精品解析： 天津市第九中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期阶段性质量检测试卷 高二年级 数学 学科 班级： 考号： 姓名： 一、选择题(本大题共9小题，每题5分，共45分) 1. 已知则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导并根据导数定义的极限表示代入计算可得结果. 【详解】易知，则； 又，所以. 故选：D 2. 高二某班共45人需要订午饭，其中40人每天都订饭，有5人可能订饭，可能不订饭，则该班级订饭人员名单共有（ ）种情况. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理根据可能订餐人数的变化进行分类，再由二项式定理计算可得结果. 【详解】根据题意可知5人可能订饭的人员中有人可能订餐，其中； 所以该班级订饭人员名单共有种情况. 故选：C 3. ，则（ ） A. 0.1 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算可得结果. 【详解】依题意代入计算可得. 故选：D 4. 设随机变量，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性计算可得，即可得B正确. 【详解】根据可知正态曲线关于对称， 易知， 因此可得. 故选：B 5. 通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得： 参照附表，则下列结论正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过 C. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立性检验的原理逐项判断可得答案. 【详解】零假设为：爱好跳绳与性别无关. A.∵， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为爱好跳绳与性别无关.选项A正确. B. ∵， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为爱好跳绳与性别无关，但无法判断这个结论犯错误的概率是否超过.选项B错误. C.∵， ∴根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关.选项C错误. D. ∵， ∴在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关.选项D错误. 故选：A. 6. 的展开式中，二项式系数最大的项是第四项和第五项，则的系数为（ ） A. 35 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数的增减性确定的值，再利用通项求出含的项即可得出结果. 【详解】由二项式系数最大的项是第四项和第五项可知，即可得， 二项展开式的通项为， 令，解得； 因此含的项为； 即的系数为. 故选：D 7. 某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时， 残差为 D. 相关系数 【答案】C 【解析】 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项、B项，由残差公式可判断C项，由线性回归方程的斜率即可相关系数正负可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项错误； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 故选：C 8. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意构造函数判断出其单调性和奇偶性，再结合判断出函数的符号，对不等式分类讨论即可求得其解集. 【详解】构造函数，可得， 又因为当时，，可知在上单调递增， 由是定义在R上的奇函数可得， 所以，即可得为偶函数， 因此在上单调递减，即可知， 所以当时，由可得， 当时，由可得； 不等式等价于或； 解得或； 所以不等式的解集为. 故选：B. 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）个 ①在定义域上有最大值是 ②在上单调递减 ③ ④，都有 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】通过导函数研究的单调性可判断①②；再结合可判断③；构造函数，求其最小值即可判断④. 【详解】定义域为， 因，则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，故①正确；②错误； 因在上单调递减，则 又，则，故③错误； 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 则在上恒成立， 即，都有，故④正确. 故选：B 二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分) 10. 已知离散型随机变量服从二项分布，则_____________，________. 【答案】 ①. 5 ②. 6 【解析】 【分析】利用二项分布期望值和方差公式计算，再结合期望值和方差性质可得结果. 【详解】由可得，； 所以，. 故答案为：5；6 11. 函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导并令可求得，将代入原函数可得结果. 【详解】由可得， 令，可得，解得； 所以，可得. 故答案为： 12. 袋子中有9个大小相同的球，其中7个白球，2个黑球，摸出的球不放回.在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率是________；两次摸到的都是白球的概率是__________. 【答案】 ①. ##0.75 ②. 【解析】 【分析】设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，先求和，然后根据条件概率公式来求；先求第一次摸到白球的概率，再求第二次摸到白球的概率. 【详解】设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，由题意即求， 因为 ， ， 所以， 即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率 . 因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为. 故答案为：；. 13. 函数在上单调递增，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导并根据单调性将问题转化为在上恒成立，再由判别式计算可得结果. 【详解】易知，依题意可得在上恒成立； 所以，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 14. ，二项式系数和为128，则__________，____(结果用数字表示). 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】根据二项式系数计算可得，再利用赋值法计算可得0，将奇数项和偶数项分开计算可得结果. 【详解】依题意可得，解得； 令可得， 令可得， 两式相加可得，即； 再令可得， 所以. 故答案为：0，. 15. 若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先确定直线恒过的定点，然后根据两点斜率公式及直线斜率的变化规律、直线与抛物线的位置关系，数形结合求解即可. 【详解】直线恒过点且斜率存在的动直线， 又，作出图象，如图： 易知， 由，消得到，由， 得到或（舍）（因为时，，不合题意）， 所以当时，与（或）相切， 由图可知，当时，直线与曲线有1个交点，不合题意； 当时，直线与曲线没有交点，不合题意； 当时，直线与曲线有1交点，不合题意； 当时，直线与曲线有2交点，不合题意； 当时，直线与曲线有3交点，不合题意； 设直线与曲线相切于点， 联立，消y得， 由 解得或（舍去，此时方程的根为，不合题意） 当，即时， 直线与曲线有4交点，符合题意； 当时，直线与曲线有3交点，不合题意； 当时，直线与曲线有2交点，不合题意； 综上，k的取值范围为. 故答案为： 三、解答题(本大题共5小题，共75分) 16. （1）计算： （2）求导： （3）求导： 【答案】（1）90；（2）答案见解析；（3）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）由排列数和组合数计算公式直接计算即可； （2）根据求导公式表直接求导可得结果； （3）利用复合函数求导以及导数乘除运算法则可得结果. 【详解】（1）易知， （2）由可得 ； （3）因为， 所以 . 17. 甲同学参加一项抽奖活动，在一个盒子中，有大小形状完全相同的5个球，其中 3 个白球，2个红球，一次随机抽取两个球，若取到的两个球颜色相同，则中奖，取的颜色不同则不中奖，抽完奖之后把球再放回盒子里以便于再次抽奖. （1）求甲抽取一次，至少有一个白球的概率； （2）求甲抽取一次，中奖的概率； （3）甲一共抽取了三次，中奖次数为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可； （2）利用古典概型概率公式求解即可； （3）利用二项分布的概率公式可求分布列与数学期望. 【小问1详解】 记甲抽取一次，至少有一个白球为事件, 则； 【小问2详解】 记甲抽取一次，中奖为事件， 则； 【小问3详解】 因为甲每次抽奖都是独立的，且每次抽奖中奖的概率是相同的， 故中奖次数， 所以， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 18. 已知在处取得极值为0. （1）求的值； （2）求的单调性； （3）求在的值域. 【答案】（1），； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导利用极值点和极值定义解方程组可求得，； （2）利用导函数正负即可求出函数的单调性； （3）根据（2）中的结论并求得极值和区间端点处的函数值，即可得出其值域. 【小问1详解】 易知的定义域为，则， 依题意可得，且， 联立， 解得； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 令，解得或； 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增， 综上可得，在和上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由（2）可知，在上单调递减，在上单调递增， 即在处取得极小值，也是区间内的最小值， 易知，， 又， 因此可得在的值域为. 19. 某小区有6男4女共10名志愿者，准备从中选择5名志愿者参与志愿活动. （1）求恰好有2名男志愿者的概率； （2）已知选取的志愿者是3男2女，计划从中选取两人先去从事活动. ①选取两人中至少一名女志愿者的概率； ②选取女志愿者人数记为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）①，②分布列见解析，期望. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式直接计算即可； （2）①利用对立事件公式求出全是男志愿者的概率，可求出至少一名女志愿者的概率； ②根据的所有可能取值并求出对应概率可得出分布列，由期望公式计算可求出其期望值. 【小问1详解】 记“恰好有2名男志愿者”为事件， 则可得； 【小问2详解】 ①易知从5人中选取两人共有种选法， 其中两人全是男志愿者的情况共有种， 因此可知选取两人中至少一名女志愿者的概率为； ②易知随机变量的所有可能取值为， 则，，； 所以的分布列为 0 1 2 期望. 20. 已知函数 （1）当时， 求 在处的切线方程； （2）当 时， 单调递增， 求a的取值范围； （3）若 恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解. （2）在单调递增时，则对恒成立，再利用分离参数法、导数计算求解. （3）构造函数，根据函数单调性得出函数最值，应用隐零点计算求解. 【小问1详解】 当时，由，得， 则，又， 所以曲线在处的切线方程为, 即． 【小问2详解】 因为时，单调递增， 所以时，恒成立， 即在时恒成立， 设，则， 则时，，所以在上单调递减，可得； 当时， ， 所以，所以，单调递增时，的取值范围是． 【小问3详解】 因为 恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 设，则，则， 因为，所以， 令单调递增，，所以，， 所以单调递减；单调递增； 因为，所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期阶段性质量检测试卷 高二年级 数学 学科 班级： 考号： 姓名： 一、选择题(本大题共9小题，每题5分，共45分) 1. 已知则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 2. 高二某班共45人需要订午饭，其中40人每天都订饭，有5人可能订饭，可能不订饭，则该班级订饭人员名单共有（ ）种情况. A. B. C. D. 3. ，则（ ） A. 0.1 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.4 4. 设随机变量，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 5. 通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得： 参照附表，则下列结论正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过 C. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 6. 的展开式中，二项式系数最大的项是第四项和第五项，则的系数为（ ） A. 35 B. C. D. 7. 某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时， 残差为 D. 相关系数 8. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）个 ①在定义域上有最大值是 ②在上单调递减 ③ ④，都有 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分) 10. 已知离散型随机变量服从二项分布，则_____________，________. 11. 函数，则_________. 12. 袋子中有9个大小相同的球，其中7个白球，2个黑球，摸出的球不放回.在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率是________；两次摸到的都是白球的概率是__________. 13. 函数在上单调递增，则的取值范围是_________. 14. ，二项式系数和为128，则__________，____(结果用数字表示). 15. 若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为______. 三、解答题(本大题共5小题，共75分) 16. （1）计算： （2）求导： （3）求导： 17. 甲同学参加一项抽奖活动，在一个盒子中，有大小形状完全相同的5个球，其中 3 个白球，2个红球，一次随机抽取两个球，若取到的两个球颜色相同，则中奖，取的颜色不同则不中奖，抽完奖之后把球再放回盒子里以便于再次抽奖. （1）求甲抽取一次，至少有一个白球的概率； （2）求甲抽取一次，中奖的概率； （3）甲一共抽取了三次，中奖次数为X，求X的分布列及数学期望. 18. 已知在处取得极值为0. （1）求的值； （2）求的单调性； （3）求在的值域. 19. 某小区有6男4女共10名志愿者，准备从中选择5名志愿者参与志愿活动. （1）求恰好有2名男志愿者的概率； （2）已知选取的志愿者是3男2女，计划从中选取两人先去从事活动. ①选取两人中至少一名女志愿者的概率； ②选取女志愿者人数记为，求的分布列及数学期望. 20. 已知函数 （1）当时， 求 在处的切线方程； （2）当 时， 单调递增， 求a的取值范围； （3）若 恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $