中点，连接， 点为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， ， ； （3）解：当点N落在上时，如图， 根据折叠可得， ， ，， ， ， ，即， 设，则， 根据，可得， 解得； ， 当点N落在上时，如图， 则， ， ， 过点作的垂线段，交于点， 为等腰直角三角形， 设， ， ， ， ， ， 根据上一种情况可得， 可得方程， 解得， 即此时， 的取值范围为． 故答案为：． 29．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接． (1)如图1，若点落在边上，求证：； (2)如图2，若三点在同一条直线上，求的长； (3)若是以为底的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质和翻折的性质证明，即可解决问题； （2）结合（1）的方法，再利用勾股定理即可求的长； （3）当是以为底的等腰三角形时，即当时，证明，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质得：， ， ； （2）解：如图2，，，三点在同一条直线上， 四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质得：， ， ， ， 是的中点， ， 在矩形中， ，，， ， ， 如图，连接， 是的中点，， ， ， 点是的中点， 是的中位线 ，， 由翻折可知：，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， ， ， ； （3）解： 如图，延长交于点， ，， ， ， 四边形为矩形， 当以为底的等腰三角形时，则， ，，， ， ， 设，则， 在中，， 则可得， 可得， ， ， ， 在中，， 即， 解得，即． 30．（24-25八年级下·四川眉山·期中）将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点F的坐标； (2)如图②，点D是中点，点E在上，求的最小值； (3)如图③，折叠该纸片，使点C落在边上的点为，折痕为，点M在边上，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得：，设，根据勾股定理得解出可解答； （2）作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即的长，根据勾股定理可解答； （3）过作轴于，设，根据勾股定理列方程得求得点，然后利用待定系数法求得的解析式． 【详解】（1）解：由折叠得：， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， ； （2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即， 过作轴于， ， 是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是15； （3）解：如图③，过作轴于， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 设的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 的解析式为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键． 31．（2025·广东清远·一模）已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的不变性是解题的关键． （1）证明即可； （2）连接，过点作于点H，由垂直平分，则，，可得四边形为矩形，证明，则，同理可证明四边形为矩形，设，则，，则，那么，在中，由勾股定理建立方程，求解，即可求解周长； （3）由折叠可得：，同（1），，，则，，由勾股定理得，由面积法得到，再由即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的周长为：； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．（24-25九年级下·山西朔州·阶段练习）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，四边形是正方形，分别是边上两点，将正方形沿所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点交于点，连接，试猜想和的数量关系，并加以证明． 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 深入探究：（2）善思小组对图1继续研究并提出新的问题：试判断和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题． 拓展延伸：（3）勤学小组制作了如图2所示的矩形分别是上两点，将矩形沿所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点交于点，连接，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1），见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质、图形折叠的性质、勾股定理以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练运用这些性质和定理，通过合理添加辅助线、设未知数构建等式来解决问题． （1）利用正方形的性质，得出，再结合折叠的性质，得到，进而得到； （2）通过过点作于点，利用正方形的性质、已知条件证明，再证明，进而得出线段的数量关系； （3）设，根据矩形折叠的性质，在中运用勾股定理列出方程，求解未知数，再利用折叠性质和勾股定理逐步求出其他线段长度，最终得到所求线段的长度． 【详解】解：（1） 理由：∵四边形是正方形， ， ， 由折叠可知， ， ； （2）理由：如答图，过点作于点，则， ， ∵， ∴， ， ∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ， ， ； （3）如图设．设， 由折叠性质知：， 在中， ， ， 解得：， ， ， 由折叠性质知：， ， 又在中，， ∴， 在中，， ∴在中，， ， 又， ， 的长． 题型十一 特殊平行四边形与函数综合 33．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，，． (1)若以A，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______； (2)、分别是直线和上的点，若以A，，、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为_______； (3)若直线经过点，且将多边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为______． 【答案】(1)或或 (2)或或 (3) 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况分别根据平行四边形的定义求解即可； （2）设，分①当是平行四边形的边时，②当是平行四边形的对角线时，两种情况：分别求解即可； （3）如图：延长交x轴于点F；连接；连接，且相交于点N．把将多边形分割两个矩形，过两个矩形的对角线的交点的直线把多边形分割成面积相等的两部分．而M点正是矩形的中心，求得矩形的中心N的坐标，设,然后利用待定系数法求k,b即可． 【详解】（1）解：①如图所示，当四边形是平行四边形时，点F的横坐标为，纵坐标为4，即； ②如图所示，当四边形是平行四边形时，点F的横坐标为0，纵坐标为4，即； ③如图所示，当四边形是平行四边形时，点F的横坐标为0，纵坐标为，即． 故答案为：或或． （2）解：∵P、Q分别是直线和上的点， ∴设， ①当是平行四边形的边时， ∵， ∴， ∴, ∴或， ∵或, ∴或， ∴点P的坐标为或； ②当是平行四边形的对角线时， ∵， ∴, ∴, ∴,解得， ∴点P的坐标为． 故答案为：或或． （3）解：如图，延长交x轴于点F；连接；连接，且相交于点N． ∵， ∴四边形是矩形， ∴点是的中点， ∴点M为矩形的中心，所以直线l把矩形分成面积相等的两部分． 又∵． ∴四边形是矩形，点是矩形的中心， ∴过点的直线把矩形分成面积相等的两部分． ∴直线即为所求的直线l. 设直线l的函数表达式为,则，解得， ∴所求直线l的函数表达式为． 故答案为． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质、一次函数的性质、待定系数法求函数的解析式等知识点，掌握平行四边形的性质、矩形的性质是解题的关键． 34．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B的坐标为（4，2），点D为线段上的一个动点，点E为线段上一点（不与点A重合），连结． (1)求对角线所在直线的函数表达式． (2)如图2，将沿着翻折，使点A落在平面内的点F处．若点D为对角线的中点，当点F恰好落在矩形的顶点上时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】对于（1），先求出点A，C的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式即可； 对于（2），当点F与点O重合时，根据中点定义得出答案；当点F与点C重合时，根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）∵四边形是矩形，点B的坐标为， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）当F点与O点重合时，， ∵D点是的中点， ∴E点是的中点， ∴. 当F点与C点重合时，， 此时， 在中，， ∴， 解得， ∴. 综上所述：的长为2或. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，勾股定理是求线段长的常用方法． 35．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，正方形的性质与平行四边形的性质； （1）把代入，即可求解； （2）设，，根据，，为对角线，利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据矩形的性质可得，，得出直线的解析式为，分两种情况讨论，当在点右侧时，当在点左侧时，设，根据正方形的性质，全等三角形的性质，得出的坐标，进而代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵在的图象上， ∴， ∴ （2）解：∵矩形的顶点，点为对角线的中点时， ∴为的中点，则， ∵点在直线上一点，点在反比例图象上，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵，，为对角线 ∴ 解得： ∴ ∴ （3）解：∵矩形的顶点， ∴， 直线的解析式为， 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，当在点右侧时，过点作，于点，过点作于点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵点为线段上的一个动点， 设，则,， ∴， ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴ 如图所示，当在点左侧时， 同理可得， ∴ 设， ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述， 36．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图①，在长方形中，，，点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为每秒秒时点的速度变为每秒，图②是点出发秒后，的面积与（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出的值； (2)设点运动的路程为，请写出点出发后，与的函数表达式； (3)当点出发几秒后，以点为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)2秒，4.5秒，6秒 【分析】（1）根据三角形的面积公式可求，根据路程、速度、时间的关系可求的值； （2）确定与的等量关系后列出关系式即可； （3）先计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的的值，若解出的值在对应的分段区间内，则的值即为所求的解，反之则不是,分类讨论即可． 【详解】（1） ∵出发时速度为1cm/秒，由图②得当为12时，对应的时间为秒， ∴图①中， 即     ∴     ∵在上运动时 面积不变，因此图②中水平线段表示在上运动时对应的与之间关系 ∴表示运动到了点，由至7即由4秒到7秒共3秒钟，面积由12增加至30，增加了18，即 ∴ ∴ 当运动到时停止，此时，即对应图②中秒， 在上速度为2cm/秒 走完用的时间为(秒) ∴ 即 （2）前4秒速度为1cm/s， ，4秒后速度为2cm/s， ∴ 因此 （3） 如图③当时， 中 ∴ ∴ 同理当时， 中 ∴ 当时 在的垂直平分线上 即为的中点 ∴ 即当出发2秒，4.5秒，6秒时，是等腰三角形 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，路程、速度、时间的关系，用函数关系式表示变量间的关系及分类讨论的数学思想．此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． 37．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，，点E在边上（不与点B，点C重合），线段的中垂线交对角线于点F，连接，，，． (1)求证：． (2)设，．圆圆同学通过画图和测量得到以下近似数据： α 70 76 80 88 β 35 38 40 44 猜想：β关于α的函数表达式，并给出证明． (3)若，，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)猜想：，详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）证明，可得，根据线段的中垂线交 于点 F，可得，问题得证； （2）根据，可得，可得，表示出，结合 ，可得，问题得解； （3）结合（2）的结论以及平行线的性质可得，根据，可得，，则有，，进而可得，即有，根据，可得，即，，问题随之得证． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 又∵线段的中垂线交 于点 F， ∴， ∴． （2）（2）猜想：． 证明：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵ ， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴利用三角形内角和定理，可得，， ∵， ∴， ∵， ∴，即，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握菱形的性质是解答本题的关键． 38．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形的四个顶点分别在反比例函数与（）的图象上，对角线轴，且于点P，已知点B的横坐标为5． (1)当时； ①若点P的纵坐标为4，求直线的函数表达式； ②若点P是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由． 【答案】(1)①，②四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）①先分别求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；②根据轴得到，，求出，，得到，结合，，得到四边形是菱形； （2）当四边形是正方形，则，求出，得到，从而表示出，根据，得到，由此得到． 【详解】（1）解：①如图1，∵， ∴反比例函数为， 当时，， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为； ②四边形是菱形， 理由如下：如图2， 由①知，， ∵轴， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴， 当时，由得，；由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）四边形能是正方形， 理由：当四边形是正方形，记的交点为P， ∴， 当时，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形为平行四边形是解题的关键． 题型十二 与特殊平行四边形有关的最值问题 39．（23-24八年级下·浙江台州·期末）问题：如图，分别是矩形的边，，，上的点，依次连接它们得到四边形，探究四边形周长的最小值． 探究： （）如图，分别是边和上点，在边上作一点，使得的值最小，并证明（用没有刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （）如图，求证；当四边形的周长最小时，它是平行四边形． （）如图，若矩形中，，，求四边形周长的最小值． 拓展：如图，四边形中，，，，，，，直接写出四边形的内接四边形周长的最小值． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（2）20，拓展：12 【分析】（）作点关于的对称点，连接，与相交于点，则，所以，根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，再根据轴对称和对顶角的性质可证得； （）过点H作的对称点为，过点作的对称点为点，连接，则，记四边形的周长为C，则，当点共线时，周长最小且为长，由对称得，而，设，则，而，同理可得，故，因此，则，同理可证：，故当四边形的周长最小时，它是平行四边形； （）由对称得：，，由，，得，，故在中，由勾股定理得，即四边形周长最小值为20；拓展：作点G关于的对称点为，作点关于的对称点，连接，由对称得故四边形的周长，当点共线时，四边形周长取得最小值，且为长，连接并延长交直线于点N，四边形周长取得最小值，此时点三点共线，由对称得：，，，，可证明，继而，则，，那么为的中位线，因此得到，故． 【详解】解：（）如图，点即为所求， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）过点H作的对称点为，过点作的对称点为点，连接，如图： 则，记四边形的周长为C， ∴， 当点共线时，周长最小且为长，如图： 由对称得，而， ∴设， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 同（1）得点共线， 同理可证：， ∴当四边形的周长最小时，它是平行四边形； （3）由（2）得四边形周长最小时即为长， 由对称得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， 即四边形周长最小值为20； 拓展：作点G关于的对称点为，作点关于的对称点，连接，如图： 由对称得 ∴四边形的周长， 当点共线时，四边形周长取得最小值，且为长，连接并延长交直线于点N，如图： 同（1）得四边形周长取得最小值，此时点三点共线， 由对称得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短求最值，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的额关键． 40．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知正方形的边长是7，点为正方形内一动点． (1)当点在对角线上时． ①如图1，连接，，求证：． ②若，点是正方形边上一点，当时，求线段的长． (2)如图2，若，点是线段上一点，当时，求的最小值． 【答案】(1)①见解析   ②，或 (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质，利用证明，即可得到结论； ②分为点与点重合时，则；然后根据点F在或上或点F在或上两种情况画图，分别构造等腰三角形，利用股定理解题即可． （2）在上截取，连接，则有，即，可以得到当点D，E，Q共线时，最小，即长，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）①证明：∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②如图，当点与点重合时，则； 当点F在或上时，由（1）可得长相等， 过点作交，于点G，H， 则为矩形， ∴， 又∵， ∴ 设，则则， 则有，即， 解得：或（舍去）， 又∵ ∴， ∴； 当点F在或上时，可得长相等，即长相等， 则， ∴； 综上所述，长为，或； （2）解：在上截取，连接， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点D，E，Q共线时，最小，即长， 这时，， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 41．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两邻边分别在坐标轴的正半轴上，E为x轴正半轴上一动点，连，过点B作交y轴于点F，连，以，为邻边构造平行四边形，已知． (1)求证：； (2)当E为的中点时，求点F的坐标 (3)当点E在正方形边上运动的过程中，求的最小值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据垂直得出，再证明即可； （2）由得出，求出，即可得出答案； （3）根据（1）可知：，设，得出，在中，，求出，根据非负数的性质可得的最小值，再根据平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∴； （3）根据（2）可知：， 设， ∵E为x轴正半轴上一动点， ∴， 在中，， ∴， 由非负数的性质可得：的最小值为：18， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形，利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，化为最简二次根式，掌握这些知识点是解题的关键． 42．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，，连结，，已知，，． (1)请问点C什么位置时的值最小？最小值为多少？ (2)设，则可表示为，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)点C在线段和交点处时最小为10 (2)10 【分析】本题主要考查勾股定理及矩形的判定，熟练掌握勾股定理及矩形的性质与判定是解题的关键； （1）根据两点之间线段最短及结合勾股定理可进行求解； （2）根据（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可知：当A、C、E三点共线时，即点C在线段和交点处时的值最小，如图所示： 过点A、D分别作，，交于一点F， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为10； （2）解：由（1）可知：的最小值为10； 故答案为10． 43．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是 ． （2）四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，熟练掌握矩形的性质，将军饮马河原理是解题的关键． 作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可． 将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，则为的最小值，四边形周长的最小值为，作于点，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，   ， 的最小值为， 周长的最小值为， 作于，于， ， ， ， ， ， ， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 如图，将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，   ，且， 四边形为平行四边形， ，由对称得，， 为的最小值， 四边形周长的最小值为， 作于点， ，， ， ， ， 四边形周长的最小值为：． 故答案为：． 44．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）定义：对于一个四池形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是____________（只需填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (2)性质探索： 如图1，四边形是“中方四边形”，对角线相交于点O．对角线具有怎样的数量和位置关系？并说明理由． (3)问题解决： 如图2，点是坐标平面内的动点，以为对角线作“中方四边形”，则的最小值是多少？ 【答案】(1)④ (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． （1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，结合正方形的性质可得结论； （3）平移到，过作轴于，作于，交轴于，连接，，则，，当的最小值为长，再根据等腰直角三角形求解即可． 【详解】（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故答案为：④； （2）．理由如下： 如图，分别取、、、中点、、、，连接、、、， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵、、、中点、、、， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴． （3）如图，平移到，过作轴于，作于，交轴于，连接，，则四边形是平行四边形，是矩形， ∴，，， ∴， ∴的最小值为长， ∵， ∴，， ∵以为对角线作“中方四边形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴当时，， ∴的最小值是． 题型十三 与特殊平行四边形有关的新定义问题 45．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程） ②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、勾股定理等知识； （1）由勾股定理可得出答案； （2）过作于，交的延长线于，由（1）性质可知：，由勾股定理可得出答案； （3）以、为边作矩形，连接、，由矩形的性质得出，由题意得，求出，当、、三点共线时，最小，得出的最小值的最小值． 【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形， ， ，，， ， ． 故答案为：； （2）证明：过作于，交的延长线于， 由（1）性质可知：， 即： ， 又由勾股定理可知： ， ， 即； （3）解：①设，则， 由（2）可得， ， ； ②以、为边作矩形，连接、，如图所示： 则， 由题意得：， 即， 解得：， 当、、三点共线时，最小， 的最小值的最小值； 故答案为：． 46．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形． (1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假） (2)如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长． 【答案】(1)假 (2)是，见解析 (3)8 【分析】（1）假命题，根据命题画图验证即可； （2）根据，证得，利用全等三角形的性质，得出，，进而得出，又因为是的中点，所以得出，，再结合题意，得出四边形是奇特四边形； （3）如图，过作于，证明，设，，可得，利用四边形的面积为16，求解，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：假命题，如图， ∵，， 又∵， 而四边形不是平行四边形． （2）连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是奇特四边形． （3）如图，过作于， ∵，， ∴， 设，， ∴， ∵四边形的面积为16 ∴ ∴ ∴，而， ∴， ∵， ∴，而， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理的应用、全等三角形的性质与判定、真假命题的判断，解本题的关键在熟练掌握相关性质与定理． 47．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“幸运点”．例如：平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为，如图1，当最大时，若，则点P就是的“幸运点”．    【探究1】如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点P是的“幸运点”，请画出点P的位置； 【探究2】如图3，矩形中，对角线交于点O，，，若P是矩形上的一点，且点P是的“幸运点”，求的长； 【探究3】如图4，为等边三角形，过点A作的垂线，点D在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接． ①判断点A是否是的“幸运点”，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】[探究1]：见解析；[探究2]：或；[探究3]：①点A是否是的“幸运点”，理由见解析；②或 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等，理解题中定义，熟练运用勾股定理求解以及分类讨论是解答的关键． [探究1]根据网格特点，利用勾股定理，结合题中定义可得点P的位置； [探究2]分点P离A近和点P离B近，设，利用矩形性质和勾股定理，结合题中定义列方程求解x值即可； [探究3]①连接,利用等边三角形的性质和全等三角形的判定推导出得到，在中，利用勾股定理可得，根据题中定义可得结论； ②由①中结论得结合已知求得，若点D在A的右下方时，如图，过C作于H，在中,利用含30度角的直角三角形的性质求得，，在中，利用勾股定理求得 ；若点D在A左上方时，同理求解即可． 【详解】解：[探究1]如图，点P即为所求作：    理由：连接，，，， ∴， 则格点P是的“幸运点”； [探究2]解：若点P离A近，如图，连接，，，过O作于H，    ∵矩形中，对角线交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∴，则， 设，则，， 由勾股定理得， ， ∵点P是的“幸运点” ∴则， ∴， 整理，得，即， 解得（负值已舍去）； 若点P离B近，如图，    同理，得，， 由勾股定理得， ， ∵点P是的“幸运点” ∴则， ∴， 整理，得，即， 解得（大于的值已舍去）， 综上，满足条件的的值为或； [探究3] 点A是的“幸运点”，理由为： 连接,    ∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故点A是的“幸运点”； ②由①中结论得， ∵， ∴， 解得， 若点D在A的右下方时，如图，过C作于H，    ∵，， ∴， ∴在，， 则， 在中，， ∴； 若点D在A左上方时，如图，      同理可证， 同理可求得，， ，， ∴， 综上，的长为或． 题型十四 几何模型—中点四边形模型 48．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定． （1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形； （2）由（1）得，结合，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， ， ， 四边形的周长为：． 49．（22-23八年级下·湖南郴州·阶段练习）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)这个中点四边形的形状是 ； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)平行四边形 (2)菱形，见解析 【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定方法、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握中点四边形，证明三角形全等得出是解决问题（2）的关键． （1）连接，由三角形中位线定理得出，，，，得出，，即可得出结论； （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：中点四边形是平行四边形； 理由如下：连接，如图1所示： ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 连接与，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形． 50．（2024·浙江·模拟预测）如图是一个菱形花坛，现计划在花坛中间铺设一块草地，并修建一个水池，已知E，F，G，H分别是各边上的中点．请你解答下列问题：    (1)菱形___________（选填是/不是，下同）轴对称图形，___________中心对称图形； (2)判断草地的形状，并说明理由； (3)若水池的面积为，求草地的面积． 【答案】(1)是，是 (2)四边形是矩形，见解析 (3) 【分析】（1）根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断即可； （2）利用三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角即可． （3）连接，二线交于点O，利用三角形相似的判定和性质，菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，菱形是轴对称图形，也是中心对称图形， 故答案为：是，是． （2）解：四边形是矩形．理由如下： 连接，二线交于点O，设的交点为M， ∵E，F，G，H分别是各边上的中点． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形．   ． （3）解：连接，二线交于点O， ∵E，F，G，H分别是各边上的中点． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 连接， 则， ∴四边形，都是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为：．    【点睛】本题考查了菱形的对称性，菱形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握矩形的判定，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 题型十五 几何模型—半角模型 51．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）【模型建立】（1）如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．则，，之间的数量关系为____________． 【类比探究】（2）如图2，在四边形中，，与互补，E，F分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】（3）如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论； （2）延长至点M，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）在上截取，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：（1）， 理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使得，连接，如图： ∵与互补， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3），理由如下： 如下图中，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 52．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答． 【详解】（1）解：延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点P，使，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为： 题型十六 几何模型—对角互补模型 53．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)3 (3)16 【分析】（1）根据角平分线的性质及垂直的定义可得，，进而得四边形是正方形，再根据角的等量代换得，利用可证得，进而可求解． （2）过点P作于M，于N，根据角平分线的性质可得，利用证得，进而可得，再利用证得，进而可得，设，则，，在中，利用直角三角形的特征即可求解． （3）延长到，使，连接，根据正方形的性质可得，，利用得，进而可得，．设，利用勾股定理求得，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，，且平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点P作于M，于N，如图：   平分， ． ， ． ． 在四边形中，， 且，， ． ， ． 又 ． ． ，，设，则，． ， 解得，． ． 在中，，， ． （3）如图，延长到，使，连接．如图：    在四边形中，，且． 四边形是正方形， ，． ． 又， ． ． ，． ， ． 是等腰直角三角形． 由勾股定理，． 在中，，设，由勾股定理，， ． ． ． ． ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理、直角三角形的特征，熟练掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 题型十七 几何模型—其它模型 54．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，，直线，直线，垂足分别为点，．易证：． （1）①如图1，若，，则__________； ②如图2，，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，，求的长； 【拓展探究】（3）如图4，的图象分别交轴和轴于、两点，点是第二象限内一点，使是等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】（1）①8；②，；（2）；（3）或或 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，利用三角形全等的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：8； ②过A作轴于C，过B作轴于D，如图2，    ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 当时，， ∴； （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．    ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∴，， 当时，过点P作轴于点E，过点B作于点Q，如图所示： 同解析（1）可知：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当时，过点P作轴于点Q，如图所示： 同解析（1）可知：， ∴，， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当时，过点P作轴于点Q，如图所示： 同解析（1）可知：， ∴，， ∴， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，三角形全等的判定和性质，余角的性质，求一次函数解析式，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 55．（24-25八年级上·江西赣州·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，易得结论：． 【初步应用】 如图1，若，则_______； 如图2，，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【探究迁移】 如图3，若在四边形中，，点是边上一点，且．若，请你判断的形状，并说明理由． 【扩展应用】 请你运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，求的长． 【答案】初步应用：；； 探究迁移：是等边三角形，理由见解析； 扩展应用：的长为． 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 初步应用：根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； 如图2，证明，得，，进而可得结论； 探究迁移：根据已知条件得到根据全等三角形的判定定理即可得到结论； 扩展应用：如图4，过作于，的延长线于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】解：直线，直线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：； 如图所示，过作轴于，过作轴于， ， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ∴，， 故答案为：； 探究迁移： 解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ，， 是等边三角形； 扩展应用： 解：如图4，过作于，的延长线于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， 同理，，， ， ， ， ， 的长为． 56．（23-24八年级上·江西吉安·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：． 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积． （3）如图4，四边形中，，，，，，求的面积．    【答案】（1）详见解析 （2） （3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 【详解】证：（1）例如选第一个图形可证（同理可证第二个）    ∵， ∴ 又∵，， ∴ （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，    则由（1）易得 ， ∴， 即边上的高为4， ∴． （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为为G、H，    则由（1）易得， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即边上的高为1， ∴． $$专题05 特殊的平行四边形（17大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用矩形的性质与判定求角度 题型二 利用矩形的性质与判定求线段长 题型三 利用矩形的性质与判定求面积 题型四 利用菱形的性质与判定求角度 题型五 利用菱形的性质与判定求线段长 题型六 利用菱形的性质与判定求面积 题型七 利用正方形的性质与判定求角度 题型八 利用正方形的性质与判定求线段长 题型九 利用正方形的性质与判定求面积 题型十 与特殊平行四边形有关的折叠问题 题型十一 特殊平行四边形与函数综合 题型十二 与特殊平行四边形有关的最值问题 题型十三 与特殊平行四边形有关的新定义问题 题型十四 几何模型—中点四边形模型 题型十五 几何模型—半角模型 题型十六 几何模型—对角互补模型 题型十七 几何模型—其它模型 题型一 利用矩形的性质与判定求角度 1．（2023·广东梅州·一模）如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 题型二 利用矩形的性质与判定求线段长 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，过点A作，过点B作，相交于点E．若四边形的面积为12，求四边形的周长． 5．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，延长至点，使，连接交于点，连接，． (1)求证：； (2)若． ①若，，求的面积； ②连接，求证：． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门．门槛长为，，分别为左右门扇的底部门宽，且，关上门时，C与D重合．阳光明媚的某天，将两扇门向外开到如图2的位置（平面示意图），这时阳光正好垂直照射向门槛，因门的遮挡，在门槛上留下三线段、、，只有线段晒到太阳，且，求此时C、D间的距离．    题型三 利用矩形的性质与判定求面积 7．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，点D是的中点，点F是的中点，，连结并延长交于点E，连结． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求四边形的面积． 8．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）平行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求矩形的面积． 9．（2023·浙江宁波·三模）如图，在中，延长至点E，延长至点F，使得，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 题型四 利用菱形的性质与判定求角度 10．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的度数． 11．（23-24八年级下·浙江台州·期中）在矩形中，将点A翻折到对角线上的点M处，折痕交于点E．将点C翻折到对角线上的点N处，折痕交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，若，且，求的长． 12．（21-22八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF． (1)求证：四边形EBFD为菱形； (2)若，，求∠ABE的度数． 题型五 利用菱形的性质与判定求线段长 13．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 14．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 15．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图． 在平行四边形中，分别是 边上的点，且 ， 交于点 ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若 ，求的长． 题型六 利用菱形的性质与判定求面积 16．（2025·贵州黔东南·一模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求平行四边形的面积． 17．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 18．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 题型七 利用正方形的性质与判定求角度 19．（20-21八年级下·浙江杭州·期中）如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 20．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 21．（20-21九年级上·天津红桥·期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求的大小．（直接写出结果即可） 题型八 利用正方形的性质与判定求线段长 22．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点 (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，，求的长． 23．（24-25九年级上·辽宁·期中）如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． (1)求证：四边形是正方形． (2)当是的中点，且时，求的面积． 24．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）如图，已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为，射线与x轴正半轴交于点A、射线与y轴正半轴交于点B．若，则的周长是否会发生变化?若不变，求出的周长；若变化，请说明理由． 题型九 利用正方形的性质与判定求面积 25．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20cm，要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠），图1和图2是两种不同裁法的示意图． (1)求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数； (2)分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； (3)这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？ 26．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 27．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交点．已知，求四边形的面积． 题型十 与特殊平行四边形有关的折叠问题 28．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，P为线段上一点，连结，将沿着线段折叠，点D落在处，作交于点E． (1)证明：四边形为菱形； (2)如图1，若恰好落在平行四边形的对角线交点处，求此时的长度； (3)如图2，连结，在上取一点M（），若点M关于直线的对称点N落在的内部（包括边界），请直接写出的取值范围______． 29．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接． (1)如图1，若点落在边上，求证：； (2)如图2，若三点在同一条直线上，求的长； (3)若是以为底的等腰三角形，求的长． 30．（24-25八年级下·四川眉山·期中）将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点F的坐标； (2)如图②，点D是中点，点E在上，求的最小值； (3)如图③，折叠该纸片，使点C落在边上的点为，折痕为，点M在边上，求直线的函数解析式． 31．（2025·广东清远·一模）已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 32．（24-25九年级下·山西朔州·阶段练习）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，四边形是正方形，分别是边上两点，将正方形沿所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点交于点，连接，试猜想和的数量关系，并加以证明． 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 深入探究：（2）善思小组对图1继续研究并提出新的问题：试判断和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题． 拓展延伸：（3）勤学小组制作了如图2所示的矩形分别是上两点，将矩形沿所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点交于点，连接，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 题型十一 特殊平行四边形与函数综合 33．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，，． (1)若以A，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______； (2)、分别是直线和上的点，若以A，，、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为_______； (3)若直线经过点，且将多边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为______． 34．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B的坐标为（4，2），点D为线段上的一个动点，点E为线段上一点（不与点A重合），连结． (1)求对角线所在直线的函数表达式． (2)如图2，将沿着翻折，使点A落在平面内的点F处．若点D为对角线的中点，当点F恰好落在矩形的顶点上时，求的长． 35．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 36．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图①，在长方形中，，，点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为每秒秒时点的速度变为每秒，图②是点出发秒后，的面积与（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出的值； (2)设点运动的路程为，请写出点出发后，与的函数表达式； (3)当点出发几秒后，以点为顶点的三角形是等腰三角形． 37．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，，点E在边上（不与点B，点C重合），线段的中垂线交对角线于点F，连接，，，． (1)求证：． (2)设，．圆圆同学通过画图和测量得到以下近似数据： α 70 76 80 88 β 35 38 40 44 猜想：β关于α的函数表达式，并给出证明． (3)若，，求证：． 38．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形的四个顶点分别在反比例函数与（）的图象上，对角线轴，且于点P，已知点B的横坐标为5． (1)当时； ①若点P的纵坐标为4，求直线的函数表达式； ②若点P是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由． 题型十二 与特殊平行四边形有关的最值问题 39．（23-24八年级下·浙江台州·期末）问题：如图，分别是矩形的边，，，上的点，依次连接它们得到四边形，探究四边形周长的最小值． 探究： （）如图，分别是边和上点，在边上作一点，使得的值最小，并证明（用没有刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （）如图，求证；当四边形的周长最小时，它是平行四边形． （）如图，若矩形中，，，求四边形周长的最小值． 拓展：如图，四边形中，，，，，，，直接写出四边形的内接四边形周长的最小值． 40．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知正方形的边长是7，点为正方形内一动点． (1)当点在对角线上时． ①如图1，连接，，求证：． ②若，点是正方形边上一点，当时，求线段的长． (2)如图2，若，点是线段上一点，当时，求的最小值． 41．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两邻边分别在坐标轴的正半轴上，E为x轴正半轴上一动点，连，过点B作交y轴于点F，连，以，为邻边构造平行四边形，已知． (1)求证：； (2)当E为的中点时，求点F的坐标 (3)当点E在正方形边上运动的过程中，求的最小值 42．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，，连结，，已知，，． (1)请问点C什么位置时的值最小？最小值为多少？ (2)设，则可表示为，请直接写出的最小值为______． 43．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是 ． （2）四边形周长的最小值是 ． 44．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）定义：对于一个四池形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是____________（只需填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (2)性质探索： 如图1，四边形是“中方四边形”，对角线相交于点O．对角线具有怎样的数量和位置关系？并说明理由． (3)问题解决： 如图2，点是坐标平面内的动点，以为对角线作“中方四边形”，则的最小值是多少？ 题型十三 与特殊平行四边形有关的新定义问题 45．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程） ②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 46．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形． (1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假） (2)如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长． 47．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“幸运点”．例如：平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为，如图1，当最大时，若，则点P就是的“幸运点”．    【探究1】如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点P是的“幸运点”，请画出点P的位置； 【探究2】如图3，矩形中，对角线交于点O，，，若P是矩形上的一点，且点P是的“幸运点”，求的长； 【探究3】如图4，为等边三角形，过点A作的垂线，点D在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接． ①判断点A是否是的“幸运点”，并说明理由； ②若，，求的长． 题型十四 几何模型—中点四边形模型 48．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 49．（22-23八年级下·湖南郴州·阶段练习）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)这个中点四边形的形状是 ； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． 50．（2024·浙江·模拟预测）如图是一个菱形花坛，现计划在花坛中间铺设一块草地，并修建一个水池，已知E，F，G，H分别是各边上的中点．请你解答下列问题：    (1)菱形___________（选填是/不是，下同）轴对称图形，___________中心对称图形； (2)判断草地的形状，并说明理由； (3)若水池的面积为，求草地的面积． 题型十五 几何模型—半角模型 51．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）【模型建立】（1）如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．则，，之间的数量关系为____________． 【类比探究】（2）如图2，在四边形中，，与互补，E，F分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】（3）如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 52．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 题型十六 几何模型—对角互补模型 53．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 题型十七 几何模型—其它模型 54．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，，直线，直线，垂足分别为点，．易证：． （1）①如图1，若，，则__________； ②如图2，，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，，求的长； 【拓展探究】（3）如图4，的图象分别交轴和轴于、两点，点是第二象限内一点，使是等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标． 55．（24-25八年级上·江西赣州·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，易得结论：． 【初步应用】 如图1，若，则_______； 如图2，，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【探究迁移】 如图3，若在四边形中，，点是边上一点，且．若，请你判断的形状，并说明理由． 【扩展应用】 请你运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，求的长． 56．（23-24八年级上·江西吉安·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：． 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积． （3）如图4，四边形中，，，，，，求的面积．    $$