第四讲 比例 （讲义+强化训练）-2024-2025学年人教版六年级下册期末复习宝典

第四讲 比例 考点1 比例的意义和基本性质 6 考点2 解比例 10 考点3 正比例 15 考点4 反比例 19 考点5 比例尺 22 考点6 图形的放大与缩小 26 考点7 比例的应用 30 考点回顾 1．比例的意义和基本性质 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例． 组成比例的四个数，叫做比例的项． 组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项． 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． 如：4：5=16：20⇔4×20=5×16 2．解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项= （2）求未知内项= 3．正比例 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 举例如下： （1）正方形的周长与边长 （比值：4）。 （2）同圆的周长与直径 （比值：π）。 （3）购买的总价与购买的数量（比值：单价）。 （4）速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速度成正比例。 4.反比例 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 反比例例子： 1、百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例； 2、排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例； 3、做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数； 4、总价一定，它的单价和数量是反比例； 5、长方形的面积一定，长和宽是反比例； 6、长方体的体积一定，底面积和高是反比例； 7、等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例； 8、总价一定，单价与数量成反比例； 9、总纸盒一定，每人做的个数与人数成反比例。 5.比例尺 1．比例尺： 表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺． 即：图上距离：实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺分类： 比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺： （1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比． （2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离． 2．比例尺表示方法： 用公式表示为：实际距离=图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法． （1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：． （2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离． （3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一． 3．比例尺公式： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺=图上距离÷实际距离． 6.图形的放大与缩小 1、图形方法与缩小的意义 图形变大了，但形状没有发生变化，叫做图形的放大 图形变小了，但形状没有发生变化，叫做图形的缩小 2、画放大或缩小后图形的方法 把图形按照n：1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n：1 把图形按照1：n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的1/n，缩小后图形与原图形对应边长的比是1：n 图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等， 图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数 7.比例的应用 根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解． 方法归纳 1、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项= （2）求未知内项= 2、画放大或缩小后图形的方法 把图形按照n：1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n：1 把图形按照1：n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的1/n，缩小后图形与原图形对应边长的比是1：n 图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等， 图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数 考点1 比例的意义和基本性质 典例 例1（2025春•石家庄期中）能与3：8组成比例的是（　　） A．8：3 B．0.2：0.5 C．15：40 D．6：11 【答案】C 【分析】比例是表示两个比相等的式子，所以能与3：8组成比例的比的比值应与3：8的比值相等。 【解答】解：3：8= A选项：8：3=； B选项：0.2：0.5=； C选项：15：40=； D选项：6：11=。 所以3：8=15：40，能与3：8组成比例的是15：40。 故选：C。 【点评】解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，分别计算求出两内项的积和两外项的积等于能组成比例，不等于就不能组成比例。 例2（2025春•海口期中）在下面各比中，能组成比例的是（　　） A．8：6和 B．6：8和 C．6：8和 D．8：6和 【答案】B 【分析】判断两个比能不能组成比例，可以分别求出比值，比值相等，能组成比例，否则，不能组成比例。 【解答】解：8：6= = 所以8：6和不能组成比例； 6：8= = 所以6：8和能组成比例； 6：8= = 所以6：8和不能组成比例； 8：6= = 所以8：6和不能组成比例。 故选：B。 【点评】本题主要考查比例的意义，注意判断能否组成比例可以用求比值的方法，求出比值，比值相等两个比就能组成比例。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例． 组成比例的四个数，叫做比例的项． 组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项． 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． 【变式练1】（2025春•龙岗区期中）在下面各比中，与：能组成比例的是（　　） A．2：5 B．5：2 C．：2 D．： 【答案】B 【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。算出各选项的比值，找出与：比值相等的选项组成比例。 【解答】解：：=÷= A选项2：5= B选项5：2= C选项：2= D选项：= 故选：B。 【变式练2】（2025春•高邮市期中）在比例里，一个内项乘3，要使比例仍然成立，下面说法错误的是（　　） A．另一个内项除以3 B．一个外项乘3 C．一个外项乘 D．另一个内项乘 【答案】C 【分析】比例的两内项积=两外项积，一个内项乘3，根据积的变化规律，则两内项积乘3，要使比例仍然成立，两外项积也要乘3，即其中一个外项乘3，或另一个内项除以3，据此分析。 【解答】解：根据分析，在一个比例中，一个内项乘3，要使比例仍然成立，可以另一个内项除以3，即另一个内项乘，也可以一个外项乘3。 所以一个外项乘是错误的。 故选：C。 【变式练3】（2025春•蓝田县期中）在一个比例中，已知两个内项的积是1，其中一个外项是，则另一个外项是 ______。 【答案】。 【分析】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。题目中已知内项的积为1，因此外项的积也应为1。已知其中一个外项是，只需利用积的关系即可求出另一个外项。 【解答】解：1÷= 所以另一个外项是。 故答案为：。 【变式练4】（2025春•冷水滩区校级期中）若x、y均不为0，把2x=y改写成一个比例是 ______。 【答案】x：y=3：10（答案不唯一）。 【分析】根据比例的基本性质进行解答即可。 【解答】解：2x=y 10x=3y x：y=3：10（答案不唯一） 故答案为：x：y=3：10（答案不唯一）。 【变式练5】（2025春•陇县期中）比例的两个外项交换位置后，比例依然成立．______（判断对错） 【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行判断． 【解答】解：在一个比例中，两个外项交换位置后，两内项之积仍然等于两外项之积， 所以仍是比例； 例如：2：3=4：6， 6：3=4：2； 故答案为：√． 【变式练6】（2025春•未央区期中）如果两个比的前项不同，后项也不同，那么这两个比不可能组成比例。 ______（判断对错） 【答案】× 【分析】本题要根据比例的意义进行第一步判断，再根据比的基本性质求比值，就会得到它们的比值一定相等，比值相等的两个比可以组成比例。 【解答】解：两个比的前项不同，后项也不同，两个前项的积等于两个后项的积，两个比的比值相等，就可以组成比例，原题说法错误。 故答案为：×。 考点2 解比例 典例 例1（2024春•鄄城县期中）如果3：5=x：2，那么x应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的性质，可得5x=3×2，再利用等式的性质两边同时除以5，即可得出x=，据此即可选择． 【解答】解：3：5=x：2，      5x=3×2，   5x÷5=6÷5，       x=． 故选：A． 【点评】熟练运用比例的基本性质，掌握比例式和等式的转化． 例2（2025春•冷水滩区校级期中）若x是比例1.2：x=2：5解，那么，3x+1.5= ______。 【答案】10.5。 【分析】根据比例的基本性质，求出比例的解，再把未知数的值代入到3x+1.5中，最后算出结果即可。 【解答】解：1.2：x=2：5              2x=1.2×5              2x=6                x=3 把x=3代入到3x+1.5中； 3×3+1.5 =9+1.5 =10.5 答：3x+1.5=10.5。 故答案为：10.5。 【点评】本题解题的关键是熟练掌握解比例的方法。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项= （2）求未知内项= 【变式练1】如果A：B=19，那么（A×9）：（B×9）=（　　） A．1 B．19 C．2 D．81 【答案】B 【分析】我们知道比的性质是指比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比的大小不变；据此解答。 【解答】解：A：B=19，那么（A×9）：（B×9）=19。 故选：B。 【变式练2】在=中，a的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”由此可求得a,进而选择正确答案． 【解答】解： 根据比例的基本性质可解得：a=4， 故选：B． 【变式练3】（2024•武江区模拟）一个比例的两个外项分别是2.5和4，其中一个内项是2，另一个内项是 ______。 【答案】5。 【分析】根据比例的基本性质：外项积等于内项积，用外项积除以其中一个内项，就是另一个内项。 【解答】解：2.5×4÷2 =10÷2 =5 答：另一个内项是5。 故答案为：5。 【变式练4】（2022•东昌府区）如果3x：4.8=5，那么x=______；如果，那么x=______。 【答案】8；。 【分析】根据比例的基本性质，把比例化成普通方程，然后再根据等式的性质求解即可。 【解答】解：3x：4.8=5               3x=4.8×5               3x=24                 x=8    x=×    x=      x= 所以如果3x：4.8=5，那么x=8；如果，那么x=。 故答案为：8；。 【变式练5】（2025春•石家庄期中）解比例。 （1）：x=3：8 （2） （3）2.4：3.6=x：12 （4）：x=3：12 【答案】（1）x=2；（2）x=3；（3）x=8；（4）x=3。 【分析】（1）根据比例的基本性质，把比例改写为3x=的形式，再根据等式的性质求解。 （2）根据比例的基本性质，把比例改写为6x=1.5×12的形式，再根据等式的性质求解。 （3）根据比例的基本性质，把比例改写为3.6x=2.4×12的形式，再根据等式的性质求解。 （4）根据比例的基本性质，把比例改写为3x=的形式，再根据等式的性质求解。 【解答】解：（1）：x=3：8                     3x=                     3x=6                       x=2 （2）            6x=1.5×12            6x=18              x=3 （3）2.4：3.6=x：12                3.6x=2.4×12                3.6x=28.8                     x=8 （4）：x=3：12              3x=              3x=9                x=3 【变式练6】甲乙仓库堆放货物的质量比为3：7，甲运进9吨，乙仓库运出4吨后，甲乙堆放的货物质量比为3：5，甲乙两仓库原来各有多少吨？（用解比例） 【答案】28.5吨；66.5吨。 【分析】设甲仓库原来有货物3x吨，乙仓库原来有货物7x吨，甲仓库原来的货物加上9吨比乙仓库原来的货物减去4吨等于3：5，据此列出比例式，再解答即可。 【解答】解：设甲仓库原来有货物3x吨，乙仓库原来有货物7x吨。 （3x+9）：（7 x-4）=3：5              （3x+9）×5=（7 x-4）×3                   15 x+45=21 x-12              15 x+45-45=21 x-12-45                        15 x=21 x-57                21 x-15 x=57                         6 x=57                     6 x÷6=57÷6                           x=9.5 9.5×3=28.5（吨），9.5×7=66.5（吨） 答：甲仓库原来有28.5吨，乙仓库原来有66.5吨。 考点3 正比例 例1（2024春•三原县期中）如图中，表示正比例的是（　　）典例 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系，由此可知，正比例的图象是过原点的一条射线，据此解答。 【解答】解；根据正比例图象的特点可知，符合正比例图象的特点，所以是正比例图象。 故选：C。 【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义以及正比例图象的特点。 例2（2023•浦口区）表示x和y成正比例关系的式子是（　　） A．x+y=12 B．y=0.8x C．x-y=20 D．xy=10 【答案】B 【分析】判断x与y是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例 【解答】解：A、x+y=12，x与y的和一定，不符合题意； B、y=0.8x,所以=0.8（一定），所以x、y比值一定，x与y成正比例，符合题意； C、x-y=20，x与y的差一定，不符合题意； D、xy=10（一定），积一定，x、y成反比例，不符合题意； 故选：B． 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，再做出判断． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 【变式练1】（2023春•德惠市校级期中）下列说法错误的是（　　） A．圆的周长与直径成正比例 B．圆的周长与半径成正比例 C．圆的面积与直径成正比例 【答案】C 【分析】判断两种相关联的量之间是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例。 【解答】解：A.圆的周长÷直径=π（一定），是比值一定，所以圆的周长和直径成正比例；原题说法正确； B.圆的周长÷半径=2π（一定），是比值一定，所以圆的周长与半径成正比例；原题说法正确； C.因为S=πr2，r=，可得出：S=π（）2=π××d2=，=（一定）； 也就是圆的面积和直径的平方的比值是一定的，所以圆的面积和直径的平方成正比例；原题说法错误。 故选：C。 【变式练2】（2023春•沛县期中）如图表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油关系。根据图像判断，行驶125千米耗油（　　）升。 A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】从图象中找到路程为125千米的点，看它对应的耗油量。 【解答】解：路程125千米，从图像上看耗油量是10升。 故选：B。 【变式练3】比例尺一定时，图上距离和实际距离成______关系． 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系，由此判定即可． 【解答】解：图上距离：实际距离=比例尺， 图上距离和实际距离是两种相关联的量，图上距离随实际距离的变化而变化，比例尺一定，也就是图上距离和实际距离的比值一定，所以图上距离和实际距离成正比例关系． 故答案为：正比例． 【变式练4】若x=y,则x：y=（ ______：______），x和y成 ______比例。 【答案】5；4；正。 【分析】根据正比例为比值一定即可解答。 【解答】解：若x=y,则x：y=（ 5：4），x和y成正比例。 故答案为：5；4；正。 【变式练5】（2024春•龙里县期中）如果ab÷5=17，则a与b成正比例。 ______（判断对错） 【答案】× 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此分析。 【解答】解：如果ab÷5=17，ab=17×5=85（一定），是两个量的乘积一定，则a与b成反比例；原题说法错误。 故答案为：×。 【变式练6】（2023•邻水县）已知5x=3y,那么x与y成正比例。 ______（判断对错） 【答案】√ 【分析】根据等式性质，把5x=3y两边同时除以5得到x=y,两边再同时除以y,得到x÷y=，因为比值一定，所以是正比例。 【解答】解：5x=3y         x=y     x÷y= 比值一定，成正比例。 故答案为：√。 考点4 反比例 典例 例1（2024春•成武县期中）铺地面积一定，（　　）和用砖块数成反比例． A．每块砖的边长 B．每块砖的面积 C．每块砖的周长   【答案】B 【分析】据题意知，铺地的面积一定，方砖的面积和方砖的块数等于铺地的面积，所以方砖的面积和方砖的块数成反比例，由此即可做出判断． 【解答】解：因为，方砖的面积×方砖的块数=铺地的面积（一定）， 所以，每块方砖的面积和方砖的块数成反比例， 故选：B。 【点评】解答此题的关键是，正确判断题中哪两种量成何比例，即如果两种量的乘积一定，则成反比例，比值一定，则成正比例． 例2（2023•金水区）如表所示，如果A与B两个量成反比例，那么“x”是（　　） A 12 8 B 6 x A．9 B．0 C．4 【答案】A 【分析】正比例是指当两种量中相对应的两个数的比值一定时，这两种量就叫做成正比例的量；反比例是指当两种量中相对应的两个数的积一定时，这两种量就叫做成反比例的量。 【解答】解：如果A与B两个量成反比例，那么  8x=6×12  8x=72    x=9 故选：A。 【点评】本题考查的是根据成哪种比例关系列比例式并解比例，解比例时要根据等式的性质解答。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 【变式练1】成反比例的两种量在变化过程中，一种量缩小，另一种量（　　） A．扩大 B．缩小 C．不变 【答案】A 【分析】反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy=k（一定）。 【解答】解：成反比例的两种量在变化过程中，因为乘积一定，所以一种量扩大，另一种量缩小。 故选：A。 【变式练2】下列各式中（a、b均不为0），a和b成反比例的是（　　） A．a×8= B．9a=6b C．a×-1÷b=0 D．=b 【答案】C 【分析】要想判定a和b成什么比例关系，必须根据式子，进行推导．然后根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定哪一个选项a与b成反例关系． 【解答】解：A选项：a×8=，所以b：a=40（一定），a与b成正比例； B选项：因为9a=6b,所以a：b=（一定），a与b成正比例； C选项：因为a×-1÷b=0，所以a×b=3（一定），a与b成反比例； D选项不成正比例也不成反比例． 故选：C。 【变式练3】总价一定，购买的练习本的本数和 ______成反比例。 【答案】单价。 【分析】因为购买的练习本的本数×单价=总价（一定），所以购买的练习本的本数和单价成反比例。 【解答】解：总价一定，购买的练习本的本数和单价成反比例。 故答案为：单价。 【变式练4】两个量x和y成反比例，如果x=2时，y=5，那么y=时，x=______。 【答案】15。 【分析】根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系成反比例关系。据此即可列出比例关系式，然后解比例。 【解答】解：由题意得，x=2×5                        x=10                           x=15 答：x=15。 故答案为：15。 【变式练5】xy+3=19，x和y成反比例关系。 ______（判断对错） 【答案】√ 【分析】判断成正比例关系还是成反比例关系，如果两个变量的比值一定，这两个量成正比例关系，如果乘积一定，成反比例关系。 【解答】解：因为xy+3=19 所以xy=19-3=16（乘积一定），x和y成反比例关系，原题说法正确。 故答案为：√。 【变式练6】给一间教室铺地砖，每块地砖的面积和所需地砖的块数成反比例．______．（判断对错） 【答案】√ 【分析】成反比例的量的特点是：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，它们的积一定；由此根据每块地砖的面积×所需地砖的块数=这间教室的面积即可进行推理判断． 【解答】解：根据题干分析可得：每块地砖的面积×所需地砖的块数=这间教室的面积， 这间教室的面积是一个定值，每块地砖的面积变大，则所需地砖的块数就减少，反之增多； 所以原题说法正确． 故答案为：√． 考点5 比例尺 典例 例1（2025春•城阳区期中）量得一个精密零件长10mm,画在图纸上的长度为5cm,那么这幅图纸的比例尺是（　　） A．5：1 B．1：2 C．1：5 【答案】A 【分析】根据“比例尺=图上距离：实际距离”，以及进率“1cm=10mm”，求出这幅图的比例尺。 【解答】解：5厘米=50毫米 50：10=5：1 答：这幅图的比例尺是5：1。 故选：A。 【点评】本题考查比例尺的意义以及长度单位的换算，结合题意分析解答即可。 例2（2025春•高邮市期中）学校运动场长120米，宽60米。要画在长15厘米，宽10厘米的练习本上，下列的比例尺选用（　　）比较合适。 A．1：10000 B．1：1000 C．1：100 D．1：10 【答案】B 【分析】把学校运动场，长是120米，宽是60米．要在一张长15厘米、宽10厘米的长方形纸上，长用图上12厘米代表实际120米，图上宽6厘米代表实际60米的线段比例尺比较合适，转化成数值比例尺就是图上12厘米代表实际12000厘米，图上6厘米代表实际6000厘米，化成前项是1的最简整数比。 【解答】解：长用图上12厘米代表实际120米，图上宽6厘米代表实际60米的线段比例尺比较合适； 转化成数值比例尺就是图上12厘米代表实际12000厘米，图上6厘米代表实际6000厘米； 12厘米：12000厘米=1：1000 6厘米：6000厘米=1：1000 答：比例尺选用1：1000比较合适。 故选：B。 【点评】此题是考查比例尺的意义及应用，画地图首先确定比例尺，依据是实际的大小、画在图上的大小。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．比例尺表示方法： 用公式表示为：实际距离=图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法． （1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：． （2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离． （3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一． 2．比例尺公式： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺=图上距离÷实际距离． 【变式练1】（2024•延安）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行驶110千米，乙车每小时行驶90千米，经过3小时两车相遇。已知A、B两地在一幅地图上的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是（　　） A．1：4000000 B．1：8000000 C．1：12000000 D．1：120000 【答案】C 【分析】先根据总路程=速度和×相遇时间，得出A、B两地的实际距离，再根据比例尺是图上距离与实际距离的比，解答即可。 【解答】解：（110+90）×3 =200×3 =600（千米） 600千米=60000000厘米 5厘米：60000000厘米 =5：60000000 =1：12000000 答：这幅地图的比例尺是1：12000000。 故选：C。 【变式练2】（2024•安宁区）如图是六（1）班的教室平面图，亮亮在平面图上量得教室的长为5cm,这间教室的实际长是10m,这幅平面图的比例尺是（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：200 D．200：1 【答案】C 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，代入数据，化简比即可；注意单位的换算：1m=100cm。 【解答】解：5cm：10m =5cm：（10×100）cm =5：1000 =（5÷5）：（1000÷5） =1：200 答：这幅平面图的比例尺是1：200。 故选：C。 【变式练3】（2025春•梁山县期中）一种微型零件长5mm,画在图上长2cm,这幅图的比例尺是______。 【答案】见试题解答内容 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离列式解答即可。 【解答】解：2cm=20mm 20：5 =（20÷5）：（5÷5） =4：1 故答案为：4：1。 【变式练4】（2025春•北京期中）从天安门到北京大兴国际机场的实际距离大约是50km,在一幅地图上量得这两地之间的距离是2cm,这幅地图的比例尺是______。 【答案】1：2500000。 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，代入数据解答即可。 【解答】解：2cm：50km =2cm：5000000cm =1：2500000 答：这幅地图的比例尺是1：2500000。 故答案为：1：2500000。 【变式练5】（2025春•陇县期中）“天宫”飞行器上的一种精密零件，长5毫米，画在图纸上它的长为8厘米，这张图纸的比例尺是16：1。 ______（判断对错） 【答案】√。 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，代入数据计算即可求出比例尺，再和16：1比较即可判断。 【解答】解：8厘米：5毫米 =80毫米：5毫米 =80：5 =16：1 所以这张图纸的比例尺是16：1。 原题说法正确。 故答案为：√。 【变式练6】（2025春•城阳区期中）在1：2000和1：1000两个比例尺中，选用1：1000的比例尺画出来的平面图要大一些。 ______（判断对错） 【答案】√。 【分析】比例尺是指图上距离与实际距离的比，当实际距离相等时，如果比例尺越小，说明图上距离1厘米表示的实际距离的长度越大，那么画出的图就越小；反之，如果比例尺越大，也就是图上1厘米表示的实际距离的长度越小，画出的图就越大。 【解答】解：根据比例尺的含义可知： 当实际距离相等时，如果比例尺越小，说明图上距离1厘米表示的实际距离的长度越大，那么画出的图就越小；反之，如果比例尺越大，也就是图上1厘米表示的实际距离的长度越小，画出的图就越大。 原题说法正确。 故答案为：√。 考点6 图形的放大与缩小 典例 例1（2024•柘城县）一个长4厘米、宽3厘米的长方形，按3：1的比放大，放大后图形的面积是（　　）平方厘米。 A．12 B．36 C．108 D．324 【答案】C 【分析】长方形按1：3放大后，得到的图形的面积之比是：1：9，由此即可解答。 【解答】解：4×3×9=108（平方厘米） 答：得到的图形的面积是108平方厘米。 故选：C。 【点评】根据图形按照一定的比把图形放大与缩小，则放大与缩小后的面积之比等于这个比的平方。 例2（2025春•龙岗区期中）把一个图形按2：1变化后，得到的图形与原图形相比较，正确的说法是（　　） A．面积扩大原来的4倍 B．面积扩大到原来的2倍 C．面积缩小到原来的4倍 D．周长扩大到原来的4倍 【答案】A 【分析】把一个图形按n：1变化后，得到的图形与原图形比较，对应边扩大到原来的n倍，周长扩大也扩大到原来的n倍，但是面积扩大到原来的n2倍。 【解答】解：把一个图形按2：1变化后，得到的图形与原图形相比较，周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍。 故选：A。 【点评】本题考查了图形的放大和缩小知识，结合题意分析解答即可。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 画放大或缩小后图形的方法 把图形按照n：1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n：1 把图形按照1：n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的1/n，缩小后图形与原图形对应边长的比是1：n 图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等， 图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数 【变式练1】（2024春•惠阳区期中）一个长方形的长是4分米，宽是3分米，把它按3：1扩大，得到图形的面积是（　　）平方分米。 A．36 B．108 C．42 【答案】B 【分析】根据图形放大与缩小的意义，长4分米，宽3分米的长方形按3：1放大后，长是（4×3）分米，宽是（3×3）分米。根据长方形的面积计算公式“S=ab”即可求出放大后长方形的面积。 【解答】解：（4×3）×（3×3） =12×9 =108（平方分米） 答：得到的长方形的面积是108平方分米。 故选：B。 【变式练2】（2024•广汉市）一个长方形，长和宽分别为10cm和8cm,按照1：2的比例缩小，所得到的新的长方形的长和宽分别为（　　） A．4cm、5cm B．5cm、4cm C．16cm、20cm D．20cm、16cm 【答案】B 【分析】用10和8分别乘，即可解答。 【解答】解：10×=5（cm） 8×=4（cm） 答：所得到的新的长方形的长和宽分别为5cm、4cm。 故选：B。 【变式练3】（2025春•东台市期中）把一个长方形按照1：4的比例缩小，缩小后长方形与原来长方形的周长的比是 ______，面积的比 ______。 【分析】根据长方形的周长公示：C=（a+b）×2，长方形的面积公式：S=ab,再根据积的变化规律，积缩小的倍数等于因数缩小倍数的乘积；把长方形按1：4缩小，缩小后长和宽是原来长方形长和宽的，周长是原来图形周长的，即缩小后长方形与原来长方形的周长比是1：4；面积是原来图形面积的×=，即缩小后长方形与原来长方形的面积比是1：16；据此解答即可。 【解答】解：把长方形按1：4缩小，缩小后长和宽是原来长方形长和宽的，周长是原来图形周长的，即缩小后长方形与原来长方形的周长比是1：4；面积是原来图形面积的×=，即缩小后长方形与原来长方形的面积比是1：16。 故答案为：1：4；1：16。 【变式练4】（2025春•榕城区期中）科技小组把一块芯片按5：1的比例放大画到纸上，得到一个长5.4厘米，宽4.5厘米的长方形，这块芯片的面积是 ______平方厘米。 【答案】0.972。 【分析】把一块芯片按5：1的比例放大画到纸上，得到一个长5.4厘米，宽4.5厘米的长方形，即将这个长方形的长和宽同时扩大5倍，原来芯片的长为5.4÷5=1.08（厘米），宽为4.5÷5=0.9（厘米），再根据长方形的面积公式S=ab,代入数据解答即可。 【解答】解：原来芯片的长为5.4÷5=1.08（厘米），宽为4.5÷5=0.9（厘米）。 1.08×0.9=0.972（平方厘米） 答：这块芯片的面积是0.972平方厘米。 故答案为：0.972。 【变式练5】（2023春•揭东区期中）把一个长方形按1：3的比缩小，缩小后与缩小前的图形的面积相差64平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】72平方厘米。 【分析】一个图形按1：3缩小后，缩小后的图形的面积与缩小前图形的面积的比是（1×1）：（3×3）=1：9；由此解答即可． 【解答】解：缩小后的图形的面积与缩小前图形的面积的比是（1×1）：（3×3）=1：9 64÷（9-1）×9 =64÷8×9 =72（平方厘米） 答：原来长方形的面积是72平方厘米。 【变式练6】（2023春•北票市期中）一块正方形草坪，边长30米，把边长缩小到原来的后画在图纸上，图纸上正方形的面积是多少平方厘米？ 【分析】根据题意，先根据比例尺计算缩小后的正方形的边长，然后利用正方形面积公式S=a2，计算图纸上的面积即可． 【解答】解：30×=0.3（米） 0.3×0.3=0.09（平方米） 0.09平方米=900立方厘米 答：图纸上正方形的面积是900平方厘米． 考点7 比例的应用 典例 例1（2024•章丘区）铺设一条煤气管道。计划每天铺设120米，用12天完成任务。由于居民着急使用，上级要求每天多铺20%，这样可以提前几天完成？（用比例的知识解） 【分析】把计划每天铺设的长度（120米）看作单位“1”，则实际每天铺设120×（1+20%）米，设这样可以提前x天完成，实际用了（12-x）天完成。根据“工作量=工作效率×工作时间”，这条煤气管道的长度（即工作量）一定，据此可列比例“120×12=120×（1+20%）×（12-x）”解答。 【解答】解：设提前x天完成任务。    120×12=120×（1+20%）×（12-x）    120×12=120×120%×（12-x）       1440=144×（12-x） 1440÷144=144×（12-x）÷144           10=12-x        10+x=12-x+x        10+x=12    10+x-10=12-10             x=2 答：这样可以提前2天完成。 【点评】列比例解答应用题的关键是设出未知数，再找出含有未知数的等式。 例2（2024•麦积区）一间教室要用方砖铺地，用面积是64平方分米的方砖要90块，如果改用6分米的方砖，需要多少块？（用比例解） 【答案】160块。 【分析】这块地的面积是一定的，每块砖的面积与所需要的块数成反比例，设出未知数，列出比例式解答即可。 【解答】解：设需要方砖x块，由题意得： 6×6×x=64×90     36x=5760         x=160 答：需要方砖160块。 【点评】此题主要考查对反比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但两种量的乘积一定，这两种量成反比例。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 【变式练1】（2024春•双流区期中）甲、乙两校参加“希望杯”全国数学邀请赛的学生人数之比是7：8，获奖人数之比是2：3，两校各有320人未获奖，那么两校参赛的学生共有多少人？ 【答案】960人。 【分析】首先设甲校参赛的学生有7x人，乙校参赛的学生有8x人，则甲、乙两校获奖人数分别为（7x-320）人和（8x-320）人；然后根据两校获奖人数比为2：3可列出方程，再根据比例的性质解方程，即可解决问题。 【解答】解：设甲校参赛的学生有7x人，乙校参赛的学生有8x人。 （7x-320）：（8x-320）=2：3  （7x-320）×3=（8x-320）×2     x=64 64×（7+8） =64×15 =960（人） 答：两校参赛的学生共有960人。 【变式练2】（2024秋•南海区校级月考）《中华人民共和国国旗法》中对国旗的构造有着明确的规定：旗面为红色、长方形：长与宽之比为3：2，也就是宽是长的。中国国旗尺寸不是统一的，在必要时，可按比例放大或缩小。一面国旗长192cm,这面国旗周长是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】6.4米，2.4576平方米。 【分析】用192乘，求出长方形的宽，再根据长方形周长=（长+宽）×2，再根据长方形面积=长×宽，即可解答。 【解答】解：192厘米=1.92米   1.92× =1.28（米） 周长： （1.92+1.28）×2 =3.2×2 =6.4（米） 面积： 1.92×1.28= 2.4576（平方米） 答：这面国旗周长是6.4米，面积是2.4576平方米。 【变式练3】（2023•天河区）工程队修一条公路，计划每天4.5千米，20天完成，实际每天修6千米，实际几天可修完？（用比例解） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意知道，总工作量一定，工作时间和工作效率成反比例，由此列式解答即可． 【解答】解：实际x天可修完． 4.5×20=6×x      6x=90       x=15； 答：实际15天可修完． 【变式练4】（2023•南丹县）为了抗击疫情，先锋口罩厂计划生产一批口罩，如果每天生产4万只，需要25天才能完成，实际只用20天就完成任务，实际每天生产多少万只口罩？（用比例知识解） 【答案】5万只口罩。 【分析】由题意可知：这批口罩的总量是一定的，则每天生产的量与生产天数成反比例，据此即可列比例求解。 【解答】解：设实际每天生产口罩x万只口罩。 20x=4×25 20x=100     x=5 答：实际每天生产5万只口罩。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 比例 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．比例是一个（　　） A．比 B．等式 C．方程 D．以上都正确 2．如果x=y,那么x：y=（　　） A．6：5 B．5：6 C．3：4 D．4：3 3．美术老师想将一幅画放大后放在橱窗里展览，他调到200%来复印，这幅图是按照（　　）复印出来的． A．1：2 B．2：1 C．1：200 D．200：1 4．一幅地图上用3cm的线段表示6km的实际距离，这幅地图的比例尺是（　　） A．1：2 B．1：2000 C．1：200000 D．2：1 5．三角形的边长都是3厘米，如果按4：1的比放大，放大后的三角形和原三角形的面积比是（　　） A．3：1 B．4：1 C．9：1 D．16：1 6．一个芯片的实际尺寸是4mm×4mm,如图是按照一定的比绘制的芯片平面图，这幅图的比例尺是（　　） A．1：5 B．1：2 C．5：1 D．5：12 7．如图2个长方形的面积相等，根据它们边的关系写出的比例正确的是（　　） A．8：a=9：b B．8：9=a：b C．8：9=b：a D．9：a=b：8 8．一个精密仪器上的零件长度是5mm,画在图纸上的长度是2cm,这幅图纸的比例尺是（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：1 9．a：b=c：d（a、b、c、d均不为0），如果a扩大到原来的10倍，要使该比例仍然成立，那么可以把（　　） A．b缩小到原来的 B．c缩小到原来的 C．c扩大到原来的10倍 D．d扩大到原来的10倍 10．如图所示，三角形a边上的高为b,c边上的高为d。根据这些信息，下面式子不成立的是（　　） A．a：c=d：b B．a：c=b：d C． D． 二．填空题（共4小题） 11．在36的因数中选两个数与：0.6组成比例，这个比例可以是 ______。 12．如果a：=6：b,那么ab=______；如果3a=2b（a、b都不为0），那么a：b=______：______。 13．在一个比例里，两个内项的积是2，如果一个外项是，那么另一个外项是 ______。 14．科技小组把一块芯片按5：1的比例放大画到纸上，得到一个长5.4厘米，宽4.5厘米的长方形，这块芯片的面积是 ______平方厘米。 三．判断题（共4小题） 15．成正比例关系的图像是一条直线。 ______ 16．x=1.5是比例6：x=3：1的解。 ______ 17．“天宫”飞行器上的一种精密零件，长5毫米，画在图纸上它的长为8厘米，这张图纸的比例尺是16：1。 ______ 18．一个比例中，两个内项的积是8，其中一个外项是5，则另一个外项是3。 ______ 四．计算题（共1小题） 19．解比例。 ① ②0.25：x=1.25：9 ③ ④ 五．应用题（共5小题） 20．一种稀释消毒液，用药液和水按1：200配制而成。要配制这种稀释消毒液603千克，需要药液多少千克？（用比例知识解答） 21．某测量小组把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米，同时测得一水塔的影长为7.2米，这座水塔的高是多少米？ 22．某校组织知识竞赛，其中，五年级和六年级参赛人数之比为4：3，五年级有8人、六年级有24人没有参加竞赛。已知五六年级人数之比为5：6，问六年级比五年级多几人？ 23．游泳比赛的泳池是一个长方形，把泳池的长和宽分别缩小到原来的后图形如下． （1）泳池实际的长和宽各是多少米？ （2）泳池的实际占地面积是多少平方米？ 24．小明步行从家出发，先要经过超市再到学校，线路按一定的比例画在图中，已知小明家到超市的距离是450m。请你结合测量和以上信息解答下列问题： （1）这幅图的比例尺是多少？ （2）超市到学校的实际距离大约是多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 比例 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．比例是一个（　　） A．比 B．等式 C．方程 D．以上都正确 【答案】B 【分析】两个数相除叫两个数的比；含有未知数的等式叫方程；比例是表示两个或多个比相等的式子，据此选择即可。 【解答】解：比例是一个等式。 故选：B。 2．如果x=y,那么x：y=（　　） A．6：5 B．5：6 C．3：4 D．4：3 【答案】A 【分析】因为x=y,于是逆运用比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出这个比例式，从而作出正确选择． 【解答】解：因为x=y, 则x：y=：=6：5； 故选：A． 3．美术老师想将一幅画放大后放在橱窗里展览，他调到200%来复印，这幅图是按照（　　）复印出来的． A．1：2 B．2：1 C．1：200 D．200：1 【答案】A 【分析】把复印出的图形的面积看作“200”，则原图形的面积就是“100”，根据比的意义，即可写出原图形与复印后图形面积的比． 【解答】解：把复印出的图形的面积看作“200”，则原图形的面积就是“100” 100：200=1：2 答：将这幅画按1：2复印出来． 故选：A． 4．一幅地图上用3cm的线段表示6km的实际距离，这幅地图的比例尺是（　　） A．1：2 B．1：2000 C．1：200000 D．2：1 【答案】C 【分析】根据比例尺=图上距离÷实际距离，代入数据解答即可． 【解答】解：6km=600000cm 3：600000=1：200000 答：这幅地图的比例尺是1：200000． 故选：C． 5．三角形的边长都是3厘米，如果按4：1的比放大，放大后的三角形和原三角形的面积比是（　　） A．3：1 B．4：1 C．9：1 D．16：1 【答案】D 【分析】三角形的边长都是3厘米，如果按4：1的比放大，放大后三角形的边长都是（3×4）厘米。图形放大的倍数是指对应边放大的倍数，其面积放大部分是这个倍数的42倍。 【解答】解：42：12=16：1 答：放大后的三角形和原三角形的面积比是16：1。 故选：D。 6．一个芯片的实际尺寸是4mm×4mm,如图是按照一定的比绘制的芯片平面图，这幅图的比例尺是（　　） A．1：5 B．1：2 C．5：1 D．5：12 【答案】C 【分析】根据比例尺的意义，比例尺=图上距离：实际距离，即可求出这幅图的比例尺。 【解答】解：2cm=20mm 20：4=5：1 答：这幅图的比例尺是5：1。 故选：C。 7．如图2个长方形的面积相等，根据它们边的关系写出的比例正确的是（　　） A．8：a=9：b B．8：9=a：b C．8：9=b：a D．9：a=b：8 【答案】C 【分析】长方形面积=长×宽，2个长方形的面积相等，由此可以写出8a=9b,根据比例的基本性质，比例的两内项积=两外项积，将各选项比例写成两内项积=两外项积的形式，得到8a=9b的比例正确。 【解答】解：8a=9b A．8：a=9：b,根据比例的基本性质，可得8b=9a,排除； B．8：9=a：b,根据比例的基本性质，可得8b=9a,排除； C．8：9=b：a,根据比例的基本性质，可得8a=9b,正确； D．9：a=b：8，根据比例的基本性质，可得ab=9×8，排除。 即根据它们边的关系写出的比例正确的是8：9=b：a。 故选：C。 8．一个精密仪器上的零件长度是5mm,画在图纸上的长度是2cm,这幅图纸的比例尺是（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：1 【答案】D 【分析】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，比例尺=图上距离：实际距离，据此解答。 【解答】解：由题意可知： 图上距离：实际距离 =2cm：5mm =（2×10）mm：5mm =20：5 =（20÷5）：（5÷5） =4：1 所以，这幅图纸的比例尺是4：1。 故选：D。 9．a：b=c：d（a、b、c、d均不为0），如果a扩大到原来的10倍，要使该比例仍然成立，那么可以把（　　） A．b缩小到原来的 B．c缩小到原来的 C．c扩大到原来的10倍 D．d扩大到原来的10倍 【答案】C 【分析】先根据比例的基本性质把比例式a：b=c：d改写成ad=bc,再根据积的变化规律得出结论。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 【解答】解：由a：b=c：d可得：ad=bc； 如果a扩大到原来的10倍，则ad的积扩大到原来的10倍； A．b缩小到原来的，则bc的积缩小到原来的，那么ad≠bc,该比例不成立； B．c缩小到原来的，则bc的积缩小到原来的，那么ad≠bc,该比例不成立； C．c扩大到原来的10倍，则bc的积扩大到原来的10倍，那么ad=bc,该比例成立； D．d扩大到原来的10倍，则ad的积扩大到原来的10×10=100倍，那么ad≠bc,该比例不成立。 故选：C。 10．如图所示，三角形a边上的高为b,c边上的高为d。根据这些信息，下面式子不成立的是（　　） A．a：c=d：b B．a：c=b：d C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式S=底×高÷2，ab÷2=cd÷2，ab=cd。 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 【解答】解：由分析可知：ab=cd。 A.a：c=d：b,得ab=cd,式子成立。 B.a：c=b：d,得ad=bc,式子不成立。 C.，得ab=cd,式子成立。 D.，得ab=cd,式子成立。 故选：B。 二．填空题（共4小题） 11．在36的因数中选两个数与：0.6组成比例，这个比例可以是 ______。 【答案】4：12=（答案不唯一）。 【分析】找出36的因数后写出一个比，使比值等于的比值即可。 【解答】解： = = 36的因数有1、36、2、18、3、12、4、9、6。 4÷12= 所以4：12=（答案不唯一） 12．如果a：=6：b,那么ab=______；如果3a=2b（a、b都不为0），那么a：b=______：______。 【答案】2；2：3。 【分析】（1）直接根据比例的基本性质作答，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积； （2）逆用比例的基本性质解答即可。 【解答】解：因为a：=6：b, ab=×6=2； 因为3a=2b（a,b均不为0）， 所以a：b=2：3。 故答案为：2；2：3。 13．在一个比例里，两个内项的积是2，如果一个外项是，那么另一个外项是 ______。 【答案】7。 【分析】根据比例的基本性质可知，在比例中，两个内项的积除以一个外项，即可求出另一个外项，据此列式计算即可。 【解答】解：2÷=7 答：另一个外项是7。 故答案为：7。 14．科技小组把一块芯片按5：1的比例放大画到纸上，得到一个长5.4厘米，宽4.5厘米的长方形，这块芯片的面积是 ______平方厘米。 【答案】0.972。 【分析】把一块芯片按5：1的比例放大画到纸上，得到一个长5.4厘米，宽4.5厘米的长方形，即将这个长方形的长和宽同时扩大5倍，原来芯片的长为5.4÷5=1.08（厘米），宽为4.5÷5=0.9（厘米），再根据长方形的面积公式S=ab,代入数据解答即可。 【解答】解：原来芯片的长为5.4÷5=1.08（厘米），宽为4.5÷5=0.9（厘米）。 1.08×0.9=0.972（平方厘米） 答：这块芯片的面积是0.972平方厘米。 故答案为：0.972。 三．判断题（共4小题） 15．成正比例关系的图像是一条直线。 ______ 【答案】×。 【分析】正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 【解答】解：成正比例关系的图像是一条射线。原题说法错误。 故答案为：×。 16．x=1.5是比例6：x=3：1的解。 ______ 【答案】×。 【分析】根据比例的基本性质，把比例改写为3x=6×1的形式，再根据等式的性质求解，据此判断。 【解答】解：6：x=3：1           3x=6×1           3x=6             x=2 比例6：x=3：1的解是x=2，原题干说法错误。 故答案为：×。 17．“天宫”飞行器上的一种精密零件，长5毫米，画在图纸上它的长为8厘米，这张图纸的比例尺是16：1。 ______ 【答案】√。 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，代入数据计算即可求出比例尺，再和16：1比较即可判断。 【解答】解：8厘米：5毫米 =80毫米：5毫米 =80：5 =16：1 所以这张图纸的比例尺是16：1。 原题说法正确。 故答案为：√。 18．一个比例中，两个内项的积是8，其中一个外项是5，则另一个外项是3。 ______ 【答案】×。 【分析】根据比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，据此判断。 【解答】解：8÷5=1.6 即一个比例中，两个内项的积是8，其中一个外项是5，则另一个外项是1.6。即原说法错误。 故答案为：×。 四．计算题（共1小题） 19．解比例。 ① ②0.25：x=1.25：9 ③ ④ 【答案】①x=2.4；②x=1.8；③x=；④x=。 【分析】①根据比例的基本性质，把比例改写为：3x=1.2×6的形式，再根据等式的性质求解。 ②根据比例的基本性质，把比例改写为：1.25x=0.25×9的形式，再根据等式的性质求解。 ③根据比例的基本性质，把比例改写为：4x=的形式，再根据等式的性质求解。 ④根据比例的基本性质，把比例改写为：x=的形式，再根据等式的性质求解。 【解答】解：①              3x=1.2×6              3x=7.2                x=2.4 ②0.25：x=1.25：9         1.25x=0.25×9         1.25x=2.25                x=1.8 ③         4x=         4x=           x= ④       x=       x=           x= 五．应用题（共5小题） 20．一种稀释消毒液，用药液和水按1：200配制而成。要配制这种稀释消毒液603千克，需要药液多少千克？（用比例知识解答） 【答案】3千克。 【分析】由“用药液和水按照1：200配制而成”可以看出，农药的浓度一定，那么药液和农药的质量的比值一定，所以药液和农药的质量成正比例，设需要药液x千克，利用药液和农药的比，列出比例解答即可。 【解答】解：设需要药液x千克， x：（603-x）=1：200              200x=603-x              201x=603                    x=3 答：需要药液3千克。 21．某测量小组把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米，同时测得一水塔的影长为7.2米，这座水塔的高是多少米？ 【分析】同时同地物体高度与影长成正比例关系，竹竿高度：影长=水塔高度：影长，由此即可列比例解答． 【解答】解：设这座水塔的高是x米． 3：1.2=x：7.2；   1.2x=3×7.2；      x=；      x=18； 答：这座水塔的高是18米． 22．某校组织知识竞赛，其中，五年级和六年级参赛人数之比为4：3，五年级有8人、六年级有24人没有参加竞赛。已知五六年级人数之比为5：6，问六年级比五年级多几人？ 【答案】8人。 【分析】设五年级人数为5x人，则六年级人数为6x人，利用五六年级参赛人数、没有参赛的关系列方程求解即可。 【解答】解：设五年级人数为5x人，则六年级人数为6x人， （5x-8）：（6x-24）=4：3 　　　　　　24x-96=15x-24 　　　　　　　　9x=72 　　　　　　　 　x=8 6×8-5×8 =48-40 =8（人） 答：六年级比五年级多8人。 23．游泳比赛的泳池是一个长方形，把泳池的长和宽分别缩小到原来的后图形如下． （1）泳池实际的长和宽各是多少米？ （2）泳池的实际占地面积是多少平方米？ 【分析】（1）根据实际距离=图上距离÷比例尺，可代入数据分别求出实际的长和宽； （2）用实际的长乘实际的宽可求出实际的占地面积．据此解答． 【解答】解：（1）0.05÷=50（米） 0.021÷=21（米） 答：泳池实际的长是50米，宽是21米． （2）50×21=1050（平方米） 答：泳池实际占地面积是1050平方米． 24．小明步行从家出发，先要经过超市再到学校，线路按一定的比例画在图中，已知小明家到超市的距离是450m。请你结合测量和以上信息解答下列问题： （1）这幅图的比例尺是多少？ （2）超市到学校的实际距离大约是多少米？ 【答案】（1）1：15000；（2）750米。 【分析】（1）先量出从小明家到超市的图上距离，再根据图上距离：实际距离=比例尺，求出这幅图的比例尺； （2）量出从超市到学校的图上距离，再根据图上距离÷比例尺=实际距离，解答即可。 【解答】解：（1）图上小明家到超市的距离是3厘米。 3厘米：450米 =3厘米：45000厘米 =3：45000 =1：15000 答：这幅图的比例尺是1：15000。 （2）图上超市到学校的距离是5厘米。 5÷ =5×15000 =75000（厘米） =750（米） 答：超市到学校的实际距离大约是750米。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$第四讲 比例 考点 1 比例的意义和基本性质............................................................................6 考点 2 解比例 ......................................................................................................8 考点 3 正比例 ....................................................................................................11 考点 4 反比例 ....................................................................................................13 考点 5 比例尺 ....................................................................................................14 考点 6 图形的放大与缩小 .................................................................................17 考点 7 比例的应用 ............................................................................................19 1．比例的意义和基本性质 考点目录 按住 ctrl 并单击页码，即可跳转到相关考点 位置 考点回顾 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例． 组成比例的四个数，叫做比例的项． 组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项． 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基 本性质． 如：4：5=16：20⇔4×20=5×16 2．解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中 的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项= 已知内项 × 已知内项 已知外项 （2）求未知内项= 已知外项 × 已知外项 已知内项 3．正比例 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变 化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫 作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 举例如下： （1）正方形的周长与边长 （比值：4）。 （2）同圆的周长与直径 （比值：π）。 （3）购买的总价与购买的数量（比值：单价）。 （4）速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速度成正比例。 4.反比例 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变 化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的 量，它们的关系叫做反比例关系。 反比例例子： 1、百米赛跑，路程 100米不变，速度和时间是反比例； 2、排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例； 3、做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数； 4、总价一定，它的单价和数量是反比例； 5、长方形的面积一定，长和宽是反比例； 6、长方体的体积一定，底面积和高是反比例； 7、等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例； 8、总价一定，单价与数量成反比例； 9、总纸盒一定，每人做的个数与人数成反比例。 5.比例尺 1．比例尺： 表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的 比，叫做这幅图的比例尺． 即：图上距离：实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺分类： 比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺： （1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是 1：20000或．为了方便，通常把比 例尺写成前项（或后项）是 1的比． （2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的 距离． 2．比例尺表示方法： 用公式表示为：实际距离=图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法． （1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上 1 厘 米代表实地距离 500千米，可写成：1：50000000或写成： 1 50000000 ． （2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上 1 厘米所代表的实际距离． （3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上 1 厘米代表实地距离多少千米， 如：图上 1厘米相当于地面距离 500千米，或五千万分之一． 3．比例尺公式： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺=图上距离÷实际距离． 6.图形的放大与缩小 1、图形方法与缩小的意义 图形变大了，但形状没有发生变化，叫做图形的放大 图形变小了，但形状没有发生变化，叫做图形的缩小 2、画放大或缩小后图形的方法 把图形按照 n：1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的 n倍，放大后图 形与原图形对应边长的比是 n：1 把图形按照 1：n 缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的 1/n，缩小后图 形与原图形对应边长的比是 1：n 图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等， 图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数 7.比例的应用 根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比 例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解． 1、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另 外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项= 已知内项 × 已知内项 已知外项 （2）求未知内项= 已知外项 × 已知外项 已知内项 2、画放大或缩小后图形的方法 把图形按照 n：1 放大，就是将图形的每一条边放大到原来的 n 倍，放大后图形与原 图形对应边长的比是 n：1 把图形按照 1：n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的 1/n，缩小后图形与原图 方法归纳 形对应边长的比是 1：n 图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等， 图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数 考点 1 比例的意义和基本性质 例 1（2025春•石家庄期中）能与 3：8组成比例的是（　　） A．8：3 B．0.2：0.5 C．15：40 D．6：11 【答案】C 【分析】比例是表示两个比相等的式子，所以能与 3：8组成比例的比的比值应 与 3：8的比值相等。 【解答】解：3：8= 3 8 A选项：8：3= 8 3 ； B选项：0.2：0.5= 2 5 ； C选项：15：40= 3 8 ； D选项：6：11= 6 11 。 所以 3：8=15：40，能与 3：8组成比例的是 15：40。 故选：C。 【点评】解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，分别 计算求出两内项的积和两外项的积等于能组成比例，不等于就不能组成比例。 例 2（2025春•海口期中）在下面各比中，能组成比例的是（　　） 典例 A．8：6和 1 4 ：3 B．6：8和 1 4 ： 1 3 C．6：8和 1 4 ：3 D．8：6和 1 4 ： 1 3 【答案】B 【分析】判断两个比能不能组成比例，可以分别求出比值，比值相等，能组成比 例，否则，不能组成比例。 【解答】解：8：6= 4 3 1 4 ：3= 1 12 所以 8：6和 1 4 ：3不能组成比例； 6：8= 3 4 1 4 ： 1 3 = 3 4 所以 6：8和 1 4 ： 1 3 能组成比例； 6：8= 3 4 1 4 ：3= 1 12 所以 6：8和 1 4 ：3不能组成比例； 8：6= 4 3 1 4 ： 1 3 = 3 4 所以 8：6和 1 4 ： 1 3 不能组成比例。 故选：B。 【点评】本题主要考查比例的意义，注意判断能否组成比例可以用求比值的 方法，求出比值，比值相等两个比就能组成比例。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例． 组成比例的四个数，叫做比例的项． 组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项． 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． 【变式练 1】（2025春•龙岗区期中）在下面各比中，与1 2 ： 1 5 能组成比例的是（　　） A．2：5 B．5：2 C． 1 5 ：2 D． 1 5 ： 1 2 【变式练 2】（2025春•高邮市期中）在比例里，一个内项乘 3，要使比例仍然 成立，下面说法错误的是（　　） A．另一个内项除以 3 B．一个外项乘 3 C．一个外项乘 1 3 D．另一个内项乘 1 3 【变式练 3】（2025春•蓝田县期中）在一个比例中，已知两个内项的积是 1， 其中一个外项是 2 3 ，则另一个外项是 ______。 【变式练 4】（2025春•冷水滩区校级期中）若 x、y均不为 0，把 2x=3 5 y改写成 一个比例是 ______。 【变式练 5】（2025春•陇县期中）比例的两个外项交换位置后，比例依然成 立．______（判断对错） 【变式练 6】（2025春•未央区期中）如果两个比的前项不同，后项也不同，那 么这两个比不可能组成比例。 ______（判断对错） 考点 2 解比例 例 1（2024春•鄄城县期中）如果 3：5=x：2，那么 x应该是（　　） A． 6 5 B． 5 6 C． 10 3 D． 3 10 【答案】A 【分析】根据比例的性质，可得 5x=3×2，再利用等式的性质两边同时除以 5， 典例 即可得出 x= 6 5 ，据此即可选择． 【解答】解：3：5=x：2， 5x=3×2， 5x÷5=6÷5， x= 6 5 ． 故选：A． 【点评】熟练运用比例的基本性质，掌握比例式和等式的转化． 例 2（2025春•冷水滩区校级期中）若 x是比例 1.2：x=2：5解，那么，3x+1.5= ______。 【答案】10.5。 【分析】根据比例的基本性质，求出比例的解，再把未知数的值代入到 3x+1.5 中，最后算出结果即可。 【解答】解：1.2：x=2：5 2x=1.2×5 2x=6 x=3 把 x=3代入到 3x+1.5中； 3×3+1.5 =9+1.5 =10.5 答：3x+1.5=10.5。 故答案为：10.5。 【点评】本题解题的关键是熟练掌握解比例的方法。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一 个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项= 已知内项 × 已知内项 已知外项 （2）求未知内项= 已知外项 × 已知外项 已知内项 【变式练 1】如果 A：B=19，那么（A×9）：（B×9）=（　　） A．1 B．19 C．2 D．81 【变式练 2】在 a 12 = 1 3 中，a的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式练 3】（2024•武江区模拟）一个比例的两个外项分别是 2.5和 4，其中一 个内项是 2，另一个内项是 ______。 【变式练 4】（2022•东昌府区）如果 3x：4.8=5，那么 x=______；如果5 6 ：x = 3 4 ： 1 5 ，那么 x=______。 【变式练 5】（2025春•石家庄期中）解比例。 （1） 3 4 ：x=3：8 （2） 1.5 x = 6 12 （3）2.4：3.6=x：12 （4） 3 4 ：x=3：12 【变式练 6】甲乙仓库堆放货物的质量比为 3：7，甲运进 9吨，乙仓库运出 4吨 后，甲乙堆放的货物质量比为 3：5，甲乙两仓库原来各有多少吨？（用解比例） 考点 3 正比例 例 1（2024春•三原县期中）如图中，表示正比例的是（　　） 典例 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着 变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作 成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系，由此可知，正比例的图象是过 原点的一条射线，据此解答。 【解答】解；根据正比例图象的特点可知， 符合正比例图象的特 点，所以是正比例图象。 故选：C。 【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义以及正比例图象的特点。 例 2（2023•浦口区）表示 x和 y成正比例关系的式子是（　　） A．x+y=12 B．y=0.8x C．x-y=20 D．xy=10 【答案】B 【分析】判断 x与 y是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果 是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例 【解答】解：A、x+y=12，x与 y的和一定，不符合题意； B、y=0.8x,所以 y x=0.8（一定），所以 x、y比值一定，x与 y成正比例，符合题 意； C、x-y=20，x与 y的差一定，不符合题意； D、xy=10（一定），积一定，x、y成反比例，不符合题意； 故选：B． 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成正比例， 就看这两种量是否是对应的比值一定，再做出判断． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这 两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们 的关系叫作正比例关系。 【变式练 1】（2023春•德惠市校级期中）下列说法错误的是（　　） A．圆的周长与直径成正比例 B．圆的周长与半径成正比例 C．圆的面积与直径成正比例 【变式练 2】（2023春•沛县期中）如图表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程 和耗油关系。根据图像判断，行驶 125千米耗油（　　）升。 A．9 B．10 C．11 D．12 【变式练 4】若 1 5 x= 1 4 y,则 x：y=（ ______：______），x和 y成 ______比例。 【变式练 5】（2024春•龙里县期中）如果 ab÷5=17，则 a与 b成正比例。 ______ （判断对错） 【变式练 6】（2023•邻水县）已知 5x=3y,那么 x与 y成正比例。 ______（判断 对错） 考点 4 反比例 例 1（2024春•成武县期中）铺地面积一定，（　　）和用砖块数成反比例． A．每块砖的边长 B．每块砖的面积 C．每块砖的周长 【答案】B 【分析】据题意知，铺地的面积一定，方砖的面积和方砖的块数等于铺地的面积， 所以方砖的面积和方砖的块数成反比例，由此即可做出判断． 【解答】解：因为，方砖的面积×方砖的块数=铺地的面积（一定）， 所以，每块方砖的面积和方砖的块数成反比例， 故选：B。 【点评】解答此题的关键是，正确判断题中哪两种量成何比例，即如果两种量的 乘积一定，则成反比例，比值一定，则成正比例． 例 2（2023•金水区）如表所示，如果 A与 B两个量成反比例，那么“x”是（　　） A 12 8 B 6 x A．9 B．0 C．4 【答案】A 【分析】正比例是指当两种量中相对应的两个数的比值一定时，这两种量就叫做 成正比例的量；反比例是指当两种量中相对应的两个数的积一定时，这两种量就 叫做成反比例的量。 【解答】解：如果 A与 B两个量成反比例，那么 8x=6×12 8x=72 x=9 故选：A。 典例 【点评】本题考查的是根据成哪种比例关系列比例式并解比例，解比例时要根据 等式的性质解答。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的 关系叫做反比例关系。 【变式练 1】成反比例的两种量在变化过程中，一种量缩小，另一种量（　　） A．扩大 B．缩小 C．不变 【变式练 2】下列各式中（a、b均不为 0），a和 b成反比例的是（　　） A．a×8= b 5 B．9a=6b C．a× 1 3 -1÷b=0 D． a + 1 10 =b 【变式练 3】总价一定，购买的练习本的本数和 ______成反比例。 【变式练 4】两个量 x和 y成反比例，如果 x=2时，y=5，那么 y= 2 3 时， x=______。 【变式练 5】xy+3=19，x和 y成反比例关系。 ______（判断对错） 【变式练 6】给一间教室铺地砖，每块地砖的面积和所需地砖的块数成反比 例．______．（判断对错） 考点 5 比例尺 例 1（2025春•城阳区期中）量得一个精密零件长 10mm,画在图纸上的长度为 5cm,那么这幅图纸的比例尺是（　　） A．5：1 B．1：2 C．1：5 典例 【答案】A 【分析】根据“比例尺=图上距离：实际距离”，以及进率“1cm=10mm”，求出 这幅图的比例尺。 【解答】解：5厘米=50毫米 50：10=5：1 答：这幅图的比例尺是 5：1。 故选：A。 【点评】本题考查比例尺的意义以及长度单位的换算，结合题意分析解答即可。 例 2（2025 春•高邮市期中）学校运动场长 120 米，宽 60 米。要画在长 15 厘米， 宽 10厘米的练习本上，下列的比例尺选用（　　）比较合适。 A．1：10000 B．1：1000 C．1：100 D．1：10 【答案】B 【分析】把学校运动场，长是 120米，宽是 60米．要在一张长 15厘米、宽 10 厘米的长方形纸上，长用图上 12厘米代表实际 120米，图上宽 6厘米代表实际 60 米的线段比例尺比较合适，转化成数值比例尺就是图上 12厘米代表实际 12000 厘米，图上 6厘米代表实际 6000厘米，化成前项是 1的最简整数比。 【解答】解：长用图上 12厘米代表实际 120米，图上宽 6厘米代表实际 60米的 线段比例尺比较合适； 转化成数值比例尺就是图上 12厘米代表实际 12000厘米，图上 6厘米代表实际 6000厘米； 12厘米：12000厘米=1：1000 6厘米：6000厘米=1：1000 答：比例尺选用 1：1000比较合适。 故选：B。 【点评】此题是考查比例尺的意义及应用，画地图首先确定比例尺，依据是实际 的大小、画在图上的大小。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．比例尺表示方法： 用公式表示为：实际距离=图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法． （1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上 1厘米代表实 地距离 500千米，可写成：1：50000000或写成： 1 50000000 ． （2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上 1厘米所代表的实际距离． （3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上 1厘米代表实地距离多少千米，如：图 上 1厘米相当于地面距离 500千米，或五千万分之一． 2．比例尺公式： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺=图上距离÷实际距离． 【变式练 1】（2024•延安）甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行， 甲车每小时行驶 110千米，乙车每小时行驶 90千米，经过 3小时两车相遇。已 知 A、B两地在一幅地图上的距离是 5厘米，这幅地图的比例尺是（　　） A．1：4000000 B．1：8000000 C．1：12000000 D．1：120000 【变式练 2】（2024•安宁区）如图是六（1）班的教室平面图，亮亮在平面图上 量得教室的长为 5cm,这间教室的实际长是 10m,这幅平面图的比例尺是（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：200 D．200：1 【变式练 3】（2025春•梁山县期中）一种微型零件长 5mm,画在图上长 2cm,这幅 图的比例尺是______。 【变式练 4】（2025春•北京期中）从天安门到北京大兴国际机场的实际距离大 约是 50km,在一幅地图上量得这两地之间的距离是 2cm,这幅地图的比例尺是 ______。 【变式练 5】（2025春•陇县期中）“天宫”飞行器上的一种精密零件，长 5毫 米，画在图纸上它的长为 8厘米，这张图纸的比例尺是 16：1。 ______（判断 对错） 【变式练 6】（2025春•城阳区期中）在 1：2000和 1：1000两个比例尺中，选 用 1：1000的比例尺画出来的平面图要大一些。 ______（判断对错） 考点 6 图形的放大与缩小 例 1（2024•柘城县）一个长 4厘米、宽 3厘米的长方形，按 3：1的比放大，放 大后图形的面积是（　　）平方厘米。 A．12 B．36 C．108 D．324 【答案】C 【分析】长方形按 1：3放大后，得到的图形的面积之比是：1：9，由此即可解 答。 【解答】解：4×3×9=108（平方厘米） 答：得到的图形的面积是 108平方厘米。 故选：C。 【点评】根据图形按照一定的比把图形放大与缩小，则放大与缩小后的面积之比 等于这个比的平方。 例 2（2025春•龙岗区期中）把一个图形按 2：1变化后，得到的图形与原图形相 比较，正确的说法是（　　） A．面积扩大原来的 4倍 B．面积扩大到原来的 2倍 C．面积缩小到原来的 4倍 D．周长扩大到原来的 4倍 【答案】A 典例 【分析】把一个图形按 n：1变化后，得到的图形与原图形比较，对应边扩大到 原来的 n倍，周长扩大也扩大到原来的 n倍，但是面积扩大到原来的 n2倍。 【解答】解：把一个图形按 2：1变化后，得到的图形与原图形相比较，周长扩 大到原来的 2倍，面积扩大到原来的 4倍。 故选：A。 【点评】本题考查了图形的放大和缩小知识，结合题意分析解答即可。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 画放大或缩小后图形的方法 把图形按照 n：1 放大，就是将图形的每一条边放大到原来的 n 倍，放大后图形与原 图形对应边长的比是 n：1 把图形按照 1：n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的 1/n，缩小后图形与原图 形对应边长的比是 1：n 图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等， 图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数 【变式练 1】（2024春•惠阳区期中）一个长方形的长是 4分米，宽是 3分米， 把它按 3：1扩大，得到图形的面积是（　　）平方分米。 A．36 B．108 C．42 【变式练 2】（2024•广汉市）一个长方形，长和宽分别为 10cm和 8cm,按照 1：2 的比例缩小，所得到的新的长方形的长和宽分别为（　　） A．4cm、5cm B．5cm、4cm C．16cm、20cm D．20cm、16cm 【变式练 3】（2025春•东台市期中）把一个长方形按照 1：4的比例缩小，缩小 后长方形与原来长方形的周长的比是 ______，面积的比 ______。 【变式练 4】（2025春•榕城区期中）科技小组把一块芯片按 5：1的比例放大画 到纸上，得到一个长 5.4厘米，宽 4.5厘米的长方形，这块芯片的面积是 ______ 平方厘米。 【变式练 5】（2023春•揭东区期中）把一个长方形按 1：3的比缩小，缩小后与 缩小前的图形的面积相差 64平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？ 【变式练 6】（2023春•北票市期中）一块正方形草坪，边长 30米，把边长缩小 到原来的 1 100 后画在图纸上，图纸上正方形的面积是多少平方厘米？ 考点 7 比例的应用 例 1（2024•章丘区）铺设一条煤气管道。计划每天铺设 120米，用 12天完成任 务。由于居民着急使用，上级要求每天多铺 20%，这样可以提前几天完成？（用 比例的知识解） 【分析】把计划每天铺设的长度（120米）看作单位“1”，则实际每天铺设 120 ×（1+20%）米，设这样可以提前 x天完成，实际用了（12-x）天完成。根据“工 作量=工作效率×工作时间”，这条煤气管道的长度（即工作量）一定，据此可 列比例“120×12=120×（1+20%）×（12-x）”解答。 【解答】解：设提前 x天完成任务。 120×12=120×（1+20%）×（12-x） 120×12=120×120%×（12-x） 1440=144×（12-x） 1440÷144=144×（12-x）÷144 10=12-x 10+x=12-x+x 10+x=12 10+x-10=12-10 x=2 答：这样可以提前 2天完成。 【点评】列比例解答应用题的关键是设出未知数，再找出含有未知数的等式。 例 2（2024•麦积区）一间教室要用方砖铺地，用面积是 64平方分米的方砖要 90 典例 块，如果改用 6分米的方砖，需要多少块？（用比例解） 【答案】160块。 【分析】这块地的面积是一定的，每块砖的面积与所需要的块数成反比例，设出 未知数，列出比例式解答即可。 【解答】解：设需要方砖 x块，由题意得： 6×6×x=64×90 36x=5760 x=160 答：需要方砖 160块。 【点评】此题主要考查对反比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化， 另一种量也随着变化，但两种量的乘积一定，这两种量成反比例。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 【变式练 1】（2024春•双流区期中）甲、乙两校参加“希望杯”全国数学邀请 赛的学生人数之比是 7：8，获奖人数之比是 2：3，两校各有 320人未获奖，那 么两校参赛的学生共有多少人？ 【变式练 2】（2024秋•南海区校级月考）《中华人民共和国国旗法》中对国旗 的构造有着明确的规定：旗面为红色、长方形：长与宽之比为 3：2，也就是宽 是长的 2 3 。中国国旗尺寸不是统一的，在必要时，可按比例放大或缩小。一面国 旗长 192cm,这面国旗周长是多少米？面积是多少平方米？ 【变式练 3】（2023•天河区）工程队修一条公路，计划每天 4.5千米，20天完 成，实际每天修 6千米，实际几天可修完？（用比例解） 【变式练 4】（2023•南丹县）为了抗击疫情，先锋口罩厂计划生产一批口罩， 如果每天生产 4万只，需要 25天才能完成，实际只用 20天就完成任务，实际每 天生产多少万只口罩？（用比例知识解） 第四讲 比例 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．比例是一个（　　） A．比 B．等式 C．方程 D．以上都正确 2．如果 1 3 x= 2 5 y,那么 x：y=（　　） A．6：5 B．5：6 C．3：4 D．4：3 3．美术老师想将一幅画放大后放在橱窗里展览，他调到 200%来复印，这幅图是按 照（　　）复印出来的． A．1：2 B．2：1 C．1：200 D．200：1 4．一幅地图上用 3cm的线段表示 6km的实际距离，这幅地图的比例尺是（　　） A．1：2 B．1：2000 C．1：200000 D．2：1 5．三角形的边长都是 3厘米，如果按 4：1的比放大，放大后的三角形和原三角形 的面积比是（　　） A．3：1 B．4：1 C．9：1 D．16：1 6．一个芯片的实际尺寸是 4mm×4mm,如图是按照一定的比绘制的芯片平面图，这 幅图的比例尺是（　　） A．1：5 B．1：2 C．5：1 D．5：12 7．如图 2个长方形的面积相等，根据它们边的关系写出的比例正确的是（　　） A．8：a=9：b B．8：9=a：b C．8：9=b：a D．9：a=b：8 8．一个精密仪器上的零件长度是 5mm,画在图纸上的长度是 2cm,这幅图纸的比例尺 是（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：1 9．a：b=c：d（a、b、c、d均不为 0），如果 a扩大到原来的 10倍，要使该比例 仍然成立，那么可以把（　　） A．b缩小到原来的 1 10 B．c缩小到原来的 1 10 C．c扩大到原来的 10倍 D．d扩大到原来的 10倍 10．如图所示，三角形 a边上的高为 b,c边上的高为 d。根据这些信息，下面式子 不成立的是（　　） A．a：c=d：b B．a：c=b：d C． a d = c b D． b d = c a 二．填空题（共 4 小题） 11．在 36的因数中选两个数与 1 5 ：0.6组成比例，这个比例可以是 ______。 12．如果 a： 1 3 =6：b,那么 ab=______；如果 3a=2b（a、b都不为 0），那么 a： b=______：______。 13．在一个比例里，两个内项的积是 2，如果一个外项是 2 7 ，那么另一个外项是 ______。 14．科技小组把一块芯片按 5：1的比例放大画到纸上，得到一个长 5.4厘米，宽 4.5厘米的长方形，这块芯片的面积是 ______平方厘米。 三．判断题（共 4 小题） 15．成正比例关系的图像是一条直线。 ______ 16．x=1.5是比例 6：x=3：1的解。 ______ 17．“天宫”飞行器上的一种精密零件，长 5毫米，画在图纸上它的长为 8厘米， 这张图纸的比例尺是 16：1。 ______ 18．一个比例中，两个内项的积是 8，其中一个外项是 5，则另一个外项是 3。 ______ 四．计算题（共 1 小题） 19．解比例。 ① 3 1.2 = 6 x ②0.25：x=1.25：9 ③ 4 7 ：x = 4： 2 5 ④x： 1 6 = 1 10 ： 2 15 五．应用题（共 5 小题） 20．一种稀释消毒液，用药液和水按 1：200配制而成。要配制这种稀释消毒液 603千克，需要药液多少千克？（用比例知识解答） 21．某测量小组把一根长 3米的竹竿直立在地上，测得影长为 1.2米，同时测得一 水塔的影长为 7.2米，这座水塔的高是多少米？ 22．某校组织知识竞赛，其中，五年级和六年级参赛人数之比为 4：3，五年级有 8人、六年级有 24人没有参加竞赛。已知五六年级人数之比为 5：6，问六年级比 五年级多几人？ 23．游泳比赛的泳池是一个长方形，把泳池的长和宽分别缩小到原来的 1 1000 后图形 如下． （1）泳池实际的长和宽各是多少米？ （2）泳池的实际占地面积是多少平方米？ 24．小明步行从家出发，先要经过超市再到学校，线路按一定的比例画在图中，已 知小明家到超市的距离是 450m。请你结合测量和以上信息解答下列问题： （1）这幅图的比例尺是多少？ （2）超市到学校的实际距离大约是多少米？ 第四讲 比例 考点1 比例的意义和基本性质 6 考点2 解比例 8 考点3 正比例 11 考点4 反比例 13 考点5 比例尺 14 考点6 图形的放大与缩小 17 考点7 比例的应用 19 考点回顾 1．比例的意义和基本性质 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例． 组成比例的四个数，叫做比例的项． 组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项． 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． 如：4：5=16：20⇔4×20=5×16 2．解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项= （2）求未知内项= 3．正比例 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 举例如下： （1）正方形的周长与边长 （比值：4）。 （2）同圆的周长与直径 （比值：π）。 （3）购买的总价与购买的数量（比值：单价）。 （4）速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速度成正比例。 4.反比例 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 反比例例子： 1、百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例； 2、排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例； 3、做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数； 4、总价一定，它的单价和数量是反比例； 5、长方形的面积一定，长和宽是反比例； 6、长方体的体积一定，底面积和高是反比例； 7、等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例； 8、总价一定，单价与数量成反比例； 9、总纸盒一定，每人做的个数与人数成反比例。 5.比例尺 1．比例尺： 表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺． 即：图上距离：实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺分类： 比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺： （1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比． （2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离． 2．比例尺表示方法： 用公式表示为：实际距离=图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法． （1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：． （2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离． （3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一． 3．比例尺公式： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺=图上距离÷实际距离． 6.图形的放大与缩小 1、图形方法与缩小的意义 图形变大了，但形状没有发生变化，叫做图形的放大 图形变小了，但形状没有发生变化，叫做图形的缩小 2、画放大或缩小后图形的方法 把图形按照n：1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n：1 把图形按照1：n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的1/n，缩小后图形与原图形对应边长的比是1：n 图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等， 图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数 7.比例的应用 根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解． 方法归纳 1、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项= （2）求未知内项= 2、画放大或缩小后图形的方法 把图形按照n：1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n：1 把图形按照1：n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的1/n，缩小后图形与原图形对应边长的比是1：n 图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等， 图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数 考点1 比例的意义和基本性质 典例 例1（2025春•石家庄期中）能与3：8组成比例的是（　　） A．8：3 B．0.2：0.5 C．15：40 D．6：11 【答案】C 【分析】比例是表示两个比相等的式子，所以能与3：8组成比例的比的比值应与3：8的比值相等。 【解答】解：3：8= A选项：8：3=； B选项：0.2：0.5=； C选项：15：40=； D选项：6：11=。 所以3：8=15：40，能与3：8组成比例的是15：40。 故选：C。 【点评】解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，分别计算求出两内项的积和两外项的积等于能组成比例，不等于就不能组成比例。 例2（2025春•海口期中）在下面各比中，能组成比例的是（　　） A．8：6和 B．6：8和 C．6：8和 D．8：6和 【答案】B 【分析】判断两个比能不能组成比例，可以分别求出比值，比值相等，能组成比例，否则，不能组成比例。 【解答】解：8：6= = 所以8：6和不能组成比例； 6：8= = 所以6：8和能组成比例； 6：8= = 所以6：8和不能组成比例； 8：6= = 所以8：6和不能组成比例。 故选：B。 【点评】本题主要考查比例的意义，注意判断能否组成比例可以用求比值的方法，求出比值，比值相等两个比就能组成比例。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例． 组成比例的四个数，叫做比例的项． 组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项． 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． 【变式练1】（2025春•龙岗区期中）在下面各比中，与：能组成比例的是（　　） A．2：5 B．5：2 C．：2 D．： 【变式练2】（2025春•高邮市期中）在比例里，一个内项乘3，要使比例仍然成立，下面说法错误的是（　　） A．另一个内项除以3 B．一个外项乘3 C．一个外项乘 D．另一个内项乘 【变式练3】（2025春•蓝田县期中）在一个比例中，已知两个内项的积是1，其中一个外项是，则另一个外项是 ______。 【变式练4】（2025春•冷水滩区校级期中）若x、y均不为0，把2x=y改写成一个比例是 ______。 【变式练5】（2025春•陇县期中）比例的两个外项交换位置后，比例依然成立．______（判断对错） 【变式练6】（2025春•未央区期中）如果两个比的前项不同，后项也不同，那么这两个比不可能组成比例。 ______（判断对错） 考点2 解比例 典例 例1（2024春•鄄城县期中）如果3：5=x：2，那么x应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的性质，可得5x=3×2，再利用等式的性质两边同时除以5，即可得出x=，据此即可选择． 【解答】解：3：5=x：2，      5x=3×2，   5x÷5=6÷5，       x=． 故选：A． 【点评】熟练运用比例的基本性质，掌握比例式和等式的转化． 例2（2025春•冷水滩区校级期中）若x是比例1.2：x=2：5解，那么，3x+1.5= ______。 【答案】10.5。 【分析】根据比例的基本性质，求出比例的解，再把未知数的值代入到3x+1.5中，最后算出结果即可。 【解答】解：1.2：x=2：5              2x=1.2×5              2x=6                x=3 把x=3代入到3x+1.5中； 3×3+1.5 =9+1.5 =10.5 答：3x+1.5=10.5。 故答案为：10.5。 【点评】本题解题的关键是熟练掌握解比例的方法。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项= （2）求未知内项= 【变式练1】如果A：B=19，那么（A×9）：（B×9）=（　　） A．1 B．19 C．2 D．81 【变式练2】在=中，a的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式练3】（2024•武江区模拟）一个比例的两个外项分别是2.5和4，其中一个内项是2，另一个内项是 ______。 【变式练4】（2022•东昌府区）如果3x：4.8=5，那么x=______；如果，那么x=______。 【变式练5】（2025春•石家庄期中）解比例。 （1）：x=3：8 （2） （3）2.4：3.6=x：12 （4）：x=3：12 【变式练6】甲乙仓库堆放货物的质量比为3：7，甲运进9吨，乙仓库运出4吨后，甲乙堆放的货物质量比为3：5，甲乙两仓库原来各有多少吨？（用解比例） 考点3 正比例 例1（2024春•三原县期中）如图中，表示正比例的是（　　）典例 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系，由此可知，正比例的图象是过原点的一条射线，据此解答。 【解答】解；根据正比例图象的特点可知，符合正比例图象的特点，所以是正比例图象。 故选：C。 【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义以及正比例图象的特点。 例2（2023•浦口区）表示x和y成正比例关系的式子是（　　） A．x+y=12 B．y=0.8x C．x-y=20 D．xy=10 【答案】B 【分析】判断x与y是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例 【解答】解：A、x+y=12，x与y的和一定，不符合题意； B、y=0.8x,所以=0.8（一定），所以x、y比值一定，x与y成正比例，符合题意； C、x-y=20，x与y的差一定，不符合题意； D、xy=10（一定），积一定，x、y成反比例，不符合题意； 故选：B． 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，再做出判断． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 【变式练1】（2023春•德惠市校级期中）下列说法错误的是（　　） A．圆的周长与直径成正比例 B．圆的周长与半径成正比例 C．圆的面积与直径成正比例 【变式练2】（2023春•沛县期中）如图表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油关系。根据图像判断，行驶125千米耗油（　　）升。 A．9 B．10 C．11 D．12 【变式练4】若x=y,则x：y=（ ______：______），x和y成 ______比例。 【变式练5】（2024春•龙里县期中）如果ab÷5=17，则a与b成正比例。 ______（判断对错） 【变式练6】（2023•邻水县）已知5x=3y,那么x与y成正比例。 ______（判断对错） 考点4 反比例 典例 例1（2024春•成武县期中）铺地面积一定，（　　）和用砖块数成反比例． A．每块砖的边长 B．每块砖的面积 C．每块砖的周长   【答案】B 【分析】据题意知，铺地的面积一定，方砖的面积和方砖的块数等于铺地的面积，所以方砖的面积和方砖的块数成反比例，由此即可做出判断． 【解答】解：因为，方砖的面积×方砖的块数=铺地的面积（一定）， 所以，每块方砖的面积和方砖的块数成反比例， 故选：B。 【点评】解答此题的关键是，正确判断题中哪两种量成何比例，即如果两种量的乘积一定，则成反比例，比值一定，则成正比例． 例2（2023•金水区）如表所示，如果A与B两个量成反比例，那么“x”是（　　） A 12 8 B 6 x A．9 B．0 C．4 【答案】A 【分析】正比例是指当两种量中相对应的两个数的比值一定时，这两种量就叫做成正比例的量；反比例是指当两种量中相对应的两个数的积一定时，这两种量就叫做成反比例的量。 【解答】解：如果A与B两个量成反比例，那么  8x=6×12  8x=72    x=9 故选：A。 【点评】本题考查的是根据成哪种比例关系列比例式并解比例，解比例时要根据等式的性质解答。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 【变式练1】成反比例的两种量在变化过程中，一种量缩小，另一种量（　　） A．扩大 B．缩小 C．不变 【变式练2】下列各式中（a、b均不为0），a和b成反比例的是（　　） A．a×8= B．9a=6b C．a×-1÷b=0 D．=b 【变式练3】总价一定，购买的练习本的本数和 ______成反比例。 【变式练4】两个量x和y成反比例，如果x=2时，y=5，那么y=时，x=______。 【变式练5】xy+3=19，x和y成反比例关系。 ______（判断对错） 【变式练6】给一间教室铺地砖，每块地砖的面积和所需地砖的块数成反比例．______．（判断对错） 考点5 比例尺 典例 例1（2025春•城阳区期中）量得一个精密零件长10mm,画在图纸上的长度为5cm,那么这幅图纸的比例尺是（　　） A．5：1 B．1：2 C．1：5 【答案】A 【分析】根据“比例尺=图上距离：实际距离”，以及进率“1cm=10mm”，求出这幅图的比例尺。 【解答】解：5厘米=50毫米 50：10=5：1 答：这幅图的比例尺是5：1。 故选：A。 【点评】本题考查比例尺的意义以及长度单位的换算，结合题意分析解答即可。 例2（2025春•高邮市期中）学校运动场长120米，宽60米。要画在长15厘米，宽10厘米的练习本上，下列的比例尺选用（　　）比较合适。 A．1：10000 B．1：1000 C．1：100 D．1：10 【答案】B 【分析】把学校运动场，长是120米，宽是60米．要在一张长15厘米、宽10厘米的长方形纸上，长用图上12厘米代表实际120米，图上宽6厘米代表实际60米的线段比例尺比较合适，转化成数值比例尺就是图上12厘米代表实际12000厘米，图上6厘米代表实际6000厘米，化成前项是1的最简整数比。 【解答】解：长用图上12厘米代表实际120米，图上宽6厘米代表实际60米的线段比例尺比较合适； 转化成数值比例尺就是图上12厘米代表实际12000厘米，图上6厘米代表实际6000厘米； 12厘米：12000厘米=1：1000 6厘米：6000厘米=1：1000 答：比例尺选用1：1000比较合适。 故选：B。 【点评】此题是考查比例尺的意义及应用，画地图首先确定比例尺，依据是实际的大小、画在图上的大小。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．比例尺表示方法： 用公式表示为：实际距离=图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法． （1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：． （2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离． （3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一． 2．比例尺公式： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺=图上距离÷实际距离． 【变式练1】（2024•延安）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行驶110千米，乙车每小时行驶90千米，经过3小时两车相遇。已知A、B两地在一幅地图上的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是（　　） A．1：4000000 B．1：8000000 C．1：12000000 D．1：120000 【变式练2】（2024•安宁区）如图是六（1）班的教室平面图，亮亮在平面图上量得教室的长为5cm,这间教室的实际长是10m,这幅平面图的比例尺是（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：200 D．200：1 【变式练3】（2025春•梁山县期中）一种微型零件长5mm,画在图上长2cm,这幅图的比例尺是______。 【变式练4】（2025春•北京期中）从天安门到北京大兴国际机场的实际距离大约是50km,在一幅地图上量得这两地之间的距离是2cm,这幅地图的比例尺是______。 【变式练5】（2025春•陇县期中）“天宫”飞行器上的一种精密零件，长5毫米，画在图纸上它的长为8厘米，这张图纸的比例尺是16：1。 ______（判断对错） 【变式练6】（2025春•城阳区期中）在1：2000和1：1000两个比例尺中，选用1：1000的比例尺画出来的平面图要大一些。 ______（判断对错） 考点6 图形的放大与缩小 典例 例1（2024•柘城县）一个长4厘米、宽3厘米的长方形，按3：1的比放大，放大后图形的面积是（　　）平方厘米。 A．12 B．36 C．108 D．324 【答案】C 【分析】长方形按1：3放大后，得到的图形的面积之比是：1：9，由此即可解答。 【解答】解：4×3×9=108（平方厘米） 答：得到的图形的面积是108平方厘米。 故选：C。 【点评】根据图形按照一定的比把图形放大与缩小，则放大与缩小后的面积之比等于这个比的平方。 例2（2025春•龙岗区期中）把一个图形按2：1变化后，得到的图形与原图形相比较，正确的说法是（　　） A．面积扩大原来的4倍 B．面积扩大到原来的2倍 C．面积缩小到原来的4倍 D．周长扩大到原来的4倍 【答案】A 【分析】把一个图形按n：1变化后，得到的图形与原图形比较，对应边扩大到原来的n倍，周长扩大也扩大到原来的n倍，但是面积扩大到原来的n2倍。 【解答】解：把一个图形按2：1变化后，得到的图形与原图形相比较，周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍。 故选：A。 【点评】本题考查了图形的放大和缩小知识，结合题意分析解答即可。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 画放大或缩小后图形的方法 把图形按照n：1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n：1 把图形按照1：n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的1/n，缩小后图形与原图形对应边长的比是1：n 图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等， 图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数 【变式练1】（2024春•惠阳区期中）一个长方形的长是4分米，宽是3分米，把它按3：1扩大，得到图形的面积是（　　）平方分米。 A．36 B．108 C．42 【变式练2】（2024•广汉市）一个长方形，长和宽分别为10cm和8cm,按照1：2的比例缩小，所得到的新的长方形的长和宽分别为（　　） A．4cm、5cm B．5cm、4cm C．16cm、20cm D．20cm、16cm 【变式练3】（2025春•东台市期中）把一个长方形按照1：4的比例缩小，缩小后长方形与原来长方形的周长的比是 ______，面积的比 ______。 【变式练4】（2025春•榕城区期中）科技小组把一块芯片按5：1的比例放大画到纸上，得到一个长5.4厘米，宽4.5厘米的长方形，这块芯片的面积是 ______平方厘米。 【变式练5】（2023春•揭东区期中）把一个长方形按1：3的比缩小，缩小后与缩小前的图形的面积相差64平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？ 【变式练6】（2023春•北票市期中）一块正方形草坪，边长30米，把边长缩小到原来的后画在图纸上，图纸上正方形的面积是多少平方厘米？ 考点7 比例的应用 典例 例1（2024•章丘区）铺设一条煤气管道。计划每天铺设120米，用12天完成任务。由于居民着急使用，上级要求每天多铺20%，这样可以提前几天完成？（用比例的知识解） 【分析】把计划每天铺设的长度（120米）看作单位“1”，则实际每天铺设120×（1+20%）米，设这样可以提前x天完成，实际用了（12-x）天完成。根据“工作量=工作效率×工作时间”，这条煤气管道的长度（即工作量）一定，据此可列比例“120×12=120×（1+20%）×（12-x）”解答。 【解答】解：设提前x天完成任务。    120×12=120×（1+20%）×（12-x）    120×12=120×120%×（12-x）       1440=144×（12-x） 1440÷144=144×（12-x）÷144           10=12-x        10+x=12-x+x        10+x=12    10+x-10=12-10             x=2 答：这样可以提前2天完成。 【点评】列比例解答应用题的关键是设出未知数，再找出含有未知数的等式。 例2（2024•麦积区）一间教室要用方砖铺地，用面积是64平方分米的方砖要90块，如果改用6分米的方砖，需要多少块？（用比例解） 【答案】160块。 【分析】这块地的面积是一定的，每块砖的面积与所需要的块数成反比例，设出未知数，列出比例式解答即可。 【解答】解：设需要方砖x块，由题意得： 6×6×x=64×90     36x=5760         x=160 答：需要方砖160块。 【点评】此题主要考查对反比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但两种量的乘积一定，这两种量成反比例。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 【变式练1】（2024春•双流区期中）甲、乙两校参加“希望杯”全国数学邀请赛的学生人数之比是7：8，获奖人数之比是2：3，两校各有320人未获奖，那么两校参赛的学生共有多少人？ 【变式练2】（2024秋•南海区校级月考）《中华人民共和国国旗法》中对国旗的构造有着明确的规定：旗面为红色、长方形：长与宽之比为3：2，也就是宽是长的。中国国旗尺寸不是统一的，在必要时，可按比例放大或缩小。一面国旗长192cm,这面国旗周长是多少米？面积是多少平方米？ 【变式练3】（2023•天河区）工程队修一条公路，计划每天4.5千米，20天完成，实际每天修6千米，实际几天可修完？（用比例解） 【变式练4】（2023•南丹县）为了抗击疫情，先锋口罩厂计划生产一批口罩，如果每天生产4万只，需要25天才能完成，实际只用20天就完成任务，实际每天生产多少万只口罩？（用比例知识解） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$