精品解析：山东省宁津县苗场中学2024-2025学年下学期八年级数学期中试题

山东省宁津县苗场中学2024-2025学年下学期八年级数学期中试题 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题4分，共48分）． 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 2. 为了拓展学生的视野，提升学生的综合素养，某中学组织学生参加校本课程的学习活动，下面是2022年5月份随机抽取的40名学生每月参加校本课程学习课时进行的统计： 学习课时/节 4 5 6 7 8 人数/人 9 11 11 5 4 请根据学生参加校本课程学习课时数，判断下列说法正确的是（ ） A. 样本为40名学生 B. 平均数是5.6节 C. 中位数是6节 D. 众数是11节 3. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ） A. 150 B. 200 C. 225 D. 无法计算 4. 已知一次函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. y随x增大而增大 C. 图象不经过第一象限 D. 函数的图象一定经过点 5. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么与只需满足（ ） A. 垂直 B. 相等 C. 互相平分 D. 互相平分且垂直 7. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若一组数据a1，a2，…，an的平均数为10，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是（ ） A. 13，4 B. 23，8 C. 23，16 D. 23，19 10. 如图，在中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且，．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分，那么四边形AEDF是菱形；④如果，AD平分，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 11. 现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（ ） A. B. C. D. 12. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的关系如图：①甲乙两地之间的距离是480千米；②快车的速度；③点的坐标为；④当快车到达乙地时，慢车距甲地132千米：⑤慢车出发和时，两车相距．其中说法正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题4分，共24分）． 13. ________． 14. 若一组数据3，4，x，5，8的平均数是4，则该组数据的中位数是__________． 15. 如图，函数y1＝﹣2x和y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，m），则关于x的不等式﹣2x≥ax+3的解集是_____． 16. 若，是方程的两个实数根，则的值为________． 17. 如图， 正方形的对角线相交于点O，E， F分别为边上一点， 且连接，若， 则的长为 _______． 18. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 三、解答题（共78分）． 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 20. 某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：____，____，____； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 21. 如图，ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF． （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）若AD=4，∠DAB=60°，求四边形AFED的面积． 22. 如图，直线的表达式为，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式： （2）求点的坐标； （3）若在轴上存在一点，使得的面积是的面积的倍，请直接写出点的坐标． 23. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元． ①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 24. 【阅读材料】 一般地，我们把按一定顺序排列的一列数称为数列；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式来计算等差数列的和，公式中的表示数的个数，表示第一个数的值． 例如：，，，，，，，，，． 就是一个等差数列，公差，，， 所以． 用上面的知识解决下列问题 【完成任务】 （1）等差数列：，，，，，，，，，，，，，，．则，_____，_____； 【能力提升】 （2）有一等差数列的和为，用式子表示为：，求这个数列中数的个数； 【延伸拓展】 （3）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为、、、四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木， 2011年 2012年 2013年 2014年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25. 问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． （1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省宁津县苗场中学2024-2025学年下学期八年级数学期中试题 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题4分，共48分）． 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且， 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2. 为了拓展学生的视野，提升学生的综合素养，某中学组织学生参加校本课程的学习活动，下面是2022年5月份随机抽取的40名学生每月参加校本课程学习课时进行的统计： 学习课时/节 4 5 6 7 8 人数/人 9 11 11 5 4 请根据学生参加校本课程学习课时数，判断下列说法正确的是（ ） A. 样本为40名学生 B. 平均数是5.6节 C. 中位数是6节 D. 众数是11节 【答案】B 【解析】 【分析】根据样本、平均数、中位数、众数的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A．由题意，样本为40名学生每月参加校本课程学习课时数，故该选项错误，不合题意； B．平均数，故该选项正确，符合题意； C．将已知40个数据按从小到大顺序排列，第20个数据为5，第21个数据为6，因此中位数是5.5节，故该选项错误，不合题意； D．由题意，众数为5节、6节，故该选项错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查统计相关知识，掌握样本、平均数、中位数、众数的定义是解题的关键． 3. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ） A. 150 B. 200 C. 225 D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可进行解答． 【详解】解：∵四边形和四边形为正方形， ∴， ， ∵在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 4. 已知一次函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. y随x增大而增大 C. 图象不经过第一象限 D. 函数的图象一定经过点 【答案】D 【解析】 【分析】将点坐标代入一次函数解析式，解出k，再判断即可． 【详解】点坐标代入一次函数解析式，得： 解得： A选项错误 一次函数解析式为： k＜0，b＞0 图像经过一，二，四象限 y随x增大而减小 故B选项错误，C选项错误 时， D选项正确 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图像与系数的关系，注意时，k被抵消，此时 ，意味着不管k为多少，直线过定点． 5. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，先根据数轴判断的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ 故选A． 6. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么与只需满足（ ） A. 垂直 B. 相等 C. 互相平分 D. 互相平分且垂直 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据菱形的判定定理解答即可． 【详解】解：连接、， 、分别是、的中点， ， 同理可得，，，， 当时，， 四边形为菱形， 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，只需满足， 故选：B． 【点睛】本题考查的是菱形的判定、三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键． 7. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，，即，正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； 故选：B． 8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺， 在中，，即． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用． 9. 若一组数据a1，a2，…，an的平均数为10，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是（ ） A. 13，4 B. 23，8 C. 23，16 D. 23，19 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的概念、方差的性质解答． 【详解】数据a1，a2，…，an的平均数为10，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数为 数据a1，a2，…，an的方差为4，么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的方差为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数和方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍． 10. 如图，在中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且，．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分，那么四边形AEDF是菱形；④如果，AD平分，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定可判断①；根据矩形的判定可判断②；先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据菱形的判定即可判断③，结合③的结论，根据正方形的判定即可判断④． 【详解】解：， 四边形是平行四边形，结论①正确； ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形，结论②正确； 平分， ， ， ， ， ， 又∵四边形是平行四边形， 四边形是菱形，结论③正确； 由③已证：当平分时，四边形是菱形， 又， 菱形是正方形，结论④正确； 综上，正确的结论是①②③④， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法是解题关键． 11. 现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆柱体水晶杯侧面展开，作A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图是柱体水晶杯侧面展开图的一半， 作A关于的对称点，连接，交于点F，连接，则，． 作交的延长线于点D，则四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴即为最短距离， ∵底面周长为， ∴ ∵高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与一滴蜂蜜相对的点A处， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 12. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的关系如图：①甲乙两地之间的距离是480千米；②快车的速度；③点的坐标为；④当快车到达乙地时，慢车距甲地132千米：⑤慢车出发和时，两车相距．其中说法正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的关系图进行分析，分别求出快车和慢车的速度，即可判断； 【详解】解：由图可知，甲乙两地之间的距离是480km；故①正确； 在03小时，慢车和快车一起行驶了3小时，34小时快车出故障停止前行，仅有慢车行驶，则慢车的速度为；则快车的速度为；故②正确； 由②可知B点的横坐标为，纵坐标为，即；慢车行驶时间为，所以；故③正确； 由③可知，所以从相遇后，快车行驶了5.8-3=2.8h，所以当快车到达乙地时，慢车距甲地的距离为：故④正确； 在快车出故障前两车相距所用的时间为：，在快车出故障后，慢车行驶1h行驶60km，然后两车共同行驶了200-60=140km，共同行驶时间为：，则两车相距200km所用的时间为4+0.875=4.875km，故⑤错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键在于读懂题意并结合关系图，准确求出快车和慢车的速度． 二、填空题（每小题4分，共24分）． 13. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键； 先根据二次根式的性质进行化简，再进行乘除运算，最后算加减； 【详解】解：， 故答案为： ． 14. 若一组数据3，4，x，5，8的平均数是4，则该组数据的中位数是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先根据平均数为4，求出x的值，然后根据中位数的概念求解． 【详解】解：根据题意可得，=4， 解得：x=0， 这组数据按照从小到大的顺序排列为：0，3，4，5，8， 则中位数为：4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 15. 如图，函数y1＝﹣2x和y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，m），则关于x的不等式﹣2x≥ax+3的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接结合图象及交点的横坐标即可得出答案． 【详解】当时，函数的图象在函数图象的上方， ∵函数y1＝﹣2x和y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，m）， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与不等式，数形结合是解题的关键． 16. 若，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】2019 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 结合根与系数的关系可得，即可解决问题． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2019 17. 如图， 正方形的对角线相交于点O，E， F分别为边上一点， 且连接，若， 则的长为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意证明，所以，则是等腰直角三角形；过点作，解三角形即可得出的长，进而可求出的长．本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含的直角三角形的三边关系等相关知识，解题关键是得出是等腰直角三角形． 【详解】解： 在正方形中，和为对角线， ，，， ， ； ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； 过点作于，如图， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 18. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，如图所示，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键． 三、解答题（共78分）． 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用公式法解答，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， ∴， 解得：， 【小问2详解】 解：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，． 20. 某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：____，____，____； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）85，85，80； （2）解：七年级决赛成绩较好，理由如下： 由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高， 故七年级决赛成绩较好； （3）（分）， ∴七年级代表队选手成绩比较稳定． 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，掌握相关定义和公式，是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数的计算方法，计算即可； （2）根据平均数和中位数的大小关系进行说明即可； （3）根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可． 【小问1详解】 解：七年级的平均分，众数， 八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数； 故答案为：85，85，80； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF． （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）若AD=4，∠DAB=60°，求四边形AFED的面积． 【答案】 （1）证明：∵AE为∠DAB的角平分线 ∴∠DAE=∠EAF ∵AB//CD ∴∠DEA=∠EAF ∴∠DAE=∠DEA ∴AD=DE ∵AD=AF ∴DE=AF ∵DE//AF ∴四边形AFED为平行四边形 ∵AD=DE ∴四边形AFED是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，AE为∠DAB的角平分线，可得∠DAE=∠EAF，根据ABCD，AB//CD，得到∠DEA=∠EAF，等量代换得到∠DAE=∠DEA，所以得到AD=DE，因为AD=AF，得到DE=AF，又因为DE//AF，所以可证四边形AFED为平行四边形，因为AD=DE，所以可证明四边形AFED是菱形； （2）连接DF交AE于点O，因为∠DAB=60°，所以△DAF为等边三角形，因为AD=4，可得DF=4，DO=2，AO=，AE=，根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入数据即可求出结果． 【详解】解：（1）略 （2）连接DF交AE于点O，如图所示： ∵∠DAB=60°，DA=AF ∴△DAF为等边三角形 ∵AD=4 ∴DF=4，DO=2 ∴AO=，AE= ∴S四边形AFED==． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定以及菱形的面积公式，熟练菱形的判定方法和菱形面积公式是解决本题的关键． 22. 如图，直线的表达式为，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式： （2）求点的坐标； （3）若在轴上存在一点，使得的面积是的面积的倍，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一次函数的表达式的求法、一次函数的图象与坐标轴的交点问题． 设直线的表达式为，把点，的坐标代入，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； 解方程组，即可求出点的坐标； 根据点，的坐标计算出的面积，根据的面积是的面积的倍，可知的面积是，根据三角形的面积公式可以求出的长度，分点在点的左侧或右侧两种情况求出点的坐标． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为， 把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：解方程组， 解得：， 点坐标为； 【小问3详解】 解：点，的坐标分别为，， ，， 的面积为， 的面积是的面积的倍， 的面积为， 点坐标为， ， 解得：， 当点在点左侧时，点的横坐标是， 点的坐标是， 当点在点右侧时，点的横坐标是， 点的坐标是， 点坐标为或． 23. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元． ①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元； （2）①w与m的函数关系式为；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元． 【解析】 【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可； （2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得； ②由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元； 【小问2详解】 解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元， 由题意得：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴， 解得：， ∴w与m的函数关系式为； ②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134， ∴当时，w最大，最大值， 则， 答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 24. 【阅读材料】 一般地，我们把按一定顺序排列的一列数称为数列；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式来计算等差数列的和，公式中的表示数的个数，表示第一个数的值． 例如：，，，，，，，，，． 就是一个等差数列，公差，，， 所以． 用上面的知识解决下列问题 【完成任务】 （1）等差数列：，，，，，，，，，，，，，，．则，_____，_____； 【能力提升】 （2）有一等差数列的和为，用式子表示为：，求这个数列中数的个数； 【延伸拓展】 （3）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为、、、四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木， 2011年 2012年 2013年 2014年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 【答案】（1）；；（2）（3）年 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，数字类规律，一元二次方程的应用； （1）根据题意代入数据，即可求解； （2）根据题意代入数据，解方程，即可求解． （3）设再过年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：第一个数字是，公差为，共有个数字， 即，，， ∵， ∴ ， 故答案为：1；3；330； （2）由题意得：第一个数字是，公差为， 即，， 设共有个数字， ∵， ∴； 解得：，即； （2）解：由表可知，第一年种了：（公顷）， 第二年种了：（公顷）， 第三年种了：（公顷）， 公差为（公顷）， 设再过年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得 ， 整理得：， 或（负值舍去）． 完成年份为：； 答：到年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 25. 问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． （1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 解：，且， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是构造三角形从而使用中位线定理、作构造直角三角形． （1）证，得出，，再证即可； （2）连并延长交于G，求出长，再根据中位线的性质求出即可； （3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接并延长交于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵正方形的边长为4，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，过点B作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $