精品解析：浙江省温州十校联合体2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期温州十校联合体期中联考 高一年级数学学科试题 命题学校：乐清市第二中学 张翎 审题学校：永强中学 郭娟 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值. 【详解】因为平面向量，，且，则，所以. 故选：B. 2. 在中，，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得答案. 【详解】由题可得，，因，则， 则. 故选：A 3. 下列选项是真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方体的性质，举出反例，可说明ABC选项，由面面平行的性质定理可判断D选项. 【详解】如图，在正方体中， 对于A，记平面为，平面为，平面为， 则满足，但不垂直，故A错误； 对于B，记平面为，直线为，直线为， 则满足，但，故B错误； 对于C，记平面为，平面为，直线为，直线为， 则满足，但，故C错误； 对于D，由面面平行的性质定理可知，故D正确. 故选：D 4. 已知中，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数量积为0可知进而求出三角形边长，再由投影向量定义计算可得结果. 【详解】根据题意可得，由勾股定理可知； 则在上的投影向量为. 故选：C 5. 在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】注意到，则、所成角，即为与所成角，然后由题意及余弦定理可得答案. 【详解】连接、，由题可得，又， 则四边形为平行四边形，则， 即，所成角，即为与所成角或其补角， 又由题可得，， 则. 因此，异面直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 6. 一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（ ） A. 北偏东60°方向 B. 北偏西30°方向 C. 北偏西60°方向 D. 北偏东30°方向 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 7. 已知三角形重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，结合重心性质及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因，则. 又，由平面向量基本定理可得： . 则，，故三角形是等腰直角三角形. 故选：D 8. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】 根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， 三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为，内切球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， ， ，， 三棱锥 的表面积为 ， 又，， 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知非零实数，复数，，则（ ） A. 的实部为 B. 的最小值为 C. D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则逐项计算判断ABC；根据两虚数不能比较大小判断D. 【详解】因为复数，，所以， 所以的实部为，故A错误； ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B正确； 因为，所以， ，所以，故C正确； 当时，，则，又，根据两虚数不能比较大小，故D错误. 故选：BC. 10. 在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 当是棱的中点时，平面 D. 直线与平面所成的角的正切值最大为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明出平面，利用线面垂直的性质可判断A选项；利用锥体的体积可判断B选项；证明出平面平面，结合面面平行的性质可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则， 因为，，，故为等边三角形， 所以，，则，故，同理可得， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故，A对； 对于B选项，易知为等边三角形，， 因为点在上，且，则， 故，B错； 对于C选项，连接交于点，连接，取线段的中点，连接、， 因为四边形为菱形，，则为的中点， 因为点在上，且，为的中点，则， 所以为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，故平面，C对； 对于D选项，如下图所示： 由A选项可知，平面，所以直线与平面所成角为， 因为平面，所以，则， 因为是边长为的等边三角形，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，故为等腰直角三角形，则， 当时，取最小值，且最小值为， 此时，取最大值，且最大值为，D对. 故选：ACD. 11. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ） A. 周长为9 B. 若点为的外心，则 C. 内切圆的面积为 D. 的中线长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A设，，，代入面积公式求出即可；B利用数量积的几何意义计算得，即可；C利用公式 计算即可；D利用即可. 【详解】对于A，因为，故设，，， 所以， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，，，所以的周长为，故A错误； 对于B，因点为的外心， 则， 同理可得，， 则，故B正确； 对于C，记的内切圆半径为，则，即， 则，故内切圆面积为，故C正确； 对于D，因，则， 利用余弦定理可得，， 即，解得，故D正确. 故选：BCD 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数，则的虚部为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出复数的虚部. 【详解】因为，故复数的虚部为. 故答案为：. 13. 已知正三角形的边长为4，设点是以边为直径的圆上的动点，则的最大值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，边为直径的圆为，设，则，根据余弦函数的最值可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 因为正三角形边长为4， 则， 以边为直径的圆为，设， 则， 所以 ， 因为，所以的最大值为12. 故答案：12 14. 如图，已知正四面体中，侧棱长为2，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】如图做与平面SCF垂直，且过SE的平面SEG，则在SG上存在点，使，则当A，Q，三点共线时可得最小值，据此可得答案. 【详解】由题可得，平面SCF，则平面SCF. 取BC中点为G，连接EG与CF交于H，因，则平面SCF. 设P关于平面SCF的对称点为，由对称性可知，，则. 则当A，Q，三点共线时可得最小，此时， 则当时，取最小值. 在三角形中，由题可得 则. 综上，. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共13＋15＋15＋17＋17＋7步骤.） 15. 已知复数不是纯虚数，且满足. （1）求 （2）若复数是关于的方程（其中，为实数）的根，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，代入计算，利用复数相等的条件计算即可求得； （2）利用复数是方程的一个根，从而得出另一个根，再利用韦达定理即可求出结果. 【小问1详解】 由已知，设 代入并整理得： ， 解得，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，由是方程的根， 所以也是方程的根， 由一元二次方程根与系数的关系得， 得，解得，，则. 16. 在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计.灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性.现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为，下底边长为，高度为；中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为，高度为；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同. （1）求灯笼总体积. （2）灯笼所需纸张的总表面积.（备注：灯笼上下底不糊纸.） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据棱台与棱柱的体积公式计算即可； （2）利用等腰梯形的性质可求得正六棱台的侧棱长，进而求得侧面的斜高，进而可求得表面积. 【小问1详解】 . . . . 【小问2详解】 作出正六棱台的示意图所示： 由题意可得正方棱台的截面也是等腰梯形，过作于， 由题意可得，所以，所以， 由侧面是等腰梯形，且上底为，下底为，腰为， 所以梯形的高为 . . 17. 如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量.若则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作，已知点，分别在，轴，，，，为非零实数，点满足. （1）求向量在坐标系中的坐标； （2）若，，求向量在坐标系中的坐标； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）将表示成以，为基底的向量，即可得出其坐标； （2）根据向量线性运算的坐标表示并利用得到方程，解方程可求得向量的坐标； （3）得出关于坐标的表达式，再利用二次函数性质即可求得其最小值. 【小问1详解】 由可得. 即 即向量在坐标系中的坐标为； 【小问2详解】 若，则. 所以. 因为，. 即. 解得， 所以向量在坐标系中的坐标为； 【小问3详解】 因为，； 所以； 当，即时，取得最小值，最小值为. 18. 如图，多面体中，四边形为矩形，，，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件有，，利用线面垂直的判定定理，得到平面，再由面面垂直的判定定理，即可求解； （2）作于，根据条件可得平面，再利用，可得点到平面的距离，由线面角的定义，即可求解； （3）利用等体积法，即可求解. 【小问1详解】 ∵，， 又，，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. 【小问2详解】 作于，因为平面， 由（1）知平面，所以， 又，、平面， 所以平面，连结， ∵，∴点到平面的距离等于点到平面的距离， 设直线与平面所成角为， 又，， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知平面，设点到平面的距离为， 又，则，得到， 又，，， 所以. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足，. （1）求； （2）求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2）-2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，可求； （2）利用余弦定理可求得，结合三角形的面积关系可求得，利用向量的数量积的定义可求结论； （3）设，则，，，其中，利用正弦定理可得，，利用三角恒等变换和正弦曲线可求得的取值范围. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以.， 所以， 因为，所以， 可得，又，所以； 【小问2详解】 由，可得的三个内角均小于120°，又点为的费马点， 则， 由可得， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又， 故， 可得. 所以； 【小问3详解】 设，则，，， 其中， 在中，由正弦定理可得，即， 则， 在中，由正弦定理可得，即， 则， ， 又 ， 又， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期温州十校联合体期中联考 高一年级数学学科试题 命题学校：乐清市第二中学 张翎 审题学校：永强中学 郭娟 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 3. 下列选项是真命题的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，，，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 6. 一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（ ） A. 北偏东60°方向 B. 北偏西30°方向 C. 北偏西60°方向 D. 北偏东30°方向 7. 已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知为非零实数，复数，，则（ ） A. 的实部为 B. 的最小值为 C. D. 当时， 10. 在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 当是棱的中点时，平面 D. 直线与平面所成的角的正切值最大为 11. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ） A. 周长为9 B. 若点为的外心，则 C. 内切圆的面积为 D. 的中线长为 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数，则虚部为______. 13. 已知正三角形的边长为4，设点是以边为直径的圆上的动点，则的最大值为______. 14. 如图，已知正四面体中，侧棱长为2，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则最小值是______. 四、解答题（本大题共5小题，共13＋15＋15＋17＋17＋7步骤.） 15. 已知复数不是纯虚数，且满足. （1）求 （2）若复数是关于的方程（其中，为实数）的根，求. 16. 在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计.灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性.现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为，下底边长为，高度为；中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为，高度为；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同. （1）求灯笼总体积. （2）灯笼所需纸张的总表面积.（备注：灯笼上下底不糊纸.） 17. 如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量.若则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作，已知点，分别在，轴，，，，为非零实数，点满足. （1）求向量在坐标系中的坐标； （2）若，，求向量在坐标系中的坐标； （3）求最小值. 18. 如图，多面体中，四边形为矩形，，，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足，. （1）求； （2）求的值； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$