几何最值问题综合训练-2025年九年级中考数学中考必考知识点专题特训

几何最值问题综合训练

2025年九年级中考数学中考必考知识点专题特训

 

 

1．已知等腰，，点为三角形内一点，连，，．

(1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长；

(2)如图，若，，求的最小值．

2．如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转；

(1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由；

(2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系；

(3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度．

3．在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H．

(1)如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离；

(2)如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长．

4．问题提出

（1）如图①，在中，，则点A到的最大距离为_______；

问题探究

（2）如图②，在矩形中，，E是上一动点，连接，求，的最小值；

问题解决

（3）如图③，矩形的四边是某市产业新区的外环路，分别是四条贯穿路．已知，I、J分别是线段上一点，连接．现计划在三角形区域处修建一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值：若不存在，请说明理由．（结果保留根号）

5．以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点．

    

(1)如图1，平分，求证：；

(2)如图2，过点A作，分别交、于点、点，连接，过A作，交于点，连接，交于点，求证：；

(3)如图3，点为边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接、，当，最小时，请直接写出的度数．

6．已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，M为线段上的动点，将沿直线对折，使O点落在处．

  

(1)如图①，当时，求点的坐标；

(2)如图②，连接，当时．

①求点M的坐标；

②连接，求与重叠部分的面积；

(3)当点M在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围．

7．

中，．

(1)如图1，若，平分交于点，且．证明：；

(2)如图2，若，取中点，将绕点逆时针旋转至，连接并延长至，使，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3，若，为平面内一点，将沿直线翻折至，当取得最小值时，直接写出的值．

8．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若，

(1)求的长；

(2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________．

9．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点，且连接、．

(1)观察猜想

线段与______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．

(2)绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由．

(3)拓展延伸

把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出与的积的最大值．

10．如图1，与都是等边三角形，边长分别为4和，连接为高，连接，N为的中点．