2025年中考数学总复习全等三角形模型的应用

2025年中考数学总复习

全等三角形模型的应用

 

1．综合与实践：如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为，．

(1)猜想线段、、三者之间的数量关系，并给予证明．

(2)如图2，当过点的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，线段、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；

2．如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题：

(1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明．

3．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．

  

(1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）；

(2)当等于多少时，，请说明理由；

(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．

4．如图，在四边形中，，，，，

(1)求的长；

(2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且．

①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明．

②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）．

5．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接．

(1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等）

(2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由；

(3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系．

6．综合与探究

发现问题：

(1)如图1，在与中，，，，，三点在同一直线上．若，，则______．

提出问题：

(2)如图2，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，连结，求的面积．

灵活应用：

(3)如图3，在中，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连结，过点作于点，延长交于点．求证：是的中点．

7．如图，回答下列题：

【操作发现】

如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．

①与之间的数量关系为_________；

②的度数为_________；

【类比探究】

如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数．

【实际应用】

如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离．

8．如图1，在中，，，点在边上，点在边的延长线上，且．

(1)设，求的度数（用含的代数式表示）．

(2)如图2，过点作，交于点，求证：．

(3)如图3，在边上取点，使，作交的延长线于点，若，，求的长．

9．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考：

（1）由已知和作图能得到，依据是________．

A．SSS    B．SAS    C．AAS

（2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

【感悟方法】