专题05 三角形的认识及全等三角形（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（北师大版2024）

专题05 三角形的认识及全等三角形 题型概览 题型01三角形的有关概念及分类 题型02三角形的三边关系 题型03三角形的中线、角平分线、高的相关计算 题型04全等三角形的性质的运用 题型05全等三角形的判定 题型06结合尺规作图的全等问题 题型07全等三角形性质与判定的综合运用 题型08全等三角形的实际应用 ( 题型01 )三角形的有关概念及分类 1．（2023·24七年级下·河北石家庄·期末）下列命题中①对顶角相等；②内错角相等；③平行线间距离处处相等；④三角形按边分类，可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·24七年级下·甘肃兰州·期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·24七年级下·河北张家口·期末）如图，的角平分线，中线交于点O，则： 结论Ⅰ：是的角平分线； 结论Ⅱ：是的中线.    对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 4．（2023·24七年级下·黑龙江黑河·期末）已知在中，，这个三角形是 三角形． 5．（2023·24七年级下·贵州贵阳·期末）在中，的补角是，则是 三角形． ( 题型0 2 )三角形的三边关系 6．（2023·24七年级下·山东烟台·期末）把一根的铁丝按下面选项中的长度剪开，剪成的三段拉直后首尾顺次相接可以围成三角形的是（  ） A． B． C． D． 7．（2023·24七年级下·山东威海·期末）小亮想用长度均为奇数的三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为和，第三根木棒的长度可以为（　　） A． B． C． D． 8．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）已知三角形的三条边长分别为、和． (1)的取值范围为__________； (2)当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 9．（2023·24七年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，米，米，A、B间的距离不可能是（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 10．（2023·24七年级下·山东威海·期末）若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 11．（2023·24七年级下·福建龙岩·期末）如果等腰三角形的一边长是，另一边长是，那么这个等腰三角形的周长为 ． ( 题型0 3 )三角形的中线、角平分线、高的相关计算 12．（2023-24·七年级下 浙江 期末）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 13．（2023·24七年级下·陕西西安·期末）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 14．（2023·24七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，，，点是线段上一点，则线段的长度不可能是（　　） A． B． C． D． 15．（2023·24七年级下·广东东莞·期末）如图，在中，是边上的高，平分，若，求的度数． 16．（2023·24七年级下·江苏南京·期末）如图，与分别是的角平分线和高．若，，求度数． ( 题型0 4 )全等三角形的性质的运用 17．（2023·24七年级下·海南海口·期末）如图，，若，，则等于（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 18．（2023·24七年级下·湖南长沙·期末）若△△，则根据图中提供的信息，可得出的值为（   ） A．30 B．27 C．35 D．40 19．（2023·24七年级下·天津河东·期末）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ）    A． B． C． D． 20．（2023·24七年级下·山东淄博·期末）如图，，，，则 ． ( 题型0 5 )全等三角形的判定 21．（2023·24七年级下·江苏泰州·期末）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学的知识画出了一个与书上完全一样的三角形．他画图的依据是（   ） A． B． C． D． 22．（2023·24七年级下·山东淄博·期末）如图，已知，与交于点，添加条件后，可使得成立，则判断和全等的依据是（   ） A． B． C． D． 23．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接，． （1）若，试说明； （2）在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由． （3）在（1）（2）的条件下，图中全等三角形共有几对？（直接写出答案即可） 24．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，，点E，F在对角线上，，，吗？请说明理由． 25．（2023·24七年级下·云南临沧·期末）如图，在和中，，，．求证：． 26．（2023·24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且．与全等吗？请说明你的理由； 27．（2023·24七年级下·湖北孝感·期末）如图，，，，求证：． ( 题型0 6 )结合尺规作图的全等问题 28．（2023·24七年级下·安徽阜阳·期末）在中，，，． （1）求证：． （2）在（1）的基础上，请画一个三边长均为整数，且一个角的度数也是整数的非直角三角形． （3）以为边向下侧作一个等边，连接，那么的长是多少? 29．（2023·24七年级下·广东深圳·期末）如图， (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段下方作一点，使得平分角，且．（保留作图痕迹，不写作法）： (2)连接，求证：平分． 30．（2023·24七年级下·广东深圳·期末）（1）如图，用尺规作图，并保留作图痕迹：已知，延长到，使，过点作的平行线，交的延长线于点． （2）与有什么数量关系？请说明理由． 31．（2023·24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：在上求作一点E，使，并证明； (2)已知，的周长为13，求的周长． 32．（2023·24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知，． (1)尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）． (2)在（1）问条件下，试说明：．请将下列解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①________）， ∵，， ∴②________（③________）， 在与中， ∴（⑤________）， ∴， ∴（⑥________）． ( 题型0 7 )全等三角形性质与判定的综合运用 33．（2023·24七年级下·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 34．（2023·24七年级下·广西河池·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（     ）    A．15 B．16 C．18 D．20 35．（2023·24七年级下·河北保定·期末）如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 36．（2023·24七年级下·广东广州·期末）如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为 ． 37．（2023·24七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．    38．（2023·24七年级下·山东·单元测试）已知，如图，，在上，且，，，求证：与互相平分． 39．（2023·24七年级下·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 40．（2023·24七年级下·河北沧州·期末）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点置于直线上，过两点分别作直线的垂线，垂足分别是． (1)求证：； (2)已知是的中点．当时，求的长． ( 题型0 8 )全等三角形的实际应用 41．（2023·24七年级下·四川南充·期末）为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求这幢楼的高度． 42．（2023·24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为1.4m和1.8m，求F、E两点的高度差即的长．    43．（2023·24七年级下·河南漯河·阶段练习）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知，，米，米，求两个排污口之间的水平距离． 44．（2023·24七年级下·江苏盐城·期末）为了测量池塘两岸相对的两点的距离，同学们想出了如下方案：如图，在池塘外作的垂线，在上取两点，使，再画出的垂线，在上取点，使三点在一条直线上，这时测得的长度即为两点间的距离．请说明理由． 45．（2023·24七年级下·山西朔州·期末）琳琳想要测量如图所示的雕像底座两端的距离，，两点分别为雕像底座的两端（其中，两点均在地面上）．因为，两点间的实际距离无法直接测量，琳琳设计出了如下方案：在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接，并延长到点，连接，并延长到点，使，，连接，测得米．请根据琳琳的方案，求，两点间的实际距离． 一、单选题 1．（2023·24七年级下·山东烟台·期末）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·24七年级下·四川绵阳·期末）已知的两边长分别为2和，则能使得第三边长取到10的最小正整数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2023·24七年级下·安徽合肥·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A．9 B．4 C．5 D．6 4．（2023·24七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 5．（2023·24七年级下·广东广州·期末）如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B． C． D． 6．（2023·24七年级下·安徽亳州·期末）如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 二、填空题 7．（2023·24七年级下·四川宜宾·期末）如图，直线，平分，平分，，，则的度数是 ． 8．（2023·24七年级下·河南郑州·期末）如图，是内一点，且平分，，连接，若的面积为，那么的面积是 .    9．（2023·24七年级下·山东烟台·期末）如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 10．（2023·24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 11．（2023·24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，为边上的中线，过点作，交的延长线于点，过点作于点，在延长线上取一点，连接，使，则 ． 12．（2023·24七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 三、解答题 13．（2023·24七年级下·湖北咸宁·期末）已知，在中，，，的对边分别用，，表示，其中，满足． (1)请直接写出______，______； (2)若为等腰三角形，请求出的周长； 14．（2023·24七年级下·广东清远·期末）在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接、、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．（2023·24七年级下·天津·期末）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 16．（2023·24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在矩形 中，，E为的中点，F是对角线上一动点（），为矩形内下方一点，连接与交于点G，已知，当为直角三角形时，求 17．（2023·24七年级下·安徽合肥·期末）如图，平分的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形的认识及全等三角形 题型概览 题型01三角形的有关概念及分类 题型02三角形的三边关系 题型03三角形的中线、角平分线、高的相关计算 题型04全等三角形的性质的运用 题型05全等三角形的判定 题型06结合尺规作图的全等问题 题型07全等三角形性质与判定的综合运用 题型08全等三角形的实际应用 ( 题型01 )三角形的有关概念及分类 1．（2023·24七年级下·河北石家庄·期末）下列命题中①对顶角相等；②内错角相等；③平行线间距离处处相等；④三角形按边分类，可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①对顶角相等是真命题； ②两条直线平行，内错角相等，原命题不是真命题； ③平行线间距离处处相等是真命题； ④三角形按边分类，可以分为等腰三角形和不等边三角形，原命题不是真命题； 真命题的个数是2个， 故选：B． 2．（2023·24七年级下·甘肃兰州·期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 3．（2023·24七年级下·河北张家口·期末）如图，的角平分线，中线交于点O，则： 结论Ⅰ：是的角平分线； 结论Ⅱ：是的中线.    对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】C 【详解】解：是的角平分线， 平分，即平分， 结论Ⅰ：是的角平分线，正确； 是的中线， 点是的中点，而点不一定是的中点， 结论Ⅱ：是的中线，错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形角平分线和中线的定义，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线． 4．（2023·24七年级下·黑龙江黑河·期末）已知在中，，这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【详解】解：设、、分别为、、， 则， 解得， 所以，， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 5．（2023·24七年级下·贵州贵阳·期末）在中，的补角是，则是 三角形． 【答案】钝角 【详解】解：的补角是， ， ， 是钝角三角形． 故答案为：钝角． ( 题型0 2 )三角形的三边关系 6．（2023·24七年级下·山东烟台·期末）把一根的铁丝按下面选项中的长度剪开，剪成的三段拉直后首尾顺次相接可以围成三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故不能组成三角形，不符合题意； B、，故不能组成三角形，不符合题意； C、，故不能组成三角形，不符合题意； D、，故能组成三角形，符合题意； 故选：D． 7．（2023·24七年级下·山东威海·期末）小亮想用长度均为奇数的三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为和，第三根木棒的长度可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据三角形的三边关系，得： 第三根木棒，即第三根木棒． 又第三根木棒的长选取奇数， 第三根木棒的长度可以为，，． 只有B选项符合题意， 故选：B． 8．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）已知三角形的三条边长分别为、和． (1)的取值范围为__________； (2)当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵三角形的三条边长分别为、和， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）当时，，不能构成三角形； 当时，能构成三角形，周长为． 9．（2023·24七年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，米，米，A、B间的距离不可能是（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 即10米米， ∴不可能等于10米， 故选：A． 10．（2023·24七年级下·山东威海·期末）若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 【答案】 【详解】解：当腰长为，底为，，不能构成三角形； 当腰长为，底为，周长． 故答案为：． 11．（2023·24七年级下·福建龙岩·期末）如果等腰三角形的一边长是，另一边长是，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】/25厘米 【详解】解：当腰长为时：，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，，能构成三角形， 此时三角形的周长为：； 故答案为：． ( 题型0 3 )三角形的中线、角平分线、高的相关计算 12．（2023-24·七年级下 浙江 期末）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 13．（2023·24七年级下·陕西西安·期末）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】A 【详解】解：作于点，如图， ，垂足为，，，， ，即， ， 是线段上的任意一点，连接， 当点与点重叠时取得最小值，最小值为12， 的长不可能是11， 故选：A． 14．（2023·24七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，，，点是线段上一点，则线段的长度不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过C作交于点， ， ， ， ， 根据垂线段最短，可得， 线段的长度不可能是； 故选：A． 15．（2023·24七年级下·广东东莞·期末）如图，在中，是边上的高，平分，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵是边上的高， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 16．（2023·24七年级下·江苏南京·期末）如图，与分别是的角平分线和高．若，，求度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵为的角平分线， ∴． ∴． 【点睛】本题考查含角平分线的三角形的内角和的计算．正确的识图，确定角度之间的和差关系，是解题的关键． ( 题型0 4 )全等三角形的性质的运用 17．（2023·24七年级下·海南海口·期末）如图，，若，，则等于（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 18．（2023·24七年级下·湖南长沙·期末）若△△，则根据图中提供的信息，可得出的值为（   ） A．30 B．27 C．35 D．40 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选： A． 19．（2023·24七年级下·天津河东·期末）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 在中， 整理得， 故选：D． 20．（2023·24七年级下·山东淄博·期末）如图，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：， ， 故答案为： ． ( 题型0 5 )全等三角形的判定 21．（2023·24七年级下·江苏泰州·期末）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学的知识画出了一个与书上完全一样的三角形．他画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，没有污染的地方存在两个完整的角和两个角的夹边， 利用，即可画出一个与书上完全一样的三角形； 故选B． 22．（2023·24七年级下·山东淄博·期末）如图，已知，与交于点，添加条件后，可使得成立，则判断和全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， 则判断和全等的依据是， 故选：B． 23．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接，． （1）若，试说明； （2）在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由． （3）在（1）（2）的条件下，图中全等三角形共有几对？（直接写出答案即可） 【答案】（1）见解析；（2）相等，理由见解析；（3）6对 【详解】（1）∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDF， ∵AE∥CF， ∴∠AEB=∠CFD， ∵BF=DE， ∴BF+EF=DE+EF， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）AF=CE，理由如下： ∵△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=CE （3）全等三角形共有6对，理由如下： ∵△ABE≌△CDF， ∴AB=CD， ∵AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴DE=BF， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴AE=CF，AF=CE， ∵EF=EF， ∴△AEF≌CFE（SSS）， 同理证得△ADB≌△CBD（AAS）， ∵DE=BF，AD=BC，AE=CF， ∴△ADE≌△CBF（SSS）， 同理证得△ADF≌CBE（SSS） ∴一共有6对全等三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 24．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，，点E，F在对角线上，，，吗？请说明理由． 【答案】，见解析 【详解】解：；理由如下： ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 25．（2023·24七年级下·云南临沧·期末）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 26．（2023·24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且．与全等吗？请说明你的理由； 【答案】与全等，理由见解析 【详解】解：与全等，理由如下： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴． 27．（2023·24七年级下·湖北孝感·期末）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． ( 题型0 6 )结合尺规作图的全等问题 28．（2023·24七年级下·安徽阜阳·期末）在中，，，． （1）求证：． （2）在（1）的基础上，请画一个三边长均为整数，且一个角的度数也是整数的非直角三角形． （3）以为边向下侧作一个等边，连接，那么的长是多少? 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8 【详解】解：（1）如图， 延长，过点作延长线于点， 设 在中，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 即， （2）以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，连接，则， ， 为等边三角形， ， 又, 为三边长均为整数，且一个角的度数也是整数的非直角三角形． 故即为所求． （3）以为边向下作一个等边，如图所示， 由（1）可知：且， ∴， ∴四点共圆， ∵是等边三角形， ， ， ， 在上截取，连接， ∴为等边三角形 ∴ ， ， 即    即． 【点睛】本题考查了作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质． 29．（2023·24七年级下·广东深圳·期末）如图， (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段下方作一点，使得平分角，且．（保留作图痕迹，不写作法）： (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图， 点P即为所求． （2）证明：由作图知：，， 在与中， ， ∴ ∴， ∴平分． 30．（2023·24七年级下·广东深圳·期末）（1）如图，用尺规作图，并保留作图痕迹：已知，延长到，使，过点作的平行线，交的延长线于点． （2）与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【详解】（1）解：如图所示，、即为所求； （2）解：，理由如下． 在和中， ． 31．（2023·24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：在上求作一点E，使，并证明； (2)已知，的周长为13，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)27 【详解】（1）解：如图，点E即为所求： 证明：由作图可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵，周长为13， ∴，， ∴， ∴的周长为：． 32．（2023·24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知，． (1)尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）． (2)在（1）问条件下，试说明：．请将下列解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①________）， ∵，， ∴②________（③________）， 在与中， ∴（⑤________）， ∴， ∴（⑥________）． 【答案】(1)作图见解析 (2)①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵（已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴②（③同角的补角相等）， 在与中， ， ∴（⑤）， ∴， ∴（⑥内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行． ( 题型0 7 )全等三角形性质与判定的综合运用 33．（2023·24七年级下·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 34．（2023·24七年级下·广西河池·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（     ）    A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，即， ，， ∴， ， ． 故选：C． 35．（2023·24七年级下·河北保定·期末）如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【详解】解：∵， ∴，， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：24． 36．（2023·24七年级下·广东广州·期末）如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为 ． 【答案】24 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：24． 37．（2023·24七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：如图，过A作轴于点E，过B作轴于点F，   ∵点C的坐标为，点B的坐标为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 38．（2023·24七年级下·山东·单元测试）已知，如图，，在上，且，，，求证：与互相平分． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与互相平分． 39．（2023·24七年级下·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， 在△和△中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 40．（2023·24七年级下·河北沧州·期末）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点置于直线上，过两点分别作直线的垂线，垂足分别是． (1)求证：； (2)已知是的中点．当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中，   ∴； （2）解：， ∴． ∵是的中点，， ∴，即的长为8． ( 题型0 8 )全等三角形的实际应用 41．（2023·24七年级下·四川南充·期末）为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求这幢楼的高度． 【答案】这幢楼的高度米． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：这幢楼的高度米． 42．（2023·24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为1.4m和1.8m，求F、E两点的高度差即的长．    【答案】 【详解】解：，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 答：的长为04m． 43．（2023·24七年级下·河南漯河·阶段练习）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知，，米，米，求两个排污口之间的水平距离． 【答案】520米 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴（米）． 答：两个排污口之间的水平距离为520米． 44．（2023·24七年级下·江苏盐城·期末）为了测量池塘两岸相对的两点的距离，同学们想出了如下方案：如图，在池塘外作的垂线，在上取两点，使，再画出的垂线，在上取点，使三点在一条直线上，这时测得的长度即为两点间的距离．请说明理由． 【答案】见解析 【详解】解：∵，     ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 45．（2023·24七年级下·山西朔州·期末）琳琳想要测量如图所示的雕像底座两端的距离，，两点分别为雕像底座的两端（其中，两点均在地面上）．因为，两点间的实际距离无法直接测量，琳琳设计出了如下方案：在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接，并延长到点，连接，并延长到点，使，，连接，测得米．请根据琳琳的方案，求，两点间的实际距离． 【答案】，两点间的实际距离为米． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴（米） 答：，两点间的实际距离为米． 一、单选题 1．（2023·24七年级下·山东烟台·期末）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接、、； ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ； 故选：B 2．（2023·24七年级下·四川绵阳·期末）已知的两边长分别为2和，则能使得第三边长取到10的最小正整数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得： ， ， 第三边长取到10， ， ， 能使得第三边长取到10的最小正整数是． 故选：C． 3．（2023·24七年级下·安徽合肥·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A．9 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2023·24七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， 设能够使与全等的时间为， 则，，， 分两种情况考虑： ①时， ， 即， 解得， 此时， 时能够使与全等； ②， ， 即， 解得， 此时，， 即，与矛盾（舍去）； 综上，能够使与全等的时间为． 故选：． 5．（2023·24七年级下·广东广州·期末）如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，， 在与中， ， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 6．（2023·24七年级下·安徽亳州·期末）如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【详解】解：于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故选：A． 二、填空题 7．（2023·24七年级下·四川宜宾·期末）如图，直线，平分，平分，，，则的度数是 ． 【答案】/70度 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 过E点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．（2023·24七年级下·河南郑州·期末）如图，是内一点，且平分，，连接，若的面积为，那么的面积是 .    【答案】 【详解】解：延长交于点，   平分，， ，， 在和中， ， ， ，， 和是等底等高的三角形， ， ， 故答案为：． 9．（2023·24七年级下·山东烟台·期末）如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 【答案】1或 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 10．（2023·24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：，，， ， ，， ，且，， ， ，， ， 故答案为：4.1． 11．（2023·24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，为边上的中线，过点作，交的延长线于点，过点作于点，在延长线上取一点，连接，使，则 ． 【答案】/ 【详解】解：∵为中线， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2023·24七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 【答案】1或或12 【详解】解：∵于E，于F，， ∴，， ∴， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，， ∴， 解得：； 当P、Q在上时（P、Q重合）， ∵，， ∴， 解得：； 当P在上，Q在上时，即A与Q重合时， ∴． ∴t的值为1或3.5或12； 故答案为1或3.5或12． 三、解答题 13．（2023·24七年级下·湖北咸宁·期末）已知，在中，，，的对边分别用，，表示，其中，满足． (1)请直接写出______，______； (2)若为等腰三角形，请求出的周长； 【答案】(1)， (2)的周长为 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）由（1）得，，， 若是腰长，则三角形的三边长为：、、， ，不能组成三角形； 若是底边长，则三角形的三边长为：、、， ，能组成三角形， 的周长为． 14．（2023·24七年级下·广东清远·期末）在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接、、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，D为延长线上一点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：在中，，， ， 由（1）得：， ， 为的外角， ， ． 15．（2023·24七年级下·天津·期末）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 16．（2023·24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在矩形 中，，E为的中点，F是对角线上一动点（），为矩形内下方一点，连接与交于点G，已知，当为直角三角形时，求 【答案】或． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵为的中点， ∴． 当为直角三角形时，分为或， 当时，如解图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 在中，； 当时，如解图②，连接， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，． 综上所述，当为直角三角形时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键． 17．（2023·24七年级下·安徽合肥·期末）如图，平分的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： 平分 ， ， 又 ， ． （2）解： ， ， 由 （1）知 ， ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$