第4讲　二次根式课件2025年九年级总复习数学北师大版-广东专版

第4讲　二次根式 第一单元 内容索引 01 考点·梳理整合 02 考题·自测体验 03 考法·分类全析 04 考点·巩固迁移 考点·梳理整合 考点一 二次根式的概念 1.概念:一般地,形如(　　　　　)的式子叫做二次根式.  注意:二次根式具有双重非负性:即　　　0,a　　　0.  2.几个重要性质 (1)()2=　　　(a≥0).  (2)=　　　=  (3)=　　　　　(a≥0,b≥0).  (4)=　　　　　(a≥0,b>0).  a≥0 ≥ ≥ a　 |a|　 a　 -a　 3.最简二次根式: 一般地,被开方数不含分母,也不含　　　　　　的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.  4.同类二次根式: 概念:几个二次根式化成　　　　　　　后,如果　　　　　　　相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.  能开得尽方 最简二次根式 被开方数 考点二 二次根式的运算 1.加减运算:先将二次根式化简,再将　　　　二次根式进行合并,合并的方法与合并同类项法则相同.  2.乘除运算 (1)乘法法则:=　　　(a≥0,b≥0).  (2)除法法则:=　　　(a≥0,b>0).  注意:在二次根式除法运算过程中一般情况下是将分母中的根号化去(分母有理化).如:=　　　　=　　　　　　.  同类 3.混合运算顺序:先算　　　,再算　　　,最后算　　　　　　　,如果有括号先算括号里面的,同一级运算按照从左到右的顺序依次进行.化简二次根式时,各个二次根式要化成　　　　　　　　　　　　,并且通常要求最终结果中分母不含有根号.  乘方　 乘除 加减 最简二次根式 考题·自测体验 1.(2022湖北仙桃)下列各式计算正确的是(　　). A. B.4-3=1 C. D.÷2= 2.(2021广东)若=0,则ab=(　　). A. B. C.4 D.9 C B 3.(2023广东)计算:=　　　　　.  4.(2021广东广州)代数式在实数范围内有意义,则x应满足的条件是　　　　.  5.(2024广东深圳)计算:-2·cos 45°+(π-3.14)0+|1-|+()-1. 6 x≥6 解:原式=-2×+1+-1+4=-+1+-1+4=4. 考法·分类全析 考法1二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是被开方数要大于或等于0. 例1函数y=中自变量x的取值范围是(　　). A.x≤2 B.x≤2,且x≠1 C.x<2,且x≠1 D.x≠1 解析:根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可知2-x≥0,且x-1≠0,解得x≤2,且x≠1. 答案:B 方法点拨 代数式有意义的条件,一般从三个方面考虑:(1)当表达式是整式时,可取全体实数;(2)当表达式是分式时,分式的分母不能为0;(3)当表达式是二次根式时,被开方数必须是非负数. 考法2二次根式的性质 例2把二次根式a化简后,结果正确的是(　　). A. B.- C.- D. 解析:要使a有意义,必须-≥0,且a≠0,即a<0,所以a=a=-. 答案:B 方法点拨 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围,那么应在这个范围内对根式进行化简;如果题目中没有给出明确的取值范围,那么应注意对题目条件的挖掘,把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来,在取值范围内进行化简. 考法3最简二次根式与同类二次根式 例3(1)下列二次根式中,最简二次根式是(　　). A. B. C. D. (2)在下列二次根式中,与是同类二次根式的是(　　). A.a B. C. D. 解析:(1)B,C选项中的被开方数中含开得尽方的因数,D选项中的被开方数中含有分母,故A选项正确.(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后,可得出|a|,=a=a2,结合同类二次根式的含义,可得出是同类二次根式. 答案:(1)A　(2)C 方法点拨 1.最简二次根式的简易判断方法:凡根号里有小数点、分数线的都不是最简二次根式,并且最简二次根式的被开方数中不能含开得尽方的因数(式). 2.判断同类二次根式的步骤:先把所有的二次根式化成最简二次根式;再根据被开方数是否相同加以判断.要注意同类二次根式只与根号内的因数(式)有关,与根号外的因式无关. 考法4二次根式的运算 二次根式的运算首先要注意运算顺序,其次要掌握好运算法则,最后注意运算结果. 例4计算:()÷. 解:原式=(5-2)÷=3=3. 方法点拨 1.二次根式加减法运算的步骤:(1)将每个二次根式化成最简二次根式;(2)找出其中的同类二次根式;(3)合并同类二次根式. 2.二次根式乘除法运算的步骤:先利用运算法则将被开方数化为积(或商)的二次根式,再化简;最后结果要化为最简二次根式或整式或分式. 考法5化简求值 二次根式的化简求值是中考的常见题型.这类问题涉及最简根式、分母有理化等重要概念,同时涉及整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法,解题的关键是把已知条件化简,或把已知条件变形,或把待求式化简或变形,或把已知条件和待求式同时变形. 例5已知a=,求的值. 解:∵a==2-<1,∴a-1<0. ∴=-. ∵a=,∴-=-2-. 方法点拨 对于双重化简求值问题,通常先根据已知条件判断出题目中需要往外开的因式的正负情况,再将代数式化简,最后代入求值. 考点·巩固迁移 1.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是(　　). A.x≠2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠-2 2.如果=1-2a,那么(　　). A.a< B.a≤ C.a> D.a≥ B B 3.下列计算正确的是(　　). A. B. C.=2 D.=4 A 4.若最简二次根式是同类二次根式,则ab=　　　　.   5.计算:|-|-2sin 45°+(1-)0+. 1 解:原式=-2×+1++1+4=5. 本 课 结 束 $$