8.3.2 独立性检验 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.3.2 独立性检验 独立性检验 关心两个分类变量之间是否有关系？ 性别 是否喜欢数学课程 吸烟 患肺癌 例： 反证法原理与假设检验原理 反证法原理： 在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。 假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。 和，和都是互为对立事件 表示从中随机选取一个样本点， 该样本点属于的概率； 而表示从中随机选取一个样本点， 该样本点属于的概率. 思考：设和为定义在上，取值于的成对分类变量.如何判断事件之间是否有关联. 判断假定关系是否成立 （通常称为零假设或原假设） 零假设等价于， 或 ① 和为对立事件， 零假设等价于与独立. 根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价： 与独立；与独立； 与独立；与独立. 相对于下面四个等式成立： ② 因此，我们可以用概率语言，将零假设改述为 ：分类变量和独立. X和Y的抽样数据的2×2列联表 最后一行的前两个数分别是事件和的频数；最后一列的前两个数分别是事件和的频数；中间的四个数是事件的频数；右下角格中的数是样本容量. 练习：下面是一个2×2列联表： y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 总计 b 46 100 则表中a、b的值分别为(　　) A．94、96 B．52、50 C．52、54 D．54、52 C 思考：如何基于②中的四个等式及列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量和是否相互独立作出推断. 用概率和对应的频率的乘积估计概率， 综合②中的四个式子，如果零假设成立，下面四个量的取值都不应该太大： ，，，. ③ 反之，当这些量的取值较大时，就可以推断不成立. 把视为事件发生的频数的期望值(或预期值) 该频数的观测值和期望值应该比较接近. ，，，. ③ 一般来说，若频数的期望值较大，则③中相应的差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则③中相应的差的绝对值也会较小. 该表达式可化简为.(1) 找到一个既合理又能够计算分布的统计量，来推断是否成立.. . 用随机变量取值的大小作为判断零假设是否成立的依据，当它比较大时推断不成立，否则认为成立.那么，究竟大到什么程度，可以推断不成立呢？ 根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律，上面的想法可以通过确定一个与相矛盾的小概率事件来实现. 在假定的条件下，对于有放回简单随机抽样，当样本容量充分大时，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得下面关系成立： ④ 概率值越小，临界值越大.当总体很大时，抽样有、无放回对的分布影响较小.因此，在应用中往往不严格要求抽样必须是放回的. 为的临界值（可作为判断大小的标准） ④ 由④式可知，只要把概率值取得充分小，在假设成立的情况下，事件是不大可能发生的.根据这个规律，如果该事件发生，我们就可以推断不成立.不过这个推断有可能犯错误，但犯错误的概率不会超过. 基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断不成立，既认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立. 这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 例如，对于小概率值，我们有如下的具体检验规则： (1)当时，我们推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过； (2)当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立. (1)认清分类变量，提出零假设H0：X和Y独立，即…与…无关联(无差异)； (2)列表：列出2×2列联表. (3)求值：由表中数据计算χ2的值. (4)推断：将χ2值与临界值xα比较，根据小概率值α的独立性检验规则，得出结论 利用χ2的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为χ2独立性检验 归纳：(卡方)独立性检验的步骤 若χ2≥xα，则推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 若χ2<xα，则我们没有充分证据推断H0不成立，可认为X和Y独立. P(χ2≥xα)=α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 如：若假设H0成立，对于小概率值α=0.05的χ2独立性检验规则如下： (1)当χ2≥3.841=x0.05时，∵P(χ2≥3.841)=0.05，可推断H0不成立， 即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05； (2)当χ2<3.841=x0.05时，我们没有充分证据推断H0不成立，可认为X和Y独立. 思考：例１和例２都是基于同一组数据的分析，但却得出了不同的结论，你能说明其中的原因吗？ 例１只是根据一个样本的两个频率间存在差异得出两校学生数学成绩优秀率有差异的结论，并没有考虑由样本随机性可能导致的错误，所以那里的推断依据不太充分。 在例２中，我们用χ2独立性检验对零假设H０进行了检验．通过计算，发现χ2≈0.837小于α＝0.1所对应的临界值2.706，因此认为没有充分证据推断H０不成立，所以接受H０，推断出两校学生的数学成绩优秀率没有显著差异的结论．这个检验结果意味着，抽样数据中两个频率的差异很有可能是由样本随机性导致的．因此，只根据频率的差异得出两校学生的数学成绩优秀率有差异的结论是不可靠的． 相对于简单比较两个频率的推断，用χ2独立性检验得到的结果更理性、更全面，理论依据也更充分． 例3 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈 15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名,其中未治愈6名,治愈63名.试根据小概 率值α=0.005的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. 解:零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异. 将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表， 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 例4.为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示.依据小概率值的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌得风险. 解：零假设为：吸烟与患肺癌之间无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到 . . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误得概率不大于. 根据表中的数据计算，不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为 和； 吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为和. 由可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌的频率的4倍以上.于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌的概率，即吸烟更容易引发肺癌. 总结上面的例子，应用独立性检验解决实际问题大致包括以下几个主要环节： (1)提出零假设：和相互独立，并给出问题中的解释. (2)根据抽样数据整理出列联表，计算的值，并与临界值比较. (3)根据检验规则得出推断结论. (4)在和不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析和间的影响规律. (1)认清分类变量，提出零假设H0：X和Y独立，即…与…无关联(无差异)； (2)列表：列出2×2列联表. (3)求值：由表中数据计算χ2的值. (4)推断：将χ2值与临界值xα比较，根据小概率值α的独立性检验规则，得出结论 利用χ2的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为χ2独立性检验 课堂小结 若χ2≥xα，则推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 若χ2<xα，则我们没有充分证据推断H0不成立，可认为X和Y独立. P(χ2≥xα)=α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 0.1%把握认为X与Y无关 1%把握认为X与Y无关 99.9%把握认为X与Y有关 99%把握认为X与Y有关 90%把握认为X与Y有关 10%把握认为X与Y无关 临界值表 10.828 7.879 6.635 5.024 3.841 2.706 2.072 1.323 0.708 0.445 k0 0.001 0.005 0.010 0.025 0.05 0.10 0.15 0.5 0.40 0.50 根据题目所给数据得到如下列联表： 解：零假设为H0:“…与…没有关系”. 独立性检验的解题过程： χ2= 总计 a b a+b c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 所以,有…%的把握认为“…与…有关系”. 或：在犯错误的概率不超过…的前提下认为“…与…有关系” 独立性检验的解题过程： χ2= 所以,没有…%的把握认为“…与…有关系”. 或:不能在犯错误的概率不超过…的前提下认为“…与…有关系” 根据题目所给数据得到如下列联表： 解：零假设为H0:“…与…没有关系”. 总计 a b a+b c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 当堂练习 1．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，说法正确的是(　　) A．k越大，“ X与Y有关系”可信程度越小 B．k越小，“ X与Y有关系”可信程度越小 C．k越接近于0，“X与Y无关”程度越小 D．k越大，“X与Y无关”程度越大 B 则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱 A.8 B.9 C.14 D.19 y1 y2 x1 10 18 x2 m 26 在列联表中|ad-bc|越小,说明两个分 类变量之间关系越弱 ; |ad-bc|越大， 说明两个分类变量之间关系越强. 2.假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1 ，x2}和{y1，y2}， 其2×2列联表为 C 解析 由10×26≈18m ，解得m ≈14.4 ，所以当m ＝14时，X与Y的关系最弱. X Y 合计 Y =0 Y=1 X =0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b +d n =a+b +c+d 因为|ad－bc|的值越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，故选A. 3.在2×2列联表中，两个比值相差越大 ， 两个分类变量有关系的可能性就越大 ，那么这两个比值为 √ 4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得如下列联表：   男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 由 算得， 附表： 参照附表，得到的正确结论是( ) A有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关” D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关” A 5.“初中数学靠练，高中数学靠悟”.总结反思自己已经成为数学学习中不可或缺的一部分，为了了解总结反思对学生数学成绩的影响，某校随机抽取200名学生，抽到不善于总结反思的学生概率是0.6. （1）完成2×2列联表； （2）试运用独立性检验的思想方法分析是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关. 统计数据如下表所示：   不善于总结反思 善于总结反思 合计 学习成绩优秀 40     学习成绩一般   20   合计     200 120 80 80 60 100 100 所以有99.9%的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关. 6.江苏省将对入学的高一年级学生开始实施高考综合改革，不分文理科，实行新的学业水平考试制度．某校为研究高一学生选修物理与性别是否有关，随机选取100名学生进行调查，数据如下：   男生 女生 总计 选修物理 36 32 68 不选修物理 16 16 32 总计 52 48 100 （1）分析能否有90%的把握认为性别与是否选修物理有关？ 解：（1）计算得 所以没有90%的把握认为性别与是否选修物理有关. 附： （2）从选取的100名学生中任取一名，求该同学选修物理的概率；   男生 女生 总计 选修物理 36 32 68 不选修物理 16 16 32 总计 52 48 100 解：由题知，样本中的100名学生选修物理的有68名，故从选取的100名学生中任取一名，求该同学选修物理的概率为 （3）将上述调查所得频率视为概率，现从该校（该校高一学生很多）所有高一女生中随机抽3人，记被抽取的女生中选修物理的人数为X，求X的分布列及数学期望． （3）由（2）知样本中共有女生48人，其中选修物理的女生有32人， 故从女生中随机选取一人，选修物理的概率为： ， 被抽取的女生中选修物理的人数X满足：X～B（3，）， 所以X的可能取值为0，1，2，3， 所以X的分布列为： 所以E(X)=np=2. 7.2021年2月11日20:00整，中央电视台辛丑牛年春节联欢晚会隆重举行.晚会中，华美的舞台令观众沉醉，震撼的科技让酷炫尽显，饱含深情的歌曲、充满感染力的舞蹈、笑中有思的相声小品等一个个节目将过去一年来我国取得的举世成就生动，形象、深刻地呈现出来，描绘出逐梦中国的万千气象，携着吉祥的祝福与全国人民一同迈入新的春天.为了了解电视观众对晚会的整体评价，某调查机构通过不同途径调查了大量完整收看了春晚节目的电视观众的评分(满分100分)，并对其进行统计分析，制作了如图的频率分布直方图: （1）试估算春晚评分的平均值； 解：根据频率分布直方图中的数据，可得估计春晚评分的平均值为：   45岁以下 45岁以上 合计 满意       不满意       合计       （2）假设评分在60分以上的，则认为观众对春晚是满意的；不足60分，则认为观众对春晚是不满意的.研究者从样本中抽取了年龄在45岁以上和45岁以下的观众各100名，发现年龄在45岁以上的100名的观众中满意的有60人，年龄在45岁以下的观众中满意的有35人，请结合独立性检验的思想，完成下列列联表，并分析是否有99.9%的把握认为观众的满意度与年龄分布有关? 附： 解：根据题意，可得2×2列联表为   45岁以下 45岁以上 合计 满意 35 60 95 不满意 65  40   105 合计 100  100   200 所以有99.9%的把握认为观众的满意度与年龄分布有关． （3）由问题（2），现从45岁以上的观众中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，并从这10人中随机选出3人颁发参与奖励，设获得参与奖励的不满意的观众人数为X，求X的分布列及数学期望. 解：根据分层抽样，可知抽取的10人中，满意的观众有 （人） 不满意的观众有 （人） 则X的所有可能取值为0，1，2，3， 所以随机变量X的分布列为： 所以 8.在最新公布的广东新高考方案中，“3+1+2”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1～6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表： （1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？ 解：经统计，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为720，330．根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，7．现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整． 40 （2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关. 附： 解：根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下： ∴有99%的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关． （3）某高校A在其热门人文专业B的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备A高校B专业报名资格的人数为X，用样本的频率估计概率，求X的分布列与期望. 解：经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为 用频率估计概率，则X～B（3，0.3），分布列如下： 数学期望为 9．直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某贫困地区有统计数据显示，2020年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”． （1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关？   年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户       不常使用直播销售用户       合计       由图1知，“年轻人”占比为45.5%+34.5%=80%，即有200×80%=160（人），“非年轻人”有200-160=40（人） 由图2知，“经常使用直播销售用户”占比为30.1%+19.2% %+10.7%=60% ，即有200×60%=120（人），“不常使用直播销售用户”有200-120=80（人）. “经常使用直播销售用户的年轻人”有中有120× =100（人）， “经常使用直播销售用户的非年轻人”有120-100=20（人） 补全的列联表如下：   年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户  100  20  120 不常使用直播销售用户  60  20  80 合计  160  40  200 即有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关. （2）某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择： 方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为, , ； 方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为, , ． 针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由． （2）若按方案一，设获利万元，则可取的值为300，-150，0 ， 的分布列为： 由方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一. 若按方案二，设获利万元，则可取的值为500，-300，0 ， 的分布列为： $$