8.6.2直线与平面垂直第1课时课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6.2 直线与平面垂直 （第一课时） 1 1、理解直线与平面垂直的定义； 2、掌握直线与平面垂直的判定定理，并能运用定理进行简单的证明； 3、理解线面角的概念，能求简单的线面角的大小； 4、通过学习本节内容，提升直观想象、逻辑推理、数学运算等素养. 重点：直线与平面垂直的定义；直线与平面垂直的判定定理，线面角的概念 难点：直线与平面垂直的判定；求线面角的大小 教学目标 1.异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 如果两条异面直线所成的角为直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b. 复习回顾 空间中直线与平面有几种位置关系？    a a a a a∥ a∩＝A A 复习回顾 4 观察 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识. 比如，旗杆与底面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我们直观的认识到直线与平面垂直. 探究一：直线和平面垂直 新知探究 A B α a b 观察 如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？ 直线AB与其影子BC所在直线始终保持 垂直 实际上，直线AB与地面任意一条直线 都是垂直的。 新知探究 1. 直线与平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. l P α 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平 面的平行四边形的一边垂直. 符号语言：若l⊥α，a⊂α，则l⊥a. a 性质：平面α的垂线垂直平面α内的任意直线. 说明：由线面垂直的定义得： 即：线面垂直 线线垂直 新知探究 思考1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条? 如图，假设过点P两条直线垂直于同一平面 设直线确定的平面为，且， 由线面垂直的定义可知，, 这与“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾 所以，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 新知探究 2、点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. P l α 棱锥的高=棱锥的顶点到底面的距离 O 新知探究 若用直线与平面垂直的定义进行判定，则无法验证直线与平面内的所有直线垂直. 那么，有没有可行的办法？ 探究 准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD, DC与桌面接触). 观察： (1) 折痕AD与桌面垂直吗？ (2) 如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？ 为什么？ 3. 直线与平面垂直的判定 不一定 折痕AD为BC边上的高. 垂直关系不变 AD⟂BD,AD⟂CD 新知探究 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 符号表示： 思考2： 定理中的两条相交直线能否改成平行直线，如果改成“无数条直线”呢？ 不能 线线垂直 线面垂直 新知探究 例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α. 证明： 如图，在平面α内取两条相交直线m，n. ∵a⊥α， ∴a⊥m， a⊥n. 又∵a//b， ∴b⊥m， b⊥n. 又m⊂α，n⊂α，且m,n是两条相交直线. ∴b⊥α. 结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (证明线面垂直的另一方法) 新知探究 证明线面垂直的方法总结： ① 线面垂直的定义． ② 线面垂直的判定定理． ③ 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 新知探究 在正方体ABCD-A′B′C′D′中 ∵ DD′⊥正方形ABCD，DD′⊥AC 证明：连接BD A B D C A′ B′ C′ D′ ∵AC、BD 为对角线∴AC⊥BD ∵DD′∩BD=D ∴AC⊥平面D′DB 且BD′⊂面D′DB ∴AC⊥BD′ 思考：求证BD′⊥平面B′AC 例2.已知正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC 异面的体对角线.求证：AC⊥BD′ 新知探究 教材152页 证明： B D C S A 追问：判断直线AC与SB的位置关系． 课堂练习 教材152页 解：连接AC, BD, 当AC⊥BD时, A′C⊥B′D′. 理由如下： 3. 如图，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时， A′C⊥B′D′？ ∵在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中， AA′⊥底面ABCD. BD ⊂底面ABCD， ∴AA′⊥BD. 若AC⊥BD，而AA′∩AC=A. 则BD⊥平面AA′C， 而A′C ⊂平面AA′C ， ∴则BD⊥A′C. 又∵BB′//DD′，且BB′=DD′， ∴四边形BB′D′D是平行四边形， ∴BD//B′D′， 因此B′D′⊥A′C. D A C A' B' C' D' B 课堂练习 证明：(1) 证明：(2) 如图，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角θ，叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成的角实际上就是直线与直线在平面内的射影所成的角. 当直线与平面垂直时，它与平面所成的角为90°，当直线与平面平行时，它与平面所成的角为0°，所以，直线与平面所成的角的范围为[0°, 90°]. 思考3：过点A任意画一条直线m（与直线AO不重合）, 设直线l与m所成的角为，与的大小关系怎样？ 5. 直线与平面所成的角 例4 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. 解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1， B D C A1 B1 C1 D1 A O ∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1， ∴BC1⊥平面A1DCB1. ∴A1O是A1B在平面A1DCB1内的射影. ∴∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角. ∴ A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. ∴BO= A1B，∠BA1O=30°. 在Rt△A1BO中， A1B=a，BO= a. 求直线与平面所成的角的步骤： (1) 作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角转化为平面角，过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算； (2) 定角：证明某平面角就是斜线与平面所成的角； (3) 计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 练习 － － － － － － － － － － 教材152页 不一定 1. 如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？ 4. 过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α ，垂足为O，连接PA，PB，PC. (1) 若PA=PB=PC，则点O是△ABC的____心. (2)若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的____点. (3) 若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点是△ABC的____心. B C P A O • B C P A O • B C P A O • D F E 外 中 垂 练习 － － － － － － － － － － 教材152页 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线 与此平面垂直. 3.直线与平面垂直的判定定理： 1. 直线与平面垂直的定义: 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 2.直线与平面垂直的性质： 若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直平面α内的任意直线. 课堂小结 谢谢观看 2. 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD. 求证：AC⊥平面SDB. 补充练习：如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于 ⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足． (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足． (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. Lavf58.12.100 变式1 在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点. 求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值． 解：取AA1的中点M，连接EM，BM. ∵E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，∴EM∥AD. 又在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1， ∴EM⊥平面ABB1A1， 从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影， ∴∠EBM是直线BE与平面ABB1A1所成的角． 设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝ eq \r(22＋22＋12)＝3. 于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq \f(EM,BE)＝eq \f(2,3)， 即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为eq \f(2,3). $$