复数的概念与四则运算、复数的几何意义与代数意义、复数新定义问题专项训练-2025届高三数学三轮复习

复数：复数的概念与四则运算、复数的几何意义与代数意义、复数新定义问题专项训练 复数：复数的概念与四则运算、复数的几何意义与代数意义、复数新定义问题 专项训练 考点一 复数的概念与四则运算 1．（2025·青海西宁·二模）若与均为实数，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【详解】因为，所以，所以, 则． 故选：C． 2．（2025·广东深圳·二模）已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 对A，， ，，故A正确； ， ，，故B正确； ， ，故C错误； ，， ，故D正确； 故选：C. 3．（2025·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由得， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 4．（2025·湖南·三模）若复数满足，则的实部为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由已知条件知：. 所以. 所以该复数的实部为-1. 故选：A. 5．（2025·湖南·一模）若复数为实数，则实数a等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】， 又为实数，所以，解得. 故选：C 6．（2025·甘肃白银·三模）已知复数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，所以． 故选：D. 7．（2025·甘肃白银·三模·多选）已知复数，则（    ） A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【详解】， ，A正确； ，B正确； 不是纯虚数，C错误； 在复平面内对应的点位于第四象限，D正确. 故选：ABD. 8．（2025·四川成都·模拟预测·多选）若复数，则下列说法正确的是（   ） A．是纯虚数 B． C．复数对应的点在第四象限 D． 【答案】AD 【详解】因，则，则，是纯虚数，故A正确； 因，则，故B错误； ，对应的点为，在第一象限，故C错误； ，故D正确. 故选：AD 9．（2025·浙江金华·二模·多选）已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设，则， A选项，，所以A选项正确. B选项，，所以B选项正确. C选项，，， 所以C选项正确. D选项，设，则， 则，所以D选项错误. 故选：ABC 10．（2025·甘肃甘南·模拟预测·多选）已知复数z满足，则（   ） A． B．在复平面内z对应的点在曲线上 C． D．的虚部为2 【答案】ACD 【详解】对于A，设， 由，得， 所以，即，解得 所以，故A正确； 对于B，在复平面内z对应的点为，当时，， 所以点不在曲线上，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 所以的虚部为2，故D正确． 故选：ACD． 11．（2025·陕西西安·模拟预测）已知复数（）为正实数，则 ． 【答案】2 【详解】由题意得解得． 故答案为：2. 12．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 13．（2025·湖南湘潭·三模）复数的实部与虚部之和为 ． 【答案】4 【详解】因为， 所以z的实部为1，虚部为3，和为4， 故答案为:4． 14．（2025·山东·一模）若复数满足，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，则，故. 故答案为：. 15．（2025·天津红桥·二模）若为虚数单位，且则实数 . 【答案】 【详解】因为 所以解得：. 故答案为：. 16．（2025·天津南开·二模）是虚数单位，若复数满足，则 ． 【答案】/ 【详解】∵， ∴， 故答案为：. 考点二 复数的几何意义与代数意义 1．（2025·安徽·三模）已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【详解】设，由， 则，所以， 解得，所以，当且仅当时取等号， 所以有最小值，无最大值． 故选：C 2．（2025·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上， 由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知. 故选：D 3．（2025·吉林·模拟预测）设复数满足，则在复平面上表示的图形是（   ） A．直线 B．直线 C．圆 D．抛物线 【答案】B 【详解】设复数在复平面中对应的点为， 设，，则的几何意义为， 即点的轨迹为的中垂线，方程为. 故选：B 4．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．（1，3） D． 【答案】D 【详解】由可理解为复数表示的点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆， 而则可理解为圆上的点到原点的距离，作出图形如下. 如图，当点在时，与原点距离最大为3，当点当点在时，与原点距离最小为1， 故的取值范围是. 故选：D. 5．（2025·湖南长沙·一模）已知复数，满足，在复平面内对应的点为，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以表示以为圆心，1为半径的圆， 表示以为圆心，2为半径的圆， 因此由，得点所在区域的面积为. 故选：C 6．（2025·山东济宁·二模）已知是关于的方程的一个根，则（ ） A．2 B．3 C．5 D． 【答案】D 【详解】将代入有：， 化简整理有，即，解得， 所以， 故选：D. 7．（2025·山东潍坊·二模）已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 由韦达定理得，解得， ，则，故D正确. 故选：D 8．（2025·重庆·二模）若是关于的方程的虚数根，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】将代入可得， 化简可得， 故且，解得，， 故选：C 9．（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 【答案】D 【详解】由题可得，复数， 又实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数，则， 则，， 则由韦达定理可知，， 所以，故A,B错误； 又，则且，故C错误； 由于，则与为方程的两根， 因为，则与也为方程的根，故D正确. 故选：D． 10．（2024·湖北荆州·模拟预测）复数是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由方程得， 由求根公式可得， 不妨设，. 则， 故选：B 11．（2025·陕西宝鸡·二模）已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】将代入中可得，解得， 故，故， 因此另一个虚数根为，故其虚部为1， 故选：A 12．（2025·贵州毕节·一模）已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】复数满足， 则， 是关于的方程的一个根， 则也是关于的方程的一个根， 故，解得． 故选：B． 13．（2025·福建龙岩·二模·多选）已知复数，则（   ） A．复数的模长为2 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．复数是方程在复数集内的解 D．若复数满足，则 【答案】ACD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，故B错误； 对于C，将代入方程，得，故C正确； 对于D，设复数对应向量为，复数对应的向量为， 由得，，对应点在圆心为半径为1的圆上， 所以，即，故D正确； 故选：ACD． 14．（2025·江苏南京·模拟预测·多选）若复数 ，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【详解】复数， 对于A，，A错误； 对于B，在复平面内对应的点位于第四象限，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由，得在复平面内复数对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 表示该圆上的点与点的距离，所以的最大值为，D正确. 故选：BCD 15．（2025·广东汕头·一模·多选）已知复数，（x,），则下列结论正确的是（   ） A．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆 B．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线 【答案】AD 【详解】根据复数的几何表示知： 对A，方程表示到定点的距离等于2的动点轨迹，即圆，A正确； 对B，方程表示到定点与距离的和为2的动点轨迹，而与的距离也为2，所以z在复平面内对应点的轨迹为线段，B错误； 对C，方程表示到定点与的距离的差为1的动点轨迹，即双曲线的一支，C错误； 对D，方程表示到定点与的距离相等的动点轨迹，即线段的中垂线，D正确． 故选：AD 16．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 【答案】/ 【详解】已知，则. 因为，所以， 表示复数所对应的点到所对应的点的距离， 说明对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上半径，即. 故答案为：. 17．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【答案】 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 考点三 复数新定义问题 1．（2025·河南郑州·三模·多选）群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（   ） A．（为虚数单位）关于数的乘法构成群 B．有理数集关于数的加法构成群 C．关于数的除法构成群 D．正实数集关于数的乘法构成群 【答案】ABD 【详解】对于A选项： 因为，可以计算里面任意两个元素的乘积结果都属于集合. 因为数的乘法满足结合律，对于复数也不例外. 存在，对于，当时，. 当时，;当时，. 集合也满足逆元，关于数的乘法能够构成群，所以A选项正确. 对于B选项： 对于任意两个有理数，它们的和仍为有理数；有理数的加法也满足结合律. 存在，对于，有. 对于任意的，存在，使得. 所以有理数集关于数的加法构成群，B选项正确. 对于C选项： 取，无意义，不满足对任意的， 有，所以不满足封闭性，C选项错误. 对于D选项： 任意两个正实数的乘积仍然是正实数；实数的乘法满足结合律. 对于任意的，存在使得. 满足.所以D选项正确. 故选：ABD. 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题： (1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式； (2)求的最大值； (3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由欧拉公式有 . （2）由于，，故， 而当时，有. 故的最大值是. （3）由于，故，而，所以. 故 （利用） （利用） （利用） （利用） （利用）. 所以. 3．（2024·湖南邵阳·三模）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数，的模和辐角主值（用表示）； (2)设，，若存在满足，那么这样的有多少个？ (3)求和： 【答案】(1)，； (2)506； (3)1017. 【详解】（1）由复数，， ， 得； 而，则，， 又，，所以. （2）由， 因此，则， 则，解得，而，， 即，于是，显然符合条件的有506个， 所以这样的有506个. （3）令，而，则， 令， 则， 两边同乘，得， 两式相减得 ，因此， ， 因此，所以. 4．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【详解】（1）设， ，，且， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， ； （3），设， 则， ，， . 5．（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，． (1)若，求的值； (2)已知四元数． （i）若，求证：； （ii）若数列均为正项数列，且（为常数），求证：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）由，得， 所以 ； （2）（i）由题意 ， 则 ， 又因为， 所以， ， 或， ， 故， 所以； （ii）由， 得， 又因为 ，① 当且仅当时取等号， 同理，② ，③ ，④ 由①②③④得 ， 即， 又 ， 所以， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$复数：复数的概念与四则运算、复数的几何意义与代数意义、复数新定义问题专项训练 复数：复数的概念与四则运算、复数的几何意义与代数意义、复数新定义问题 专项训练 考点一 复数的概念与四则运算 1．（2025·青海西宁·二模）若与均为实数，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．（2025·广东深圳·二模）已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·湖南·三模）若复数满足，则的实部为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2025·湖南·一模）若复数为实数，则实数a等于（   ） A． B． C．1 D．2 6．（2025·甘肃白银·三模）已知复数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 7．（2025·甘肃白银·三模·多选）已知复数，则（    ） A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 8．（2025·四川成都·模拟预测·多选）若复数，则下列说法正确的是（   ） A．是纯虚数 B． C．复数对应的点在第四象限 D． 9．（2025·浙江金华·二模·多选）已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃甘南·模拟预测·多选）已知复数z满足，则（   ） A． B．在复平面内z对应的点在曲线上 C． D．的虚部为2 11．（2025·陕西西安·模拟预测）已知复数（）为正实数，则 ． 12．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知，则 . 13．（2025·湖南湘潭·三模）复数的实部与虚部之和为 ． 14．（2025·山东·一模）若复数满足，则 ． 15．（2025·天津红桥·二模）若为虚数单位，且则实数 . 16．（2025·天津南开·二模）是虚数单位，若复数满足，则 ． 考点二 复数的几何意义与代数意义 1．（2025·安徽·三模）已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 2．（2025·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·吉林·模拟预测）设复数满足，则在复平面上表示的图形是（   ） A．直线 B．直线 C．圆 D．抛物线 4．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．（1，3） D． 5．（2025·湖南长沙·一模）已知复数，满足，在复平面内对应的点为，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东济宁·二模）已知是关于的方程的一个根，则（ ） A．2 B．3 C．5 D． 7．（2025·山东潍坊·二模）已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ） A． B． C．1 D．5 8．（2025·重庆·二模）若是关于的方程的虚数根，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 10．（2024·湖北荆州·模拟预测）复数是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·陕西宝鸡·二模）已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 12．（2025·贵州毕节·一模）已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 13．（2025·福建龙岩·二模·多选）已知复数，则（   ） A．复数的模长为2 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．复数是方程在复数集内的解 D．若复数满足，则 14．（2025·江苏南京·模拟预测·多选）若复数 ，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．复数满足，则的最大值为 15．（2025·广东汕头·一模·多选）已知复数，（x,），则下列结论正确的是（   ） A．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆 B．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线 16．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 17．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 考点三 复数新定义问题 1．（2025·河南郑州·三模·多选）群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（   ） A．（为虚数单位）关于数的乘法构成群 B．有理数集关于数的加法构成群 C．关于数的除法构成群 D．正实数集关于数的乘法构成群 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题： (1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式； (2)求的最大值； (3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值． 3．（2024·湖南邵阳·三模）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数，的模和辐角主值（用表示）； (2)设，，若存在满足，那么这样的有多少个？ (3)求和： 4．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 5．（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，． (1)若，求的值； (2)已知四元数． （i）若，求证：； （ii）若数列均为正项数列，且（为常数），求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$