8.6.2直线和平面垂直第2课时课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6.2直线与平面垂直 第二课时 1 1、掌握直线与平面垂直的性质； 2、能利用定理进行简单的证明； 3、理解线面距、面面距的概念； 4、通过学习本节知识，提升直观想象、逻辑推理素养. 重点：直线与平面垂直的性质 难点：直线与平面垂直的性质，能利用定理进行简单的证明 教学目标 下面我们研究直线与平面α垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论. 由定义，a与α内所有直线都垂直 根据已有经验，我们可以探究直线a与平面α内的直线的关系 性质1：若a⊥α，m⊂α，则a⊥m 下面我们继续探究直线a、α与其它直线或平面的关系 新知探究 观察:（1）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在 直线线都垂直于平面ABCD. 它们之间具有什么位置关系？ 平行 结论：垂直于同一个平面的两条直线平行. 思考1:我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行， 那么在空间中是否也有类似的结论？ 新知探究 c β b’ . O 证明：假设a与b不平行. 记直线b和α的交点为O,显然点O不在直线a上 所以点O与直线a可确定一个平面， 在该平面内过O作 b′∥a. 直线b 与b′是相交与点O的两条不同直线， 所以直线b 与b′确定平面β， 设α∩β=c ∵a⊥α , b⊥α 又∵b′∥a，∴b′⊥c. 这样在平面β内过点O有两条直线b和b′都垂直直线c , 显然不可能! ∴a∥b. ∴a⊥c,b⊥c, 求证： 新知探究 垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言： 作用：判断线线平行 线面垂直 线线平行 线面垂直的性质定理： 直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”的关系。 新知探究 性质2：若a⊥α，b α，且b⊥a，则b//α. 性质3：若α//β，l⊥α，则l⊥β. α β 思考2：在a⊥α的前提下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得出什么结论？ 如果平面β与平面α平行，你又能得出什么结论？ b 你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗？ 新知探究 例5 如图，直线l平行于平面α求，求证：直线l上各点到平面α的距离相等. 证明： α A A1 β B B1 l 过直线l上任意两点A, B分别作平面α的垂线AA1, BB1, 垂足分别为A1, B1. ∵AA1⊥α，BB1⊥α， ∴AA1//BB1. 设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α=A1B1. ∵l // α，l⊂β，β∩α=A1B1. ∴l//A1B1， ∴四边形AA1B1B是矩形， ∴AA1=BB1. ∵A，B是直线l上任意两点，∴直线l上各点到平面α的距离相等. 通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平面间的距离. 棱台体积公式推导(棱台的高就是两底面间的距离) A D B C A′ B′ C′ D′ O O′ P (S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高) 例6 推导棱台的体积公式 新知探究 教材155页 1. 已知直线a, b和平面α, 且a⊥b, a⊥α, 则b与α的位置关系是______________. 平行或在平面内 课堂练习 α A A1 B B1 2. 已知A, B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，求证：直线AB//α. 解： 过A, B两点分别作平面α的垂线AA1, BB1, 垂足分别为A1, B1. 则 又A1B1 ⊂ α，AB⊄α， 又由线面垂直的性质定理得：AA1//BB1. ∴AB // α. ∴AB//A1B1. ∴四边形AA1B1B是矩形. AA1=BB1， 教材155页 课堂练习 3. 如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点. 求证：DF//平面ABC. D A F B E C M 教材155页 解： 取AB的中点M，连接FM，CM. ∴DF // 平面ABC. ∴DF//CM. ∴四边形DCMF是平行四边形. ∴FM DC， 又DF ⊄平面ABC，CM⊂平面ABC， EA和DC都垂直于平面ABC，得EA//DC 又EA=2DC，所以EA 2DC， F、M分别为EB、AB的中点，所以EA 2FM. 课堂练习 4. 求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行. (提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.) 证明： 已知：如图，m⊥α，m⊥β，求证：α // β. γ a′ a δ b′ b β α m 教材155页 课堂练习 2.转化思想： 平行关系 垂直关系 1.直线和平面垂直的性质定理： 一种证明直线和直线平行的方法； 欲证线线平行，考虑证这两线与某一平面垂直。 课堂小结 谢谢观看 $$