第11讲　反比例函数 2025年中考数学一轮专题复习（广东专版）

第11讲　反比例函数 第三单元 内容索引 01 考点·梳理整合 02 考题·自测体验 03 考法·分类全析 04 考点·巩固迁移 考点·梳理整合 考点一 反比例函数的概念 一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成　　　　　(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.  y= 考点二 反比例函数的图象和性质 1.图象 (1)反比例函数y=的图象是由　 　　组成的.  (2)反比例函数y=的图象不经过原点(0,0). (3)反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形. 2.性质 当k>0时,反比例函数y=图象的两支曲线分别位于第　　　　象限内,每一个象限内,y的值随x值的增大而　　　　;当k<0时,反比例函数y=图象的两支曲线分别位于第　　　　象限内,每一个象限内,y的值随x值的增大而　　　　.  两支曲线 一、三 减小 二、四 增大 考点三 反比例函数y=(k≠0)中“k”的几何意义 1.如图3-11-1,过反比例函数图象上任意一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|. ∵y=,∴xy=k.∴S=|k|,即过曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积为　 　　.  图3-11-1 |k| 2.如图3-11-1,过曲线上的任意一点E作EF垂直于y轴,垂足为F,连接EO,则S△EOF=,即过曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所 得三角形的面积为　　　　.  图3-11-1 考点四 反比例函数的简单应用 一般步骤 (1)找准实际问题中成反比例关系的两个变量,或根据已知的图象,设出表达式　　　 　　　.  (2)代入已知条件或者图象上一个点的坐标,求出k的值. (3)写出表达式,并根据表达式结合自变量取值范围,应用_______________　　　　　　　　　解答问题.   y=(k为常数,k≠0) 反比例函数的性质 考题·自测体验 1.(2022四川内江)如图,在平面直角坐标系中,点M为x轴正半轴上一点,过点M的直线l∥y轴,且直线l分别与反比例函数y=和y=的图象交于P,Q两点.若S△POQ=15,则k的值为(　　). A.38 B.22 C.-7 D.-22 D 2.(2021广东广州)一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=图象上的两个点,若x1<x2<0,则 y1　　　　　y2.(填“<”“>”或“=”)  3.(2023广东)某蓄电池的电压为48 V,使用此蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)的函数表达式为I=.当R=12 Ω时,I为　　　　 A.  > 4 4.(2024广东深圳)如图,在平面直角坐标系中,四边形AOCB为菱形, tan∠AOC=,且点A落在反比例函数y=的图象上,点B落在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k=　　　　.  8 5.(2022江苏常州)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A,B,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C,连接OC,已知点B(0,4),△BOC的面积是2. (1)求b,k的值; (2)求△AOC的面积. 解:(1)∵一次函数y=2x+b的图象过点B(0,4), ∴b=4,∴一次函数表达式为y=2x+4. ∵OB=4,△BOC的面积是2, ∴OB·xC=2,即×4×xC=2,∴xC=1. 把x=1代入y=2x+4,则y=6,∴C(1,6). ∵点C在反比例函数y=(x>0)的图象上, ∴k=1×6=6. (2)把y=0代入y=2x+4,则2x+4=0,解得x=-2.∴A(-2,0).∴OA=2. ∴△AOC的面积为×2×6=6. 6.(2021广东)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k>0)的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=图象的一个交点为P(1,m). (1)求m的值; (2)若PA=2AB,求k的值. 解:(1)∵P为反比例函数y=图象上一点,∴m==4,即m=4. (2)令y=0,即kx+b=0,∴x=-,∴A(-,0). 令x=0,则y=b,∴B. ∵PA=2AB,∴由图象得,可分为以下两种情况: ①当点B在y轴正半轴时(如图点B1),b>0, ∵PA1=2A1B1,过点P作PH⊥x轴交x轴于点H, 又B1O⊥A1H,∠PA1H=∠B1A1O, ∴△A1OB1∽△A1HP,∴, ∴B1O=PH=4×=2,∴b=2, ∴A1O=OH=1,∴=1,且k>0,∴k=2. ②当点B在y轴负半轴时(如图点B2),b<0,过点P作PQ⊥y轴, ∵PQ⊥B2Q,A2O⊥B2Q,∠A2B2O=∠PB2Q, ∴△A2OB2∽△PQB2,∴, ∴A2O=PQ=,B2O=B2Q=OQ=|b|=2. ∵b<0,∴b=-2,且k>0,∴k=6. 综上,k=2或k=6. 考法·分类全析 考法1反比例函数的表达式 1.反比例函数y=(k为常数,k≠0)的表达式中只有一个常数k,k可以通过两个变量的任意一对对应值(即图象上任意一点的坐标)来求得,只要k确定了,这个函数就确定了. 2.反比例函数y=也可记为y=kx-1,其中k是常数,k≠0. 例1 如图3-11-2,在平面直角坐标系中,菱形ABOC的顶点O为坐标原点,边BO在x轴的非正半轴上,∠BOC=60°,顶点C的坐标为(m,3),反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交于点D,连接BD,当BD⊥x轴时,k的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　 A.6 B.-6 C.12 D.-12 解析:因为∠BOC=60°,顶点C的坐标为(m,3),所以可利用三角函数得,解得m=-3,利用勾股定理进而求得OC=6,根据菱形的性质得出OB=6,∠BOA=30°,再利用三角函数求得BD的长,从而得出D(-6,2),把点D的坐标代入反比例函数表达式可求出k=-12. 答案:D 方法点拨 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征,即若点P(a,b)在反比例函数y=(k是常数,k≠0)的图象上,则k=ab. 考法2反比例函数的图象 根据反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象所在的象限可以确定k的取值范围;反之,根据k的正负,也可以确定反比例函数图象的位置. 例2反比例函数y=的图象如图3-11-3,则一次函数y=kx-k的图象大致是(　). 图3-11-3 解析:根据反比例函数的图象经过第一、第三象限,可知k>0,所以可排除C,D.因为(0,-k)是一次函数图象与y轴的交点,-k<0,所以交点在y轴的负半轴上,故选B. 答案:B 方法点拨 本题根据反比例函数的图象在第一、第三象限,确定k的正负,由k的正负可确定直线y=kx-k所经过的象限. 考法3反比例函数的性质 反比例函数中y的值随x值的变化而变化的前提是在同一条曲线上或在同一象限内. 例3已知函数y=(k<0)的图象上有三点M,N,P,则y1,y2,y3的大小关系是(　　). A.y2>y3>y1 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 解析:由y=(k<0)的图象在第二、第四象限,可知在每个象限内,y的值随x值的增大而增大. 又-<-<0<,所以M,N(-,y2)在第二象限,点P在第四象限,故y2>y1>0,y3<0.故选项B正确. 答案:B 方法点拨 本题也可通过代入三个点的横坐标,分别求出相应的y1,y2,y3的值,再比较它们的大小,但最快捷、直观的方法就是采用数形结合法. 易错提醒 在运用反比例函数的性质时容易忽视“在同一象限内”这一限制条件,因此,在运用性质前,一定要判断所给点所在的象限. 考法4反比例函数中系数“k”的几何意义 由于y=(k是常数,k≠0)也可变形为xy=k(k是常数,k≠0),由此可知,过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线,所得的矩形的面积均为定值|k|.需要注意的是,根据相应的面积,确定反比例函数表达式时,要注意结合反比例函数图象所在的象限确定k的符号,避免k的符号错误. 例4如图3-11-4,在平面直角坐标系中,点P是反比例函数y=(x>0)图象上的一点,分别过点P作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3,则k的值为(　　). 图3-11-4 A.3 B.-3 C. D.- 解析:由题意知,矩形OAPB的面积S=|k|=3,解得k=±3. 又反比例函数的图象在第一象限,所以k=3. 答案:A 方法点拨 利用反比例函数y=中“k”的几何意义求经过反比例函数图象上的点的有关几何图形的面积很简捷. 考法5一次函数与反比例函数的综合 当k1,k2同号时,可知反比例函数y=(k1≠0)图象与直线y=k2x(k2≠0)有交点,且它们的交点坐标为(a,b)与(-a,-b). 比较反比例函数的值与一次函数值的大小时,要充分利用函数图象进行分析判断,同时,要把直线与反比例函数图象的交点作为界点进行分析,且不能忽略反比例函数中的自变量x≠0. 例5如图3-11-5,在平面直角坐标系中,一次函数y=-x+m的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于A,B两点,已知A(2,4). 图3-11-5 (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)求点B的坐标; (3)连接AO,BO,求△AOB的面积. 解:(1)将A(2,4)的坐标代入y=-x+m与y=(x>0)中,得4=-2+m,4=,解得m=6,k=8. 故一次函数的表达式为y=-x+6,反比例函数的表达式为y=. (2)解方程组故B(4,2). (3)如图,设直线y=-x+6与y轴交于点D,易得D(0,6),则OD=6. 故S△AOB=S△DOB-S△AOD=×6×4-×6×2=6. 方法点拨 在解决一次函数与反比例函数的综合问题时,联立表达式或利用对称性求出交点坐标往往是解题的突破口;求三角形的面积时,一般情况是利用割补法,转化为易求面积的图形的面积的和或差. 考法6反比例函数的应用 实际问题中的反比例函数,往往自变量的取值受到限制,这时,对应的函数图象是反比例函数图象的一部分. 例6某市的蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(单位:℃)随时间x(单位:h)变化的函数图象如图3-11-6,其中BC段是反比例函数图象y=(k是常数,k≠0)的一部分.请根据图中信息解答下列问题: 图3-11-6 (1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多少小时? (2)求k的值. (3)当x=16时,大棚内的温度为多少摄氏度? 解:(1)由题图知,恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有10 h. (2)由点B(12,18)在双曲线y=(k是常数,且k≠0)上,可知18=,解得k=216. (3)当x=16时,y==13.5, 即当x=16时,大棚内的温度为13.5 ℃. 考点·巩固迁移 1.设点A(x1,y1)和B(x2,y2)是反比例函数y=图象上的两个点,当x1<x2<0时,y1<y2,则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是(　　). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4),下列说法正确的是(　　). A.反比例函数y2的表达式是y2=- B.两个函数图象的另一个交点坐标为(2,-4) C.当x<-2或0<x<2时,y1<y2 D.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大 A C 3.已知点A(-1,y1),B(1,y2)和C(2,y3)都在反比例函数y=(k>0)的图象上,则 　　<　　<　　.(填“y1”“y2”或“y3”)  4.如图,反比例函数y=(x>0)的图象与Rt△BOC的斜边OB交于点A,与边BC交于点D.若,且S△BOD=21,则k=　　　　.  y1　 y3 y2 8 5.如图,反比例函数y=的图象过点A(-1,4),直线y=-x+b(b≠0)与反比例函数图象在第二、四象限分别相交于P,Q两点,与x轴、y轴分别相交于C,D两点. (1)求k的值. (2)当b=-2时,求△OCD的面积. (3)连接OQ,是否存在实数b,使得S△OCD=S△ODQ?若存在,请求出b的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)由A(-1,4)在反比例函数y=图象上,可知k=-1×4=-4. (2)由b=-2,可知直线CD的表达式为y=-x-2. 故C(-2,0),D(0,-2),即CO=2,DO=2. 故S△OCD=CO·DO=2. (3)存在实数b使得S△OCD=S△ODQ. ①当b<0时,如图1,过点Q作QE⊥y轴,垂足为E. 由y=-x+b可得C(b,0),D(0,b),∴OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC=45°. ∴∠EDQ=∠DQE=45°.∴DE=EQ. ∵S△OCD=S△ODQ,∴DO·CO=DO·QE. ∴CO=QE.∴Q(-b,2b). 又点Q在反比例函数y= 图象上,∴-b·2b=-4. ∴b2=2.∴b=±.∵b<0,∴b=-. ②当b>0时,如图2,S△OCD<S△ODQ. 综上所述,当b=-时,S△OCD=S△ODQ. 图1 图2 6.越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行.某日,李老师决定用骑行代替开车从家去公园.当路程一定时,李老师骑行的平均速度v(单位:千米/时)是骑行时间t(单位:时)的反比例函数.根据以往的骑行两地的经验,v,t的一些对应值如下表: t/时 2 1.5 1.2 1 v/(千米/时) 12 16 20 24 (1)根据表中的数据,求李老师骑行的平均速度v关于骑行时间t的函数解析式; (2)安全起见,骑行速度一般不超过30千米/时.李老师上午8:30从家出发,请判断李老师能否在上午9:10之前到达公园,并说明理由; (3)据统计,汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳.请计算李老师从家骑行到公园的过程中二氧化碳的减排量. 解:(1)根据题表中数据可知,vt=24,即v=,故平均速度v关于骑行时间t的函数解析式为v=. (2)在上午9:10之前不能到达公园,理由: 从上午8:30到上午9:10用时40分钟,即小时,当t=时,v==36(千米/时), ∵骑行速度不超过30千米/时,∴在上午9:10之前不能到达公园. (3)由题意知,李老师从家骑行到公园的距离为24千米, 故李老师从家骑行到公园的过程中二氧化碳的减排量为24×0.2=4.8(千克). 本 课 结 束 $$