第2讲　整式运算及因式分解 课件 2025年九年级总复习数学北师大版-广东专版

第2讲　整式运算及因式分解 第一单元 内容索引 01 考点·梳理整合 02 考题·自测体验 03 考法·分类全析 04 考点·巩固迁移 考点·梳理整合 考点一 代数式 1.概念:用　　　　　　　把　　　　和　　　　连接而成的式子.单独的一个数或一个字母也是代数式.  2.代数式的值:用　　　　　代替代数式中的　　　,就可以求出代数式的值.  运算符号 数 字母 具体数值 字母 考点二 整式 1.整式包括　　　　　和　　　　　　.  (1)由数和字母的　　　组成的代数式叫做单项式,单项式中的__________　　　　　　　叫做这个单项式的系数,所有字母的　　　　　叫做这个单项式的次数.  (2)几个单项式的　　　叫做多项式,在多项式中,每个单项式叫做多项式的　　　.  2.同类项 (1)定义:所含　　　　相同,并且相同字母的　　　　也相同的项,叫做同类项.  (2)合并同类项法则:把同类项的　　　相加,　　　　　　　　　　不变.  单项式 多项式 乘积 数字因数 指数和 和 项 字母 指数 系数 字母和字母的指数 3.整式的运算 (1)整式的加减 ①去括号与添括号 a+(b+c)=a+　 　,a-(b+c)=a-　 　,  a+b+c=a+(　 　),a-b-c=a-(　 　).  ②整式加减的步骤是先　　　,再　　 　　.  b+c b-c b+c b+c 去括号 合并同类项 (2)整式的乘法 ①单项式与单项式相乘:把它们的系数、相同字母的幂分别　　　　,其余字母连同它的　　　　不变,作为积的因式.  ②单项式与多项式相乘 m(a+b+c)=　　　　　　　　　.  ③多项式与多项式相乘 (m+n)(a+b)=　　　　　　　　　.  ④乘法公式 (a+b)(a-b)=　　　　　,  (a±b)2=　　　　　　　.  相乘 指数 ma+mb+mc　 ma+mb+na+nb a2-b2　 a2±2ab+b2　 (3)整式的除法 ①单项式相除,把　　　、　 　　　分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.  ②多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加. 系数 同底数幂 (4)幂的运算(m,n,p均为正整数) 同底数幂相乘 am·an=　　　  同底数幂相除 am÷an=　　　　(a≠0,m>n)  幂的乘方 (am)n=　　　  积的乘方 (ab)n=　　　  零指数幂 a0=　　　　(a≠0)  负整数指数幂 a-p=　　　　(a≠0)  am+n　 am-n amn　 anbn　 1 　 考点三 因式分解 1.概念:把一个　　　　　化成几个整式　　　　的形式,这种变形叫做因式分解.  2.常用方法 (1)提公因式法 ma+mb+mc=　　　　　　　　.  (2)公式法 a2-b2=　　　　　　　　,  a2±2ab+b2=　　　　　.  多项式 积 m(a+b+c) (a+b)(a-b)　 (a±b)2 3.一般步骤 (1)一提:如果多项式的各项有公因式,那么要先　　　　　　　　.  (2)二用:如果各项没有公因式,那么可以尝试运用　　　　法或_________　　　　　　法.  (3)三查:因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止. 提公因式 公式 分组分解 考题·自测体验 1.(2024广东深圳)下列运算正确的是(　　). A.(-m3)2=-m5 B.m2n·m=m3n C.3mn-m=3n D.(m-1)2=m2-1 B 2.(2021广东)设6-的整数部分为a,小数部分为b,则b的值 是(　　). A.6 B.2 C.12 D.9 A 3.(2021广东)已知9m=3,27n=4,则32m+3n=(　　). A.1 B.6 C.7 D.12 D 4.(2021广东)若x+,且0<x<1,则x2-=　　　　　.  -　 5.(2023广东)因式分解:x2-1=　 .  (x+1)(x-1) 考法·分类全析 考法1列代数式 列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来.要认真审题,分析问题中的数量关系,正确理解问题中的一些关键性术语,如“和、差、积、商、倍、几分之几、大、小、多、少、提高了、提高到……”. 例1如图1-2-1,把四张形状、大小完全相同的小矩形卡片不重叠地放在一个底面为矩形(长为a,宽为b)的盒子底部,盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,则图中两块阴影部分周长的和是(　　). 图1-2-1 A.4a B.4b C.2(a+b) D.4(a-b) 解析:观察题中右图,左边阴影部分的长等于题中左图小矩形的长,它与右边阴影部分的宽的和为b;右边阴影部分的长等于题中左图小矩形宽的两倍,它与左边阴影部分的宽的和为b,所以两个阴影部分的周长和为4b. 答案:B 方法点拨 注意发现右图中两个阴影部分的长与宽和左图中小矩形卡片的长与宽之间的关系,找出它们与盒子底部长与宽之间的数量关系,通过转化利用整体思想求出答案是解决本题的关键. 考法2代数式求值 求代数式的值的步骤通常是先化简,再计算.运算时,一要弄清楚运算符号,二要注意运算顺序. 例2如图1-2-2,按该运算程序,能使输出结果为3的x,y的值是(　　). 图1-2-2 A.x=5,y=-2 B.x=3,y=-3 C.x=-4,y=2 D.x=-3,y=-9 解析:将x=5,y=-2代入题图中的运算程序,得结果为12.故A错误. 将x=3,y=-3代入时,得结果为9.故B错误. 将x=-4,y=2代入时,得结果为-10.故C错误. 将x=-3,y=-9代入时,得结果为3.故D正确. 答案:D 方法点拨 此题考查了代数式求值,对于此类题要能正确表示出代数式,然后代入数值计算,解答本题的关键就是弄清楚题目给出的运算程序. 考法3幂的运算 幂的运算包括同底数幂的乘法、除法,积的乘方,幂的乘方等,既可顺用,也可逆用. 例3下列各式计算正确的是(　　). A.a·a6=a6 B.(a2)4=a6 C.a2+3a2=4a4 D.a4÷a2=a2 解析:A.a·a6=a7,故本选项错误; B.(a2)4=a2×4=a8,故本选项错误; C.a2+3a2=4a2,故本选项错误; D.a4÷a2=a4-2=a2,故本选项正确. 答案:D 方法点拨 幂的运算实质是指数的运算,即同底数幂的乘法是指数的加法,同底数幂的除法是指数的减法,幂的乘方是指数的乘法.还要注意合并同类项法则和幂的运算的区别. 考法4整式的运算 整式的运算涉及去括号、合并同类项、多项式乘法、乘法公式、幂的运算等知识点,要注意掌握运算法则和运算顺序. 例4已知a+b=-,求代数式(a-1)2+b(2a+b)+2a的值. 解:原式=a2-2a+1+2ab+b2+2a=a2+2ab+b2+1=(a+b)2+1. 当a+b=-时,(a+b)2+1=(-)2+1=2+1=3. 方法点拨 合理运用完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,可以使整式的运算变得更加简便. 考法5因式分解 因式分解最常用的方法是提公因式法和公式法.因式分解不彻底是因式分解常见的错误之一,因式分解的结果是否正确可以用整式乘法来检验. 例5下列因式分解正确的是(　　). A.x2-xy+x=x(x-y) B.a3-2a2b+ab2=a(a-b)2 C.x2-2x+4=(x-1)2+3 D.x2+9=(x+3)(x-3) 解析:A用提公因式法:x2-xy+x=x(x-y+1);B先用提公因式法,再用公式法:a3-2a2b+ab2=a(a-b)2;C的最后一步运算是加法,不是因式分解;D无法因式分解. 答案:B 方法点拨 因式分解时首先要分析多项式的特点,选择合适的分解方法,最终要分解到每一个因式不能再分解为止.提公因式时要注意口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶. 考点·巩固迁移 1.某商品原价为a元,因需求量大,经营者连续两次提价,每次提价10%,后因市场物价调整,又一次降价20%,降价后这种商品的价格为(　　). A.a(1+10%)2(1+20%)元 B.a(1+10%)(1-20%)元 C.a(1+10%)2(1-20%)元 D.a(1+10%)(1+20%)元 C 2.下列运算正确的是(　　). A.a+2a=3a2 B.a2·a3=a5 C.(ab)3=ab3 D.(-a3)2=-a6 B 3.已知a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为(　　). A.3 B.4 C.5 D.6 C 4.把x2y-2y2x+y3因式分解正确的是(　　). A.y(x2-2xy+y2) B.x2y-y2(2x-y) C.y(x-y)2 D.y(x+y)2 C 5.分解因式:2a3-8a=　 .  2a(a+2)(a-2) 6.已知10m=2,10n=3,则103m+2n=　　　　.  72 7.先化简,再求值:(x+y)2+(x+y)·(x-y)-2x2,其中x=,y=. 解:原式=x2+2xy+y2+x2-y2-2x2=2xy. 当x=,y=时,2xy=2. 本 课 结 束 $$