专题06 全等三角形常见模型（五大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（北师大版2024）

专题06 全等三角形常见模型 题型概览 题型01一线三角模型 题型02倍长中线模型 题型03半角模型 题型04手拉手模型 题型05截长补短模型 ( 题型0 1 )一线三角模型 1．（2023·24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，，直线l过点C且与AB相交，，垂足为点E，，垂足为点D．若，，则ED的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵，， ∴ 故选B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，掌握是解本题的关键． 2．（2023·24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在正方形中，点E在上，于点F，于点G．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，，， ∴， ∵于点F，于点G， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 即， ∴． 故选：A． 3．（2023·24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：，，， ， ，， ，且，， ， ，， ， 故答案为：4.1． 4．（2023·24七年级下·山东泰安·期末）如图，点C在线段上，且，垂足别是点B、D、C，．    (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）知： ∴，， 在中，， ∴． 5．（2023·24七年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），度数记为，连接，作，交线段于． (1)当时，______，______；点从向运动时，逐渐变______（填“大”或“小”），的取值范围是______； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小； (2)当时， (3)可以；的度数为或 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 点D从B向C运动时，的取值范围是， 故答案为：；；小，． （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 当时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． ( 题型0 2 )倍长中线模型 6．（2023·24七年级下·湖北襄阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长至，使， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． A、错误，不符合题意； B、错误，不符合题意； C、错误，不符合题意； D、正确，符合题意． 故选：D． 7．（2023·24七年级下·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 长方形， ， E为的中点， ， 又， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 8．（2023·24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴, ∴， 在中，由 得：， ∴, ∵的长度为奇数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 9．（2023·24七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，延长至点，使得，则， ∵是的边上的中线， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为： ． 10．（2023·24七年级下·福建漳州·期末）如图所示，则中，，，则边上的中线长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ， 在中， ∴， ， ∴． 故答案为：． 11．（2023·24七年级下·陕西西安·阶段练习）小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现． 请根据小雨的探究过程，解答下面的问题． 如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明． 【答案】详见解析 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接． ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 12．（2023·24七年级·江苏·假期作业）如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵点E是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即为的角平分线 ( 题型0 3 )半角模型 13．（2023·24七年级下·北京西城·期末）如图，在中，，，是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， ， ，则， 在和中， ，故①正确； ， ，， ， 在和中， ， ∴，故②正确； ∵，， ，，，， ，故③正确； 中， ， 故④错误， 综上，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 14．（2023·24七年级下·四川达州·期末）如图，三角形是边长为的等边三角形，以为边作等腰三角形，使得，且，点M是边上的一个动点，作交边于点N，且满足，则的周长为 ．    【答案】2 【详解】解：如图，在延长线上截取，   是等边三角形，是顶角的等腰三角形， ，， ， ， ， 在和中， ，，， ， 得，， ， ， ，，， ， ， 故的周长． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结论． 15．（2024七年级下·全国·专题练习）如图①，在等腰中，，点在斜边上，，将绕点逆时针旋转至，连接． (1)①求证：； ②请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在等腰中，，，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2) 【详解】（1）①证明：将绕点逆时针旋转至， ， ，， 由旋转性质可知， ， ， 在和中， ， ； ②结论：； 理由如下： 在中，，， ， 由旋转性质可知，， ， 由勾股定理得， 由①知， ， ； （2）解：将绕点逆时针旋转至，连接，如图所示： ， ，，， 由旋转性质可知， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， 由旋转性质可知， ， 过点作于，如图所示： 在中，，，， ，则由勾股定理可得， 在中，，由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，由旋转性质构造出直角三角形是解本题的关键． 16．（2023·24七年级下·广东江门·阶段练习）正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时， ①_____________ ②求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)①4；②． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， 绕点D逆时针旋转，得到， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：①根据旋转的性质可知，， ， ， 正方形的边长为3， ， ， 故答案为4； ②设， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的额判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定和性质是解题关键． 17．（2023·24七年级·广东深圳·阶段练习）已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°．求证：MN=DN-BM．    【答案】详见解析 【详解】解：如图，作辅助线AH⊥MN，垂足为H，并在DN上截取DE=MB，连接AE，    在正方形ABCD中， ∵AD=AB，∠D=∠ABM=90°， 在△ABM与△ADE中， ∴△ABM≌△ADE， ∴AM=AE，∠MAB=∠EAD， ∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN， ∴∠DAE+∠BAN=45°， ∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN， 在△AMN和△AEN中， ∴△AMN≌△AEN， ∴MN=EN， ∵DN-DE=EN， ∴MN=DN-BM． 【点睛】本题考查正方形性质以及全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． ( 题型0 4 )手拉手模型 18．（2023·24七年级下·北京 期末）已知点C在线段BE上，分别以BC、CE为边作等边三角形ABC和等边三角形DCE，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点M，连接OC、MN，则以下结论①AE=BD；②△ACN≌△BCM；③∠BOE=120°；④△MNC是等边三角形；⑤OC平分∠BOE；正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝60°， ∴∠ACE＝∠BCD＝120°， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD；故①正确； ∵△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD， 在△ACN和△BCM中， ， ∴△ACN≌△BCM（ASA）， ∴CN＝CM， 而∠MCN＝60°， ∴△CMN为等边三角形；故②④正确； ∵∠CAE＋∠AEC＝∠ACB=60°， 而∠CAE＝∠CBD， ∴∠CBD＋∠AEC＝60°， ∴∠BOE＝120°；故③正确； ∵△ACE≌△BCD， ∴△ACE的面积与△BCD的面积相等， ∵BD=AE, ∴△ACE边AE上的高与△BCD边BD上的高相等， 即点C到OB、OE的距离相等， ∴点C在∠BOE的平分线上， 即OC平分∠BOE，故⑤正确. 综上，正确的结论为①②③④⑤，共5个. 故选D. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定及角平分线的判定定理的运用，会综合运用相关的判定与定理是解决问题的关键． 19．（2023·24七年级下·内蒙古乌海·阶段练习）如图，都是等边三角形，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的度数为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型—旋转性全等是解题的关键． 20．（2023·24七年级下·重庆巴南·期末）如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． 【答案】（1）见解析；（2）50° 【详解】证明（1）∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合， ∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°， ∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD， ∵AB=AC， ∴△BAE≌△CAD， ∴EB=DC； （2）∵△BAE≌△CAD， ∴∠BEA=∠ADC=115°， ∵∠DAE=50°，AD=AE， ∴ ， ∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°． 【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21．（2023·24七年级下·江西赣州·期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°． ①说明：； ②线段CE、CD、BC的数量关系为________________． （2）如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α，∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明． 【答案】（1）①见解析；②CE+DC=BC；（2）α+β=180°或α=β，证明见解析 【详解】（1）①证明：∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=90°． ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； ②∵△ABD≌△ACE， ∴BD=CE ∵BD+DC=BC ∴CE+DC=BC． （2）①点D在线段BC上，如图2 ∵∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； ∴∠B=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠BCE=180°； ∵∠BAC=α，∠BCE=β ∴α+β=180° ②当点D在射线BC上时，如图所示， ∵∠BAC=∠DAE ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； ∴∠B=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠BCE=180°； ∵∠BAC=α，∠BCE=β ∴α+β=180° ③当点D在射线BC的反向延长线上时，如图所示， 同理可得△ABD≌△ACE（SAS）； ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠BAC+180°-∠ABD+∠ACE-∠BCE =180°， ∴∠BAC=∠BCE． ∵∠BAC=α，∠BCE=β ∴α=β 综上所述α，β之间的数量关系为：α+β=180°或α=β 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． ( 题型0 5 )截长补短模型 22．（2023·24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】在AB上取一点G，使AG＝AF． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴AB=5， ∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴FE＝GE， ∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值， 故当C、E、G三点共线时，符合要求， 此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值， 此时，， ∴CH==， 即：CE+EF的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键． 23．（2023·24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【详解】在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE， 又∠B=2∠ADB ∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB， ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB， ∴∠DEC =∠EDC， ∴CD=CE， ∵，， ∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 24．（2023·24七年级下·全国·期末）如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ． 【答案】20° 【详解】解：如图，延长至点E使，连接． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴设，则．在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键． 25．（2023·24七年级下·广东汕头·期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC． 求证：BC=AB+CD．    【答案】证明见解析 【详解】证明：在线段BC上截取BE=BA，连接DE，如下图所示：    ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD， 在△ABD和△EBD中： ， ∴△ABD≌△EBD(SAS)， ∴∠DEB=∠BAD=108°， ∴∠DEC=180°-108°=72°，又AB=AC， ∴∠C=∠ABC=(180°-108°)÷2=36°， ∴∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°， ∴∠DEC=∠CDE， ∴CD=CE， ∴BC=BE+CE=AB+CD． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质等，本题的关键是能在BC上截取BE，并使得BE=BA，这是角平分线辅助线和全等三角形的应用的一种常见作法． 26．（2023·24七年级下·福建南平·期末）如图，在中，，，是边的中点，以为边作等边三角形，且与在直线的异侧，连接交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4 【详解】（1）证明：∵，是边的中点， ∴所在直线是的垂直平分线， 又∵点F在直线AD上 ∴． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 由（1）可知，， 又∵，， ∴≌（SSS）， ∴， ∴． （3）解：如图，延长至点处，使，连接． ∵，是边的中点， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵，，， ∴≌（SAS）， ∴，． 由（2）可知，， ∵， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴≌（SAS）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，会利用引辅助线构造三角形全等转化线与线关系，角与角关系来解决问题． 1．（2023·24七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，为中点，、分别在、上，连接、、，若，，，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：延长到，使，连接，， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， 在中，，， ， 即， ， 故答案为：． 2．（2023·24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 3．（2023·24七年级下·四川南充·期末）如图，P是正△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置． （1）求PQ的长． （2）求∠APB的度数． 【答案】（1）3；（2）150°． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，BA＝BC， ∵将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置， ∴△ABP≌△ACQ， ∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ， ∴∠PAQ＝∠BAC＝60°， ∴△APQ是等边三角形， ∴PQ＝AP＝3； （2）由（1）知∠AQP＝60°， ∵△ABP≌△ACQ， ∴BP＝CQ＝4，∠APB＝∠AQC， ∵PC＝5， ∴PQ2+CQ2＝CP2， ∴△PCQ是直角三角形，且∠PQC＝90°， ∴∠AQC＝∠PQC+∠AQP＝150°， ∴∠APB＝150°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键． 4．（2023·24七年级下·四川自贡·期末）如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．    【答案】见解析 【详解】解：在上取点F，使，连接，    ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（2023·24七年级·福建厦门·期末）如图，为等边外一点，且，点分别在上，且． （1）求证：．（2）求证：． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【详解】证明：(1)延长NC到E，使CE=BM，连接DE. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵BD=CD,∠BDC=120°， ∴∠CBD=∠BCD=30°， ∴∠ABD=∠ACD=90°， 在直角△BDM和直角△CDE中， ， ∴Rt△BDM≌Rt△CDE(SAS)， ∴DM=DE，∠BDM=∠CDE， ∴∠MDE=∠BDC=120°， ∵BM+CN=MN， ∴MN=ME， 在△MDN和△EDN中， ， ∴△MDN≌△EDN(SSS)， ∴∠MDN=∠EDN=60°； （2）根据题意可知，易知， 且平分， 平分， ， ． 即 【点睛】此题考查等边三角形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的性质，解题关键在于得到△BDM和△CDE都是直角三角形. 6．（2023·24七年级下·湖南永州·期末）如图①，四边形中，，，．    (1)若E，F分别在，上，且时，小王的探究方法是：延长至，使，连接，先证明 ；再证明，他得出的线段，，之间的关系是 (2)如图②，若E，F分别在，的延长线上，，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【详解】（1）解：如图，在和中， ∴ ∴， 四边形中， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 在与中 ∴ ∴ 而 ∴．    （2）证明：如图，在上截取，连接 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ 由图可知， ∴    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，运用截长补短的思想，通过截取一条线段等于已知线段构造全等三角形是解题的关键． 7．（2024七年级下·安徽·专题练习）如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵D是边的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 8．（2023·24七年级下·福建龙岩·期末）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 【答案】(1)， (2)当秒或秒或12秒时，与全等 【详解】（1）当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 综上，，； （2）①如图1，Q在上，点P在上时，作，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：；                             ②如图2，当点P与点Q重合时， 当， 则， ∴． 解得：；                             ③如图3，当点Q与A重合时， ， ∴， 当， 则， 即， 解得：；                         当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形常见模型 题型概览 题型01一线三角模型 题型02倍长中线模型 题型03半角模型 题型04手拉手模型 题型05截长补短模型 ( 题型0 1 )一线三角模型 1．（2023·24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，，直线l过点C且与AB相交，，垂足为点E，，垂足为点D．若，，则ED的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在正方形中，点E在上，于点F，于点G．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D．3 3．（2023·24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 4．（2023·24七年级下·山东泰安·期末）如图，点C在线段上，且，垂足别是点B、D、C，．    (1)求证：； (2)若，求的面积． 5．（2023·24七年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），度数记为，连接，作，交线段于． (1)当时，______，______；点从向运动时，逐渐变______（填“大”或“小”），的取值范围是______； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． ( 题型0 2 )倍长中线模型 6．（2023·24七年级下·湖北襄阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·24七年级下·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 8．（2023·24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 9．（2023·24七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为 ． 10．（2023·24七年级下·福建漳州·期末）如图所示，则中，，，则边上的中线长的取值范围是 ． 11．（2023·24七年级下·陕西西安·阶段练习）小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现． 请根据小雨的探究过程，解答下面的问题． 如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明． 12．（2023·24七年级·江苏·期末）如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． ( 题型0 3 )半角模型 13．（2023·24七年级下·北京西城·期末）如图，在中，，，是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的是 ． 14．（2023·24七年级下·四川达州·期末）如图，三角形是边长为的等边三角形，以为边作等腰三角形，使得，且，点M是边上的一个动点，作交边于点N，且满足，则的周长为 ．    15．（2024七年级下·全国·专题练习）如图①，在等腰中，，点在斜边上，，将绕点逆时针旋转至，连接． (1)①求证：； ②请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在等腰中，，，求的长． 16．（2023·24七年级下·广东江门·阶段练习）正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时， ①_____________ ②求的长． 17．（2023·24七年级·广东深圳·阶段练习）已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°．求证：MN=DN-BM．    ( 题型0 4 )手拉手模型 18．（2023·24七年级下·北京 期末）已知点C在线段BE上，分别以BC、CE为边作等边三角形ABC和等边三角形DCE，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点M，连接OC、MN，则以下结论①AE=BD；②△ACN≌△BCM；③∠BOE=120°；④△MNC是等边三角形；⑤OC平分∠BOE；正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 19．（2023·24七年级下·内蒙古乌海·阶段练习）如图，都是等边三角形，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．（2023·24七年级下·重庆巴南·期末）如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． 21．（2023·24七年级下·江西赣州·期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°． ①说明：； ②线段CE、CD、BC的数量关系为________________． （2）如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α，∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明． ( 题型0 5 )截长补短模型 22．（2023·24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 23．（2023·24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 24．（2023·24七年级下·全国·课后作业）如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ． 25．（2023·24七年级下·广东汕头·期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC． 求证：BC=AB+CD．    26．（2023·24七年级下·福建南平·期末）如图，在中，，，是边的中点，以为边作等边三角形，且与在直线的异侧，连接交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 1．（2023·24七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，为中点，、分别在、上，连接、、，若，，，则的取值范围是 ． 2．（2023·24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 3．（2023·24七年级下·四川南充·期末）如图，P是正△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置． （1）求PQ的长． （2）求∠APB的度数． 4．（2023·24七年级下·四川自贡·期末）如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．    5．（2023·24七年级·福建厦门·期末）如图，为等边外一点，且，点分别在上，且． （1）求证：．（2）求证：． 6．（2023·24七年级下·湖南永州·期末）如图①，四边形中，，，．    (1)若E，F分别在，上，且时，小王的探究方法是：延长至，使，连接，先证明 ；再证明，他得出的线段，，之间的关系是 (2)如图②，若E，F分别在，的延长线上，，求证：． 7．（2024七年级下·安徽·专题练习）如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：． 8．（2023·24七年级下·福建龙岩·期末）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$