精品解析：安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（北师大版）

A10联盟2023级高二4月期中考 数学（北师大版）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性即可得到结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态分布的对称轴为， 所以, 故选：B 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【详解】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关， 所以都为正数，都为负数. 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1. 综上可得：. 故选：A. 3. 已知等差数列的公差，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由，可得，解得：，由， 则，当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：B. 4. 设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数服从参数为的超几何分布， 故至多有3个红球的概率为. 故选：D. 5. 设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（ ） A. 17 B. 16 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等差中项的性质得到关于公比的方程，求出公比，再利用等比数列的前项和公式求出的值. 【详解】已知恰为和的等差中项，可得. 设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式，将，，，代入可得： 因为等比数列中，等式两边同时除以，得到，即，进一步因式分解可得. 则或，解得或. 当时，，因为分母不能为，所以这种情况舍去. 当时，，将代入可得，把代入得. 故选：D. 6. 已知离散型随机变量的分布列如下表，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，再利用方差的性质可求得的值. 【详解】由题意可得， ， 所以. 故选：B. 7. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 8. 设数列满足，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，当时，利用递推关系式，得到（）,数列的各项裂相求和，然后在加上首项即得所求. 【详解】当  时，. 当时，利用递推关系：, 因此，（）. 当  时，项为 , 当时，项为, , 将的项与剩余项相加：. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的公差为，其前项和为，则（ ） A. B. C. 中最大 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差中项及等差数列的前项分别化简和，得到和的正负情况，然后根据等差数列的性质判断各个选项. 【详解】因为数列为等差数列， 则，可得，故A正确； 且，则，可得， 所以公差，故B正确； 结合等差数列性质可知：， 所以中最大，故C错误； 因为，且， 即，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 6 销售额（万元） 19 25 34 38 44 根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） A. 回归直线必经过样本点（4，34） B. 样本数据中，销售额的第70百分位数是36 C. D. 据此模型估计广告费用为7万元时销售额为万元 【答案】CD 【解析】 【分析】首先计算广告费用  和销售额  的平均值，代入回归直线方程求得，接下来分析各个选项即可. 【详解】 的平均值：； 的平均值：. 回归直线方程  必经过点 ，即 . 代入方程得到：，解得：， 选项A：错误，因为回归直线经过的是 ； 选项B：销售额数据从小到大排列为19， 25， 34， 38， 44，第70百分位数的位置为 ，向上取整到第4个数据38，因此选项B错误; 选项C：正确，计算结果为6.8； 选项D：代入回归方程 ，正确. 故选：CD. 11. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若均不为0且，则成等比数列 B. 若为等差数列，则为等差数列 C. 若为等比数列，则为等差数列 D. 若，则为等比数列. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等比数列的定义即可判断选项A；通过举反例，结合等差数列的定义及对数运算即可判断选项B，C；通过将条件变形为，根据等比数列的定义即可判断. 【详解】对于选项A，∵均不为0且，∴，则根据等比数列的定义可知：成等比数列，故选项A正确； 对于选项B，若为等差数列，取，则，不是常数，故根据等差数列的定义可知选项B错误； 对于选项C，若为等比数列，取，则当为奇数时为等比数列则无意义，故选项C错误； 对于选项D，∵，∴， 因，则， 根据等比数列的定义可知：数列是首项为，公比为等比数列，故选项D正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机变量的分布规律为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，解得， 所以，则. 故答案为： 13. 现有5位同学报名参加学校的足球、篮球等4个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小明报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率公式结合组合数公式求解即可. 【详解】设事件为小明报名参加足球社团，事件为两名同学参加足球社团， 则. 故答案为： 14. 数列满足，其中为函数的零点，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由为的零点，推理得到，利用此式和题设条件，将分别用表示，化简消元即得. 【详解】因为，则， 所以， 在恒成立， 所以函数在上单调递增. 当时，， 当时， ； 根据零点存在定理，可知函数在内存在零点， 且满足，即，则， . 且，可得， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 可得，， 且，则，可得. 又因为，则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）等比数列中，，，求数列的通项公式； （2）等差数列中，公差，且满足，，求数列的通项公式. 【答案】（1）或； （2）； 【解析】 【分析】（1）由等比数列的通项公式计算基本量求解即可； （2）由等差数列的通项性质得到，然后求解出，，计算出公差求解通项公式即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，， 所以，所以，所以或， 所以或. （2）在等差数列中，，又，， 所以解得，， 所以，. 16. 某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖6名同学，其中高一年级2名，高二年级3名，高三年级1名，现从中任选3人作为代表发言. （1）求选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率； （2）设表示选出的3人中高二年级的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据古典概型结合组合数计算求解； （2）应用超几何分布列出概率，再写出分布列，计算数学期望即可. 【小问1详解】 记“选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数”为事件. 若选出的3人中有高一年级1人，有种取法； 若选出的3人中有高一年级2人，有种取法； 所以. 【小问2详解】 由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3. ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义证明等比数列，再求通项公式即可； （2）运用错位相减法计算即可. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵，∴，即. ∵，∴数列是以2为首项、以2为公比的等比数列. ∴. 【小问2详解】 由（1）得，， 则， ， 相减得 ， ∴. 18. 近日，一部名为“体彩公益金助力‘村’，赛出乡村振兴新气象”的视频在网络上广泛传播，引起了大众的热烈反响.这部视频以贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村为背景，生动展现了台盘村从一个默默无闻的小村庄到因“村”而声名鹊起的历程，揭示了体育精神与乡村振兴的紧密联系.现有一支“村”球队，其中球员甲是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，球员甲是否上场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 1 30 未上场 8 合计 5 42 （1）完成列联表，并依据的独立性检验，能否认为球队的胜负与球员甲的出场有关联； （2）由于队员的不同，球员甲主打的位置会进行调整，且球员甲每场比赛只主打前锋、中锋、后卫中的一个位置.根据以往的数据统计，球员甲上场时，担任的角色为前锋、中锋、后卫的概率分为，相应球队赢球的概率分别为. ①当球员甲上场参加比赛时，判断球员甲主打哪个位置球队赢球的概率更大，并说明理由； ②当球员甲上场参加比赛时，在球队赢了该场比赛的条件下，求甲是前锋的概率. 附：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 29 1 30 未上场 8 4 12 合计 37 5 42 有关联 （2）①球员甲上场打后卫参加比赛时，球队赢球的概率最大，理由如下：设事件：甲球员上场打前锋；事件：甲球员上场打中锋； 事件：甲球员上场打后卫；事件：球队赢球； 则， ∴当球员甲上场打前峰时，球队赢球的概率为：， 当球员甲上场打中锋时，球队赢球的概率为：， 当球员甲上场打后卫时，球队赢球的概率为：， ∵，∴球员甲上场打后卫参加比赛时，球队赢球的概率最大. ② 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出的列联表，代入公式中求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解； （2）根据条件概率与全概率公式对问题进行逐一分析，进而即可求解. 【小问1详解】 根据题意，可得的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 29 1 30 未上场 8 4 12 合计 37 5 42 计算得， 因为，所以依据的独立性检验，球队的胜负与球员甲的出场有关联. 【小问2详解】 ①略 ②由①知当球员甲上场参加比赛时，球队赢球的概率为 ， 当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 球员甲是前锋的概率为. 19. 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”. （1）判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由； （2）若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式. 【答案】（1）是，理由如下： 由题意得，， 则1，2，3，7，43是“数列”. （2）不是，理由如下： 由，得， 由，得，而，∴不是“数列”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“H(1)数列”的定义，判断所给数字是否满足后一项等于前面所有项乘积加 1 的规律. （2）先根据求出、的值，再看是否满足“数列”的条件. （3）先根据和，当时求出.再继续利用这两个等式求出、，然后代入，通过解方程求出，进而求出公比，最后得到的表达式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设数列的公比为. 由，得， 由，得， ∴，解得. 由，得， 由，得， ∴，∴，∴. 由，得， 则， 解得，∴，∴，∵，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ A10联盟2023级高二4月期中考 数学（北师大版）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的公差，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（ ） A. 17 B. 16 C. 6 D. 5 6. 已知离散型随机变量的分布列如下表，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 8. 设数列满足，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的公差为，其前项和为，则（ ） A. B. C. 中最大 D. 10. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 6 销售额（万元） 19 25 34 38 44 根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） A. 回归直线必经过样本点（4，34） B. 样本数据中，销售额的第70百分位数是36 C. D. 据此模型估计广告费用为7万元时销售额为万元 11. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若均不为0且，则成等比数列 B. 若为等差数列，则为等差数列 C. 若为等比数列，则为等差数列 D. 若，则为等比数列. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机变量的分布规律为，则___________. 13. 现有5位同学报名参加学校的足球、篮球等4个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小明报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为___________. 14. 数列满足，其中为函数的零点，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）等比数列中，，，求数列的通项公式； （2）等差数列中，公差，且满足，，求数列的通项公式. 16. 某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖6名同学，其中高一年级2名，高二年级3名，高三年级1名，现从中任选3人作为代表发言. （1）求选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率； （2）设表示选出的3人中高二年级的人数，求的分布列和数学期望. 17. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18. 近日，一部名为“体彩公益金助力‘村’，赛出乡村振兴新气象”的视频在网络上广泛传播，引起了大众的热烈反响.这部视频以贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村为背景，生动展现了台盘村从一个默默无闻的小村庄到因“村”而声名鹊起的历程，揭示了体育精神与乡村振兴的紧密联系.现有一支“村”球队，其中球员甲是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，球员甲是否上场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 1 30 未上场 8 合计 5 42 （1）完成列联表，并依据的独立性检验，能否认为球队的胜负与球员甲的出场有关联； （2）由于队员的不同，球员甲主打的位置会进行调整，且球员甲每场比赛只主打前锋、中锋、后卫中的一个位置.根据以往的数据统计，球员甲上场时，担任的角色为前锋、中锋、后卫的概率分为，相应球队赢球的概率分别为. ①当球员甲上场参加比赛时，判断球员甲主打哪个位置球队赢球的概率更大，并说明理由； ②当球员甲上场参加比赛时，在球队赢了该场比赛的条件下，求甲是前锋的概率. 附：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”. （1）判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由； （2）若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $