第五讲 数学广角——鸽巢问题（讲义+强化训练）-2024-2025学年人教版六年级下册期末复习宝典

第五讲 数学广角——鸽巢问题 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．一个小组有15个人，他们中至少有（　　）个人在同一个月过生日。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．盒子里有红球、黄球各4个，要想保证摸出的球一定有两个是同色的，则摸出球的个数至少为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．13只鸽子飞进4个笼子，总有一个笼子至少飞进（　　）只鸽子． A．1 B．2 C．3 D．4 4．六二班有49名同学，这个班至少有（　　）名同学是同一个月出生的。 A．3 B．4 C．5 D．6 5．口袋里有9个红球、4个白球、1个黑球，球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球不放回，至少要摸出（　　）个球，才能保证取到的球里有两个颜色相同。 A．2 B．5 C．10 D．4 6．书店里有26名同学正在挑选书籍，每人只选购1本，有自然科学类、文化历史类、艺术欣赏类、运动健康类四个种类，总有1类书至少有（　　）名同学选购。 A．9 B．8 C．7 D．6 7．有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子，至少要取出（　　）根才能保证达到要求。 A．9 B．10 C．11 D．12 8．把26条金鱼最多放进（　　）个鱼缸里，才能保证至少有一个鱼缸里不少于5条金鱼。 A．4 B．5 C．6 D．7 9．现有25名学生分组玩游戏，至少再来（　　）名学生就可以正好3人一组。 A．1 B．2 C．3 D．4 10．箱子里有5个黑球、3个蓝球、2个白球、1个红球，如果一次摸7个球，至少能摸到一个（　　）球。 A．黑 B．蓝 C．白 D．红 二．填空题（共5小题） 11．袋中有7个红花片，3个绿花片（花片除颜色外其他均相同）。任意摸一次，摸到 ______花片的可能性最大，至少要摸出 ______个花片，才能保证一定摸到绿花片。 12．有黑色、白色、蓝色手套各5只，至少要拿出 ______只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两只是同种颜色的。 13．不透明的箱子里有红，黄，蓝三种颜色的球各10个，若要保证摸到十个颜色相同的球，至少要摸 ______个。 14．袋子里有红球、黄球、白球分别为3个、5个、7个，为使取出的球中保证有4个同色，最少要取 ______个球。 15．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放在一个袋子里，至少取出 ______个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 三．应用题（共5小题） 16．将一筐萝卜分给6只兔子，要保证至少有一只兔子分到3个萝卜，这筐萝卜至少有多少个？ 17．某班有个小书架，40名学生可以任意借阅图书，小书架上至少要有多少本书，才保证总有一名同学至少借到两本书？ 18．作文比赛中，六年级共有7名选手获奖，已知六年级有6个班，你能不能肯定选手至少有2名来自同一个班？为什么？ 19．盒子里装有同样规格的红、蓝、黑手套各若干只，现在任意地从中摸取。那么，至少需要摸出多少只手套才能保证有两只同色？ 20．把红、白、蓝三种颜色的小球各10个混在一起放入一个不透明的箱子里，每次至少拿出几个才能保证一定有2个同色的小球？如果要保证有4个同色小球呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $$第五讲 数学广角——鸽巢问题 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．一个小组有 15个人，他们中至少有（　　）个人在同一个月过生日。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．盒子里有红球、黄球各 4个，要想保证摸出的球一定有两个是同色的，则摸出 球的个数至少为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．13只鸽子飞进 4个笼子，总有一个笼子至少飞进（　　）只鸽子． A．1 B．2 C．3 D．4 4．六二班有 49名同学，这个班至少有（　　）名同学是同一个月出生的。 A．3 B．4 C．5 D．6 5．口袋里有 9个红球、4个白球、1个黑球，球除颜色外完全相同，每次从中摸一 个球不放回，至少要摸出（　　）个球，才能保证取到的球里有两个颜色相同。 A．2 B．5 C．10 D．4 6．书店里有 26名同学正在挑选书籍，每人只选购 1本，有自然科学类、文化历史 类、艺术欣赏类、运动健康类四个种类，总有 1类书至少有（　　）名同学选购。 A．9 B．8 C．7 D．6 7．有黑色、白色、黄色的筷子各 8根，混杂在一起，黑暗中想从这些筷子之中取 出颜色不同的两双筷子，至少要取出（　　）根才能保证达到要求。 A．9 B．10 C．11 D．12 8．把 26条金鱼最多放进（　　）个鱼缸里，才能保证至少有一个鱼缸里不少于 5 条金鱼。 A．4 B．5 C．6 D．7 9．现有 25名学生分组玩游戏，至少再来（　　）名学生就可以正好 3人一组。 A．1 B．2 C．3 D．4 10．箱子里有 5个黑球、3个蓝球、2个白球、1个红球，如果一次摸 7个球，至 少能摸到一个（　　）球。 A．黑 B．蓝 C．白 D．红 二．填空题（共 5 小题） 11．袋中有 7个红花片，3个绿花片（花片除颜色外其他均相同）。任意摸一次， 摸到 ______花片的可能性最大，至少要摸出 ______个花片，才能保证一定摸到绿 花片。 12．有黑色、白色、蓝色手套各 5只，至少要拿出 ______只（拿的时候不许看颜 色），才能使拿出的手套中一定有两只是同种颜色的。 13．不透明的箱子里有红，黄，蓝三种颜色的球各 10个，若要保证摸到十个颜色 相同的球，至少要摸 ______个。 14．袋子里有红球、黄球、白球分别为 3个、5个、7个，为使取出的球中保证有 4个同色，最少要取 ______个球。 15．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各 10个放在一个袋子里，至少取出 ______个 球，可以保证取到两个颜色相同的球。 三．应用题（共 5 小题） 16．将一筐萝卜分给 6只兔子，要保证至少有一只兔子分到 3个萝卜，这筐萝卜至 少有多少个？ 17．某班有个小书架，40名学生可以任意借阅图书，小书架上至少要有多少本 书，才保证总有一名同学至少借到两本书？ 18．作文比赛中，六年级共有 7名选手获奖，已知六年级有 6个班，你能不能肯定 选手至少有 2名来自同一个班？为什么？ 19．盒子里装有同样规格的红、蓝、黑手套各若干只，现在任意地从中摸取。那 么，至少需要摸出多少只手套才能保证有两只同色？ 20．把红、白、蓝三种颜色的小球各 10个混在一起放入一个不透明的箱子里，每 次至少拿出几个才能保证一定有 2个同色的小球？如果要保证有 4个同色小球呢？ 第五讲 数学广角——鸽巢问题 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．一个小组有15个人，他们中至少有（　　）个人在同一个月过生日。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】一年有12个月，从最不利的情况出发，如果每个月都有人过生日，那么用总人数除以12，如果有余数，把所得的商再加1，即可计算出他们中至少有多少个人在同一个月过生日。 【解答】解：一年有12个月。 15÷12=1（人）……3（人） 1+1=2（人） 答：他们中至少有2个人在同一个月过生日。 故选：B。 2．盒子里有红球、黄球各4个，要想保证摸出的球一定有两个是同色的，则摸出球的个数至少为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意可知，盒子里的球共有两种颜色，摸出2个时，有可能一个红的，一个黄的，所以只要再摸出一个就能保证有2个同色的，即至少要摸出2+1=3（个）球。 【解答】解：2+1=3（个） 所以要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出3个球。 故选：A。 3．13只鸽子飞进4个笼子，总有一个笼子至少飞进（　　）只鸽子． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】把4个笼子看作4个抽屉，把13只鸽子看作13个元素，那么每个抽屉需要放13÷4=3（只）…1（只），所以每个抽屉需要放3只，剩下的1只不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：3+1=4（只），所以，至少有4只鸽子飞进同一个笼子．据此解答． 【解答】解：13÷4=3（只）…1（只） 3+1=4（只） 答：至少有4只鸽子飞进同一个笼子． 故选：D． 4．六二班有49名同学，这个班至少有（　　）名同学是同一个月出生的。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】一年有12个月，将12个月看作12个抽屉，49名同学看作49个元素，利用抽屉原理最差情况：要使每个月的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分，再根据“至少数=元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”，代入数据即可求解。 【解答】解：49÷12=4（人）……1（人） 4+1=5（人） 答：六二班有49名同学，这个班至少有5名同学是同一个月出生的。 故选：C。 5．口袋里有9个红球、4个白球、1个黑球，球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球不放回，至少要摸出（　　）个球，才能保证取到的球里有两个颜色相同。 A．2 B．5 C．10 D．4 【答案】D 【分析】把3种不同颜色看作3个抽屉，把不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉需要先放1个球，共需要3个，再取出1个球不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，据此解答。 【解答】解：3+1=4（个） 答：至少要摸出4个球，才能保证取到的球里有两个颜色相同。 故选：D。 6．书店里有26名同学正在挑选书籍，每人只选购1本，有自然科学类、文化历史类、艺术欣赏类、运动健康类四个种类，总有1类书至少有（　　）名同学选购。 A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】每人只选购1本，有自然科学类、文化历史类、艺术欣赏类、运动健康类四个种类，共有4种选法，看作4个抽屉，然后根据抽屉原理解答即可。 【解答】解：26÷4=6（名）……2（名） 6+1=7（名） 答：总有1类书至少有7名同学选购。 故选：C。 7．有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子，至少要取出（　　）根才能保证达到要求。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】把3种不同颜色看作3个抽屉，把8根不同颜色的筷子看作8个元素，从最不利情况考虑，其中一种颜色取尽，然后再取其它颜色，比如一个抽屉需要先放8根黑筷子，这时没有异色筷子，再在另外两个抽屉里不论放2根白色或2根黄色还是1根白色和一根黄色，不可能组成颜色不同的两双筷子，所以还需要再取1根，因此至少要取出：8+2+1=11（根）；据此解答。 【解答】解：8+2+1 =10+1 =11（根） 答：至少要取出11根才能保证达到要求。 故选：C。 8．把26条金鱼最多放进（　　）个鱼缸里，才能保证至少有一个鱼缸里不少于5条金鱼。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】考虑最不利的情况，假设只有1个一个鱼缸里有5条金鱼，其它鱼缸里都有4条金鱼，然后根据抽屉原理解答即可。 【解答】解：（26-1）÷（5-1） =25÷4 =6（个）……1（条） 所以把26条金鱼最多放进6个鱼缸里，才能保证至少有一个鱼缸里不少于5条金鱼。 故选：C。 9．现有25名学生分组玩游戏，至少再来（　　）名学生就可以正好3人一组。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】用除法求出25里面有几个3，再用3减去余数就是至少需要再来的人数。 【解答】解：25÷3=8（组）……1（名） 3-1=2（名） 至少再来2名学生就可以正好3人一组。 故选：B。 10．箱子里有5个黑球、3个蓝球、2个白球、1个红球，如果一次摸7个球，至少能摸到一个（　　）球。 A．黑 B．蓝 C．白 D．红 【答案】A 【分析】5＞3＞2＞1，考虑最不利的情况，前6个球把蓝球、白球、红球都摸出，再摸一个球一定是黑球；据此解答即可。 【解答】解：蓝球、白球、红球得总个数是：1+2+3=6（个） 前6个球把蓝球、白球、红球都摸出，再摸一个球一定是黑球； 所以如果一次摸7个球，至少能摸到一个黑球。 故选：A。 二．填空题（共5小题） 11．袋中有7个红花片，3个绿花片（花片除颜色外其他均相同）。任意摸一次，摸到 ______花片的可能性最大，至少要摸出 ______个花片，才能保证一定摸到绿花片。 【答案】红；8。 【分析】（1）根据两种球数量的多少，直接判断可能性的大小即可；哪种颜色的球的数量越多，摸到的可能性就越大，据此解答即可； （2）根据随机事件发生的可能性，假设前7次摸到的全是红花片，则至少摸8个花片，才能保证有一个绿花片。 【解答】解：因为7＞3，红花片的数量多，所以摸到红花片的可能性大；假设前7次摸到的全是红花片，则至少摸8个花片，才能保证有一个绿花片。 故答案为：红；8。 12．有黑色、白色、蓝色手套各5只，至少要拿出 ______只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两只是同种颜色的。 【答案】4。 【分析】因只有三种颜色，所以考虑到最差情况，就是拿出的3只是不同颜色的，这时，只要再拿出一只，不论是什么颜色的，就一定有一双是同色的，据此解答。 【解答】解：3+1=4（只） 即至少拿出4只，才能使拿出的手套中一定有一双是同色的。 故答案为：4。 13．不透明的箱子里有红，黄，蓝三种颜色的球各10个，若要保证摸到十个颜色相同的球，至少要摸 ______个。 【答案】28。 【分析】最坏情况是三种颜色的球各摸出9个，此时再摸出1个球，一定有10个颜色相同的球，据此解答即可。 【解答】解：9×3+1 =27+1 =28（个） 答：至少要摸28个。 故答案为：28。 14．袋子里有红球、黄球、白球分别为3个、5个、7个，为使取出的球中保证有4个同色，最少要取 ______个球。 【答案】10。 【分析】考虑最不利原则，把红球3个全部取完，黄球和白球分别去3个，则再任意取一个，必有4个球同色，据此解答。 【解答】解：3+3+3+1=10（个） 答：为使取出的球中保证有4个同色，最少要取10个球。 故答案为：10。 15．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放在一个袋子里，至少取出 ______个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 【答案】5。 【分析】红、黄、蓝、白四种颜色的球各取出1个后，再任取1个，就能保证取到两个颜色相同的球。 【解答】解：根据分析列式为：4+1=5（个） 答：至少取出5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 故答案为：5。 三．应用题（共5小题） 16．将一筐萝卜分给6只兔子，要保证至少有一只兔子分到3个萝卜，这筐萝卜至少有多少个？ 【分析】假设每只兔子先分到2个萝卜，再随便拿1个萝卜，随意分给1只兔子，就能保证至少有一只兔子分到3个萝卜． 【解答】解：6×2+1 =13+1 =13（个） 答：这筐萝卜至少有13个． 17．某班有个小书架，40名学生可以任意借阅图书，小书架上至少要有多少本书，才保证总有一名同学至少借到两本书？ 【分析】根据题干，若每人都借1本，需要40本，此时若再多出1本，无论借给哪个同学，都能使这个同学能借到2本书． 【解答】解：根据题干分析可得：40+1=41（本） 答：小书架上至少要有41本书，才保证总有一名同学至少借到两本书． 18．作文比赛中，六年级共有7名选手获奖，已知六年级有6个班，你能不能肯定选手至少有2名来自同一个班？为什么？ 【分析】把6个班看作6个抽屉，7人看作7个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答． 【解答】解：7÷6=1（名）…1（名） 1+1=2（名） 答：肯定有选手至少有2名来自同一个班． 19．盒子里装有同样规格的红、蓝、黑手套各若干只，现在任意地从中摸取。那么，至少需要摸出多少只手套才能保证有两只同色？ 【答案】4只。 【分析】最坏情况是红、蓝、黑手套各摸出1只，此时再摸出1只，一定有两只同色，一共需要摸出4只。 【解答】解：3+1=4（只） 答：至少需要摸出4只手套才能保证有两只同色。 20．把红、白、蓝三种颜色的小球各10个混在一起放入一个不透明的箱子里，每次至少拿出几个才能保证一定有2个同色的小球？如果要保证有4个同色小球呢？ 【分析】（1）根据题意可知，小球的颜色共有3种，利用抽屉原理最差情况：每种颜色的各拿出1个，共需要3个，再任意拿出一个，就能保证一定有2个同色的小球，即一次至少要拿出3+1=4个小球才能保证两个小球是同色的． （2）利用抽屉原理最差情况：每种颜色的各拿出3个，共需要3×3=9个，再任意拿出一个，就能保证一定有4个同色的小球，即一次至少要拿出9+1=10个小球才能保证4个小球是同色的；据此即可解答． 【解答】解：（1）3+1=4（个） 答：每次至少拿出4个才能保证一定有2个同色的小球． （2）3×3+1 =9+1 =10（个） 答：每次至少拿出10个才能保证一定有4个同色的小球． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五讲 数学广角——鸽巢问题 考点1 抽屉原理 3 考点回顾 1．抽屉原理 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k=[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k=个物体：当n能被m整除时． 理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数． 例：[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2； 关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算． 方法归纳 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k=[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k=个物体：当n能被m整除时． 考点1 抽屉原理 典例 例1（2025春•周至县期中）一个盒子里有红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（　　）个球。 A．11 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】考虑最不利原则，三种颜色的球各摸一个，再任意摸一个，一共有2个同色的球，据此选择。 【解答】解：3+1=4（个） 答：要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出4个球。 故选：C。 【点评】本题考查了抽屉原理问题的应用。 例2（2024秋•长春期末）一个袋子里有红、白、蓝三种颜色的球各5个，至少摸出（　　）个球，可以保证有两个球颜色相同。 A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】由题意可知，有红、白、蓝三种颜色的球，要保证至少有2个颜色相同，最坏的情况是每种颜色各摸出1，即摸出3个，此时只要再任摸一个，即摸出3+1=4个就能保证至少有2个球颜色相同，据此解答。 【解答】解：3+1=4（个） 答：至少摸出4个球，可以保证有两个球颜色相同。 故选：A。 【点评】此类题有规律可循，当要求的是至少取几个，出现同色的球时，只要用颜色数加1即可得出结论。 例3（2024秋•鹿城区期末）工厂里98个零件中有21个次品，要保证取出的零件中至少有一个合格品，则至少应该取出（　　）个零件。 A．21 B．22 C．77 D．78 【答案】B 【分析】98个零件中有21个次品，那么合格的零件有98-21=77（个）；考虑最差情况，取出的前21个，全是不合格的零件，此时，再从剩下的77个合格品中任取1个，就一定能保证取出的零件中至少有1个合格品，据此解答即可。 【解答】解：21+1=22（个） 答：至少应该取出22个零件。 故选：B。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k=[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k=个物体：当n能被m整除时． 【变式练1】（2024•陕州区）盒子里有同样大小的红球和黄球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（　　）个球。 A．5 B．4 C．3 【变式练2】（2024•双城区）垃圾一般分为：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾。依依把10件垃圾分类投放，总有一个垃圾桶至少投放了（　　）件垃圾。 A．3 B．4 C．5 【变式练3】（2024•郯城县）运动会上，在5分钟投篮比赛中，六年（1）班的10名同学共投中了82个，总有一名队员至少投中（　　）个球。 A．7 B．8 C．9 D．10 【变式练4】（2025春•陇县期中）盒子里有同样大小的黑球10个，红球5个，白球8个，至少摸出 ______个球才能保证摸到两个颜色相同的球。 【变式练5】（2025春•下陆区校级期中）将五种不同颜色的卡片各8张放入同一个箱子里，从中至少抽 ______张，才能保证一定有4张同种颜色的卡片。 【变式练6】（2024秋•李沧区期末）在一个不透明的袋子里，放了12个除颜色外完全相同的小球，其中白球4个，黄球3个，红球5个，每次任意摸出1个球不放回，至少摸 ______次才能保证摸出的球是白球。 【变式练7】（2024春•成武县期中）希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、女生的人数比是3：2。从中随机选取，至少选出多少人才能保证选出的学生中男、女生都有？ 【变式练8】（2022•满洲里市）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌． （1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有2张花色相同？ （4）至少取多少张牌，保证有2张红桃？ 学科网（北京）股份有限公司 $$第五讲 数学广角——鸽巢问题 考点 1 抽屉原理....................................................3 1．抽屉原理 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在 n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至 少放有 2个物体． 例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就 有以下四种情况： ①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉 考点目录 按住 ctrl 并单击页码，即可跳转到相关考点 位置 考点回顾 里有 2个或多于 2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2个物体． 抽屉原则二：如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 n＞m，那么必有一个抽 屉至少有： ①k=[ n m ]+1个物体：当 n不能被 m整除时． ②k= n m 个物体：当 n能被 m整除时． 理解知识点：[X]表示不超过 X的最大整数． 例：[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2； 关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽 屉原则进行运算． 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在 n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2个物体． 抽屉原则二：如果把 n个物体放在 m个抽屉里，其中 n＞m，那么必有一个抽屉至少 有： ①k=[ n m ]+1个物体：当 n不能被 m整除时． ②k= n m 个物体：当 n能被 m整除时． 方法归纳 考点 1 抽屉原理 例 1（2025春•周至县期中）一个盒子里有红球、黄球、蓝球各 10个，要想摸出 的球一定有 2个同色的，至少要摸出（　　）个球。 A．11 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】考虑最不利原则，三种颜色的球各摸一个，再任意摸一个，一共有 2个 同色的球，据此选择。 【解答】解：3+1=4（个） 答：要想摸出的球一定有 2个同色的，至少要摸出 4个球。 故选：C。 【点评】本题考查了抽屉原理问题的应用。 例 2（2024秋•长春期末）一个袋子里有红、白、蓝三种颜色的球各 5个，至少 摸出（　　）个球，可以保证有两个球颜色相同。 A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】由题意可知，有红、白、蓝三种颜色的球，要保证至少有 2个颜色相同， 最坏的情况是每种颜色各摸出 1，即摸出 3个，此时只要再任摸一个，即摸出 3+1=4 个就能保证至少有 2个球颜色相同，据此解答。 【解答】解：3+1=4（个） 答：至少摸出 4个球，可以保证有两个球颜色相同。 故选：A。 【点评】此类题有规律可循，当要求的是至少取几个，出现同色的球时，只要用 颜色数加 1即可得出结论。 例 3（2024秋•鹿城区期末）工厂里 98个零件中有 21个次品，要保证取出的零 典例 件中至少有一个合格品，则至少应该取出（　　）个零件。 A．21 B．22 C．77 D．78 【答案】B 【分析】98个零件中有 21个次品，那么合格的零件有 98-21=77（个）；考虑最 差情况，取出的前 21个，全是不合格的零件，此时，再从剩下的 77个合格品中 任取 1个，就一定能保证取出的零件中至少有 1个合格品，据此解答即可。 【解答】解：21+1=22（个） 答：至少应该取出 22个零件。 故选：B。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差 情况考虑。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在 n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2个 物体． 抽屉原则二：如果把 n个物体放在 m个抽屉里，其中 n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k=[ n m ]+1个物体：当 n不能被 m整除时． ②k= n m 个物体：当 n能被 m整除时． 【变式练 1】（2024•陕州区）盒子里有同样大小的红球和黄球各 4个，要想摸 出的球一定有 2个同色的，至少要摸出（　　）个球。 A．5 B．4 C．3 【变式练 2】（2024•双城区）垃圾一般分为：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、 可回收垃圾。依依把 10件垃圾分类投放，总有一个垃圾桶至少投放了（　　） 件垃圾。 A．3 B．4 C．5 【变式练 3】（2024•郯城县）运动会上，在 5分钟投篮比赛中，六年（1）班的 10名同学共投中了 82个，总有一名队员至少投中（　　）个球。 A．7 B．8 C．9 D．10 【变式练 4】（2025 春•陇县期中）盒子里有同样大小的黑球 10 个，红球 5 个， 白球 8个，至少摸出 ______个球才能保证摸到两个颜色相同的球。 【变式练 5】（2025春•下陆区校级期中）将五种不同颜色的卡片各 8张放入同 一个箱子里，从中至少抽 ______张，才能保证一定有 4张同种颜色的卡片。 【变式练 6】（2024秋•李沧区期末）在一个不透明的袋子里，放了 12个除颜色 外完全相同的小球，其中白球 4个，黄球 3个，红球 5个，每次任意摸出 1个球 不放回，至少摸 ______次才能保证摸出的球是白球。 【变式练 7】（2024春•成武县期中）希望小学六年级准备开展“中华好诗词” 活动，六（1）班有 45名学生，男、女生的人数比是 3：2。从中随机选取，至 少选出多少人才能保证选出的学生中男、女生都有？ 【变式练 8】（2022•满洲里市）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的 52张中任 意取牌． （1）至少取多少张牌，保证有 2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有 2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有 2张花色相同？ （4）至少取多少张牌，保证有 2张红桃？ 第五讲 数学广角——鸽巢问题 考点1 抽屉原理 3 考点回顾 1．抽屉原理 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k=[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k=个物体：当n能被m整除时． 理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数． 例：[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2； 关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算． 方法归纳 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k=[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k=个物体：当n能被m整除时． 考点1 抽屉原理 典例 例1（2025春•周至县期中）一个盒子里有红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（　　）个球。 A．11 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】考虑最不利原则，三种颜色的球各摸一个，再任意摸一个，一共有2个同色的球，据此选择。 【解答】解：3+1=4（个） 答：要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出4个球。 故选：C。 【点评】本题考查了抽屉原理问题的应用。 例2（2024秋•长春期末）一个袋子里有红、白、蓝三种颜色的球各5个，至少摸出（　　）个球，可以保证有两个球颜色相同。 A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】由题意可知，有红、白、蓝三种颜色的球，要保证至少有2个颜色相同，最坏的情况是每种颜色各摸出1，即摸出3个，此时只要再任摸一个，即摸出3+1=4个就能保证至少有2个球颜色相同，据此解答。 【解答】解：3+1=4（个） 答：至少摸出4个球，可以保证有两个球颜色相同。 故选：A。 【点评】此类题有规律可循，当要求的是至少取几个，出现同色的球时，只要用颜色数加1即可得出结论。 例3（2024秋•鹿城区期末）工厂里98个零件中有21个次品，要保证取出的零件中至少有一个合格品，则至少应该取出（　　）个零件。 A．21 B．22 C．77 D．78 【答案】B 【分析】98个零件中有21个次品，那么合格的零件有98-21=77（个）；考虑最差情况，取出的前21个，全是不合格的零件，此时，再从剩下的77个合格品中任取1个，就一定能保证取出的零件中至少有1个合格品，据此解答即可。 【解答】解：21+1=22（个） 答：至少应该取出22个零件。 故选：B。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k=[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k=个物体：当n能被m整除时． 【变式练1】（2024•陕州区）盒子里有同样大小的红球和黄球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（　　）个球。 A．5 B．4 C．3 【答案】C 【分析】根据题意可知，盒子里的球共有两种颜色，摸出2个时，有可能一个红的，一个黄的，所以只要再摸出一个就能保证有2个同色的，即至少要摸出（2+1）个球。 【解答】解：2+1=3（个） 答：要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出3个球。 故选：C。 【变式练2】（2024•双城区）垃圾一般分为：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾。依依把10件垃圾分类投放，总有一个垃圾桶至少投放了（　　）件垃圾。 A．3 B．4 C．5 【答案】A 【分析】把4类垃圾看作4个抽屉，把10件垃圾看作10个元素，利用抽屉原理最差情况：要使同一月出生的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分即可。 【解答】解：10÷4=2（件）……2（件） 2+1=3（件） 答：总有一个垃圾桶至少投放了3件垃圾。 故选：A。 【变式练3】（2024•郯城县）运动会上，在5分钟投篮比赛中，六年（1）班的10名同学共投中了82个，总有一名队员至少投中（　　）个球。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】将10名同学作为抽屉，将82个球放入抽屉中，利用抽屉原理最差情况：要使每个抽屉里的个数最少，只要使每个抽屉里的元素数尽量平均分即可。 【解答】解：82÷10=8（个）……2（个） 8+1=9（个） 答：总有一名队员至少投中9个球。 故选：C。 【变式练4】（2025春•陇县期中）盒子里有同样大小的黑球10个，红球5个，白球8个，至少摸出 ______个球才能保证摸到两个颜色相同的球。 【答案】4。 【分析】考虑最不利的情况，先摸出3个球是三种颜色，再摸出1个球一定能保证摸到两个颜色相同的球。 【解答】解：3+1=4（个） 答：至少摸出4个球才能保证摸到两个颜色相同的球。 故答案为：4。 【变式练5】（2025春•下陆区校级期中）将五种不同颜色的卡片各8张放入同一个箱子里，从中至少抽 ______张，才能保证一定有4张同种颜色的卡片。 【答案】16。 【分析】把五种不同颜色的卡片看作5个抽屉，卡片的张数看作元素，利用抽屉原理最差情况，每个抽屉里放3个元素，需要15个元素，如果再任取1张，就能保证一定有4张同种颜色的卡片。 【解答】解：3×5+1=16（张） 答：从中至少抽16张，才能保证一定有4张同种颜色的卡片。 故答案为：16。 【变式练6】（2024秋•李沧区期末）在一个不透明的袋子里，放了12个除颜色外完全相同的小球，其中白球4个，黄球3个，红球5个，每次任意摸出1个球不放回，至少摸 ______次才能保证摸出的球是白球。 【答案】9。 【分析】把黄球3个、红球5个全部摸出后，再摸1个球，才能保证摸出的球其中有一个是白球，据此解答即可。 【解答】解：3+5+1=9（次） 答：至少摸9次才能保证摸出的球是白球。 故答案为：9。 【变式练7】（2024春•成武县期中）希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、女生的人数比是3：2。从中随机选取，至少选出多少人才能保证选出的学生中男、女生都有？ 【答案】28人。 【分析】先根据男、女生人数比是3：2，可得男生占总人数的，用乘法得出男生人数为27人，再求出女生人数为18人。建立抽屉，因为男女生分别为27人、18人，可以看作27个抽屉，把男女生共45人看作元素，要保证选出的人中男、女生都有，根据抽屉原则，要每个抽屉里先选一个即27个同性别的，然后再选一个，无论放在那一个抽屉里，就可以保证选出的人中有男生、女生；即至少要选取27+1=28（人）才能保证选出的人中男生、女生都有。由此解答。 【解答】解：男生人数：45× =45× =27（人） 女生人数：45× =45× =18（人） 27+1=28（人） 答：至少选出28人才能保证选出的学生中男、女生都有。 【变式练8】（2022•满洲里市）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌． （1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有2张花色相同？ （4）至少取多少张牌，保证有2张红桃？ 【答案】14，5，5，41。 【分析】剩下的52张扑克牌中，共有4种花色，红桃、黑桃、方片，梅花各13张。 （1）保证有2张牌的点数相同，最坏的情况是，从A到K各取一张，此时只要再任意抽取一张，就能保证有2张牌的点数相同； （2）保证有2张牌的点数不同，最坏的情况是，取出4张同点数的牌，4种花色各一张，此时只要再任意抽取一张，就能保证2张牌的点数不同； （3）保证有2张花色相同，最坏的情况是，抽4张牌中，红桃、黑桃、方片，梅花各1张，此时只要再任意抽一张，就能保证至少2张牌的花色相同； （4）保证有2张红桃，最坏的情况是，把13张黑桃、13张方片和13张梅花都取完，然后再取两张就能保证有2张红桃。 【解答】解：（1）13+1=14（张） 答：至少取14张牌，保证有2张牌的点数相同。 （2）4+1=5（张） 答：至少取5张牌，保证有2张牌的点数不同。 （3）4+1=5（张） 答：至少取5张牌，保证有2张花色相同。 （4）13+13+13+2=41（张） 答：至少取41张牌，保证有2张红桃。 学科网（北京）股份有限公司 $$