第12讲 等腰三角形的判定（新教材）（2个知识清单+5类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第12讲 等腰三角形的判定 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01根据等角对等边证明等腰三角形....................................................................................................................................2 题型02根据等角对等边证明边相等............................................................................................................................................3 题型03根据等角对等边求边长.....................................................................................................................................................6 题型04等腰三角形的性质和判定................................................................................................................................................11 题型05倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)....................................................................................................................15 分层练习.........................................................................................................................................................................................17 夯实基础.........................................................................................................................................................................................17 能力提升.........................................................................................................................................................................................43 知识点1．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点2．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 题型01根据等角对等边证明等腰三角形 1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由． 题型02根据等角对等边证明边相等 3．如图，中，，，、的平分线、交于点．过点作，分别交、于点、，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 4．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知平分，，点是的中点．请说明．    解：因为平分（已知）， 所以______（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（______）． 所以______（______）． 所以（______）． 因为点是的中点（已知）， 所以（______）． 题型03根据等角对等边求边长 5． 如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 6．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，已知，的平分线交于点D，，且，如果点E是边的中点，那么的长为 ． 7．综合与实践——折纸中的数学 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．将长方形纸片（长方形的对边平行且相等，四个内角都是直角），按下列要求折叠． (1)如图1，将长方形纸条沿直线折叠，点C落在处，点D落在处，交于点G． ①若，则________； ②若，求的度数． (2)在图1的基础上，将四边形沿某一直线折叠，使得或落在直线上，折痕为，则折痕有怎样的位置关系，并说明理由． (3)若，按图2方式折叠，点在一条直线上．若四边形的面积记为，四边形的面积记为，则的值是否有最大值？若有，求出这个值；若没有，请说明理由． 题型04等腰三角形的性质和判定 8．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（    ） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 9．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么 度． 10．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 题型05倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 11．（七年级下·上海·专题练习）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，是的边的中线．    (1)画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形； (2)若，，求的长的取值范围． 夯实基础 一、单选题 1．如图，中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里 4．如图，，，、分别平分、， ．则＝（　　） A．3 B．11 C．7 D．8 5．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在BA的延长线上，连接，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在中，，则是 三角形． 7．在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件： ． 8．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，且BC＝BD，AC＝AE，则∠DCE的度数为 ． 9．如图，平分，交于点，若，则 ．    10．在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是 ． 11．在中，，点在线段上，点在射线上，连接与射线相交于点，且是中点，则 ． 12．过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为 ． 13．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ． 14．已知在中，，，过其中一个顶点的直线把分成两个等腰三角形，则 ． 15．如图，是由绕点O顺时针旋转得到的图形，点D在线段上．图中相等的线段有 ；图中等于的角有 ；图中的全等三角形是 ；图中的等腰三角形是 ．    三、解答题 16．如图，，，交于点．求证：是等腰三角形． 17．已知：如图，在中，D，E分别是上的点，，．求证：是等腰三角形． 18．把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画示意图说明剪法． 19．（项目式学习）【探究学习】用不同方式表示同一图形的面积可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为“面积法”．请利用“面积法”自主探究三角形高线之间的数量关系． 【问题情境】如图，在中，，点为边所在直线上任意一点，连接．已知分别是、的高． (1)利用三角板在图、图中分别作中边上的高； (2)图中之间的数量关系为______________； (3)如图，当点在延长线上时，判断之间的数量关系，并说明理由． 20．已知：如图，中，，E在的延长线上，．若，求的长． 21．如图，在中，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请解决下列问题（以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括）： (1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，这2个等腰三角形的顶角的度数分别是多少？ (2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形，分别写出这4个等腰三角形； (3)继续以上操作可以发现，在中画n条线段，则图中有_______个等腰三角形，其中有_______个黄金等腰三角形． 22．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 能力提升 一、单选题 23．一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7 24．如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 25．如图，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为 ． 26．如图，在中，分别是和的平分线，且，，则的周长是 ． 三、解答题 27．如图，在中，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请解决下列问题（以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括）： (1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，这2个等腰三角形的顶角的度数分别是多少？ (2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形，分别写出这4个等腰三角形； (3)继续以上操作可以发现，在中画n条线段，则图中有_______个等腰三角形，其中有_______个黄金等腰三角形． 28．在中，，点在边上，点在边上，连接、． (1)若，则的度数为________； (2)若是的中点，，求证：； (3)若分别是的中线和角平分线，，求的度数； (4)连结，若， ①当是边上的高，且时，求的度数为________； ②当不是边上的高时，请判断与之间的关系，并加以证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 等腰三角形的判定 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01根据等角对等边证明等腰三角形....................................................................................................................................2 题型02根据等角对等边证明边相等............................................................................................................................................3 题型03根据等角对等边求边长.....................................................................................................................................................6 题型04等腰三角形的性质和判定................................................................................................................................................11 题型05倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)....................................................................................................................15 分层练习.........................................................................................................................................................................................17 夯实基础.........................................................................................................................................................................................17 能力提升.........................................................................................................................................................................................43 知识点1．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点2．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 题型01根据等角对等边证明等腰三角形 1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】先利用三角形的内角和定理求解第三个角的大小，再判断即可． 【详解】解：由， ∴三角形中有两个角相等，是等腰三角形，故A符合题意； 由， ∴三角形不是等腰三角形，故B不符合题意； 由， ∴三角形不是等腰三角形，故C不符合题意； 由， ∴三角形不是等腰三角形，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，三角形的内角和定理的应用，熟记等腰三角形的判定方法是解本题的关键． 2．（七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由． 【答案】理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】由角平分线的定义得∠ABF＝∠DBF，再根据三角形内角和与三角形的外角，可得∠AEF＝∠AFE，进而可判定△AEF是等腰三角形． 【详解】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠DBF， 又∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴， ∴∠AFE＝∠DEB， 又∵∠DEB＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴△AEF是等腰三角形． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形的内角和，三角形的外角，等腰三角形的判定等知识，解题的关键在于明确角度的数量关系． 题型02根据等角对等边证明边相等 3．如图，中，，，、的平分线、交于点．过点作，分别交、于点、，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答． 【详解】解：平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 的周长为：14， 故选：C． 4．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知平分，，点是的中点．请说明．    解：因为平分（已知）， 所以______（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（______）． 所以______（______）． 所以（______）． 因为点是的中点（已知）， 所以（______）． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、根据三线合一证明、根据等角对等边证明边相等、三角形角平分线的定义 【分析】根据角平分线和平行线的性质可得，再由等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一，即可得出结论． 【详解】解：因为平分（已知）， 所以（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 所以（同一个三角形中，等角对等边）． 因为点是的中点（已知）， 所以（等腰三角形三线合一）． 【点睛】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 题型03根据等角对等边求边长 5． 如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，然后即可得到ED和DF的值，然后根据线段的和差即可求得EF的值. 【详解】解：∵△ABC的内角∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC ∵EFBC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EBD=∠EDB， ∴DE=BE=9 同理：DF=CF=5， ∴EF=DE-DF=9-5=4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键. 6．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，已知，的平分线交于点D，，且，如果点E是边的中点，那么的长为 ． 【答案】16 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边等知识．由角平分线可知，由平行可知，则，由等角对等边可知，然后根据计算求解即可． 【详解】解：∵的平分线交于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是边中点， ∴， 故答案为：16． 7．综合与实践——折纸中的数学 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．将长方形纸片（长方形的对边平行且相等，四个内角都是直角），按下列要求折叠． (1)如图1，将长方形纸条沿直线折叠，点C落在处，点D落在处，交于点G． ①若，则________； ②若，求的度数． (2)在图1的基础上，将四边形沿某一直线折叠，使得或落在直线上，折痕为，则折痕有怎样的位置关系，并说明理由． (3)若，按图2方式折叠，点在一条直线上．若四边形的面积记为，四边形的面积记为，则的值是否有最大值？若有，求出这个值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或，理由见详解 (3)的值有最大，最大值为27，理由见详解 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边求边长、折叠问题 【分析】（1）①由题意可知，根据折叠的性质可得，然后可得，进而可求解；②由①的思路及三角形内角和可得，然后问题可求解； （2）由题意可分当落在直线上和当落在直线上，然后根据折叠的性质可进行分类求解； （3）由折叠的性质可知，然后根据（2）中的结论可知，若要使的值最大，则需满足的面积最小，即当时，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①由长方形可知：， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为； ②由①可知：， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：或，理由如下： 当落在直线上时，如图所示： 由（1）可知， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 当落在直线上，如图所示： 由折叠的性质可知， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：的值有最大，最大值为27，理由如下： 由按图2方式折叠，点在一条直线上，即可由（2）知： ， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴若要使的值最大，则需满足的面积最小，即当时，此时， ∴的面积最小值为9， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质、平行线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的判定是解题的关键． 题型04等腰三角形的性质和判定 8．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（    ） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ，， ，都是等腰三角形．故①正确， ，，即有，故②正确， 的周长．故③正确， 不一定相等，故④错误， 故选：C． 9．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么 度． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据题意可得，由，，可得，结合，可推出，，再根据三角形的外角性质求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ，，，点在直线上， ， 又， ，， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和判定，由等腰三角形性质和三角形内角和、外角的性质证明角相等是解题关键． （1）根据等腰三角形性质求出，再由直角三角形两锐角互余即可求出． （2）先根据等边对等角证明，等腰三角形三线合一和同角的余角相等证明，进而由，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴ （2）∵， ∴， ∵，AD为中线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴ 题型05倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 11．（七年级下·上海·专题练习）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】延长至点，使得，可证，可得，，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得， 在和中， ， ， ， 中，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 12．如图所示，是的边的中线．    (1)画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形； (2)若，，求的长的取值范围． 【答案】(1)作图见详解 (2)的长的取值范围 【知识点】三角形三边关系的应用、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处； （2）由（1）可得，可知，，在中，根据三角形三边数量关系，可求出的取值范围，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所述，以点为对称中心旋转，得，    ∴与关于点成对称中心图形． （2）解：由（1）可知，与关于点成对称中心图形， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴的长的取值范围． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的作图及性质，三角形三边关系的运用，掌握以上知识的运用是解题的关键． 夯实基础 一、单选题 1．如图，中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，，可得，，由三角形内角和定理可知，即，由此可求出，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴，是等腰三角形， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 2．如图，在中，，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的等角对等边解答即可． 【详解】解：， 是等腰三角形， ， 故选：C． 3．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里 【答案】C 【分析】由上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的时速向正北航行，10时到达海岛B处，可求得AB的长，又由∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，可得∠C＝∠NAC，即可证得BC＝AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离． 【详解】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里）， ∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°， ∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°， ∴∠C＝∠NAC， ∴BC＝AB＝30海里． 即从海岛B到灯塔C的距离是30海里． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握等角对等边是解题的关键． 4．如图，，，、分别平分、， ．则＝（　　） A．3 B．11 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 5．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在BA的延长线上，连接，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得，，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意，由旋转的性质可得，， ∵，点的对应点在BA的延长线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、等腰三角形的判定与性质、补角和余角等知识，熟练掌握图形的旋转的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题 6．在中，，则是 三角形． 【答案】锐角等腰 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角等腰三角形， 故答案为：锐角等腰． 7．在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件： ． 【答案】（或） 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的定义与判定方法是解本题的关键． 【详解】解：∵中，，要使为等腰三角形， ∴可添加（或）． 故答案为：（或） 8．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，且BC＝BD，AC＝AE，则∠DCE的度数为 ． 【答案】45°/45度 【分析】根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程． 【详解】解：∵AC=AE，BC=BD， ∴设∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y， ∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°， ∵∠ACB+∠A+∠B=180°， ∴90°+（180°-2x）+（180°-2y）=180°， ∴x+y=135°， ∴∠DCE=180°-（∠AEC+∠BDC）=180°-（x+y）=45°． 故答案为：45°． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键． 9．如图，平分，交于点，若，则 ．    【答案】1 【分析】根据平分，推出，根据推出，等量代换得到，最后根据等角对等边，即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；等角对等边． 10．在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是 ． 【答案】3＜m＜13 【分析】延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ADB和△CDE中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE=AB， 在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE， ∵CE=AB=5，AE=8， ∴8-5＜AC＜8+5， ∴3＜AC＜13， ∴3＜m＜13． 故答案为：3＜m＜13． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题． 11．在中，，点在线段上，点在射线上，连接与射线相交于点，且是中点，则 ． 【答案】或 【分析】据题意画出两个图形分两种情况，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，等腰三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在线段上，点在射线上，两种情况求解； ①如图1，点在线段上， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴． ②如图2，点在射线上， 同理①可求，， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，等腰三角形的判定与性质等知识．分类讨论是解题的关键． 12．过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况画出图形，①当，时，设，得．．由，则，即可得到；②当，，时，设．得．则，则，得． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图（1），    当，时，设． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． ②如图（2），    当，，时，设． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 综上，原等腰三角形顶角的度数为或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 13．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ． 【答案】10°或100° 【分析】分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 在中，，， ， 由作图可知：， ， ； 由作图可知：， ， ， ， ． 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法． 14．已知在中，，，过其中一个顶点的直线把分成两个等腰三角形，则 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．本题要利用三角形内角和定理求解．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论． 【详解】解：①如图1， 当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则，， 设， 则，， ， ， ， 解得， 则的值为； ②如图2， ，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 则的值为． ③如图3， 当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 则的值为． ④如图4， 当，时，也符合， ，， ，， 则， 解得． 则的值为或或或． 故答案为：或或或． 15．如图，是由绕点O顺时针旋转得到的图形，点D在线段上．图中相等的线段有 ；图中等于的角有 ；图中的全等三角形是 ；图中的等腰三角形是 ．    【答案】 【分析】由旋转的性质知，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，即可求得，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质知， ∴，，， ∴，∴， ∴， ∴， ∵，∴是等腰三角形， 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 三、解答题 16．如图，，，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行的性质及等腰三角形的判定，利用平行线的性质可证，进而可证得，再根据等腰三角形的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：， ， 又， ， ， 是等腰三角形． 17．已知：如图，在中，D，E分别是上的点，，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】利用平行线的性质和，得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定．熟练掌握两直线平行，同位角相等，以及等角对等边，是解题的关键． 18．把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画示意图说明剪法． 【答案】能，理由见解析 【分析】根据等腰三角形的性质与判定结合三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：能办到，理由如下： 如图：，， 将沿折叠，点落在点处即可； ∵，， ∴， ∵将沿折叠，点落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即均为等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴沿图中剪两刀即可得出三个等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键． 19．（项目式学习）【探究学习】用不同方式表示同一图形的面积可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为“面积法”．请利用“面积法”自主探究三角形高线之间的数量关系． 【问题情境】如图，在中，，点为边所在直线上任意一点，连接．已知分别是、的高． (1)利用三角板在图、图中分别作中边上的高； (2)图中之间的数量关系为______________； (3)如图，当点在延长线上时，判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解； (2)； (3)，理由见详解． 【分析】本题主要考查了画三角形的高，用高线表示三角形的“面积法”，等腰三角形的性质，解题的关键是找准面积之间的数量关系． （1）在图、图中分别过点作，如图，图所示； （2）根据和，即可求解； （3）根据和，即可求解． 【详解】（1）解：在图、图中分别过点作，如图，图所示； ； （2）解：， ， ， ； 故答案为：； （3）解：之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， ． 之间的数量关系为：． 20．已知：如图，中，，E在的延长线上，．若，求的长． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后根据垂直的定义和对顶角的性质证明∠E=∠EFA即可求解． 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵ED⊥BC， ∴∠EDB=∠EDC=90°， ∴∠B+∠BFD=90°，∠C+∠E=90°， ∴∠BFD=∠E， ∵∠BFD=∠EFA， ∴∠E=∠EFA， ∴AF=AE=5． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，等腰三角形的性质与判定，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 21．如图，在中，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请解决下列问题（以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括）： (1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，这2个等腰三角形的顶角的度数分别是多少？ (2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形，分别写出这4个等腰三角形； (3)继续以上操作可以发现，在中画n条线段，则图中有_______个等腰三角形，其中有_______个黄金等腰三角形． 【答案】(1)图见解析，分别是和 (2)图见解析，（答案不唯一） (3)；n 【分析】本题主要考查等腰三角形、规律总结等知识；解题的思路：首先理解题意，什么是黄金等腰三角形，怎么去画等腰三角形；几何题目都需要结合图形才有利于解答，所有要画图分析；最后根据画的图分析并总结出线段的数量与等腰三角形的个数的规律． （1）可以根据的条件，并利用平行线的知识画一条与三角形一边平行的线段，就可以求出2个等腰三角形的度数； （2）根据（1）和材料分析，画1条线段是利用平行的知识来作图，那么2条线段也可以的，3条也可以的，了解其画图的方法，那么就可以画出图形，并数出等腰三角形的个数； （3）根据（2）的图形规律，可以总结线段的数量与等腰三角形的个数之间的规律 【详解】（1）解：如图1所示： ∵， ∴当，则，则，则 ∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是和． 故答案为：和 （2）解：如图所示： ， 四个等腰三角形为（答案不唯一）； （3）解：根据（2）可知：如图所示： 画1条直线可得到2个等腰三角形； 画2条直线可得到4个等腰三角形； 画3条直线可得到6个等腰三角形； … 在中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中n个黄金等腰三角形． 故答案为，n 22．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 能力提升 一、单选题 23．一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7 【答案】D 【分析】如图，延长BD至E，使DE=BD，证明△ADE≌△CDB得到AE=BC=9，根据三角形的三边关系求得BE的取值范围即可求解． 【详解】解：如图，在△ABC中，AB=5，BC=9，BD是△ABC的中线，则AD=CD， 延长BD至E，使DE=BD=x， 在△ADE和△CDB中， ， ∴△ADE≌△CDB（SAS）， ∴AE=BC=9，又AB=5， ∵在△BAE中，AE－AB＜BE＜AB+AE， ∴9－5＜BE＜9+5， ∴4＜2x＜14， ∴2＜x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键． 24．如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键． 二、填空题 25．如图，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，得到，，利用等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵将在平面内绕点A旋转到的位置， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握旋转角相等，对应边相等，是解题的关键． 26．如图，在中，分别是和的平分线，且，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由题意易得和都是等腰三角形，然后由三角形周长公式及等量代换进行求解即可． 【详解】解： ，分别是和的角平分线， ， ，， ， ， 同理可得， ， ； 故答案为：． 三、解答题 27．如图，在中，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请解决下列问题（以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括）： (1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，这2个等腰三角形的顶角的度数分别是多少？ (2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形，分别写出这4个等腰三角形； (3)继续以上操作可以发现，在中画n条线段，则图中有_______个等腰三角形，其中有_______个黄金等腰三角形． 【答案】(1)图见解析，分别是和 (2)图见解析，（答案不唯一） (3)；n 【分析】本题主要考查等腰三角形、规律总结等知识；解题的思路：首先理解题意，什么是黄金等腰三角形，怎么去画等腰三角形；几何题目都需要结合图形才有利于解答，所有要画图分析；最后根据画的图分析并总结出线段的数量与等腰三角形的个数的规律． （1）可以根据的条件，并利用平行线的知识画一条与三角形一边平行的线段，就可以求出2个等腰三角形的度数； （2）根据（1）和材料分析，画1条线段是利用平行的知识来作图，那么2条线段也可以的，3条也可以的，了解其画图的方法，那么就可以画出图形，并数出等腰三角形的个数； （3）根据（2）的图形规律，可以总结线段的数量与等腰三角形的个数之间的规律 【详解】（1）解：如图1所示： ∵， ∴当，则，则，则 ∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是和． 故答案为：和 （2）解：如图所示： ， 四个等腰三角形为（答案不唯一）； （3）解：根据（2）可知：如图所示： 画1条直线可得到2个等腰三角形； 画2条直线可得到4个等腰三角形； 画3条直线可得到6个等腰三角形； … 在中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中n个黄金等腰三角形． 故答案为，n 28．在中，，点在边上，点在边上，连接、． (1)若，则的度数为________； (2)若是的中点，，求证：； (3)若分别是的中线和角平分线，，求的度数； (4)连结，若， ①当是边上的高，且时，求的度数为________； ②当不是边上的高时，请判断与之间的关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)①，②，证明见解析 【分析】（1）由等腰三角形性质、垂直定义及三角形内角和定理求解即可得到答案； （2）根据等腰三角形三线合一性质、互余及垂直定义判定即可得证； （3）根据等腰三角形性质、角平分线定义求解即可得到答案； （4）①由是边上的高，得到，根据等腰三角形的性质得到即可得到结论；②根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，是的中线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴； （4）解：①是边上的高， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ； ②， 证明如下： ，， ，， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线定义、垂直定义、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$