1.1锐角三角函数同步强化练习 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

1.1锐角三角函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2．2cos 30°的值等于(　　) A．1 B． C． D．2 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是(   ) A． B．3 C． D．2 4．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 7．在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=， 则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，则sinA的值为（    ） A． B． C． D． 9．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长m为（　　） A． B． C． D．h﹣sinα 11．在菱形ABCD中，过点A作AE与边BC垂直于点E，将△ABE沿直线AE折叠，若点B恰好落在线段EC上（不与E，C重合），则∠B的度数可以是（　　） A．36° B．60° C．75° D．100° 12．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（      ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在正方形和中，，连结、，则 ． 14．如图，中，，是上一点，连接，将沿翻折，点落在边的点处，连接．若，，则长 ． 15．如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC= ． 16．已知在中，，，，那么的值是 ． 17．在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个 . 三、解答题 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣3，4），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点． (1)求a，b的值与点A的坐标； (2)求证：△CPD∽△AEO； (3)求sin∠CDB的值． 19．如图所示是某公园“六一”前新增设的一台滑梯．该滑梯的高度AC＝2 m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m. (1)求滑梯AB的长(精确到0.1 m)； (2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求． 20．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为CA上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=，试求cosA与tanA的值． 21．在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立； （3）若，，求DN的长． 22．在中，，，求、的正切值． 23．分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 24．计算： (1). (2). 《1.1锐角三角函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C C D A C A A 题号 11 12 答案 C B 1．B 【分析】连接，利用勾股定理得到，进而得到是直角三角形，从而求解. 【详解】解：连接，如图所示，    由勾股定理可得：， ∴ ∴是直角三角形，即 ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键． 2．C 【详解】分析：根据30°角的三角函数值代入计算即可. 详解：2cos30°=2×=． 故选C． 点睛：此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键. 3．D 【分析】先求出AC，再根据正切的定义求解即可． 【详解】设BC=x，则AB=3x， 由勾股定理得，AC=， tanB===， 故选：D． 4．C 【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D． 【详解】解：∵， ∴， 在中， 故A、B不符合题意； 在中，， 故C符合题意； ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．C 【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴， 设，则， 在中，, 在中，, ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形． 6．D 【分析】根据正切函数的定义tanB=，即可求得AC的长． 【详解】 ∵tanB==2， ∴AC=2BC=2×3=6. 故选D. 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义. 7．A 【分析】根据正弦、余弦定义解答即可． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠A是锐角． ∵cosA== ， ∴设AB=25x， 则AC=7x，由勾股定理得： BC=24x， ∴sinA=． 故选A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，根据定义解答问题． 8．C 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6， ∴sinA=， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键． 9．A 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 10．A 【分析】根据三角函数的定义即可求解． 【详解】∵， ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键． 11．C 【分析】在Rt△ABE中，得BE＝AB•cosB，则2BE＝2AB•cosB，根据点B恰好落在线段EC上，则有cosB＜，可得60°＜∠B＜90°． 【详解】解：如图：当∠B为锐角时， 在Rt△ABE中， BE＝AB•cosB， ∴2BE＝2AB•cosB， ∵点B恰好落在线段EC上， ∴2BE＜BC， 即2AB•cosB＜BC， ∴cosB＜， ∴∠B＞60°， ∴60°＜∠B＜90°， 当∠B为钝角时，折叠后B'不可能落在线段EC上， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、翻折的性质、以及三角函数的知识，证明出cosB＜是解题的关键． 12．B 【详解】解：连接BD． ∵E、F分别是AB、AD的中点． ∴BD=2EF=4 ∵BC=5，CD=3 ∴△BCD是直角三角形． ∴tanC== 故选B． 13．/0.5 【分析】根据正方形的性质可得，根据题意求得，即可求解． 【详解】连接，如图， 正方形和中，， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，求角的正切，证明是解题的关键． 14． 【分析】先利用正弦值、勾股定理求出，再根据翻折的性质、勾股定理求出AD、CD、BD的长，然后根据等面积法求出OC的长，由此即可得出答案． 【详解】如图，设BD与的交点为点O， 在中，，，， ，即， 解得， ， 由翻折的性质得：， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， 在中，， 又， 是的垂直平分线， ， ，即， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦三角函数、勾股定理、翻折的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和等面积法是解题关键． 15． 【分析】过A作AD垂直于BC，利用勾股定理求出AC的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可. 【详解】解：过A作AD垂直于BC于D， 则AD=2，AC=， ∴sinC=. 故答案为. 【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，牢记锐角三角函数定义是解本题的关键. 16． 【分析】画出图形，直接利用正弦函数值的定义进行求解即可． 【详解】 在中，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数值的定义，解题的关键是熟练掌握正弦函数值的定义．正弦函数值等于对边比斜边． 17．固定值 【详解】试题解析：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值. 故答案为固定值. 18．(1)a＝﹣，b＝﹣9，点A的坐标为（3，﹣4） (2)见解析 (3)sin∠CDB＝ 【分析】（1）将点P（﹣3，4）代入y＝ax，计算出a，将点P（﹣3，4）代入y＝计算出b，最后根据函数的对称性求出点A即可； （2）先根据菱形的性质证明∠DCP＝∠OAE，再证明∠AEO＝∠CPD＝90°即可证得△CPD∽△AEO； （3）先计算出AO的长度，再根据△CPD△AEO得到∠CDP＝∠AOE，计算出sin∠AOE即可得到答案． 【详解】（1）解：将点P（﹣3，4）代入y＝ax，得：4＝﹣3a， 解得：a＝﹣， ∴正比例函数解析式为y＝﹣x； 将点P（﹣3，4）代入y＝，得：﹣12＝b﹣3， 解得：b＝﹣9， ∴反比例函数解析式为y＝﹣． ∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称， ∴点A的坐标为（3，﹣4）． （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，ABCD， ∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE． ∵AB⊥x轴， ∴∠AEO＝∠CPD＝90°， ∴△CPD△AEO． （3）解：∵点A的坐标为（3，﹣4）， ∴AE＝4，OE＝3，． ∵△CPD∽△AEO， ∴∠CDP＝∠AOE， ∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝． 【点睛】本题考查正比例函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的相关知识． 19．（1）约4.5 m．（2）这架滑梯的倾斜角符合要求． 【分析】（1）Rt△ABC中，已知了两条直角边AC，BC的长，根据勾股定理，可得出AB的长．（2）根据Rt△ABC中已知的两条直角边，可以通过三角函数来求出角度的大小，从而进行判断． 【详解】解：(1)滑梯长AB＝ ＝ ≈4.5(m)． (2)∵tan ∠ABC＝＝ ， ∴∠ABC≈27°，27°<45°， ∴这架滑梯的倾斜角符合要求． 【点睛】本题考查把实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决． 20．． 【分析】根据在直角三角形中，正弦、余弦和正切的定义题目中各角的关系进行求值，求 即求∠CAB的正切值. 【详解】解：在Rt△DBC中，∠C=90°，∠DBC=30°， ∴． ∴可设DC=k，BC=k（k＞0）． 在Rt△ABC中，由勾股定理知：． ∴．整理得．∴k=1． ∴BC=，CA=4．∴． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，掌握对所求值进行转化为对应角的正切值是解决此题的关键. 21．（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，于是得到∠DCE＝∠DCF＝135°，根据全等三角形的性质即可的结论； （2）证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2＝CE•CF； （3）如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，当CD＝2，时，求得，再推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到，求出GN，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，CD是中线， ∴，， ∴． 在与中，， ∴． ∴；      （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴，即． （3）如图，过D作于点G， 则，． 当，时， 由，得． 在中， ． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴．     【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 22．， 【分析】设a=3k  b=5k利用正切定义求解 【详解】解：，设a=3k ，b=5k ， 故答案为， 【点睛】本题考查了角的正切值，熟练掌握正切的概念是解题的关键. 23．图（1），，，，，；图（2），，，，， 【分析】根据勾股定理，可得直角三角形的另一边，根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，正切函数是对边比邻边，可得答案 ． 【详解】解：（1） 图1由勾股定理得： ， ，，， ，，； （2）图2 由勾股定理得： ， ，，， ，，． 【点睛】本题考查了锐角三角函数， 利用锐角三角函数的定义是解题关键 ． 24．(1) (2) 【分析】（1）根据计算解题，注意负号的作用； （2）先通分，再将分式的除法转化为乘法计算． 【详解】（1）解： （2） ． 【点睛】本题考查零指数幂与负整指数幂、正切、化简绝对值、分式的加减乘除运算等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$