高一下学期期末复习真题精选（常考120题24类题型专练）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

高一下学期期末复习真题精选（常考120题24类题型专练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型1 平面向量的概念（共5小题） 1．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 【解题思路】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断. 【解答过程】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误； 对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误； 对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误； 对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确； 故选：D. 2．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 【解题思路】考虑向量的起点位置可判断A；利用向量相等的定义可判断BC；考虑特殊向量可判断D. 【解答过程】对于A，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A错误： 对于B，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B错误； 对于C，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得，故C正确； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：C． 3．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【解题思路】利用向量得定义、共线向量得概念判断A、B、D，利用单位向量得定义与加法得平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C. 【解答过程】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但、、、四点不能构成平行四边形，故A错误； 对于B，设为非零实数，且，则非零向量与共线，故B正确； 对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合， 又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角的平分线上，故C正确 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误. 故选：BC. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 ①③ . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【解题思路】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③. 【解答过程】因为零向量与任一向量平行，所以①正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量， 故不一定等于，故②错误； 对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合. 故选：①③. 5．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【解题思路】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【解答过程】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 题型2 平面向量的线性运算（共5小题） 1．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由平面向量的加减法、数乘运算求解即可. 【解答过程】. 故选：D. 2．（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用向量的减法运算得，B，C，D三点共线，即，根据向量平行求出. 【解答过程】因为，且B，C，D三点共线，即, 又，所以，解得. 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·青海西宁·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义，根据选项依次运算化简判断即可. 【解答过程】A项，，故A正确； B项，，故B错误； C项，， 若，则，不合题意，故C错误； D项，，故D正确； 故选：AD. 4．（23-24高一下·四川成都·期中）设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数 -7 ． 【解题思路】求出，设，得到方程组，得到. 【解答过程】， A，C，D三点共线，设，则， 故，解得. 故答案为：-7. 5．（23-24高一下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 【解题思路】（1）根据平面向量的线性运算即可求解； （2）由向量的数乘运算计算可得. 【解答过程】（1）易知； （2）计算可得. 题型3 平面向量的数量积（共5小题） 1．（23-24高一下·福建·期末）已知向量，，则（ ） A．0 B．1 C． D． 【解题思路】根据题意，利用向量的数量积和向量模的运算公式，准确运算，即可求解. 【解答过程】由向量，，可得，且， 则. 故选：A. 2．（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围． 【解答过程】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又， 所以， ， 则的取值范围是. 故选：B. 3．（多选）（23-24高一下·甘肃临夏·期末）八卦图是中国古代哲学的重要符号，被广泛应用于易经、中医等领域，如图1为八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据数量积的定义求解数量积，即可判定AD，根据相等向量的定义即可求解B，根据模长的定义即可求解C. 【解答过程】对于A,由正八边形可得，则，A正确； 对于B，方向相反，故不是相等向量，B错误， 对于C, 由正八边形可得,C正确， 对于D，，故D错误． 故选：AC． 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知向量满足，则 . 【解题思路】根据已知模长应用数量积的运算律计算即可. 【解答过程】因为，所以， 又因为，所以 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·安徽亳州·期末）在中，设向量，，且，. (1)求的值； (2)若，求. 【解题思路】（1）利用平面向量数量积的定义得到，再结合平面向量的线性运算求解即可. （2）利用给定条件得到，再利用模的性质计算即可. 【解答过程】（1）由已知得，， 所以， 所以. （2）因为，所以， 所以. 题型4 平面向量基本定理及其应用（共5小题） 1．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【解题思路】利用平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算性质进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 故选：C. 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量基本定理结合题意将用表示，从而可求出，进而可求得答案. 【解答过程】因为在正方形中，为的中点，为的中点， 所以 ， 因为，所以， 所以. 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·河南周口·期末）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 【解题思路】根据给定条件，利用平面向量的线性运算结合给定图形计算判断ABC；利用数量积的定义及运算律计算判断D作答. 【解答过程】在中，为的中点，为的中点，， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，有，C正确； 对于D，依题意，，于是 ，D正确. 故选：BCD. 4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设（，），若，则 3 . 【解题思路】因为大三角形是等边三角形，所以可以通过建系的方法进行求解. 【解答过程】不妨设，则，如图，由题可知. 由， 得，所以，所以，，. 又，所以，所以， 所以，即. 所以，，， 因为，所以， 解得，所以. 故答案为：3. 5．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点． (1)记向量，，试以向量，为基底表示，； (2)若，求m，n的值； (3)求证：A，G，H三点共线． 【解题思路】（1）根据向量的减法法则结合题意求解； （2）对结合（1）化简用，表示，而，然后列方程组可求得结果； （3）设，，由，，用用，表示，列方程组求出，从而可得，进而证得结论. 【解答过程】（1）因为在中，E，H分别是AD，BC的中点，， 所以， ． （2）由（1）知，， 所以， 因为，所以，解得； （3）， 设，，则 ， 又， 所以，解得，所以， ∴， ∴，即A，G，H三点共线． 题型5 向量的夹角、模长问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·福建泉州·期末）单位向量满足，则和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用已知等式两边平方可得求得，进而可求的夹角. 【解答过程】由两边平方可得， 所以，所以，解得， 所以，所以的夹角为60°． 故选：B． 2．（23-24高一下·贵州毕节·期末）若向量，且 ，则（    ） A． B．2 C． D．1 【解题思路】利用向量线性坐标运算及向量共线的坐标表示求解，再代入求模即可. 【解答过程】由已知， 得， 因为 ，所以，解得， 则， 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．在上的投影向量为 C．若与的夹角为锐角，则 D．若要使最小，则 【解题思路】A选项，由向量加法和向量平行的坐标运算求解；B选项，由投影向量的公式计算；C选项，由向量夹角的范围，利用向量共线和向量数量积求参数取值范围；D选项，由向量线性运算的坐标表示和模长公式，结合二次函数的性质求满足条件的t的值. 【解答过程】对于A：因为，所以. 又，且，所以，解得：，故A正确； 对于B：由，则， 所以在上的投影向量为，故B正确； 对于C：当与共线时，有，此时与方向相同， 当与的夹角为锐角，有，解得， 所以且时，与的夹角为锐角，故C错误； 对于D：由，， 结合二次函数的性质可知，时取最小值，故D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 【解题思路】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【解答过程】由得，， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：． 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【解答过程】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 题型6 向量的平行、垂直问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·青海·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 【解题思路】由向量的加减坐标运算与两向量垂直的坐标条件可得. 【解答过程】因为， 所以． 因为，所以， 即，解得． 故选：D. 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知平面向量，若，则（    ） A． B． C．2 D．12 【解题思路】由，列方程可求出，再由，列方程可求出，即可求得. 【解答过程】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以. 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·河北承德·期末）已知，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则∥ 【解题思路】对于A、B，根据垂直向量的数量积为零，建立方程，可得答案；对于C、D，根据平行向量的定理，建立方程组，可得答案. 【解答过程】对于A，，， 由，则，即，解得，故A错误； 对于B，由，则，， 由，则，故B正确； 对于C、D，，， 由共线，则，即， 可得，解得，故C、D正确； 故选：BCD. 4．（23-24高一下·福建福州·期末）已知平面向量，，，若，则 4 . 【解题思路】利用平面向量的坐标运算求解. 【解答过程】解：因为平面向量，， 所以， 又因为，且， 所以，解得， 故答案为：4. 5．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. (3)求向量与向量的夹角余弦值． 【解题思路】（1）首先求出，的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （3）首先求出的坐标，再根据夹角公式计算可得. 【解答过程】（1）因为，， 所以， ， ∵，∴， 解得. （2）由题意得，， ∵，∴， 解得. （3）因为， 所以，， 又， 设向量与向量的夹角为， 所以. 题型7 三角形的个数问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角形内角和为及三角形三边关系，结合正弦定理和余弦定理逐项判断即可. 【解答过程】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确. 故选：D. 2．（23-24高一下·广东广州·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正弦定理按角为锐角、直角分类求解即得. 【解答过程】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的集合为. 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·青海西宁·期末）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】已知两边及一边对角，由正弦定理解三角形即可. 【解答过程】A项，因为， 所以由正弦定理得， 则，所以有唯一解，故A错误； B项，法一，因为， 则，由， 即，如图，有两解.    法二，因为， 由正弦定理得， 则有两解，或. 当时，，，，有解，满足题意； 当时，，，，有解，满足题意； 所以有两解，故B正确； C项，法一，因为， 则，由， 即，如图，有两解.    法二，因为， 由正弦定理得，即， 因为， 则有两解，或. 当时，，，有解，满足题意； 当时，，，有解，满足题意； 所以有两解，故C正确； D项，因为， 所以由正弦定理得， 由于，故， 即有唯一解，且，有解，所以只有一解，故D错误； 故选：BC. 4．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）在中，内角的对边分别为，若，满足该条件的三角形有两个，则的取值范围为 .（用区间表示） 【解题思路】依题意可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点，即可得. 【解答过程】根据题意画出图形如下所示：    由，即可得点到边的距离的最小值为； 因为符合题意的三角形有两个，可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点， 所以可得， 故答案为：. 5．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）在中，内角，，的对边分别为，，.若，.若满足条件的三角形有两个，则边的取值范围为 . 【解题思路】利用正弦定理，代入数据化简得，然后根据三角形有两解，结合正弦函数的性质建立关于的不等式，解之可得边的取值范围. 【解答过程】因为在中，，， 所以根据正弦定理， 可得，由，得， 若满足条件的三角形有两个，则，即， 解得：，即边的取值范围为； 故答案为：. 题型8 判断三角形的形状（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案. 【解答过程】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C. 2．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知在中，，则判断的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解题思路】利用余弦定理可得答案. 【解答过程】由余弦定理得， 所以， 可得，所以是直角三角形. 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·辽宁大连·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由下列条件能得到为钝角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】A. 利用余弦定理判断；B.利用余弦定理求得边c，再利用余弦定理判断；C.利用两角和的余弦公式判断；D.利用两角和的余弦公式判断. 【解答过程】A. 因为，由余弦定理得，角C为钝角，所以为钝角三角形，故正确； B. 因为，由余弦定理得， ，角B为钝角，所以为钝角三角形，故正确； C. 由，得 ，由 ，得 ， 又 ，所以角A为锐角，则，所以 ，所以， 所以为直角三角形，故错误； D. 由，得 ，则 ， 即 ，角B为钝角，所以为钝角三角形，故正确； 故选：ABD. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在△ABC中，，则△ABC的形状为 钝角 三角形．（填锐角、直角、钝角） 【解题思路】由正弦定理得边的关系，再由余弦定理确定最大角的大小，得三角形形状． 【解答过程】因为，由正弦定理得，因此最大，从而角最大， 设，则， 所以角为钝角，为钝角三角形， 故答案为：钝角． 5．（23-24高一下·北京通州·期末）在△中，角所对的边为，△的面积为S，且． (1)求角； (2)若，试判断△的形状，并说明理由． 【解题思路】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角； （2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出，结合判断三角形形状即可. 【解答过程】（1）在中，因为，则， 整理得，且，所以. （2）由正弦定理得, , , , 于是, 又，故，所以或，因此（舍去）或，所以. 是等腰直角三角形. 题型9 三角形的面积问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·广西百色·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积. 【解答过程】在中，由及正弦定理，得， 而，则，由及余弦定理得，， 因此，，则， 所以的面积为. 故选：B. 2．（23-24高一下·山东聊城·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据题意利用余弦定理可得，进而可得，再利用基本不等式结合面积公式运算求解. 【解答过程】因为，且，即， 整理可得， 由余弦定理可得，则， 且，可知，则， 又因为，当且仅当时，等号成立， 则，即， 所以面积的最大值为. 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·安徽宣城·期末）已知的内角A，B，C所的对边分别为a，b，c，其中，，，下列四个命题中正确的是（    ） A．是钝角三角形 B．面积为 C．外接圆面积为 D．若D为AB中点，则 【解题思路】对于A，由已知可知最大，所以利用余弦定理求出进行判断，对于B，由求出，然后利用面积公式求解，对于C，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，从而可求出三角形的面积，对于D，在中利用余弦定理求解. 【解答过程】对于A，因为，，，所以，所以， 因为，所以角为钝角，所以是钝角三角形，所以A正确， 对于B，由选项A可知，角为钝角，所以， 所以面积为，所以B正确， 对于C，由正弦定理得，所以外接圆半径为，所以外接圆面积为，所以C错误， 对于D，因为D为AB中点，所以，在中，由余弦定理得， ， 所以，所以D正确， 故选：ABD. 4．（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，，是上一点，是的平分线，且，则的面积为 ． 【解题思路】根据条件，得到，再利用，得到，，即可求解. 【解答过程】过分别作于，设到的距离为， 因为是的平分线，所以， 易知①，②，又， 由①②得到，又，， 又， 所以，设， 所以，解得，即， 所以，得到的面积为， 故答案为：. 5．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 【解题思路】（1）利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解. （2）利用三角函数的平方关系与余弦定理求得所需要线段长，再利用正弦定理与三角形面积公式即可得解. 【解答过程】（1）由余弦定理 ，解得； 又，解得； 外接圆的半径为； （2）因为，为锐角， 则； 设，则， 在中，， 由余弦定理得，解得； 所以； 由正弦定理，即，解得； 所以， 即的面积为. 题型10 距离、高度、角度测量问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【解答过程】由题意，可得， 且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·天津西青·期末）天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（    ） A．414m B． C． D．207m 【解题思路】设，在和 中，求出，在中借助余弦定理求出的值，即的值. 【解答过程】设， 在中，有题意知，则， 在中，有题意知，则， 在中， ，， 由余弦定理可得：， 即，解得，即. 故选：A. 3．（多选）（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据所给条件表示出、、，在中利用正弦定理表示出、，再由锐角三角函数计算可得. 【解答过程】由题意可知，，，，， 分别在，中，，， 所以， 又， ， 在中，由正弦定理可得，， 即， 所以， 在中，，故A正确，B错误； 在中，由正弦定理可得，， 即， 所以， 在中，， 又， 所以，故C正确、D错误. 故选：AC. 4．（23-24高一下·重庆·期末）如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 15米 ． 【解题思路】由题意可得，，在中，由余弦定理可得的大小． 【解答过程】由题意可得，则， 因为，所以， 在中，，米， 由余弦定理可得， 即， 整理可得， 可得或（舍． 故答案为：15米． 5．（23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【解题思路】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【解答过程】（1）根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． （2）由余弦定理可得，则， 所以 ． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 题型11 复数的概念（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·重庆·期末）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】根据虚部定义即可求解. 【解答过程】由于，故虚部为. 故选：A. 2．（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据纯虚数的定义，列出方程组，求解即可. 【解答过程】因为是纯虚数，所以，解得：， 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【解题思路】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断. 【解答过程】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD. 4．（23-24高一下·山东聊城·期末）复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数 1 . 【解题思路】根据纯虚数的定义列式求解. 【解答过程】由题意可得：，解得. 故答案为：1. 5．（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【解题思路】（1）由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案； （2）由条件可得可得答案. 【解答过程】（1）由复数是纯虚数，得，解得； （2）由复数的实部和虚部互为相反数，得， 化简得，解出或， 当时，不符合题意，（舍去），而满足， 所以实数的值为． 题型12 复数的几何意义（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·安徽六安·期末）若复数与其共轭复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由复数的计算公式及复数的几何意义即可判断. 【解答过程】设复数，则， 所以，即 所以， 所以 所以复数在复平面上对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 2．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】先求等式右边复数的模长，然后由复数的除法求出，根据共轭复数得到，然后由复数的几何意义进行判断. 【解答过程】根据复数的模长公式，， 则，故，故， 根据复数的几何意义，在复平面上对应点是，在第四象限. 故选：D. 3．（多选）（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知复数，其中为实数，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若为虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若且，则 【解题思路】根据题意，根据复数的定义，以及复数的几何意义，以及复数的运算形式，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由复数，其中为实数，为虚数单位， 对于A中，若为虚数，则满足，解得且，所以A不正确； 对于B中，若复平面内表示复数的点位于第二象限，则满足， 解得，所以B正确； 对于C中，若，可得，解得，所以C正确； 对于D中，当且，可得为虚数，为虚数，而，所以，所以D不正确. 故选：BC. 4．（23-24高一下·云南曲靖·期末）在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为 . 【解题思路】先利用复数的几何意义求出和的坐标，从而求出的坐标，由此得解. 【解答过程】因为复数与所对应的向量分别为和， 所以，， 所以，即对应的复数为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知复数. (1)若复数的实部与虚部之差为0，求m的值； (2)若复数的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）化简得，结合已知可得，求解即可； （2）由题意可得，求解即可. 【解答过程】（1）， 则，解得； （2）因为复数的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限， 所以复数在复平面内的对应点在第四象限 于是得， ， 所以实数m的取值范围是. 题型13 复数的四则运算（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的乘方及除法运算求出，进而求出其实部. 【解答过程】依题意，， 所以的实部为. 故选：A. 2．（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．i D． 【解题思路】根据条件，利用复数的运算及共轭复数的定义，即可求解. 【解答过程】因为，所以，得到， 所以． 故选：B. 3．（多选）（23-24高一下·山东青岛·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【解题思路】利用复数的除法运算化简可得，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】由可得， 对于A，，故A错误， 对于B，的虚部为，故B正确， 对于C, ，故C正确， 对于D，在复平面内对应的点为，它在第一象限，故D正确， 故选：BCD. 4．（23-24高一下·天津红桥·期末）已知为虚数单位，则 . 【解题思路】用复数的除法及乘法法则即可求解. 【解答过程】，. 故答案为：. 5．（23-24高一下·河南漯河·期末）设复数（其中），. (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求. 【解题思路】（1）由题知为实数，所以，求得，再进行复数的乘法运算即可； （2）由题知为纯虚数，所以，求得，再根据复数的模长公式计算即可. 【解答过程】（1）由已知， 是实数， ，即， . （2）， 由于是纯虚数，，解得， 则. . 题型14 基本立体图形（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【解题思路】利用棱柱的定义判断ABC；利用棱台的定义判断D. 【解答过程】对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误； 对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误. 故选：C. 2．（23-24高一下·天津南开·期末）给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【解题思路】根据圆锥母线的定义、棱台的定义、圆台的定义、平面与圆柱底面的位置关系即可依次判断． 【解答过程】解：①根据圆锥的母线的定义，可知①正确； ②把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故②错误； ③根据圆台的定义，可知③正确； ④当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故④错误． 故选：B． 3．（多选）（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据棱台的定义可知，棱台上、下底面为两个平行且相似的多边形，即可判断. 【解答过程】对于A，因为，所以几何体不是三棱台，故A错误； 对于B，因为，所以几何体不是三棱台，故B错误； 对于C，因为，所以几何体是三棱台，故C正确； 对于D，该几何体可能是三棱柱，故D错误． 故选：ABD． 4．（23-24高一下·北京房山·期末）已知长方体的长、宽、高分别为1，2，2，则该长方体的对角线的长为 3 ． 【解题思路】根据长方体的对角线长公式计算． 【解答过程】长方体的对角线长为， 故答案为：3. 5．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 【解题思路】（1）易求两圆的半径，利用圆台的轴截面是等腰梯形，再根据勾股定理即可算出圆台的高. （2）将等腰梯形的两腰延长相交得等腰三角形，其腰即为圆锥的母线长，利用相似三角形的知识即可求解. 【解答过程】（1）圆台的轴截面是等腰梯形，如图所示： 由已知可得上底半径，下底半径， 又腰长， 所以圆台的高为. （2）如图所示，延长交于点S， 设截得此圆台的圆锥母线长为l， 则由，可得， 解得：， 所以截得此圆台的圆锥的母线长为cm. 题型15 空间几何体的表面积和体积（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则有，利用三角形面积公式可得，又由点在上且满足，可得到平面的距离，结合三棱锥体积公式计算可得答案． 【解答过程】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为， 则有， 而，， 又由，，平分，则， 则； 故，而， 则有， 又由点在上且满足，故到平面的距离为， 则有， 故． 故选：B． 2．（23-24高一下·海南海口·期末）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，根据圆锥的底面周长求出，再由勾股定理求出，最后由表面积公式计算可得. 【解答过程】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，依题意可得，解得， 所以， 所以该几何体的表面积. 故选：A. 3．（多选）（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 【解题思路】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【解答过程】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 4．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积为 cm2．    【解题思路】几何体是由圆锥和圆柱组成的，由圆柱与圆锥的表面积公式计算求解即可. 【解答过程】此几何体是由圆锥和圆柱组成的， 圆锥的底面半径为，高为，所以母线长为， 所以其侧面积为：， 圆柱的底面积为：，侧面积为：， 所以该几何体的表面积为：. 故答案为：. 5．（23-24高一下·陕西安康·期末）如图，在正四棱锥中，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积. 【解题思路】（1）根据题意，先求四棱锥的高，结合锥体体积公式，即可求解； （2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解. 【解答过程】（1）连接，，记，连接， 如图所示.棱锥为正四棱锥， 所以平面， 又平面， 所以， 因为,即, 所以， 所以四棱锥的体积 . （2）取的中点，连接，，如图所示. 因为平面， 平面， 所以，且, 所以， 所以四棱锥的表面积. 题型16 点共线、线共面问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【解题思路】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【解答过程】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 2．（23-24高一下·上海·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【解题思路】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【解答过程】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以 四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 3．（多选）（23-24高一下·广西·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 【解题思路】连接，证得且，可得判定A正确、B正确；延长相交于点，结合平面的性质，可判定C不正确；由和时，得到，可判定D错误． 【解答过程】对于A、B中，如图所示，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，且，所以为梯形， 所以四点共面，所以A、B正确； 对于C中，如图所示，延长相交于点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以三线共点，所以C不正确； 对于D中，因为，当时，， 又，则，所以D错误． 故选：AB.    4．（23-24高一下·北京·期末）如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论： ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， 其中正确的序号为 ①③ ． 【解题思路】由公理1判断①，由公理2判断②和③，用反证法判断④ 【解答过程】连接，因为是的中点，所以， 平面与平面有公共点A与，则平面平面， 对于①，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以①正确， 对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②错误，③正确； 对于④，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面，所以平面，显然平面，所以④错误， 故答案为：①③. 5．（23-24高一下·安徽合肥·期末） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 【解题思路】（1）根据利用三角形的中位线平行于第三边，平行线分线段成比例，得到分别平行于和，利用平行线的传递性，即可得到，即可证明四点共面； （2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，即可证得三线共点. 【解答过程】（1）因为，分别为，的中点， 所以. 又因为， 所以. 所以， 所以E，F，G，H四点在同一平面内， 即E，F，G，H四点共面． （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 由题意知＝，，，所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M， 即， 因为平面， 所以点平面， 同理可得点平面. 又因为平面平面， 所以点直线， 所以直线，，三线共点． 题型17 空间中的线面位置关系（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·江苏苏州·期末）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 ⑤若 ， ，，则 A．②③⑤ B．①②⑤ C．④⑤ D．①③ 【解题思路】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可. 【解答过程】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确； 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 对⑤：若，，则存在且， 因为 ，，所以，又因为，所以，故⑤正确， 故选：A. 2．（23-24高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 【解题思路】对于AB：根据线面位置关系分析判断；对于CD：根据面面垂直的性质定理和判定定理分析判断. 【解答过程】对于选项AB：因为平面，平面， 所以平面，故AB错误； 对于选项CD：因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可知平面， 且平面，所以平面平面，故C错误，D正确； 故选：D. 3．（多选）（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（    ）    A． B．平面平面OMN C． D．四棱锥的体积为 【解题思路】根据中位线可判断A，根据线线平行求证线面平行，即可求解B，根据三角形的边长关系，即可求解C，根据锥体的体积公式即可求解D. 【解答过程】对于A，由于分别为侧棱的中点,所以,又，故，A正确， 对于B, 连接,由于分别为侧棱的中点,所以，平面,平面,所以平面,同理，平面,平面,故平面,，平面，所以平面平面，故B正确． 对于C，由于,所以，故，又，故，C正确， 对于D，由于，故D错； 故选：ABC.    4．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知两条直线m，n，两个平面，，给出下列四个说法： ①，，； ②，，； ③，； ④，，， 其中正确的序号是 ①④ ． 【解题思路】对于①：根据线面垂直的性质分析判断；对于②③：根据线面位置关系分析判断；对于④：根据线面垂直分析判断. 【解答过程】对①，∵，，∴，又，∴，∴①正确； 对②，∵，，，∴或m与n异面，∴②错误； 对③，∵，，∴n与可以成任意角，∴③错误； 对④，∵，，则， 又∵，∴，∴④正确． 故答案为：①④． 5．（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【解题思路】（1）根据题意可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）连接，可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【解答过程】（1）因为为正方体，则∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面， 由平面，可得， 同理可得：， 且，平面， 所以平面. 题型18 空间角（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·河北承德·期末）在正四棱锥中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，运用空间向量法求解线线夹角. 【解答过程】    由题意知， 所以，，，， ， ，, 所以 故选：D. 2．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图形特征，取中点，连接，通过线面垂直的性质与判定得到面，因而是与平面所成角，再通过相关计算，在直角三角形中计算其正弦值即可. 【解答过程】如图，取中点，连接，令. 因为面，面， 所以， 又因为， 所以， 因为面，面， 所以， 又因为，所以， 因为面，， 所以面， 因为面， 所以， 因为面， 所以面， 所以是与平面所成角， 因为，..， 所以, 由已证知，面，因为面， 所以， 所以， 因为面，面， 所以， 所以， 所以， 由已证知，面， 又因为面，所以 所以， 即与平面所成角的正弦值是. 故选：B． 3．（多选）（23-24高一下·福建福州·期末）如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则下列说法正确的有（    ） A．直线与直线为异面直线 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．二面角的平面角余弦值为 D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为 【解题思路】证明，说明四点共面，即可得A；找到直线与平面所成角，解直角三角形可得其正弦值，即可得B；作出二面角的平面角，计算其余弦值，即可得C；作出过点B，E，F的平面截正方体的截面，求其面积即可得D. 【解答过程】对于A，连接，则为矩形，则， 而点E，G分别是棱AD，CD的中点，故， 则四点共面，故直线，不是异面直线，故A错误； 对于B，由于平面，故即为直线与平面所成角， 而，则， 故，故B正确； 对于C，连接交于点O，连接， 平面平面，故， 又平面，故平面， 即为二面角的平面角， 又， 故，故C正确； 对于D，连接，则， 则梯形即为过点B，E，F的平面截正方体的截面， 而， 故等腰梯形的高为， 故等腰梯形的面积为， 即过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为，故D正确， 故选：BCD. 4．（23-24高一下·天津·期末）如图，在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正切值为 . 【解题思路】取的中点，连接，可证得为直线与平面所成角，然后在中求解即可. 【解答过程】取的中点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为为等边三角形，为的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面 所以为直线与平面所成角， 因为， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 【解题思路】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，从而证明平面. （2）利用线面垂直的判定证得平面，进而得为直线与平面所成角并求出，利用勾股定理求出，再由余弦定理求出，利用二面角的定义即可得答案. 【解答过程】（1）在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）由三棱柱所有棱长都为2，，得都是正三角形， 而O为BC中点，则，，平面，， 于是平面，又，则平面， 为直线与平面所成角， 因此，，而平面，则， 又为中点，则， 在中，，，则， 由，，得是二面角的平面角， 所以二面角的大小. 题型19 点、线、面距离问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用等体积法求解，由题意求出，从而可求出，然后利用可求得答案. 【解答过程】设点到平面的距离为， 因为平面，平面， 所以， 因为是边长为的正三角形，， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 故选：B. 2．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【解答过程】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 3．（多选）（23-24高一下·河南驻马店·期末）如图，正方体的棱长为1，O为BD的中点，直线与平面D交于点M，则下列结论正确的是（    ） A．，M，O三点共线 B．平面平面 C．点到平面的距离为 D．二面角的余弦值为 【解题思路】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，可判断A；利用线面垂直与面面垂直的判定与性质定理可判断B；利用等体积法，可判断C；由二面角为且，结合诱导公式及二倍角正切公式求正切值，进而求二面角的余弦值.可判断D. 【解答过程】对于A，如图所示， 因为，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面， 所以是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， 所以三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线，故A正确； 对于B，在正方体中，平面， 平面，所以，又， 平面， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，平面，所以平面， 平面，所以平面平面，故B正确； 对于C，由B分析知道平面，则点到平面的距离为. 设点C到平面的距离为， 由可得，， 又正方体的棱长为1，所以正三角形的边长为， 所以， 所以，则，故C错误. 对于D，如下图， 若为交点，则二面角为， 又，且， 所以 ， 故，故D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 【解题思路】利用等体积计算即可. 【解答过程】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 故答案为：. 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在三棱锥中，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）由条件可得平面，利用锥体的体积可求体积； （2）利用等体积法可求点点到平面的距离. 【解答过程】（1）因为，， 所以，， 所以，又，平面， 所以平面，又， 所以三棱锥的体积； （2）在中，由，， 所以边上的高为， 所以， 设点到平面的距离为， 所以，由（1）可得，解得. 所以点到平面的距离. 题型20 随机抽样（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·广东惠州·期末）某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则（    ） A．100 B．120 C．200 D．240 【解题思路】根据分层抽样求样本中高中生和小学生的人数，列式求解即可. 【解答过程】由题意可知：样本中高中生的人数为，小学生的人数为， 则，解得. 故选：B. 2．（23-24高一下·四川·期末）某企业利用随机数表对生产的60个太阳能面板进行抽样测试，先将60个太阳能面板进行编号，.从中抽取12个样本，下图提供随机数表的第6行至第8行，若从表中第7行第9列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 12 23 43 56 77 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 35 78 90 56 42 25 30 07 32 86 23 45 58 89 07 23 18 96 08 04 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 34 89 94 83 75 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A．07 B．18 C．23 D．08 【解题思路】利用随机数表法来选取样本编号即可. 【解答过程】从第7行第9列开始向右读取数据，开始为86，不符合要求，第一个数是23，第二个数是45，第三个数是58，下一个数是89，不符合要求，第四个数是07，下一个数是23，重复，第五个数是18，下一个数是96，不符合要求，第六个数是08； 故选:D. 3．（多选）（23-24高一下·山西大同·期末）下列抽样方法是简单随机抽样的有（　　） A．从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动 B．从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验 C．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 D．中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码 【解题思路】根据简单随机抽样定义逐项判断可得答案. 【解答过程】对于A，从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动，是简单随机抽样，故正确； 对于B，是简单随机抽样，一次性抽取3个个体，等价于逐个抽取个体3次，故正确； 对于C，不是简单随机抽样，不符合“等可能性”，因为5名同学是指定的， 而不是随机抽取的，故错误； 对于D，中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码，是简单随机抽样，故正确. 故选：ABD. 4．（23-24高一下·河南商丘·期末）某市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级1000人中按男、女采用比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，且样本中男生人数比女生人数多20人，则这1000人中女生有 300 人. 【解题思路】根据比例分配的分层随机抽样可得答案. 【解答过程】设样本中男生为x人，则女生为人， 所以，解得，设总体中女生人数为n， 则，解得. 故答案为：300. 5．（23-24高一下·河北衡水·期末）某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示： 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 [15，25） a 0.5 第2组 [25，35） 18 x 第3组 [35，45） b 0.9 第4组 [45，55） 9 0.36 第5组 [55，65] 3 y (1)分别求出a，b，x，y的值； (2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组人数 【解题思路】（1）由第4组的数据可求出第4组的总人数，再结合频率分布直方图可求出的值，然后根据频率分布直方图和表中的数据可求出a，b，x，y的值； （2）根据分层抽样的定义结合表中的数据求解即可. 【解答过程】（1）由频率表中第4组数据知，第4组总人数为， 由频率分布直方图知， ∴， ， ， ． （2）第2，3，4组回答正确的共有人． 利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为： 第2组：人， 第3组：人， 第4组：人． 题型21 用样本估计总体（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·陕西安康·期末）某科技攻关青年团队共有18人，他们的年龄分布如下表所示： 年龄 45 40 36 32 30 28 26 人数 3 2 3 4 2 3 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这18人年龄的一个25%分位数 B．40是这18人年龄的一个80%分位数 C．34是这18人年龄的一个中位数 D．这18人年龄的众数是4 【解题思路】分别计算25%，80%分位数得到A错误，B正确，再计算中位数和众数得到CD错误，得到答案 【解答过程】对选项A：，第25%分位数为30，故A错误； 对选项B：，第80%分位数为40，故B正确； 对选项C：这18人年龄的中位数是，故C错误； 对选项D：这18人年龄的众数是32，故D错误. 故选:B. 2．（23-24高一下·福建福州·期末）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰了出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是 （   ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为3，方差为2 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为1.6 【解题思路】根据题意，利用特例法可判断A、C和D错误，结合平均数和方差的计算公式，可判定B正确，即可求解. 【解答过程】对于选项A，当投掷骰子出现的结果为时，满足平均数为，中位数为，可以出现点数，所以选项A错误； 对于选项B，若平均数为，且出现点数，则必出现小于的点数，且至少有个， 所以方差， 所以平均数为，方差为时，一定没有出现点数，所以选项B正确； 对于选项C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，所以选项C错误； 对于选项D，当投掷骰子出现的结果为时，满足中位数为， 此时平均数为，所以方差为， 此时出现点数，所以选项D错误， 故选：B. 3．（多选）（23-24高一下·四川乐山·期末）小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（    ） A．娱乐开支比通信开支多5元 B．日常开支比食品中的肉类开支多100元 C．娱乐开支金额为100元 D．肉类开支占储蓄开支的 【解题思路】先由图2计算出食品的开支，再由图1计算出总开支，从而对选项逐一分析即可得解. 【解答过程】对于C，由图2可知食品的开支为元， 由图1可知食品开支为，所以总开支为元， 则娱乐开支为元，故C正确； 对于A，通信开支为元，娱乐开支比通信开支多元，故A错误； 对于B，日常开支为元，肉类为元， 日常开支比肉类开支多元，故B正确； 对于D，储蓄开支为元，肉类开支占储蓄开支的，故D正确. 故选：BCD. 4．（23-24高一下·山东青岛·期末）一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为，第三四分位数为，则 . 【解题思路】根据众数的概念求得众数，从小到大排列后，利用四舍五入法求得第三四分位数. 【解答过程】众数=5， 从小到大排列是1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10因为数据个数为14， 而且，所以这组数据的第三四分位数为8. 故答案为：13. 5．（23-24高一下·河北·期末）2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． (1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗? (3)河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【解题思路】（1）利用频率和为1，即可求出a的值，再求平均值即可； （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75，求估计分位数为，即可判断； （3）根据题意结合总样本的平均数、方差公式，即可求出． 【解答过程】（1）由题意知，解得． 估计满意度得分的平均值为． （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75， 以为满意度在的频率为，满意度在的频率为， 可知分位数位于． 则，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． （3）把6月1日-6月15日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月16日-6月30日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数， 则总样本方差 ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96． 题型22 随机事件与概率（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 【解题思路】事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，结合互斥、对立事件的定义即可判断. 【解答过程】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人， 所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件； 故选：A. 2．（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【解答过程】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 3．（多选）（23-24高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（  ） A．B与D互斥 B．A与D互为对立事件 C． D． 【解题思路】写出以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可. 【解答过程】由题意，样本空间为， 对于A，，这意味着不可能同时发生，故A正确； 对于B，，这意味着中有且仅有一个事情发生，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解题思路】列举所有可能的结果，即可由古典概型的概率公式求解. 【解答过程】由题意，选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中，每种选法可标记为， 分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字， 则所有的可能结果为，，，，，， 共6种.其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有2种，故所求概率为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个. (1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率； (2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率. 【解题思路】（1）利用列举法结合古典概型的概率的计算公式可求概率； （2）考虑“取到至少一个红球”的对立事件，利用例举法结合古典概型的概率公式可求概率. 【解答过程】（1）设甲袋中的红球为，白球为，篮球为， 乙袋中的红球为，白球，篮球为， 则从两袋中各取一球，所有基本事件如下： ，， ，， 故基本事件的总数为. 设为“取到的两球颜色相同”，则含有的基本事件如下： 共5个基本事件，则. （2）如（1）中所设，从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，总的基本事件如下： ，， ，， ，， 基本事件的总数为， 设为“取到至少一个红球”，其对立事件设为，则为“没有取到红球”， 含有的基本事件如下：，共有3个， 故，故. 题型23 事件的相互独立性（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则至少有一人命中的概率为（    ） A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.98 【解题思路】利用独立事件的公式求解即可. 【解答过程】设“篮球运动员甲、乙的罚球命中”分别为事件事件“至少有一人命中”为事件 故选：D. 2．（23-24高一下·安徽六安·期末）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（    ） A．甲180枚，乙180枚 B．甲288枚，乙72枚 C．甲240枚，乙120枚 D．甲270枚，乙90枚 【解题思路】利用独立事件的概率公式进行求解即可. 【解答过程】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为， 假设两人继续进行比赛， 甲获取360枚金币有：第四局甲赢，或第四局甲输，第五局甲赢， 故概率为， 乙获取360枚金币有：第四、五局乙都赢， 故概率为， 则甲应该获得枚金币，乙应该获得枚金币， 故选：D. 3．（多选）（23-24高一下·广西河池·期末）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．A与B相互独立 C．A与C相互独立 D． 【解题思路】利用相互独立，相互对立事件的概念进行判断，即可得到结果. 【解答过程】设2个白球为，2个黑球为， 则样本空间为： ，共12个基本事件． 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A错误； 对于B，因为， 则，所以事件A与B相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件A与C相互独立，故C正确； 对于D，因为，所以事件A与D互为对立，即，故D正确． 故选:BCD． 4．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲站、乙站预报都错误的概率为 ． 【解题思路】根据独立事件的乘法公式即可得到答案. 【解答过程】根据对立事件的概率求法和独立事件的乘法公式得甲站、乙站预报都错误的概率为： . 故答案为：. 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【解题思路】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【解答过程】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 题型24 频率与概率（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【解题思路】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断. 【解答过程】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误； 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确； 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误． 故选：C． 2．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【解题思路】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【解答过程】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 3．（多选）（23-24高一下·云南曲靖·期末）下列说法不正确的是（    ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 【解题思路】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项. 【解答过程】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误． 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为，故D错． 故选：ACD． 4．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 24 个. 【解题思路】设袋中红球有个，根据概率的概念列式求解即可. 【解答过程】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有24个. 故答案为：24. 5．（23-24高一下·安徽亳州·期末）某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 【解题思路】（1）根据题意算出频率，以频率作为概率即可求解； （2）根据平均数和方差的计算公式即可求解. 【解答过程】（1）从数据可知，在随机抽取6件产品中， A车间生产该批次产品的合格量为，频率为，B车间生产该批次产品的合格量为，频率为， 以频率作为概率，A，B两车间生产该批次产品的合格率均为； （2）A车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， B车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， 因为，所以A车间生产的产品质量比B车间生产的产品质量更稳定，故选A车间生产的产品更好. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期期末复习真题精选（常考120题24类题型专练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型1 平面向量的概念（共5小题） 1．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 2．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 3．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 4．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 5．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 题型2 平面向量的线性运算（共5小题） 1．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·青海西宁·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川成都·期中）设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数 ． 5．（23-24高一下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 题型3 平面向量的数量积（共5小题） 1．（23-24高一下·福建·期末）已知向量，，则（ ） A．0 B．1 C． D． 2．（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·甘肃临夏·期末）八卦图是中国古代哲学的重要符号，被广泛应用于易经、中医等领域，如图1为八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知向量满足，则 . 5．（23-24高一下·安徽亳州·期末）在中，设向量，，且，. (1)求的值； (2)若，求. 题型4 平面向量基本定理及其应用（共5小题） 1．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ） A．3 B． C．7 D． 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·河南周口·期末）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设（，），若，则 . 5．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点． (1)记向量，，试以向量，为基底表示，； (2)若，求m，n的值； (3)求证：A，G，H三点共线． 题型5 向量的夹角、模长问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·福建泉州·期末）单位向量满足，则和的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州毕节·期末）若向量，且 ，则（    ） A． B．2 C． D．1 3．（多选）（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．在上的投影向量为 C．若与的夹角为锐角，则 D．若要使最小，则 4．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 题型6 向量的平行、垂直问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·青海·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知平面向量，若，则（    ） A． B． C．2 D．12 3．（多选）（23-24高一下·河北承德·期末）已知，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则∥ 4．（23-24高一下·福建福州·期末）已知平面向量，，，若，则 . 5．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. (3)求向量与向量的夹角余弦值． 题型7 三角形的个数问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东广州·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·青海西宁·期末）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）在中，内角的对边分别为，若，满足该条件的三角形有两个，则的取值范围为 .（用区间表示） 5．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）在中，内角，，的对边分别为，，.若，.若满足条件的三角形有两个，则边的取值范围为 . 题型8 判断三角形的形状（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知在中，，则判断的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．（多选）（23-24高一下·辽宁大连·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由下列条件能得到为钝角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在△ABC中，，则△ABC的形状为 三角形．（填锐角、直角、钝角） 5．（23-24高一下·北京通州·期末）在△中，角所对的边为，△的面积为S，且． (1)求角； (2)若，试判断△的形状，并说明理由． 题型9 三角形的面积问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·广西百色·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东聊城·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（多选）（23-24高一下·安徽宣城·期末）已知的内角A，B，C所的对边分别为a，b，c，其中，，，下列四个命题中正确的是（    ） A．是钝角三角形 B．面积为 C．外接圆面积为 D．若D为AB中点，则 4．（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，，是上一点，是的平分线，且，则的面积为 ． 5．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 题型10 距离、高度、角度测量问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·天津西青·期末）天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（    ） A．414m B． C． D．207m 3．（多选）（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末）如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 5．（23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 题型11 复数的概念（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·重庆·期末）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 3．（多选）（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 4．（23-24高一下·山东聊城·期末）复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数 . 5．（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 题型12 复数的几何意义（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·安徽六安·期末）若复数与其共轭复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（多选）（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知复数，其中为实数，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若为虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若且，则 4．（23-24高一下·云南曲靖·期末）在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为 . 5．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知复数. (1)若复数的实部与虚部之差为0，求m的值； (2)若复数的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，求实数m的取值范围． 题型13 复数的四则运算（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．i D． 3．（多选）（23-24高一下·山东青岛·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 4．（23-24高一下·天津红桥·期末）已知为虚数单位，则 . 5．（23-24高一下·河南漯河·期末）设复数（其中），. (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求. 题型14 基本立体图形（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 2．（23-24高一下·天津南开·期末）给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 3．（多选）（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京房山·期末）已知长方体的长、宽、高分别为1，2，2，则该长方体的对角线的长为 ． 5．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 题型15 空间几何体的表面积和体积（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·海南海口·期末）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 4．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积为 cm2．    5．（23-24高一下·陕西安康·期末）如图，在正四棱锥中，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积. 题型16 点共线、线共面问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 2．（23-24高一下·上海·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 3．（多选）（23-24高一下·广西·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 4．（23-24高一下·北京·期末）如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论： ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， 其中正确的序号为 ． 5．（23-24高一下·安徽合肥·期末） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 题型17 空间中的线面位置关系（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·江苏苏州·期末）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 ⑤若 ， ，，则 A．②③⑤ B．①②⑤ C．④⑤ D．①③ 2．（23-24高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 3．（多选）（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（    ）    A． B．平面平面OMN C． D．四棱锥的体积为 4．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知两条直线m，n，两个平面，，给出下列四个说法： ①，，； ②，，； ③，； ④，，， 其中正确的序号是 ． 5．（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 题型18 空间角（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·河北承德·期末）在正四棱锥中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·福建福州·期末）如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则下列说法正确的有（    ） A．直线与直线为异面直线 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．二面角的平面角余弦值为 D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为 4．（23-24高一下·天津·期末）如图，在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正切值为 . 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 题型19 点、线、面距离问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（多选）（23-24高一下·河南驻马店·期末）如图，正方体的棱长为1，O为BD的中点，直线与平面D交于点M，则下列结论正确的是（    ） A．，M，O三点共线 B．平面平面 C．点到平面的距离为 D．二面角的余弦值为 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在三棱锥中，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 题型20 随机抽样（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·广东惠州·期末）某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则（    ） A．100 B．120 C．200 D．240 2．（23-24高一下·四川·期末）某企业利用随机数表对生产的60个太阳能面板进行抽样测试，先将60个太阳能面板进行编号，.从中抽取12个样本，下图提供随机数表的第6行至第8行，若从表中第7行第9列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 12 23 43 56 77 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 35 78 90 56 42 25 30 07 32 86 23 45 58 89 07 23 18 96 08 04 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 34 89 94 83 75 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A．07 B．18 C．23 D．08 3．（多选）（23-24高一下·山西大同·期末）下列抽样方法是简单随机抽样的有（　　） A．从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动 B．从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验 C．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 D．中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码 4．（23-24高一下·河南商丘·期末）某市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级1000人中按男、女采用比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，且样本中男生人数比女生人数多20人，则这1000人中女生有 人. 5．（23-24高一下·河北衡水·期末）某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示： 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 [15，25） a 0.5 第2组 [25，35） 18 x 第3组 [35，45） b 0.9 第4组 [45，55） 9 0.36 第5组 [55，65] 3 y (1)分别求出a，b，x，y的值； (2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组人数 题型21 用样本估计总体（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·陕西安康·期末）某科技攻关青年团队共有18人，他们的年龄分布如下表所示： 年龄 45 40 36 32 30 28 26 人数 3 2 3 4 2 3 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这18人年龄的一个25%分位数 B．40是这18人年龄的一个80%分位数 C．34是这18人年龄的一个中位数 D．这18人年龄的众数是4 2．（23-24高一下·福建福州·期末）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰了出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是 （   ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为3，方差为2 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为1.6 3．（多选）（23-24高一下·四川乐山·期末）小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（    ） A．娱乐开支比通信开支多5元 B．日常开支比食品中的肉类开支多100元 C．娱乐开支金额为100元 D．肉类开支占储蓄开支的 4．（23-24高一下·山东青岛·期末）一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为，第三四分位数为，则 . 5．（23-24高一下·河北·期末）2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． (1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗? (3)河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 题型22 随机事件与概率（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 2．（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（  ） A．B与D互斥 B．A与D互为对立事件 C． D． 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个. (1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率； (2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率. 题型23 事件的相互独立性（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则至少有一人命中的概率为（    ） A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.98 2．（23-24高一下·安徽六安·期末）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（    ） A．甲180枚，乙180枚 B．甲288枚，乙72枚 C．甲240枚，乙120枚 D．甲270枚，乙90枚 3．（多选）（23-24高一下·广西河池·期末）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．A与B相互独立 C．A与C相互独立 D． 4．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲站、乙站预报都错误的概率为 ． 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 题型24 频率与概率（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 2．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 3．（多选）（23-24高一下·云南曲靖·期末）下列说法不正确的是（    ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 4．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 5．（23-24高一下·安徽亳州·期末）某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$