精品解析：山东省济宁市济宁学院附中教育集团2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷

2024—2025学年第二学期期中考试 初三数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是 A. B. C. D. 2. 关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，是矩形 B. 当时，是菱形 C. 当是正方形时， D. 当是菱形时， 5. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结并延长，交于点E．连结，若，则的长为（　　） A. 5 B. 8 C. 12 D. 10 7. 若关于的一元二次方程无实数根，则整数的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，则留下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，CE交BO于点E，过点B作，垂足为F，交AC于点G．现给出下列结论：①；②；③BE＋GC＝BD；④若OC＝，则．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 12. 如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为________． 13. 已知m为方程的一个根，那么的值为________． 14. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为_________． 15. 观察下列等式：第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式：，…， 按上述规律，计算________． 三、解答题（本大题共7小题，满分55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 用适当的方法解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 19. 材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料2：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如．是因为，所以的整数部分是2，小数部分是． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）若的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 20. 如图，在中，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式 例1：分解因式． 解：． ②用配方法求值 例2：已知，求的值． 解：原方程可化为：，即． ∵，， ∴，， ∴． ③用配方法确定范围 例3：，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵， ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： （1）如果（______）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． （2）已知，当_______，______时，y有最小值，最小值是_______． （3）已知，，试比较P，Q的大小． 22. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期中考试 初三数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义即可判断. 【详解】A. =，不符合题意； B. ，不符合题意； C. =，符合题意； D. =，不符合题意； 故选C. 【点睛】此题主要考查同类二次根式的识别，解题的关键是熟知二次根式的性质进行化简. 2. 关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了偶次方的非负性，根据平方根的定义即可判断，利用偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴这个一元二次方程没实数根， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件及二次根式的化简，分别进行各选项的判断即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的化简，解答本题的关键是掌握二次根式的化简． 4. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，是矩形 B. 当时，是菱形 C. 当是正方形时， D. 当是菱形时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定和性质逐个分析判断即可． 【详解】解：A、当时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，故该选项不符合题意； C、当是正方形时，由正方形的对角线可得，故该选项不符合题意； D、当是菱形时，可得，不能得到，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 5. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 6. 如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结并延长，交于点E．连结，若，则的长为（　　） A. 5 B. 8 C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设交于点O．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点O． 由作图可知：平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴ ∴ 在中，． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质及菱形的判定是解题的关键． 7. 若关于的一元二次方程无实数根，则整数的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可求解． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴，解得， ∵取最小整数且， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 8. 点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知，，根据三角形中位线的性质可知，利用勾股定理可求，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求的长度． 【详解】解：在矩形中，， ，， 又点是矩形的对角线的中点，是边的中点，， ， ， 点为的中点，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、三角形的性质，解决本题的关键是根据图形的性质求出相关线段之间的关系． 9. 如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，则留下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出大正方形的边长，进而求出大正方形的面积，然后减去两个小正方形的面积即可． 【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为3cm2和8cm2的两个小正方形， 大正方形的边长是， 留下部分（即阴影部分）的面积是（cm2）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的边长是解题关键． 10. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，CE交BO于点E，过点B作，垂足为F，交AC于点G．现给出下列结论：①；②；③BE＋GC＝BD；④若OC＝，则．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质和角平分线的定义可求∠BCE=∠ACE=22.5°，由余角的性质可求∠CBG=67.5°=∠CGB，可得BC=CG，故①正确；由“ASA”可证△ABG≌△BCE，故②正确；由全等三角形的性质可得BE=AG，由正方形的性质可得BD=AC，故③正确；由三角形的面积公式可求S△BCG=，故④正确，就可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABD=∠CBD=45°， ∵∠BCE=∠ACB， ∴∠BCE=∠ACE=22.5°， ∵CF⊥BF， ∴∠BFC=∠CFG=90°， ∴∠CBG=67.5°=∠CGB， ∴BC=CG，故①正确； ∵∠ABG=∠ABC-∠CBG=22.5°， ∴∠ABG=∠BCE， 在△ABG和△BCE中，， ∴△ABG≌△BCE（ASA），故②正确； ∴BE=AG， ∴BE+CG=AG+CG=AC=BD，故③正确； ∵BO=CO=，∠BOC=90°， ∴BC=CG==2， ∴S△BCG=CG×BO=，故④正确， 综上，①②③④均正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明△ABG≌△BCE是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】x≠-2． 【解析】 【详解】试题分析：根据分式有意义的条件：分母不为零，可得x+2≠0，解得x≠-2． 考点：分式有意义 12. 如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为________． 【答案】##54度 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到是解题的关键． 先证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点O为菱形对角线的交点， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 13. 已知m为方程的一个根，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形．根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： ． 14. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：由折叠的性质可得 设，， ∵长方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 观察下列等式：第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式：，…， 按上述规律，计算________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，分母有理化，二次根式的混合运算，找出规律后，根据运算法则进行运算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， ， ∴第个等式为：， ∴ ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，进而去括号合并即可得到答案； （2）利用乘法公式分别化简，进而合并即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 用适当的方法解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的两个实数根分别为α，β， ∴， ∵， ∴， 解得：． 19. 材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料2：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如．是因为，所以的整数部分是2，小数部分是． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）若的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 【答案】（1）4； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算： （1）先估算出，据此仿照题意可得答案； （2）先估算出，进而求出，据此可得a、b的值，最后代值计算即可． 【小问1详解】 解；∵， ∴， ∴的整数部分是4， ∴小数部分是， 故答案为：4；； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， ∴的小数部分， ∴． 20. 如图，在中，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明得到，即可求证； （2）由菱形的性质可得，，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，即得，，再利用三角形的面积可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵于点， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 21. 【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式 例1：分解因式． 解：． ②用配方法求值 例2：已知，求的值． 解：原方程可化为：，即． ∵，， ∴，， ∴． ③用配方法确定范围 例3：，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵， ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： （1）如果（______）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． （2）已知，当_______，______时，y有最小值，最小值是_______． （3）已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】（1）9 （2）4；5；2 （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法分解答即可； （2）把配方，根据非负数的性质得到a，b的值，根据函数的最值即可得到结论； （3）根据配方法即可得到结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴当，时y有最小值， ∴，， ∴当，时，最小值是2； 【小问3详解】 解： ， ∴． 22. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】（1）①45；②； （2）结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解；②由折叠的性质即可求解； （2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； （3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）略 （3）∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $