精品解析：江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中调研数学试题

徐州三中2024——2025学年度第二学期高二年级期中调研 数学学科试卷 时间：120分钟 总分：150分 注意：请在答题卡上作答 一､单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（ ） A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合，结合分类加法计算原理即可求解. 【详解】若甲在第二位，则乙可以站在第一位和第三位，此时有, 若甲在第三位，则乙可以站在第一位和第二位，此时有, 若甲在第四位，则乙可以随意站，此时有, 故总的方法有， 故选：B 2. 若的展开式各项系数之和为，则实数为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用赋值法，令，根据展开式各项系数的和即可求得答案. 【详解】由题意令，则的展开式各项系数的和是， 故选：D 3. 西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（ ） 附：若，则，，． A. 0.4545 B. 0.1827 C. 0.2718 D. 0.1359 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性以及已知概率计算求解. 【详解】由题可知，， 所以. 故选：D 4. 二项式的展开式中有理项的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式求出通项，然后由指数为整数得到的取值，得出结果. 【详解】二项式展开式的通项为． 其中当k的值分别为0，2，4时，为有理项，共有3项． 故选：B． 5. 已知，为的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将函数化简为，再求得，判断为奇函数，排除B，D；再分析选项A，C图像的区别，取特殊值即可判断出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误； 将代入得：，故C错误． 故选：A． 6. 设A，B为两个事件，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件公式直接代入运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 7. 已知随机变量的分布列：满足，则的值为（ ） 0 1 A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义计算X的期望，根据期望的线性运算关系得到关于的方程，求解即得. 【详解】． ， ∴ 故选：A. 8. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 二､多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分） 9. 设，若，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由二项式定理可得展开式的通项，由求出n的值判断选项AB；令判断选项C；由展开式的通项求得判断选项D. 【详解】由二项式定理，得的展开式通项为， 对于AB，由，得，即，解得，A正确，B错误； 对于C，在中，令，得，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 【答案】ACD 【解析】 【分析】由倍缩法即可判断A，由插空法即可判断B，由特殊元素优先法即可判断C，由捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由于甲乙丙按从左到右的顺序固定了，故有种方法，故A正确； 对于B，甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空，然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故B错误； 对于C，甲，乙都不排两端，则先从中间个位置选择两个将甲，乙安排好，有种方法，其他人安排到剩下的个位置，有种方法，所以共有种方法，故C正确. 对于D，甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法，看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故D正确； 故选：ACD 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布，也称分布，且，则 B. 若随机变量X满足，则 C. 若随机变量，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能7次击中目标 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两点分布的特征，直接求方差，判断A错；根据离散型随机变量期望的概念，直接计算，可判断B正确；根据正态分布的对称性，可判断C正确；根据二项分布的概率公式，构造不等式组，由此解得的范围，从而可得概率最大时的取值，判断D正确. 详解】若随机变量X服从两点分布，且，则，， 则，故A错； 若随机变量X满足， 则，故B正确； 若随机变量，，则，故C正确； 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若， 则， 由得， 即，即，解得， 所以，即最大，此人最有可能7次击中目标，故D正确； 故选：BCD 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得质量指标在区间的概率，后由二项分布的方差可得答案. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，所以， 故. 故答案为： 13. 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球.设在此过程中，取到黄球的个数为，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先写出随机变量的概率分布，然后代入期望和方差公式即可求解. 【详解】随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以， . 故答案为：. 14. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导后结合二次函数的性质分析即可. 【详解】， 因为函数存在单调递减区间， 所以存在，使得小于零， 所以导函数的判别式，解得或， 所以实数的取值范围为是， 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ （2）记2020~2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值. 参考公式：，其中，. ，相关系数.. 若，则认为经验回归方程有价值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关联 （2），该经验回归方程有价值. 【解析】 【分析】（1）先补全列联表，再计算卡方，根据独立性检验原则即可判断； （2）通过给出的经验回归方程公式求相关系数，再判断． 【小问1详解】 2×2列联表如下： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 15 45 不是微短剧消费者 70 85 155 合计 100 100 200 零假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05. 【小问2详解】 由x的取值依次为1，2，3，4，5，得，， 因为经验回归方程为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以该经验回归方程有价值. 16. 已知函数在处取得极小值5. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，求出，检验后得到答案； （2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案. 【小问1详解】 由题意可知， 因为在处取极小值5，所以，解得， 此时， 所以在上单调递减，在上单调递增 所以在时取极小值，符合题意 所以，又，所以. 综上. 【小问2详解】 由（1）得，所以 列表如下： 0 1 2 3 0 0 1 极大值6 极小值5 10 故时，的值域为. 17. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：）. （1）现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差； （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率. 参考数据：若，则，， 【答案】（1）分布列见解析，； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列关求出期望. （2）根据给定条件，利用二项分布的概率公式，结合互斥事件的概率求出概率，用二项分布的方差公式求出方差. （3）利用正态分布的对称性和对立事件的概率公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，可知可取0，1，2，3， ，，，， 所以分布列为： 0 1 2 3 从而的数学期望. 【小问2详解】 可取的值为0，1，2，3，4，5，6，显然， ，， . 所以技术攻坚成功的概率， 所以的方差. 【小问3详解】 由，得，由，得， 则， 于是，则， 记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件， 则. 所以至少有一个零件直径大于9.4nm的概率为. 【点睛】方法点睛：判断随机变量是否服从二项分布：一是要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为，；二是看是否为次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数. 18. 设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. （1）求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； （2）设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，求出、，求出甲、乙中恰有一款车通过实验室测试的概率； （2）求出随机变量可能的取值，分别求出概率，求出数学期望. 【小问1详解】 设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试， 则，， 则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为： ； 【小问2详解】 随机变量可能的取值为：， 由题意，甲、乙车投产的概率分别为， 所以， ， ， X 0 1 2 P 所以数学期望． 19. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数的几何意义，根据斜率之积为求解即可； （2）求出函数的导数，分类讨论，解不等式即可得出单调性区间； （3）利用导数确定，分离参数后，再利用导数求函数最小值即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又在处的切线与直线垂直，所以， 即，所以. 【小问2详解】 ，. ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，令，得，又，所以. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由，得在上恒成立. 令，，则，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 则在上恒成立. 令，， 则 . 因为，所以，则， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐州三中2024——2025学年度第二学期高二年级期中调研 数学学科试卷 时间：120分钟 总分：150分 注意：请在答题卡上作答 一､单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（ ） A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 18种 2. 若展开式各项系数之和为，则实数为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3. 西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（ ） 附：若，则，，． A. 0.4545 B. 0.1827 C. 0.2718 D. 0.1359 4. 二项式的展开式中有理项的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知，为的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 设A，B为两个事件，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量的分布列：满足，则的值为（ ） 0 1 A. 4 B. C. 2 D. 8. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分） 9. 设，若，则下列结论正确的是（ ） A B. C D. 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C. 如果甲，乙都不排两端，则不同排法共有36种 D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布，也称分布，且，则 B. 若随机变量X满足，则 C. 若随机变量，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能7次击中目标 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是______． 13. 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球.设在此过程中，取到黄球的个数为，则________ 14. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为______. 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ （2）记2020~2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值. 参考公式：，其中，. ，相关系数.. 若，则认为经验回归方程有价值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 16. 已知函数在处取得极小值5. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的值域. 17. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：）. （1）现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差； （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率. 参考数据：若，则，， 18. 设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. （1）求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； （2）设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 19. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$