8.6.3平面与平面垂直第1课时课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6.3 平面与平面垂直 第一课时 1 1、理解二面角的概念，会求简单的二面角； 2、理解平面与平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理； 3、通过本节内容的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算等素养. 重点：二面角的概念，平面与平面垂直的判定定理和性质定理 难点：平面与平面垂直的判定定理和性质定理 教学目标 两个平面平行 两个平面相交 ：没有公共点 1、空间中平面与平面的位置关系 ：有无数个公共点 当两个平面相交时，垂直是一种重要的关系，如何定义两平面垂直？ 复习回顾 用角度刻画 思考1：下列平面与平面相对于平面的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 在上一节，我们利用两直线所成的角（夹角）刻画了两条相交直线或者异面直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况. 类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直. 新知探究 ●直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. ●平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面. 射线 射线 半平面 半平面 新知探究 1、二面角的定义及表示 1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. l A B β α ．P ．Q 棱 若棱记作，这个二面角记作二面角或. 记法：①棱为，面为、的二面角记作二面角. ②也可在、内(棱以外的半平面部分)分别取点、， 将这个二面角记作二面角. 新知探究 二面角的画法 l     l 平卧式 A B   直立式 A B   新知探究 思考2: 我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？ 新知探究 2、二面角的平面角： 如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. A B O 二面角的平面角必须满足： ③角的边都要垂直于二面角的棱 ①角的顶点在棱上 ②角的两边分别在两个面内 新知探究 思考2:∠AOB的大小与点O在直线上的位置有关吗？为什么？ α β B 。 O A B1 。 O1 A1 二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。 二面角的范围：[ 0o, 180o ]． ① 二面角的两个面重合： 0o； ② 二面角的两个面合成一个平面：180o； ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角． O A B 异面直线所成角：___________，线面角：____________. (0°, 90°] [0°, 90°] 无关，根据等角定理. 新知探究 α P 观察： 教室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角？ 分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及度数？ 新知探究 如图，在三棱锥中，，.作出二面角的平面角，并求出它的余弦值. 证明：取的中点，连接，， 由已知条件得，，又， 通过解三角形可得二面角的平面角的余弦值为 教材P164 T18 小试牛刀 方法总结:求二面角的大小关键是作出平面角,求二面角大小的步骤: (1)找出这个平面角; (2)证明这个角是二面角的平面角; (3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小 总结提升 定义：一般地，如果两个平面相交，且其所成二面角为直二面角，则两个平面垂直。 记作： 画法： 3.平面与平面垂直的定义 在明确两个平面互相垂直的定义的基础上，我们来研究两个平面垂直的判定和性质。 新知探究 观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？从中你能得到什么启发？ 猜想：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 新知探究 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 4.平面与平面垂直的判定定理: 符号语言：，. 图形语言： β a A α 直线与平面垂直 平面与平面垂直 直线与直线垂直 转化 转化 新知探究 定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 证明：设，∵，，∴. 在平面β内过B点作直线， 则就是二面角的平面角， ∵，，∴. ∴二面角是直二面角，∴. β α B A 已知，，证明. 新知探究 例1.如图，在正方体中，求证：平面平面. 证明：∵是正方体， ∴平面， ∴. 又，， ∴平面，而平面， ∴平面平面. 典例分析 例2.如图所示，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点.求证：平面平面. 证明：∵平面，平面, ∴. ∵点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径， ∴，即， 又，平面，平面， ∴平面. 又平面 ∴平面平面. 典例分析 教材158页 1. 如图，检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了. 这是为什么? 解：转动时，如果尺边与这个面密合，则说明另一尺边垂直于这个面，根据平面与平面垂直的判定定理可得，工件相邻两个面互相垂直. 课堂练习 教材158页 2. 已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( ). (A) α⊥γ，β⊥γ (B) α∩β＝a，b⊥a，b⸦β (C) a//β，a//α (D) a//α，a⊥β D 课堂练习 3. 如下页图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么? 解：平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD 平面ABC⊥平面ACD ，理由如下： 教材158页 课堂练习 ∵ABC-A'B'C'是正三棱柱，∴AA'⊥平面ABC. 又BD平面ABC，∴AA'⊥BD. ∵△ABC是正三角形，且D是AC的中点，∴ AC⊥BD， 又AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'， 又BD平面BDC'，∴平面BDC'⊥平面ACC'A'. 证明1： 4. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是棱AC的中点. 求证：平面BDC′⊥平面ACC′A′. B D C A′ B′ C′ A 教材159页 课堂练习 5： 在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1­BD­A的正切值为________． O 新知探究 一、二面角的定义与表示方法 二、二面角的平面角 三、二面角的平面角的作法 四、二面角的计算 五、面面垂直的定义及判定定理 课堂小结 谢谢观看 解：如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O. ∵A1D＝A1B，O为BD的中点，∴A1O⊥BD. 又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD， ∴∠A1OA为二面角A1­BD­A的平面角． 设AA1＝1，则AO＝eq \f(\r(2),2)，∴tan∠A1OA＝eq \f(1,\f(\r(2),2))＝eq \r(2). $